1、2019 年广东省深圳市大鹏新区中考数学二模试卷年广东省深圳市大鹏新区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 12019 的绝对值为（ ） A B C2019 D2019 2今年深圳税务局落实减税降费政策措施十条，前两月，深圳合计减免税额 85.21 亿元， 85.21 亿用科学记数法表示为（ ） A85.21107 B85.21108 C8.521108 D8.521109 3 在下列 “禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水” 这四个标志中， 属于轴对称图形的是 （ ） A B C D 4有甲、乙、丙三支舞蹈队伍，她们的平均身高相同，已知这三支队伍身高的方
2、差分别是 s甲 21.1，S 乙 21.8，S 丙 22，为了选一支身高整齐的队伍参加 2019 年春晚分会场 深圳会场的表演，则在这三支队伍中，应选（ ） A甲队 B乙队 C丙队 D哪一个都可以 5某商品的标价为 300 元，打六折销售后获利 50 元，则该商品进价为（ ） A120 元 B130 元 C140 元 D150 元 6如图，ABCD，那么BAE+AEC+ECD（ ） A180 B270 C360 D540 7如图，在O 中，ODBC，BOD70，则CAD 的度数是（ ） A15 B30 C25 D35 8我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 10
3、0 片瓦， 已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大 马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ） A B C D 9下列命题错误的是（ ） A四边形是多边形 B斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C3a3b 的系数是 3 D点 A（1，a） ，B（2，b）均在反比例函数 y上，则 ab 10已知抛物线 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是（ ） A1x3 B1x4 Cx1 或 x4 Dx1 或 x3 11如图，已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（10，0）
4、， 点 B （0， 6） ， 点 P 为 BC 边上的动点， 将OBP 沿 OP 折叠得到OPD， 连接 CD、 AD 则 下列结论中：当BOP45时，四边形 OBPD 为正方形；当BOP30时， OAD 的面积为 15； 当 P 在运动过程中， CD 的最小值为 26； 当 ODAD 时， BP2其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 12因式分解：9a29b2 13 一不透明口袋中装有红球 6 个、 黄球 6 个、 绿球 3 个， 这些球除颜色外没有其他区别 现 从中任意摸出一个球，若要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中
5、再放入 个 绿球 14如图，在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，3） ，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧， 交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 坐标为 15如图，点 A 是双曲线 y上的动点，连结 AO 并延长交双曲线于点 B，将线段 AB 绕 B 顺时针旋转 60得到线段 BC，点 C 在双曲线 y上的运动，则 k 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 16计算： （） 1+2tan60+（2018）0|12 | 17先化简分式（），然后在 0，1，2，3 中选一个你认为合适 的 a 值，代入求值 18为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行社会实践活动，现随机抽取了部分
6、学生进 行主题为“你最想去的地点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（大鹏所城） ，B（园 山） ，C（西冲） ，D（欢乐谷） ”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如图两幅 不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 人； （2）在扇形统计图中， “园山”部分所占圆心角的度数为 ； （3）请将两幅统计图补充完整； （4）若该校共有 3000 名学生，估计该校最想去大鹏所城的学生人数约为多少人？ 19如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点
7、E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB2，BD4，求 OE 的长 20将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形 A1BC1D1，点 A、C、D 的对应点分别为 A1、 C1、D1 （1）当点 A1落在 AC 上时： 如图 1，若CAB60，求证：四边形 ABD1C 为平行四边形； 如图 2，AD1交 CB 于点 O，若CAB60，求证：DOAO； （2）如图 3，当 A1D1过点 C 时，若 BC10，CD6，直接写出 A1A 的长 21如图，已知O 的半径长为 1，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，BO 的延长线交 AC 于点 D，连接 OA、O
8、C （1）求证：OADABD； （2）当OCD 是直角三角形时，求 B、C 两点的距离； （3）记AOB、AOD、COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S22S1S3，试证明点 D 为线段 AC 的黄金分割点 22抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 2） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 D 的坐标为（2，0） ，点 P 是该抛物线第一象限上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标； （3）如图 2，点 M（m，n）是抛物线上位于对称轴的左侧且不
