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2020届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试数学试卷(文科)含答案解析

1、2020 年高考数学三诊试卷(文科)年高考数学三诊试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1设集合 Ax|2x0,Bx|x210,则 AB( ) A(2,0) B1,0) C(2,1) D1,1 2若 1i,则 z( ) A1+i B1i C1i D1+i 3已知点 A(2,0),动点 P(x,y)满足 ,则|PA|的最小值为( ) A1 B2 C D4 4新冠肺炎疫情暴发以来,在以习近平同志为核心的党中央领导下,全党全军全国各族人 民众志成城,共克时艰,疫情防控取得了阶段性成效,彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况

2、 下列说法中不正确的是( ) A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中,样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中,样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 5已知曲线 f(x)ex+1(其中 e 为自然对数的底数)在点(0,f(0)处的切线为 l,命 题 p:点(1,3)在直线 l 上,命题 q:点(1,2)在直线 l 上,则下列命题正确的是 ( ) Ap(q) B(p)q C(p)q D (p)(q) 6函数 f(x) 的部分图象大致是( ) A B C D 7等差数列an的公差不为零,其前 n 项

3、和为 Sn,若 a73a4,则 值为( ) A15 B20 C25 D40 8函数 f(x)是定义在m2,m上的奇函数,当 x0 时,f(x)3x1,则 f(m)的值 为( ) A2 B2 C D 9正方体 ABCDA1B1C1D1,下列命题中正确的是( ) AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 10定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x+l)f(lx),且当 x1 时,f(x)是增 函数,则 af(log32),bf(log ),cf( )的大小关系正确的是( ) Aabc

4、Bbca Ccab Dbac 11已知点 F 为抛物线 C:y22px(p0)的焦点,过点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,与 C 的准线交于点 M,若 ,则|AB|的值等于( ) A B2p C3p D 12已知曲线 : ,把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变, 得到函数 g(x)的图象,关于 g(x)有下述四个结论: (1)函数 g(x)在 , 上是减函数; (2)当 , , ,且 x1x2 时,g(x1)g(x2),则 ; (3)函数 (其中 x (0,2)的最小值为 其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5

5、 分,共 20 分把答案填在答题纸上) 13已知平面向量 与 满足 2,且 ( 2 )5,则| | 14 已知正项等比数列an的前 n项和为 Sn, 若 a4 , S 3a1 , 则该数列的公比为 15已知双曲线 C:x2y2m(m0)的渐近线与圆 x2+y22ym0 有交点,若连接所有 交点的线段围成的几何图形 M 的面积为 16,则 m 的值是 16 已知一块边长为 2 的正三角形铝板 (如图) , 请设计一种裁剪方法, 用虚线标示在图中, 沿虚线裁剪,可焊接成一个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角 形的中心的三棱锥),且它的全面积与原三角形铝板的面积相等(不计焊接缝的面

6、积), 则该三棱锥外接球的体积为 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17某省从 2021 年开始,高考采用取消文理分科,实行“3+1+2”的模式,其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生(其中女生 900 人)该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况,采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查,如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历

7、史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计 200 ()求 m,n 的值; ()请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的 理由 附:K2 ,其中 na+d+c+d P(K2k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+2b2ccosA ()求 C; ()若 a1,ABC 的面积为 ,求 c 19 如图, 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形, ABCD, 且 AB

8、AD, AB2CD4, E 是 SB 中点 ()求证:CE平面 SAD; ()若平面 SAD平面 ABCD,且 ,求多面体 SACE 的体积 20已知椭圆 : 的左右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过点 F2且垂直 于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为 1 ()求椭圆 E 的方程; ()若直线 ykx+m(k0)交椭圆 E 于点 C,D 两点,与线段 F1F2和椭圆短轴分别 交于两个不同点 M,N,且|CM|DN|,求|CD|的最小值 21已知函数 f(x)x1+axlnx(a R) ()求函数 f(x)的单调增区间; ()函数 g(x)m(x+1)+f(x),当 0a1 时,g(x)0

9、恒成立,求整数 m 的 最小值 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲 线”,又名 RC 心形线如果以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标 系,其 RC 心形线的极坐标方程为 1 ()求 RC 心形线的直角坐标方程; ()已知 P (0,2)与直线 l: (m 为参数),若直线 l 与 RC 心形线交 于两点 M,N,求|PM|PN|的值 选修 4-5:不等式选讲(本题满分 0 分

