1、下列各组图形一定相似的是（ ） A任意两个平行四边形 B任意两个矩形 C任意两个菱形 D任意两个正方形 3 （3 分）已知ABCDEF，若周长比为 4：9，则 AC：DF 等于（ ） A4：9 B16：81 C3：5 D2：3 4 （3 分）如图，ABC 中，ABDC，若 AB4，AD2，则 CD 边的长是（ ） A2 B4 C6 D8 5 （3 分） 如图所示， 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2， 4） ， 过点 A 作 ABx 轴于点 B 将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的， 得到COD， 则 CD 的长度是 （ ） A1 B2 C2 D 6 （3 分）如图，矩形
2、ABCD 中，点 E 为 AB 边中点，连接 AC、DE 交于点 F，若AEF 的 面积为 1，则ABC 的面积为（ ） A3 B4 C6 D8 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 第 2 页（共 25 页） 7 （3 分）若，则 8 （3 分）某公司生产一种新型手杖，其长为 1m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰 品，装饰品离手杖上端的距离为 m （注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留 根号） 9 （3 分）如图，ADE 和ABC 中，12，请添加一个适当的条件 ，使ADE ABC（只填一个即可） 10 （3 分）如图是小孔成像原理的
3、示意图，点 O 与物体 AB 的距离为 45 厘米，与像 CD 的 距离是 30 厘米，ABCD若物体 AB 的高度为 27 厘米，那么像 CD 的高度是 厘 米 11 （3 分）如图，ABC 的面积为 36cm2，边 BC12cm，矩形 DEFG 的顶点 D、G 分别在 AB、AC 上，E，F 在 BC 上，若 EF2DE，则 DG cm 12 （3 分）如图，在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ，点 C 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，当 D 点坐标为 时，由点 A，C，D 组成的三角形与 AOB 相似 第 3 页（共 25 页） 三解答题（本大题共三解
4、答题（本大题共 5 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）如图，一个矩形广场的长为 100m，宽为 80m，广场外围两条纵向小路的宽均为 1.5m，如果设两条横向小路的宽都为 xm，那么当 x 为多少时，小路内、外边缘所围成的 两个矩形相似 14 （6 分）如图，BD、AC 相交于点 P，连接 BC、AD，且12，求证：ADPBCP 15 （6 分）在图 1 的 66 的网格中，已知格点ABC（顶点 A、B、C 都在格各点上） （1）在图 1 中，画出与ABC 面积相等的格点ABD（不与ABC 全等） ，画出一种即 可； （2）在图 2 中，画出与ABC 相似
5、的格点ABC（不与 ABC 全等） ，且两个三角 形的对应边分别互相垂直，画出一种即可 16 （6 分）如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB他调整自己的位 置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角 第 4 页（共 25 页） 边 DE40cmEF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD10m，求树高 AB 17 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，BDCD，CEAB 于 E求证：BDBCBEBA 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分
6、）如图，AB 是O 的直径，弦 AD 平分BAC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E， 连结 BD （1）求证：ADEABD； （2）DE 与O 有怎样的位置关系？为什么？ 19 （8 分）如图，在正方形网格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，其中每个小正方形的边长 为 1 （1）在同一网格纸中，在 y 轴的右侧将原小金鱼图案以原点 O 为位似中心放大，使它们 的位似比为 1：2，画出放大后小金鱼的图案； （2）求放大后金鱼的面积 第 5 页（共 25 页） 20 （8 分）如图在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DCAC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F，点 E 是 AB 的
7、中点，连接 EF （1）求证：EFBC； （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，共小题，共 18 分）分） 21 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD B （1）求证：ACCDCPBP； （2）若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长 22 （9 分）图中的小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 的顶点和 O 点都在正方形的顶点 上 （1）以点 O 为位似中心，在方格图中将ABC 放大为原来的 2 倍，得到ABC； （2）ABC绕点 B顺时针旋转 90，画出旋转
