1、2020 年高考数学三诊试卷（文科）年高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|2x0，Bx|x210，则 AB（ ） A（2，0） B1，0） C（2，1） D1，1 2若 1i，则 z（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3已知点 A（2，0），动点 P（x，y）满足 ，则|PA|的最小值为（ ） A1 B2 C D4 4新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人 民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况
2、 下列说法中不正确的是（ ） A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 5已知曲线 f（x）ex+1（其中 e 为自然对数的底数）在点（0，f（0）处的切线为 l，命 题 p：点（1，3）在直线 l 上，命题 q：点（1，2）在直线 l 上，则下列命题正确的是 （ ） Ap（q） B（p）q C（p）q D （p）（q） 6函数 f（x） 的部分图象大致是（ ） A B C D 7等差数列an的公差不为零，其前 n 项
3、和为 Sn，若 a73a4，则 值为（ ） A15 B20 C25 D40 8函数 f（x）是定义在m2，m上的奇函数，当 x0 时，f（x）3x1，则 f（m）的值 为（ ） A2 B2 C D 9正方体 ABCDA1B1C1D1，下列命题中正确的是（ ） AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 10定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx），且当 x1 时，f（x）是增 函数，则 af（log32），bf（log ），cf（ ）的大小关系正确的是（ ） Aabc
4、Bbca Ccab Dbac 11已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，与 C 的准线交于点 M，若 ，则|AB|的值等于（ ） A B2p C3p D 12已知曲线 ： ，把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（x）的图象，关于 g（x）有下述四个结论： （1）函数 g（x）在 ， 上是减函数； （2）当 ， ， ，且 x1x2 时，g（x1）g（x2），则 ； （3）函数 （其中 x （0，2）的最小值为 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D0 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5
5、 分，共 20 分把答案填在答题纸上） 13已知平面向量 与 满足 2，且 （ 2 ）5，则| | 14 已知正项等比数列an的前 n项和为 Sn， 若 a4 ， S 3a1 ， 则该数列的公比为 15已知双曲线 C：x2y2m（m0）的渐近线与圆 x2+y22ym0 有交点，若连接所有 交点的线段围成的几何图形 M 的面积为 16，则 m 的值是 16 已知一块边长为 2 的正三角形铝板 （如图） ， 请设计一种裁剪方法， 用虚线标示在图中， 沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角 形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面
6、积）， 则该三棱锥外接球的体积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某省从 2021 年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生（其中女生 900 人）该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历
7、史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计 200 （）求 m，n 的值； （）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的 理由 附：K2 ，其中 na+d+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+2b2ccosA （）求 C； （）若 a1，ABC 的面积为 ，求 c 19 如图， 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形， ABCD， 且 AB
8、AD， AB2CD4， E 是 SB 中点 （）求证：CE平面 SAD； （）若平面 SAD平面 ABCD，且 ，求多面体 SACE 的体积 20已知椭圆 ： 的左右焦点为 F1，F2，离心率为 ，过点 F2且垂直 于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为 1 （）求椭圆 E 的方程； （）若直线 ykx+m（k0）交椭圆 E 于点 C，D 两点，与线段 F1F2和椭圆短轴分别 交于两个不同点 M，N，且|CM|DN|，求|CD|的最小值 21已知函数 f（x）x1+axlnx（a R） （）求函数 f（x）的单调增区间； （）函数 g（x）m（x+1）+f（x），当 0a1 时，g（x）0