10、) 23已知 f(x)|2x4|+|x+1|的最小值为 m (I)求 m 的值; (II)当 a+b+c 时,证明:(a+1) 2+(b+l)2+(c+l)2 参考答案 一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|2x0,Bx|x210,则 AB( ) A(2,0) B1,0) C(2,1) D1,1 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|2x0, Bx|x210x|1x1, ABx|1x01,0) 故选:B 2若 1i,则 z( ) A1+i B1i C1i D1+i 【分析】把已

11、知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由 1i,得 z , 故选:D 3已知点 A(2,0),动点 P(x,y)满足 ,则|PA|的最小值为( ) A1 B2 C D4 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用点到直线的距离公式 即可得到结论 解:作出动点 P(x,y)满足 对应的平面区域, 由图象可知点 A 到直线 yx 的距离最小, 此时 d , 即|PA|的最小值为 , 故选:C 4新冠肺炎疫情暴发以来,在以习近平同志为核心的党中央领导下,全党全军全国各族人 民众志成城,共克时艰,疫情防控取得了阶段性成效,彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表

12、给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况 下列说法中不正确的是( ) A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中,样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中,样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案 解:对于 A,每天新增疑似病例依次为 0,0,0,0,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3, 3,3,5,则中位数为 2,故 A 正确; 对于 B,由统计知识得样本容量为 18,故 B 正确; 对于 C,每天新增确诊与新增疑似病

13、例之和不超过 20 例有 4 月 21 日、23 日、24 日、25 日、26 日、27 日、29 日、30 日、5 月 1 日、2 日、3 日、4 日、5 日,共 13 天,故 C 正 确; 对于 D,样本应该是 4 月 18 日至 5 月 5 日每天新增确诊病例人数,故 D 错误; 故选:D 5已知曲线 f(x)ex+1(其中 e 为自然对数的底数)在点(0,f(0)处的切线为 l,命 题 p:点(1,3)在直线 l 上,命题 q:点(1,2)在直线 l 上,则下列命题正确的是 ( ) Ap(q) B(p)q C(p)q D (p)(q) 【分析】先求出函数 f(x)ex+1 的导数,然后

14、求出切线方程,再分别判断命题 p 和 q 的真假,进一步结合选项得到答案即可 解:由 f(x)ex+1,得 f(x)ex, 曲线 f(x)ex+1 在点(0,f(0)处的切线斜率 kf(0)1, 又 f(0)2,曲线 f(x)ex+1 在点(0,f(0)处的切线方程为 yx+2, 当 x1 时,y3,故命题 p 是真命题, 当 x1 时,y1,命题 q 是假命题, 结合选项可知 p(q)为真命题 故选:A 6函数 f(x) 的部分图象大致是( ) A B C D 【分析】根据函数的性质采用排除法 解:因为 f(x) f(x),所以函数 f(x)为奇函数,图象关于原点 对称,排除 D, 又当 x

15、 小于 0 趋近于 0 时,f(x)0,故排除 B, 又 f() 0,据此排除 C 故选:A 7等差数列an的公差不为零,其前 n 项和为 Sn,若 a73a4,则 值为( ) A15 B20 C25 D40 【分析】a73a4,可得 a1+6d3(a1+3d),化为:a1 dd0再利用通项公式求 和公式代入化简即可得出 解:a73a4,a1+6d3(a1+3d),化为:a1 dd0 则 20, 故选:B 8函数 f(x)是定义在m2,m上的奇函数,当 x0 时,f(x)3x1,则 f(m)的值 为( ) A2 B2 C D 【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求 m,然后结合已知函数解

16、析式及奇函 数的性质代入可求 解:由奇函数的定义域关于原点对称可得,m2+m0 即 m1, 当 x0 时,f(x)3x1,则 f(m)f(1)f(1)( ) 故选:C 9正方体 ABCDA1B1C1D1,下列命题中正确的是( ) AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 【分析】分别求出 AC 与 B1C、AC 与 A1D、BD1与 BC 所成角判断 A、B、C 错误;证明 AC 与 BD1垂直判断 D 正确 解:如图, 连接 AB1, 可得AB1C 为正三角形, 可得 AC 与 B1C 是

17、相交直线且成 60角, 故 A 错误; A1DB1C,AC 与 A1D 是异面直线且成 60角,故 B 错误; BD1与 BC 是相交直线,所成角为D1BC,其正切值为 ,故 C 错误; 连接 BD,可知 BDAC,则 BD1AC,可知 AC 与 BD1是异面直线且垂直,故 D 正确 故选:D 10定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x+l)f(lx),且当 x1 时,f(x)是增 函数,则 af(log32),bf(log ),cf( )的大小关系正确的是( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 【分析】根据题意,函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,当 x1 时,f(x