9、在坐标轴上的动点，过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F，当 S MFQ ：S MEB1：3时，求出点M的坐 标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 12019 的绝对值为（ ） A B C2019 D2019 【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案 【解答】解：2019 的绝对值是：2009 故选：C 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键 2今年深圳税务局落实减税降费政策措施十条，前两月，深圳合计减免税额 85.21 亿元， 85.21 亿用科学记数法表示为
10、（ ） A85.21107 B85.21108 C8.521108 D8.521109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：85.21 亿85210000008.521109， 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 在下列 “禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水” 这四个标志中， 属于轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答
11、】解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 4有甲、乙、丙三支舞蹈队伍，她们的平均身高相同，已知这三支队伍身高的方差分别是 s甲 21.1，S 乙 21.8，S 丙 22，为了选一支身高整齐的队伍参加 2019 年春晚分会场 深圳会场的表演，则在这三支队伍中，应选（ ） A甲队 B乙队 C丙队 D哪一个都可以 【分析】比较三支队伍的方差，找到方差较小的即可 【解答】解：s甲
12、 21.1，S 乙 21.8，S 丙 22， s甲 2S 乙 2S 丙 2， 甲舞蹈队身高整齐， 故选：A 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波 动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与 其平均值的离散程度越小，稳定性越好 5某商品的标价为 300 元，打六折销售后获利 50 元，则该商品进价为（ ） A120 元 B130 元 C140 元 D150 元 【分析】设该商品进价为 x 元，根据利润售价进价，即可得出关于 x 的一元一次方 程，解之即可得出结论 【解答】解：设该商品进价为 x 元， 依题意，得：3000.6
13、x50， 解得：x130 故选：B 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解 题的关键 6如图，ABCD，那么BAE+AEC+ECD（ ） A180 B270 C360 D540 【分析】过点 E 作 PEAB，由 ABCD，即可得 ABPECD，然后根据两直线平行， 同旁内角互补，即可求得答案 【解答】解：过 E 点作 PEAB， ABPE，ABCD， ABPECD， A+AEP180，C+CEP180， 又AEP+CEPAEC， A+AEC+C360 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用两直线平行同 旁内角互补解答
14、7如图，在O 中，ODBC，BOD70，则CAD 的度数是（ ） A15 B30 C25 D35 【分析】由在O 中，ODBC，根据垂径定理的即可求得：，然后利用圆周角 定理求解即可求得答案 【解答】解：在O 中，ODBC， ， CADBOD7035 故选：D 【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想 的应用 8我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦， 已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大 马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ） A B C D 【
15、分析】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，列方程组即可 【解答】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得 ， 故选：C 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系， 列出方程组 9下列命题错误的是（ ） A四边形是多边形 B斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C3a3b 的系数是 3 D点 A（1，a） ，B（2，b）均在反比例函数 y上，则 ab 【分析】根据多边形的概念、直角三角形的判定定理、单项式的概念、反比例函数的性 质判断即可 【解答】解：A、四边形
16、是多边形，本选项说法正确，不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法正确，不符合题意； C、3a3b 的系数是 3，本选项说法正确，不符合题意； D、反比例函数 y中，k30， 在每个象限，y 随 x 的增大而增大， 12， ab，本选项说法错误，符合题意； 故选：D 【点评】 本题考查的是命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题 判 断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 10已知抛物线 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y0，则 x 的取值范围是（ ） A1x3 B1x4 Cx1 或 x4 Dx1 或 x3 【分析】首先求出点