9、恒成立，求整数 m 的 最小值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲 线”，又名 RC 心形线如果以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，其 RC 心形线的极坐标方程为 1 （）求 RC 心形线的直角坐标方程； （）已知 P （0，2）与直线 l： （m 为参数），若直线 l 与 RC 心形线交 于两点 M，N，求|PM|PN|的值 选修 4-5：不等式选讲（本题满分 0 分
10、） 23已知 f（x）|2x4|+|x+1|的最小值为 m （I）求 m 的值； （II）当 a+b+c 时，证明：（a+1） 2+（b+l）2+（c+l）2 参考答案 一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|2x0，Bx|x210，则 AB（ ） A（2，0） B1，0） C（2，1） D1，1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|2x0， Bx|x210x|1x1， ABx|1x01，0） 故选：B 2若 1i，则 z（ ） A1+i B1i C1i D1+i 【分析】把已
11、知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 1i，得 z ， 故选：D 3已知点 A（2，0），动点 P（x，y）满足 ，则|PA|的最小值为（ ） A1 B2 C D4 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式 即可得到结论 解：作出动点 P（x，y）满足 对应的平面区域， 由图象可知点 A 到直线 yx 的距离最小， 此时 d ， 即|PA|的最小值为 ， 故选：C 4新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人 民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表
12、给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况 下列说法中不正确的是（ ） A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案 解：对于 A，每天新增疑似病例依次为 0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3， 3，3，5，则中位数为 2，故 A 正确； 对于 B，由统计知识得样本容量为 18，故 B 正确； 对于 C，每天新增确诊与新增疑似病
13、例之和不超过 20 例有 4 月 21 日、23 日、24 日、25 日、26 日、27 日、29 日、30 日、5 月 1 日、2 日、3 日、4 日、5 日，共 13 天，故 C 正 确； 对于 D，样本应该是 4 月 18 日至 5 月 5 日每天新增确诊病例人数，故 D 错误； 故选：D 5已知曲线 f（x）ex+1（其中 e 为自然对数的底数）在点（0，f（0）处的切线为 l，命 题 p：点（1，3）在直线 l 上，命题 q：点（1，2）在直线 l 上，则下列命题正确的是 （ ） Ap（q） B（p）q C（p）q D （p）（q） 【分析】先求出函数 f（x）ex+1 的导数，然后
14、求出切线方程，再分别判断命题 p 和 q 的真假，进一步结合选项得到答案即可 解：由 f（x）ex+1，得 f（x）ex， 曲线 f（x）ex+1 在点（0，f（0）处的切线斜率 kf（0）1， 又 f（0）2，曲线 f（x）ex+1 在点（0，f（0）处的切线方程为 yx+2， 当 x1 时，y3，故命题 p 是真命题， 当 x1 时，y1，命题 q 是假命题， 结合选项可知 p（q）为真命题 故选：A 6函数 f（x） 的部分图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据函数的性质采用排除法 解：因为 f（x） f（x），所以函数 f（x）为奇函数，图象关于原点 对称，排除 D， 又当 x
15、 小于 0 趋近于 0 时，f（x）0，故排除 B， 又 f（） 0，据此排除 C 故选：A 7等差数列an的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，若 a73a4，则 值为（ ） A15 B20 C25 D40 【分析】a73a4，可得 a1+6d3（a1+3d），化为：a1 dd0再利用通项公式求 和公式代入化简即可得出 解：a73a4，a1+6d3（a1+3d），化为：a1 dd0 则 20， 故选：B 8函数 f（x）是定义在m2，m上的奇函数，当 x0 时，f（x）3x1，则 f（m）的值 为（ ） A2 B2 C D 【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求 m，然后结合已知函数解
16、析式及奇函 数的性质代入可求 解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m2+m0 即 m1， 当 x0 时，f（x）3x1，则 f（m）f（1）f（1）（ ） 故选：C 9正方体 ABCDA1B1C1D1，下列命题中正确的是（ ） AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 【分析】分别求出 AC 与 B1C、AC 与 A1D、BD1与 BC 所成角判断 A、B、C 错误；证明 AC 与 BD1垂直判断 D 正确 解：如图， 连接 AB1， 可得AB1C 为正三角形， 可得 AC 与 B1C 是