18、)是增函数, 则函数f (x) 在 (, 1上为减函数; af (log3 ) , bf (log 34) , cf (log33 ) , 只要分析清 楚 3 , ,4 大小,即可得出结论 解:根据题意,函数 f(x)满足 f(x+l)f(lx),即函数 f(x)的图象关于直线 x 1 对称, 若当 x1 时,f(x)是增函数,则函数 f(x)在(,1上为减函数; af(log32)f(2log32)f(log3 ) bf(log )f( 2)f( )f(2log32)f(log34),cf( ) f(log33 ), 因为 3223 所以 321.52 , 两边取对数 ln31.5ln2 l

19、n2, 所以 1.5 , 所以 ln32ln2, 所以 3 4, 所以 3 3 4, 要分析 3 与 大小,只需确定 ln3 与 ln 的大小, 也就是 ln3 与 2ln3ln2 的大小, 即 ln2 与 2ln3 ln3(2 )ln3 的大小, 需分析 与 的大小, 而 2 , log23 (1,2), 所以 2 log23, 所以 3 , 所以 3 4, 所以 log33 log3 log341, 所以 f(log33 )f(log3 )f(log 34), 所以 cab, 故选:C 11已知点 F 为抛物线 C:y22px(p0)的焦点,过点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,

20、与 C 的准线交于点 M,若 ,则|AB|的值等于( ) A B2p C3p D 【分析】由 可得 A 为 MB 的中点,根据抛物线的性质和相似三角形性质数 形结合即可求解 解:因为 ,可得 A 为 BM 的中点,则 , 设|AF|t,则|AA|AF|t, |BB|BF|2t, 故 ,即有 t p, 所以|AB|AF|+|BF|3t3 p p, 故选:D 12已知曲线 : ,把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变, 得到函数 g(x)的图象,关于 g(x)有下述四个结论: (1)函数 g(x)在 , 上是减函数; (2)当 , , ,且 x1x2 时,g(x1)g(x2),则 ;

21、 (3)函数 (其中 x (0,2)的最小值为 其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D0 【分析】利用函数图象的伸缩变换求得 g(x)由 x 的范围求得 2x 的范围判断(1); 求出函数在给出定义域内的对称轴方程, 得到 x1+x2的值, 进一步求出 g (x1+x2) 判断 (2) ; 求出函数 m(x),利用导数求最值判断(3) 解:曲线 C:f(x)sin(4x ) 把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象, 则 g(x)sin(2x ) (1)当 x , 时,2x , ,则 g(x)在 , 上 是减函数,故(1)正确; (2)当 x ,

22、 时,2x , ,由 2x ,得一条对称轴方程为 x 又 x1x2时,g(x1)g(x2 ), , 则 g(x1+x2)g( )sin( )sin ,故(2)正确; (3) sin2(x ) +2sin2( ) sin2x+2sinx,x (0,2) 则 m(x)2cos2x+2cosx2(2cos2x+cosx1)2(cosx+1)(2cosx1), 令 m(x)0,解得 x 或 x 或 x, 可得 m(x)在(0, ),( ,2)上单调递增,在( , )上单调递减 当 x 时 f(x)取得最小值为 sin 2sin ,故(3)正确 正确命题的个数是 3 个 故选:C 二、填空题(本大题共

23、4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题纸上) 13已知平面向量 与 满足 2,且 ( 2 )5,则| | 3 【分析】 ( 2 )可整理为| |245,解得即可 解: ( 2 )| |2+2 | |245,解得| |29, 所以| |3, 故答案为:3 14 已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn, 若 a4 , S 3a1 , 则该数列的公比为 【分析】利用等比数列通项公式、前 n 项和公式列出方程组,能求出该数列的公比 解:正项等比数列an的前 n 项和为 Sn,a4 ,S3a1 , q0,且 q1, , 由 q0,解得该数列的公比 q 故答案为: 15已知双曲线 C:x

24、2y2m(m0)的渐近线与圆 x2+y22ym0 有交点,若连接所有 交点的线段围成的几何图形 M 的面积为 16,则 m 的值是 4 【分析】化双曲线方程为标准方程,得到双曲线的渐近线方程,与圆的方程联立,求得 交点坐标,再由三角形面积公式求解 解:由双曲线 C:x2y2m(m0),得 , ab , 双曲线的渐近线方程为 yx, 圆 x2+y22ym0 化为 x2+(ym)2m2, 如图: 联立 ,解得 B(m,m), 同理解得 A(m,m) 几何图形 M 的面积为 , 即 m4(m0) 故答案为:4 16 已知一块边长为 2 的正三角形铝板 (如图) , 请设计一种裁剪方法, 用虚线标示在