8、后得到的ABC，并求边 AB在旋转过程中扫过的图形面积 第 6 页（共 25 页） 六、 （本大题共六、 （本大题共 1 小题，共小题，共 12 分）分） 23 （12 分） （1）问题 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPCAB90，求证：AD BCAPBP （2）探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB 时，上述结 论是否依然成立？说明理由 （3）应用 请利用（1） （2）获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB6，ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出了，沿边 AB 向点 B 运动，且满足
9、DPCA，设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切时，求 t 的值 第 7 页（共 25 页） 2020 年江西省上饶市余干县中考数学训练试卷（二）年江西省上饶市余干县中考数学训练试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 1 （3 分）已知 2x3y，则下列各式错误的是（ ） A B C D6x9y 【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，将已知的比例式转化为等 积式 2x3y，即可判断 【解答】解：A、变成等积式是：2x3
10、y，不符合题意； B、变成等积式是：2x3y，不符合题意； C、变成等积式是：3x2y，符合题意； D、变成等积式是：2x3y，不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键 2 （3 分）下列各组图形一定相似的是（ ） A任意两个平行四边形 B任意两个矩形 C任意两个菱形 D任意两个正方形 【分析】根据相似图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定 相似，不符合题意； B、个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意； C、 任意两个菱形的对应边的比相等， 但对应角
11、不一定相等， 故不一定相似， 不符合题意； D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意， 故选：D 【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形， 叫做相似多边形是解题的关键 3 （3 分）已知ABCDEF，若周长比为 4：9，则 AC：DF 等于（ ） A4：9 B16：81 C3：5 D2：3 第 8 页（共 25 页） 【分析】利用相似三角形的性质，可求出，此题得解 【解答】解：ABCDEF， 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形（多边形）的周长的比等于相 似比是解题的关键 4 （3 分）如图，ABC 中，
12、ABDC，若 AB4，AD2，则 CD 边的长是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解 【解答】解：ABDC，AA， ABDACB， ，ACAD+DC， ， DC6 答：DC 边的长为 6 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找对相似三角形的对 应边 5 （3 分） 如图所示， 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2， 4） ， 过点 A 作 ABx 轴于点 B 将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的， 得到COD， 则 CD 的长度是 （ ） A1 B2 C2 D 第 9 页（共 25 页） 【分
13、析】直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 C 的坐标，即可得出答 案 【解答】解：点 A（2，4） ，过点 A 作 ABx 轴于点 B将AOB 以坐标原点 O 为位 似中心缩小为原图形的，得到COD， C（1，2） ，则 CD 的长度是：2 故选：B 【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是 解题关键 6 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边中点，连接 AC、DE 交于点 F，若AEF 的 面积为 1，则ABC 的面积为（ ） A3 B4 C6 D8 【分析】可证明AEFCDF，且点 E 为 AB 边中点，则CDF 的面积
14、为 4，从而可计 算出ABC 的面积 【解答】解：矩形 ABCD 中，AECD FAEFCD，FEAFDC 又CFDAFE AEFCDF 点 E 为 AB 边中点 CD2AE 设AEF 的高为 h，则CDF 的高为 2h， CDh4 故选：C 【点评】本题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握三角形相似的知识点是解答本题的 第 10 页（共 25 页） 关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）若，则 【分析】根据比例的性质得出 xy，再代入要求的式子进行计算即可 【解答】解：， xy， ； 故答案为： 【点评】本题考查了比例的基