17、相交直线且成 60角， 故 A 错误； A1DB1C，AC 与 A1D 是异面直线且成 60角，故 B 错误； BD1与 BC 是相交直线，所成角为D1BC，其正切值为 ，故 C 错误； 连接 BD，可知 BDAC，则 BD1AC，可知 AC 与 BD1是异面直线且垂直，故 D 正确 故选：D 10定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx），且当 x1 时，f（x）是增 函数，则 af（log32），bf（log ），cf（ ）的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 【分析】根据题意，函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，当 x1 时，f（x
18、）是增函数， 则函数f （x） 在 （， 1上为减函数； af （log3 ） ， bf （log 34） ， cf （log33 ） ， 只要分析清 楚 3 ， ，4 大小，即可得出结论 解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx），即函数 f（x）的图象关于直线 x 1 对称， 若当 x1 时，f（x）是增函数，则函数 f（x）在（，1上为减函数； af（log32）f（2log32）f（log3 ） bf（log ）f（ 2）f（ ）f（2log32）f（log34），cf（ ） f（log33 ）， 因为 3223 所以 321.52 ， 两边取对数 ln31.5ln2 l
19、n2， 所以 1.5 ， 所以 ln32ln2， 所以 3 4， 所以 3 3 4， 要分析 3 与 大小，只需确定 ln3 与 ln 的大小， 也就是 ln3 与 2ln3ln2 的大小， 即 ln2 与 2ln3 ln3（2 ）ln3 的大小， 需分析 与 的大小， 而 2 ， log23 （1，2）， 所以 2 log23， 所以 3 ， 所以 3 4， 所以 log33 log3 log341， 所以 f（log33 ）f（log3 ）f（log 34）， 所以 cab， 故选：C 11已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，
20、与 C 的准线交于点 M，若 ，则|AB|的值等于（ ） A B2p C3p D 【分析】由 可得 A 为 MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数 形结合即可求解 解：因为 ，可得 A 为 BM 的中点，则 ， 设|AF|t，则|AA|AF|t， |BB|BF|2t， 故 ，即有 t p， 所以|AB|AF|+|BF|3t3 p p， 故选：D 12已知曲线 ： ，把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（x）的图象，关于 g（x）有下述四个结论： （1）函数 g（x）在 ， 上是减函数； （2）当 ， ， ，且 x1x2 时，g（x1）g（x2），则 ；
21、 （3）函数 （其中 x （0，2）的最小值为 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D0 【分析】利用函数图象的伸缩变换求得 g（x）由 x 的范围求得 2x 的范围判断（1）； 求出函数在给出定义域内的对称轴方程， 得到 x1+x2的值， 进一步求出 g （x1+x2） 判断 （2） ； 求出函数 m（x），利用导数求最值判断（3） 解：曲线 C：f（x）sin（4x ） 把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）sin（2x ） （1）当 x ， 时，2x ， ，则 g（x）在 ， 上 是减函数，故（1）正确； （2）当 x ，
22、 时，2x ， ，由 2x ，得一条对称轴方程为 x 又 x1x2时，g（x1）g（x2 ）， ， 则 g（x1+x2）g（ ）sin（ ）sin ，故（2）正确； （3） sin2（x ） +2sin2（ ） sin2x+2sinx，x （0，2） 则 m（x）2cos2x+2cosx2（2cos2x+cosx1）2（cosx+1）（2cosx1）， 令 m（x）0，解得 x 或 x 或 x， 可得 m（x）在（0， ），（ ，2）上单调递增，在（ ， ）上单调递减 当 x 时 f（x）取得最小值为 sin 2sin ，故（3）正确 正确命题的个数是 3 个 故选：C 二、填空题（本大题共
23、4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸上） 13已知平面向量 与 满足 2，且 （ 2 ）5，则| | 3 【分析】 （ 2 ）可整理为| |245，解得即可 解： （ 2 ）| |2+2 | |245，解得| |29， 所以| |3， 故答案为：3 14 已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a4 ， S 3a1 ， 则该数列的公比为 【分析】利用等比数列通项公式、前 n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比 解：正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a4 ，S3a1 ， q0，且 q1， ， 由 q0，解得该数列的公比 q 故答案为： 15已知双曲线 C：x