25、图中, 沿虚线裁剪,可焊接成一个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角 形的中心的三棱锥),且它的全面积与原三角形铝板的面积相等(不计焊接缝的面积), 则该三棱锥外接球的体积为 【分析】由题意画出图形,可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为 1,然后放置在棱长为 的正方体中,求出正方体的对角线长,进一步得到外接球的半径,代入球的体积公式 得答案 解:如图, 分别取 AB,BC,AC 的中点 D,E,F, 连接 DE,EF,DF,沿 DE,EF,DF,剪开,把三角形 DEF 作为底面, 可得正三棱锥 PDEF,则三棱锥 PDEF 的所有棱长相等,等于 1 把 PDEF 放置在棱长为 的

26、正方体中, 则正方体的外接球即为该三棱锥外接球 外接球的半径为 则该三棱锥外接球的体积为 , 故答案为: 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17某省从 2021 年开始,高考采用取消文理分科,实行“3+1+2”的模式,其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生(其中女生 900 人)该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况,采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行

27、问卷调查,如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生 30 60 n 总计 90 110 200 ()求 m,n 的值; ()请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的 理由 附:K2 ,其中 na+d+c+d P(K2k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】()根据分层抽样得到抽取的 200 名学生中女生人数和男生人数,即为 m,n 的值; ()根据题目所给的数据填写 22 列

28、联表计算 K 的观测值 K2,对照题目中的表格, 得出统计结论 解:()因为高一年级有 2000 名学生,其中女生 900 人,所以采用分层抽样的方法抽 取的 200 名学生中女生人数为: 90 人,男生 20090110 人, 所以 m110,n90; ()根据题目所给数据得到如下 22 的列联表: 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计 90 110 200 则 K 的观测值:K2 8.999, 由于 8.9997.879, 有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关 18在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+2b

29、2ccosA ()求 C; ()若 a1,ABC 的面积为 ,求 c 【分析】 () 结合正弦定理和 a+2b2ccosA, 将边化为角, 得 sinA+2sinB2sinCcosA, 再结合 A+B+C 与正弦的两角和公式化简可得 , 由于 C (0, ) , 所以 ; () , 解得 b4, 由余弦定理知, c2a2+b2 2abcosC 代入已知数据进行运算即可得解 解:()由正弦定理得,sinA+2sinB2sinCcosA, 而 sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC, 所以 sinA+2sinAcosC0, 又因为 sinA0,所以 , 由于 C (0,),所以

30、 ()因为ABC 的面积为 ,所以 ,解得 b4, 由余弦定理知,c2a2+b22abcosC ,故 19 如图, 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形, ABCD, 且 ABAD, AB2CD4, E 是 SB 中点 ()求证:CE平面 SAD; ()若平面 SAD平面 ABCD,且 ,求多面体 SACE 的体积 【分析】()取 SA 的中点 F,连接 EF,证明四边形 EFDC 是平行四边形,得出 EC FD,CE平面 SAD; ()取 AD 中点 G,连接 SG,证明 SG平面 ABCD,求出点 E 到平面 ABCD 的距离, 计算多面体 SACE 的体积 解:()取 SA 的

31、中点 F,连接 EF, 因为 E 是 SB 中点, 所以 EFAB,且 AB2EF, 又因为 ABCD,AB2CD, 所以 EFDC,EFDC, 即四边形 EFDC 是平行四边形, 所以 ECFD, 又因为 EC平面 SAD,FD平面 SAD, 所以 CE平面 SAD; ()取 AD 中点 G,连接 SG, 因为 SAD 是正三角形,所以 SGAD, 因为平面 SAD平面 ABCD,且交线为 AD, 所以 SG平面 ABCD, 因为 ABAD,所以 AB平面 SAD, 所以 ABSA, 故 , , 因为 E 是 SB 中点,所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于 , 所以多面体 SACE 的

32、体积为: VSACEVSABCDVSACDVEABC 20已知椭圆 : 的左右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过点 F2且垂直 于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为 1 ()求椭圆 E 的方程; ()若直线 ykx+m(k0)交椭圆 E 于点 C,D 两点,与线段 F1F2和椭圆短轴分别 交于两个不同点 M,N,且|CM|DN|,求|CD|的最小值 【分析】()通过离心率以及通径,求解 a,b,然后求出椭圆方程 ()把 ykx+m(k0)代入 得(1+4k 2)x2+8kmx+4m240, 设 D(x1,y1),C(x2,y2),利用韦达定理设出 M,N,利用|CM|DN|,结合 ykx+