15、本性质，比较简单，用 y 表示出 x 是解题关键 8 （3 分）某公司生产一种新型手杖，其长为 1m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰 品，装饰品离手杖上端的距离为 m （注：该装饰品离手杖的上端较近，结果 保留根号） 【分析】利用黄金分割的定义计算出装饰品离手杖下端的距离，从而得到计算装饰品离 手杖上端的距离 【解答】解：装饰品离手杖下端的距离1， 所以装饰品离手杖上端的距离1（m） 故答案为 【点评】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB：ACAC：BC） ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫
16、做 线段 AB 的黄金分割点 其中 ACAB0.618AB，并且线段 AB 的黄金分割点有 两个 9 （3 分）如图，ADE 和ABC 中，12，请添加一个适当的条件 DB 或 EC 或 ，使ADEABC（只填一个即可） 第 11 页（共 25 页） 【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角 的两边对应成比例即可推出两三角形相似 【解答】解：12， DAEBAC， 要使ADEABC，则添加的一个条件可以是DB 或EC 或 故答案为：DB 或EC 或 【点评】此题考查了相似三角形的判定相似三角形的判定方法有： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边
17、相交，所构成的三角形与原三角 形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 10 （3 分）如图是小孔成像原理的示意图，点 O 与物体 AB 的距离为 45 厘米，与像 CD 的 距离是 30 厘米，ABCD若物体 AB 的高度为 27 厘米，那么像 CD 的高度是 18 厘 米 【分析】正确理解小孔成像的原理，因为 ABCD 所以ABOCDO，则有， 而 AB 的值已知，所以可求出 CD 【解答】解：ABCD ABOCDO 又AB27 CD18 第 12
18、页（共 25 页） 故答案为：18 【点评】本题考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广 泛解决本题时还应具有一定的物理知识 11 （3 分）如图，ABC 的面积为 36cm2，边 BC12cm，矩形 DEFG 的顶点 D、G 分别在 AB、AC 上，E，F 在 BC 上，若 EF2DE，则 DG 6 cm 【分析】过 A 作 AHBC 于 H，交 DG 于 M，根据平行线的性质得到 AMDG，根据已 知条件得到 AH6，设 DEx，则 EF2x，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：过 A 作 AHBC 于 H，交 DG 于 M， 四边形 DEFG 是矩形， D
19、GBC， AMDG， ABC 的面积为 36cm2，边 BC12cm， AH6， EF2DE， 设 DEx，则 EF2x， DGBC， ADGABC， ， ， x3， DG6cm， 故答案为：6 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判 定和性质是解题的关键 12 （3 分）如图，在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ，点 C 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，当 D 点坐标为 （4，0）或（，0） 时，由点 A，C，D 组成的三角形与AOB 相似 【分析】首先根据题意求得 AB 与 AC 的长，
20、然后分别从当，即时， ACDABO 与当，即时，ACDAOB 去分析求解即可求得答案 【解答】解：在直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为（8，0）和（0，6） ， OA8，OB6， AB10， 点 C 为 AB 的中点， ACAB5， OAB 是公共角， 如图 1，当，即时，ACDABO， 解得：AD4， ODABAD4， 点 D（4，0） ； 如图 2，当，即时，ACDAOB， 第 14 页（共 25 页） 解得：AD， ODOAAD， 点 D（，0） ； 当 D 点坐标为（4，0）或（，0）时，由点 A，C，D 组成的三角形与AOB 相似 故答案为： （4，0）或（，0） 【点评】此题考
21、查了相似三角形的判定以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握 数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 5 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）如图，一个矩形广场的长为 100m，宽为 80m，广场外围两条纵向小路的宽均为 1.5m，如果设两条横向小路的宽都为 xm，那么当 x 为多少时，小路内、外边缘所围成的 两个矩形相似 【分析】内外矩形的对应角相等，所以当（100+3） ：100（80+2x） ：80 时，小路内、 外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出 x 即可 【解答】解：当（100+3） ：100
22、（80+2x） ：80 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形 相似 解得 x1.2 答：当 x 为 1.2m 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似 【点评】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相 等，则这两个多边形是相似多边形 第 15 页（共 25 页） 14 （6 分）如图，BD、AC 相交于点 P，连接 BC、AD，且12，求证：ADPBCP 【分析】直接利用相似三角的判定方法，两角对应相等的三角形相似进而得出答案 【解答】证明：12，DPACPB， ADPBCP 【点评】此题主要考查了相似三角的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键 15 （6 分）