24、2y2m（m0）的渐近线与圆 x2+y22ym0 有交点，若连接所有 交点的线段围成的几何图形 M 的面积为 16，则 m 的值是 4 【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得 交点坐标，再由三角形面积公式求解 解：由双曲线 C：x2y2m（m0），得 ， ab ， 双曲线的渐近线方程为 yx， 圆 x2+y22ym0 化为 x2+（ym）2m2， 如图： 联立 ，解得 B（m，m）， 同理解得 A（m，m） 几何图形 M 的面积为 ， 即 m4（m0） 故答案为：4 16 已知一块边长为 2 的正三角形铝板 （如图） ， 请设计一种裁剪方法， 用虚线标示在
25、图中， 沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角 形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积）， 则该三棱锥外接球的体积为 【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为 1，然后放置在棱长为 的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式 得答案 解：如图， 分别取 AB，BC，AC 的中点 D，E，F， 连接 DE，EF，DF，沿 DE，EF，DF，剪开，把三角形 DEF 作为底面， 可得正三棱锥 PDEF，则三棱锥 PDEF 的所有棱长相等，等于 1 把 PDEF 放置在棱长为 的
26、正方体中， 则正方体的外接球即为该三棱锥外接球 外接球的半径为 则该三棱锥外接球的体积为 ， 故答案为： 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某省从 2021 年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生（其中女生 900 人）该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行
27、问卷调查，如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生 30 60 n 总计 90 110 200 （）求 m，n 的值； （）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的 理由 附：K2 ，其中 na+d+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（）根据分层抽样得到抽取的 200 名学生中女生人数和男生人数，即为 m，n 的值； （）根据题目所给的数据填写 22 列
28、联表计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格， 得出统计结论 解：（）因为高一年级有 2000 名学生，其中女生 900 人，所以采用分层抽样的方法抽 取的 200 名学生中女生人数为： 90 人，男生 20090110 人， 所以 m110，n90； （）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计 90 110 200 则 K 的观测值：K2 8.999， 由于 8.9997.879， 有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+2b
29、2ccosA （）求 C； （）若 a1，ABC 的面积为 ，求 c 【分析】 （） 结合正弦定理和 a+2b2ccosA， 将边化为角， 得 sinA+2sinB2sinCcosA， 再结合 A+B+C 与正弦的两角和公式化简可得 ， 由于 C （0， ） ， 所以 ； （） ， 解得 b4， 由余弦定理知， c2a2+b2 2abcosC 代入已知数据进行运算即可得解 解：（）由正弦定理得，sinA+2sinB2sinCcosA， 而 sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， 所以 sinA+2sinAcosC0， 又因为 sinA0，所以 ， 由于 C （0，），所以
30、 （）因为ABC 的面积为 ，所以 ，解得 b4， 由余弦定理知，c2a2+b22abcosC ，故 19 如图， 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形， ABCD， 且 ABAD， AB2CD4， E 是 SB 中点 （）求证：CE平面 SAD； （）若平面 SAD平面 ABCD，且 ，求多面体 SACE 的体积 【分析】（）取 SA 的中点 F，连接 EF，证明四边形 EFDC 是平行四边形，得出 EC FD，CE平面 SAD； （）取 AD 中点 G，连接 SG，证明 SG平面 ABCD，求出点 E 到平面 ABCD 的距离， 计算多面体 SACE 的体积 解：（）取 SA 的
31、中点 F，连接 EF， 因为 E 是 SB 中点， 所以 EFAB，且 AB2EF， 又因为 ABCD，AB2CD， 所以 EFDC，EFDC， 即四边形 EFDC 是平行四边形， 所以 ECFD， 又因为 EC平面 SAD，FD平面 SAD， 所以 CE平面 SAD； （）取 AD 中点 G，连接 SG， 因为 SAD 是正三角形，所以 SGAD， 因为平面 SAD平面 ABCD，且交线为 AD， 所以 SG平面 ABCD， 因为 ABAD，所以 AB平面 SAD， 所以 ABSA， 故 ， ， 因为 E 是 SB 中点，所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于 ， 所以多面体 SACE 的