33、m (k0)与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点 M,N,求出 CD,转化求解即可 解:()由题可知: , , 所以 a2,b1, 则椭圆 E 的方程为 ; ()把 ykx+m(k0)代入 得(1+4k 2)x2+8kmx+4m240, 设 D(x1,y1),C(x2,y2),则 , , 又 , ,N(0,m), 因|CM|DN|,所以 xMx1x2xN,即 xM+xNx1+x2, 所以 , 因为 ykx+m(k0)与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点 M,N, 所以 m0,又 k0, 则 , 故 x1+x22m, , 因为直线 ykx+m(k0)与线段 F1F2及椭圆的短轴分

34、别交于不同两点, 所以 ,即 ,且 m0, 所以 , 因为 ,且 m0, 所以当 或 时,|CD|的最小值为 21已知函数 f(x)x1+axlnx(a R) ()求函数 f(x)的单调增区间; ()函数 g(x)m(x+1)+f(x),当 0a1 时,g(x)0 恒成立,求整数 m 的 最小值 【分析】()求导,然后分 a0,a0 及 a0 三种情况讨论 f(x)0 的解集即可 得出结论; ()问题等价于 在 x0 且 0a1 上恒成立,令 , 当 x1 时, 易知只需 m0, 当 0x1 时, 通过放缩思想可知只需 ,构造函数 ,然后分 m2,m1 及 m0 讨论即可 得出答案 解:()函

35、数的定义域为(0,+),f(x)1+alnx+aa(lnx+1)+1, 当 a0 时,f(x)x1,故函数的单调递增区间为(0,+); 当 a0 时, 由 f (x) 0 得 , 故函数 f (x) 的单调递增区间为 , ; 当 a0 时, 由 f (x) 0 得 , 故函数 f (x) 的单调递增区间为 , ; ()因为 g(x)0,则 m(x+1)+axlnx+x10, 因为 x0,所以 ,令 , (i)当 x1 时,因为 0a1,则axlnx0,因此 1xaxlnx0,故只需 m0; (ii)当 0x1 时,因为 0a1,则axlnxxlnx,所以 , 即 , 构造函数 ,则 , 当 m

36、2 时,p(x)在(0,1)上递减,p(x)minp(1)2m0; 当 m1 时,p(x)lnx+2,则 ,不合题意; 当 m0 时, ,则 ,不合题意; 综上可知,整数 m 的最小值为 2 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲 线”,又名 RC 心形线如果以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标 系,其 RC 心形线的极坐标方程为 1 ()求 RC 心形线的直角坐标方程; ()已

37、知 P (0,2)与直线 l: (m 为参数),若直线 l 与 RC 心形线交 于两点 M,N,求|PM|PN|的值 【分析】()把已知等式两边平方,对 分类去绝对值,结合极坐标与直角坐标的互 化公式可得 RC 心形线的直角坐标方程; ()化直线的参数方程为普通方程,可知直线与 RC 心形线右侧相交,化直线方程为 参数方程的标准形式,代入 RC 心形线的直角坐标方程,化为关于 t 的一元二次方程,利 用根与系数的关系求|PM|PN|的值 解:()由 1,得 2(1|cos|sin)1, 当 , 时,化为 22cossin1,即 x2+y2xy1(x0); 当 ( , )时,化为 2+2coss

38、in1,即 x2+y2+xy1(x0) 综上,RC 心形线的直角坐标方程为 x2+y2|x|y1; ()由直线 l: (m 为参数),消去参数 m,可得 4x+3y60 化为 (t 为参数),代入 x2+y2xy1(x0), 得 设 M、N 对应的参数分别为 t1,t2,则 |PM|PN|t1|t2|t1t2| 选修 4-5:不等式选讲(本题满分 0 分) 23已知 f(x)|2x4|+|x+1|的最小值为 m (I)求 m 的值; (II)当 a+b+c 时,证明:(a+1) 2+(b+l)2+(c+l)2 【分析】()写出分段函数解析式,作出图象,由图可得函数的最小值 m; ()把()中求得的 m 值代入 a+b+c ,得 a+b+c1,然后利用柯西不等式证明 (a+1)2+(b+l)2+(c+l)2 【解答】()解:f(x)|2x4|+|x+1| , , , , 作出该函数的图象如图: 由图可知,函数的最小值 m3; ()证明:由柯西不等式可得: (1+1+1)(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2(a+1+b+1+c+1)2, a+b+c1, (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2 , 当且仅当 abc 时取等号, (a+1)2+(b+l)2+(c+l)2