23、在图 1 的 66 的网格中，已知格点ABC（顶点 A、B、C 都在格各点上） （1）在图 1 中，画出与ABC 面积相等的格点ABD（不与ABC 全等） ，画出一种即 可； （2）在图 2 中，画出与ABC 相似的格点ABC（不与 ABC 全等） ，且两个三角 形的对应边分别互相垂直，画出一种即可 【分析】 （1）利用等底同高作三角形 ABD； （2）利用相似比为 2 画A1B1C1 【解答】解： （1）如图 1，ABD 为所作； （2）如图 2，A1B1C1为所作 【点评】本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个 图形放大或缩小得到也考查了全等三角形的性质 第 1
24、6 页（共 25 页） 16 （6 分）如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB他调整自己的位 置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角 边 DE40cmEF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD10m，求树高 AB 【分析】 利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身 高即可求得树高 AB 【解答】解：DEFBCD90DD DEFDCB ， DE40cm0.4m，EF30cm0.3m，AC1.5m，CD10m， ， BC7.5 米， ABAC+BC1.5+7.59
25、米 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形 的模型 17 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，BDCD，CEAB 于 E求证：BDBCBEBA 【分析】根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质即可求证 【解答】解：ABAC，BDCD， ADBC， CEAB， 第 17 页（共 25 页） BECBDA， BB， BCEBAD， ， BCBDBABE 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题 属于基础题型 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分
26、）如图，AB 是O 的直径，弦 AD 平分BAC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E， 连结 BD （1）求证：ADEABD； （2）DE 与O 有怎样的位置关系？为什么？ 【分析】 （1）根据相似三角形的判定即可求出答案 （2）连接 OD，根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质可证明 ODAE，从而可证 明EDO90，即 DE 是O 的切线 【解答】 （1）证明：弦 AD 平分BAC， EADDAB， AB 是半圆 O 的直径， ADB90， ODDE， E90， AEDADB， ADEABD； （2）DE 是O 的切线理由如下： 第 18 页（共 25 页） 连接 OD， DEAC， DE
27、A90， EAD+EDA90， OAOD， OADODA， EADDAB， ODAEAD， ODAC， ADO+EDA90， ODDE， DE 是O 的切线 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，切线的判定等知识， 需要学生灵活运用所学知识 19 （8 分）如图，在正方形网格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，其中每个小正方形的边长 为 1 （1）在同一网格纸中，在 y 轴的右侧将原小金鱼图案以原点 O 为位似中心放大，使它们 的位似比为 1：2，画出放大后小金鱼的图案； （2）求放大后金鱼的面积 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据位似作图的方法作图，如位似中心在中
28、间的图形作法为确定位似中 心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比 1：2，确定能代 表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形 （2）金鱼可以分成两个三角形，因此计算两个三角形面积的和即可 【解答】解： （1）如图所示， （2）S金鱼4（6+2）16 【点评】本题考查位似图形的意义及作图能力画位似图形的一般步骤为：确定位似 中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表 所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 20 （8 分）如图在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DCAC，ACB 的平分线 C
29、F 交 AD 于点 F，点 E 是 AB 的中点，连接 EF （1）求证：EFBC； 第 20 页（共 25 页） （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积 【分析】 （1） 首先判定ADC 是等腰三角形， 然后利用等腰三角形的性质得到点 F 是 AD 的中点，然后得到 EF 是ABD 的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可； （2）根据上题证得的平行可以判定AEFABD，然后利用相似三角形面积的比等于相 似比的平方求得ABD 的面积 【解答】 （1）证明：DCAC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F， F 为 AD 的中点， 点 E 是 AB 的中点， EF 为ABD