32、体积为： VSACEVSABCDVSACDVEABC 20已知椭圆 ： 的左右焦点为 F1，F2，离心率为 ，过点 F2且垂直 于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为 1 （）求椭圆 E 的方程； （）若直线 ykx+m（k0）交椭圆 E 于点 C，D 两点，与线段 F1F2和椭圆短轴分别 交于两个不同点 M，N，且|CM|DN|，求|CD|的最小值 【分析】（）通过离心率以及通径，求解 a，b，然后求出椭圆方程 （）把 ykx+m（k0）代入 得（1+4k 2）x2+8kmx+4m240， 设 D（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理设出 M，N，利用|CM|DN|，结合 ykx+
33、m （k0）与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点 M，N，求出 CD，转化求解即可 解：（）由题可知： ， ， 所以 a2，b1， 则椭圆 E 的方程为 ； （）把 ykx+m（k0）代入 得（1+4k 2）x2+8kmx+4m240， 设 D（x1，y1），C（x2，y2），则 ， ， 又 ， ，N（0，m）， 因|CM|DN|，所以 xMx1x2xN，即 xM+xNx1+x2， 所以 ， 因为 ykx+m（k0）与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点 M，N， 所以 m0，又 k0， 则 ， 故 x1+x22m， ， 因为直线 ykx+m（k0）与线段 F1F2及椭圆的短轴分
34、别交于不同两点， 所以 ，即 ，且 m0， 所以 ， 因为 ，且 m0， 所以当 或 时，|CD|的最小值为 21已知函数 f（x）x1+axlnx（a R） （）求函数 f（x）的单调增区间； （）函数 g（x）m（x+1）+f（x），当 0a1 时，g（x）0 恒成立，求整数 m 的 最小值 【分析】（）求导，然后分 a0，a0 及 a0 三种情况讨论 f（x）0 的解集即可 得出结论； （）问题等价于 在 x0 且 0a1 上恒成立，令 ， 当 x1 时， 易知只需 m0， 当 0x1 时， 通过放缩思想可知只需 ，构造函数 ，然后分 m2，m1 及 m0 讨论即可 得出答案 解：（）函
35、数的定义域为（0，+），f（x）1+alnx+aa（lnx+1）+1， 当 a0 时，f（x）x1，故函数的单调递增区间为（0，+）； 当 a0 时， 由 f （x） 0 得 ， 故函数 f （x） 的单调递增区间为 ， ； 当 a0 时， 由 f （x） 0 得 ， 故函数 f （x） 的单调递增区间为 ， ； （）因为 g（x）0，则 m（x+1）+axlnx+x10， 因为 x0，所以 ，令 ， （i）当 x1 时，因为 0a1，则axlnx0，因此 1xaxlnx0，故只需 m0； （ii）当 0x1 时，因为 0a1，则axlnxxlnx，所以 ， 即 ， 构造函数 ，则 ， 当 m
36、2 时，p（x）在（0，1）上递减，p（x）minp（1）2m0； 当 m1 时，p（x）lnx+2，则 ，不合题意； 当 m0 时， ，则 ，不合题意； 综上可知，整数 m 的最小值为 2 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲 线”，又名 RC 心形线如果以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，其 RC 心形线的极坐标方程为 1 （）求 RC 心形线的直角坐标方程； （）已
37、知 P （0，2）与直线 l： （m 为参数），若直线 l 与 RC 心形线交 于两点 M，N，求|PM|PN|的值 【分析】（）把已知等式两边平方，对 分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互 化公式可得 RC 心形线的直角坐标方程； （）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与 RC 心形线右侧相交，化直线方程为 参数方程的标准形式，代入 RC 心形线的直角坐标方程，化为关于 t 的一元二次方程，利 用根与系数的关系求|PM|PN|的值 解：（）由 1，得 2（1|cos|sin）1， 当 ， 时，化为 22cossin1，即 x2+y2xy1（x0）； 当 （ ， ）时，化为 2+2coss
38、in1，即 x2+y2+xy1（x0） 综上，RC 心形线的直角坐标方程为 x2+y2|x|y1； （）由直线 l： （m 为参数），消去参数 m，可得 4x+3y60 化为 （t 为参数），代入 x2+y2xy1（x0）， 得 设 M、N 对应的参数分别为 t1，t2，则 |PM|PN|t1|t2|t1t2| 选修 4-5：不等式选讲（本题满分 0 分） 23已知 f（x）|2x4|+|x+1|的最小值为 m （I）求 m 的值； （II）当 a+b+c 时，证明：（a+1） 2+（b+l）2+（c+l）2 【分析】（）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值 m； （）把（）中求得的 m 值代入 a+b+c ，得 a+b+c1，然后利用柯西不等式证明 （a+1）2+（b+l）2+（c+l）2 【解答】（）解：f（x）|2x4|+|x+1| ， ， ， ， 作出该函数的图象如图： 由图可知，函数的最小值 m3； （）证明：由柯西不等式可得： （1+1+1）（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2（a+1+b+1+c+1）2， a+b+c1， （a+1）2+（b+1）2+（c+1）2 ， 当且仅当 abc 时取等号， （a+1）2+（b+l）2+（c+l）2