17、（1，0）关于对称轴 x1 的对称轴，进而结合图象可得当 y0， 则 x 的取值范围 【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 则（1，0）关于 x1 对称的点为（3，0） ， 即抛物线与 x 轴另一个交点为（3，0） ， 当1x3 时，y0， 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标，此题难度不大 11如图，已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（10，0） ， 点 B （0， 6） ， 点 P 为 BC 边上的动点， 将OBP 沿 OP
18、 折叠得到OPD， 连接 CD、 AD 则 下列结论中：当BOP45时，四边形 OBPD 为正方形；当BOP30时， OAD 的面积为 15； 当 P 在运动过程中， CD 的最小值为 26； 当 ODAD 时， BP2其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由矩形的性质得到OBC90，根据折叠的性质得到 OBOD，PDO OBP90，BOPDOP，推出四边形 OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即 可得到四边形 OBPD 为正方形；故正确； 过 D 作 DHOA 于 H， 得到 OA10， OB6， 根据直角三角形的性质得到 DH 3， 根据三角形的面积公式
19、得到OAD 的面积为OADH31015， 故正确； 连接 OC，于是得到 OD+CDOC，即当 OD+CDOC 时，CD 取最小值，根据勾股 定理得到 CD 的最小值为 26；故正确； 根据已知条件推出 P，D，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPBPOA，等量 代换得到OPAPOA，求得 APOA10，根据勾股定理得到 BPBCCP108 2，故正确 【解答】解：四边形 OACB 是矩形， OBC90， 将OBP 沿 OP 折叠得到OPD， OBOD，PDOOBP90，BOPDOP， BOP45， DOPBOP45， BOD90， BODOBPODP90， 四边形 OBPD 是矩形， OB
20、OD， 四边形 OBPD 为正方形；故正确； 过 D 作 DHOA 于 H， 点 A（10，0） ，点 B（0，6） ， OA10，OB6， ODOB6，BOPDOP30， DOA30， DH3， OAD 的面积为OADH31015，故正确； 连接 OC， 则 OD+CDOC， 即当 OD+CDOC 时，CD 取最小值， ACOB6，OA10， OC2， CDOCOD26， 即 CD 的最小值为 26；故正确； ODAD， ADO90， ODPOBP90， ADP180， P，D，A 三点共线， OACB， OPBPOA， OPBOPD， OPAPOA， APOA10， AC6， CP8， B
21、PBCCP1082，故正确； 故选：D 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角 形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 12因式分解：9a29b2 9（a+b） （ab） 【分析】直接提取公因式 9，再利用公式法分解因式得出答案 【解答】解：9a29b2 9（a2b2） 9（a+b） （ab） 故答案为：9（a+b） （ab） 【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式， 正确应用公式是解题关键 13 一不透明口袋中装有红球 6 个、 黄球 6 个、 绿球 3 个， 这些球除颜色外没有其他区别 现
22、 从中任意摸出一个球，若要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入 1 个绿 球 【分析】设需要在这个口袋中再放入 x 个绿球，根据摸到绿球的概率为及概率公式列 出方程，解之可得答案 【解答】解：设需要在这个口袋中再放入 x 个绿球， 根据题意，得：， 解得 x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 需要在这个口袋中再放入 1 个绿球， 故答案为：1 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 14如图，在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，3） ，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧， 交 x 轴的负半轴于
23、点 C，则点 C 坐标为 （1，0） 【分析】求出 OA、OB，根据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC 长即可 【解答】解：点 A，B 的坐标分别为（4，0） ， （0，3） ， OA4，OB3， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB5， ACAB5， OC541， 点 C 的坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） ， 【点评】 本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出 OC 的长， 注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 15如图，点 A 是双曲线 y上的动点，连结 AO 并延长交双曲线于点 B，将线段 AB 绕 B 顺时针旋转 60得
24、到线段 BC，点 C 在双曲线 y上的运动，则 k 9 【分析】连接 OC，易证 AOOC，OCOA由AOC90想到构造 K 型相似， 过点 A 作 AEy 轴， 垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴， 垂足为 F， 可证AEOOFC 从 而得到 OFAE，FCEO设点 A 坐标为（a，b） ，则 ab3，设点 C 坐标为（x， y） ，从而有 FCOFxy9，即 kxy9 【解答】解：双曲线 y关于原点对称， 点 A 与点 B 关于原点对称 OAOB 连接 OC，AC，如图所示 将线段 AB 绕 B 顺时针旋转 60得到线段 BC， ABC 是等边三角形，OAOB， OCAB，BAC60，