30、 的中位线， EFBC； （2）解：EF 为ABD 的中位线， ，EFBD， AEFABD， SAEF：SABD1：4， SAEF：S四边形BDFE1：3， 四边形 BDFE 的面积为 6， SAEF2， SABDSAEF+S四边形BDFE2+68 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三 角形的判定和性质，解题的关键在于求证 EF 为中位线，SAEF：SABD1：4 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，共小题，共 18 分）分） 21 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD B （1）求证：ACC
31、DCPBP； 第 21 页（共 25 页） （2）若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长 【分析】 （1）易证APDBC，从而可证到ABPPCD，即可得到， 即 ABCDCPBP，由 ABAC 即可得到 ACCDCPBP； （2）由 PDAB 可得APDBAP，即可得到BAPC，从而可证到BAP BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长 【解答】解： （1）ABAC，BC APDB，APDBC APCBAP+B，APCAPD+DPC， BAPDPC， ABPPCD， ， ABCDCPBP ABAC， ACCDCPBP； （2）如图，PDAB， APDBAP APD
32、C， BAPC BB， BAPBCA， AB10，BC12， ， BP 第 22 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、 三角形外角的性质等知识，把证明 ACCDCPBP 转化为证明 ABCDCPBP 是解决 第（1）小题的关键，证到BAPC 进而得到BAPBCA 是解决第（2）小题的关 键 22 （9 分）图中的小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 的顶点和 O 点都在正方形的顶点 上 （1）以点 O 为位似中心，在方格图中将ABC 放大为原来的 2 倍，得到ABC； （2）ABC绕点 B顺时针旋转 90，画出旋转后得到的ABC，
33、并求边 AB在旋转过程中扫过的图形面积 【分析】 （1）连接 AO、BO、CO 并延长到 2AO、2BO、2CO 长度找到各点的对应点，顺 次连接即可 （2） ABC的 A、 C绕点 B顺时针旋转 90得到对应点， 顺次连接即可 A B在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解： （1）见图中ABC （直接画出图形，不画辅助线不扣分） （2）见图中ABC （直接画出图形，不画辅助线不扣分） S（22+42）205（平方单位） 第 23 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式 六、 （本大题共六、 （本大题共 1
34、小题，共小题，共 12 分）分） 23 （12 分） （1）问题 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPCAB90，求证：AD BCAPBP （2）探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB 时，上述结 论是否依然成立？说明理由 （3）应用 请利用（1） （2）获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB6，ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出了，沿边 AB 向点 B 运动，且满足DPCA，设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切时，求 t 的值 【分析
35、】 （1）如图 1，由DPCAB90可得ADPBPC，即可证到ADP BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图 2，由DPCAB 可得ADPBPC，即可证到ADPBPC， 然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图 3，过点 D 作 DEAB 于点 E，根据等腰三角形的性质可得 AEBE3，根据 第 24 页（共 25 页） 勾股定理可得 DE4，由题可得 DCDE4，则有 BC541易证DPCA B根据 ADBCAPBP，就可求出 t 的值 【解答】解： （1）如图 1， DPCAB90， ADP+APD90， BPC+APD90， ADPBPC， ADPBPC，
36、， ADBCAPBP； （2）结论 ADBCAPBP 仍然成立 理由：如图 2， BPDDPC+BPC，BPDA+ADP， DPC+BPCA+ADP DPCAB， BPCADP， ADPBPC， ， ADBCAPBP； 第 25 页（共 25 页） （3）如图 3， 过点 D 作 DEAB 于点 E ADBD5，AB6， AEBE3 由勾股定理可得 DE4 以点 D 为圆心，DC 为半径的圆与 AB 相切， DCDE4， BC541 又ADBD， AB， DPCAB 由（1） 、 （2）的经验可知 ADBCAPBP， 51t（6t） ， 解得：t11，t25， t 的值为 1 秒或 5 秒 【点评】本题是对 K 型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线 的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元 二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想