25、 tanOAC， OCOA 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F， AEOE，CFOF，OCOA， AEOOFC，AOE90FOCOCF， AEOOFC OCOA， OFAE，FCEO 设点 A 坐标为（a，b） ， 点 A 在第一象限， AEa，OEb OFAEa，FCEOb 点 A 在双曲线 y上， ab3 FCOFba3ab9， 设点 C 坐标为（x，y） ， 点 C 在第四象限， FCx，OFy FCOFx （y）xy9 xy9 点 C 在双曲线 y上， kxy9 故答案为：9 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质、反比例函
26、数的性 质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有 一定的难度由AOC90联想到构造 K 型相似是解答本题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 16计算： （） 1+2tan60+（2018）0|12 | 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别 化简，最后合并得出答案 【解答】解：原式3+2+1（21） 3+2+12+1 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 17先化简分式（），然后在 0，1，2，3 中选一个你认为合适 的 a 值，代入求值 【分析】直接将括号里面通分运算，进而结合分式
27、的混合运算法则化简得出答案 【解答】解：原式 a， 当 a0，2 分式无意义， 故当 a1 时，原式1 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键 18为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行社会实践活动，现随机抽取了部分学生进 行主题为“你最想去的地点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（大鹏所城） ，B（园 山） ，C（西冲） ，D（欢乐谷） ”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如图两幅 不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 120 人； （2）在扇形统计图中， “园山”部分所占圆心角的度数为 198 ；
28、 （3）请将两幅统计图补充完整； （4）若该校共有 3000 名学生，估计该校最想去大鹏所城的学生人数约为多少人？ 【分析】 （1）由 B 的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解； （2）用 360“园山”部分所占的百分比即可求解； （3）用调查的学生总人数乘以 C 所占百分比得出 C 的人数，补全条形图；用 1 减去 B、 C、D 所占的百分比得出 A 所占的百分比，补全扇形图； （4）用样本中最想去大鹏所城的学生所占的百分比乘总人数即可 【解答】解： （1）本次调查的学生人数为 6655%120（人） 故答案为：120； （2）在扇形统计图中， “园山”部分所占圆心角的度数为：360
29、55%198 故答案为 198； （3）选择 C 的人数为：12025%30（人） ， A 所占的百分比为：155%25%5%15% 补全统计图如图： （4）根据题意得： 15%5000750（人） 答：估计该校最想去大鹏所城的学生人数约为 750 人 【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的 统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数 据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体 19如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CE
30、AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB2，BD4，求 OE 的长 【分析】 （1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDCA，得出 CDAD AB，即可得出结论； （2）先判断出 OEOAOC，再求出 OB2，利用勾股定理求出 OA，即可得出结论 【解答】解： （1）ABCD， OABDCA， AC 为DAB 的平分线， OABDAC， DCADAC， CDADAB， ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADAB， ABCD 是菱形； （2）四边形 ABCD 是菱形， OAOC，BDAC， CEAB， OEOAOC， B
31、D4， OBBD2， 在 RtAOB 中，AB2，OB2， OA2， OEOA2 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定 义，勾股定理，判断出 CDADAB 是解本题的关键 20将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形 A1BC1D1，点 A、C、D 的对应点分别为 A1、 C1、D1 （1）当点 A1落在 AC 上时： 如图 1，若CAB60，求证：四边形 ABD1C 为平行四边形； 如图 2，AD1交 CB 于点 O，若CAB60，求证：DOAO； （2）如图 3，当 A1D1过点 C 时，若 BC10，CD6，直接写出 A1A 的长 【分析】
32、（1）首先证明A1B 是等边三角形，可得AA1BA1BD160，即可解 决问题 首先证明 RtBCD1RtD1A1B（HL） ，得出 CD1BA1，则四边形 ABD1C 是平行四 边形，推出 OCOB，再证明DCOABO（SAS）即可解决问题 （2）如图 3 中，作 A1EAB 于 E，A1FBC 于 F利用勾股定理求出 AE，A1E 即可解 决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中， CAB60，BABA1， ABA1是等边三角形， AA1B60， A1BD160， AA1BA1BD1， ACBD1， ACBD1， 四边形 ABD1C 是平行四边形 如图 2 中，连接 BD1，BD，DD1
33、 BABA1，BDBD1，ABA1DBD1， BAA1BDD1， BAA1BDC， BDCBDD1， D，C，D1共线， BCD1BAD190，BD1D1B，BCA1D1， RtBCD1RtD1A1B（HL） ， CD1BA1， BABA1， ABCD1， ACBD1 四边形 ABD1C 是平行四边形， OCOB CDBA，DCOABO， DCOABO（SAS） ， DOOA （2）如图 3 中，作 A1EAB 于 E，A1FBC 于 F 在 RtA1BC 中，CA1B90，BC10AB6， CA18， A1CA1BBCA1F， A1F， A1FBA1EBEBF90， 四边形 A1EBF 是矩
34、形， EBA1F，A1EBF， AEABBE6， 在 RtAA1E 中，AA1 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，全等三角 形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 21如图，已知O 的半径长为 1，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，BO 的延长线交 AC 于点 D，连接 OA、OC （1）求证：OADABD； （2）当OCD 是直角三角形时，求 B、C 两点的距离； （3）记AOB、AOD、COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S22S1S3，试
35、证明点 D 为线段 AC 的黄金分割点 【分析】 （1）先判断出OBAOAC，即可得出结论； （2）分两种情况：当ODC90时，先判断出ABC 是等边三角形，进而判断出 AC 2CD，再求出 CD 即可得出结论；当COD90，利用等腰直角三角形，即可得出 结论； （3）先表示出 S1ACOM，S2ADOM，S3CDOM，再由 S22S1S3，得出 （ADOM）2ACOM+CDOM，化简得出 AD2ACCD，即可得出结论 【解答】 （1）证明：ABAC，OAOBOC， AOBCOA（SSS） ， OBAOAC， ADOBDA， OADABD； （2）解：OCD 是直角三角形， 当ODC90时，连
36、接 BC，如图 1， BDAC， BCAB， ACAB， BCACAB， ABC 是等边三角形， AC2CD，ACBABC60， CBD30， OBOC， OCBOBC30， OCD30， 在 RtODC 中，ODOC， CDOD， AC2CD， BC； 当COD90时，连接 BC，如图 2， BOC90， OBOC， BCOB， 故 B、C 两点的距离为或； （3）证明：如图 3， 过点 O 作 ONAB 于 N，OMAC 于 M， 由（1）知，AOBCOA， OMON， AOB、AOD、COD 的面积分别为 S1ABONACOM，S2ADOM， S3CDOM， S22S1S3， （ADOM
37、）2ACOM+CDOM， AD2ACCD， 点 D 为线段 AC 的黄金分割点 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定 和性质，三角形的面积公式，等边三角形的判定和性质，判断出 OMON 是解本题的关 键 22抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 2） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 D 的坐标为（2，0） ，点 P 是该抛物线第一象限上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标； （3）如图 2，点 M（m，n）是抛
38、物线上位于对称轴的左侧且不在坐标轴上的动点，过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F，当 S MFQ ：S MEB1：3时，求出点M的坐 标 【分析】 （1）根据点 A，B 坐标设成抛物线解析式，再将点 C 坐标代入抛物线解析式中， 即可得出结论； （2）先判断出点 E 在线段 BC 上，再分三种情况，利用两点间的距离公式，建立方程求 解即可得出结论； （3）先表示出 EM，求出直线 BF 的解析式，得出点 F 的坐标，再分三种情况，利用 S MFQ：SMEB1：3，建立方程求解，即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yax2+b
39、x+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x4）ax23ax4a， 抛物线 y 轴交于点 C（0，2） ， 4a2， a， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）点 P 在抛物线第一象限上的一个动点， 点 E 在线段 BC 上， B（4，0） ，C（0，2） ，直线 BC 的解析式为 yx+2， 点 E 的坐标为（x，x+2） （0x4） ， D（2，0） ，B（4，0） ， BD2， BDE 是等腰三角形， 当 BDBE 时， BE2， 2， x4+（舍）或 x4， E（4，） ， 当 BDDE 时， DE2， 2， x或 x
40、4（舍） ， E（，） ， 当 DEBE 时， 点 E 是 BD 的垂直平分线上， 点 E 的横坐标 3， 点 E（3，） ， 即点 E 的坐标为（4，）或（，）或（3，） ； （3）A（1，0） ，B（4，0） ， 抛物线的对称轴直线为 x， MEx 轴， Q（0，n） ，E（3m，n） ， M（m，n） ，B（4，0） ， 直线 BM 的解析式为 yx， F（0，） ， 当 0m时， MQm，EM3m，FQn，SMFQMQFQm （n） ，S MEB ME|My|（3m）n， SMFQ：SMEB1：3， （3m）n3（m （n） ， m（舍）或 m， M（，） ， 当1m0 时， MQm，EM3m，FQn+，SMFQMQFQ（m） （n+） ，S MEB ME|My|（3m）n， SMFQ：SMEB1：3， （3m）n3（m） （n+）， m（舍）或 m（舍） ， 当 m1 时， MQm， EM3m， FQn， SMFQMQFQ （m） （n） ， SMEBME|My|（3m） （n） ， SMFQ：SMEB1：3， （3m） （n）3（m） （n）， m或 m（舍） ， （，） ， 即点 M 的坐标为（，）或（，） ， 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，三角形 面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键