1、2020年长宁区高三适应性测试 数学试卷 考生注意： 1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码 2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分 3本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应 位置直接填写结果 1若复数z满足1z ii ，则复数z的虚部为. 2.三阶行列式 374 516 200 的值为. 3已知集合0,1,2,3A，10Bx x，则AB . 4在 8
2、3 1 x x 的展开式中，其常数项的值为. 5.已知数列 n a中， 1 1 () 2 n n anN ，令 242nn Saaa ,则limn n S . 6.函数 2 ( )log (1)(0)f xx x的反函数是 . 7.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为1,0F，O为坐标原点， 点A是椭圆在第一象限的一点,且OAF 为等边三角形，则a . 8. 将函数 3 ( )sin 2f xx 图象向左平移(0) 个单位，所得图象恰关于直线 4 x 对称，则的最小值 为_. 92021年某省将实行“3 12 ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二
3、选一，化学、生物、 政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率 为. 10.一个球的内接正方体的棱长为1，则该球的体积为. 11.已知点P为不等式 0 02 03 y yx yx 所表示的可行域内任意一点，点 1, 3A ，O 为坐标原点，则 |OP OPOA 的 最大值为. 12.已知 4 2() 4 . axxa x f x xxa x ， 当1a 时,若 3f x 有三个不等的实数根,且它们成等差数列,则a的 值为. 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置， 将代表正确
4、选项的小方格涂黑 13.13.下列函数中，值域是1,)的函数是（） . A 3 1yx.B101 x y .C 2 log1yx.D | | 2 x y 14.14. 已知向量 , a b ? ? 是非零向量，则 “a ba b ? ? ” 是“ /ab ? ”的（） . A充分而不必要条件.B必要而不充分条件 .C充分必要条件.D既不充分也不必要条件 15.15.如图， 半径为1的圆M与直线l相切于点A， 圆M沿着直线l滚动 当圆M滚动到圆 M 时， 圆 M 与直线l相 切于点B点A运动到点 A ，线段AB的长度为 2 3 ，则点 M 到直线A B 的距离为（） . A 1.B 2 3 .C
5、 2 2 .D 2 1 16.将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1,3),(5,7,9), (11,13),(15,17,19),称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则原数列中的2021位 于分组序列中（） . A第404组.B第405组.C第808组.D第809组 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，正方体
6、1111 ABCDA BC D的棱长为2，E是棱 1 BB的中点 （1）求证： 1 D EAC ； （2）求平面 1 AD E与底面ABCD所成的锐二面角的大小 18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知函数 2 ( )1f xxxa,其中aR. （1）讨论( )f x的奇偶性； （2）当( )f x为偶函数时，求使( )f xk x恒成立的k的取值范围. E D1 A1 C1 B1 A D C B 19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，
7、第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图,在郊野公园的景观河的两岸，AB、AC是夹角为120的两条岸边步道(长度均超过3千米)，为方便 市民观光游览, 现准备在河道拐角处的另一侧建造一个观景台P, 在两条步道AB、AC上分別设立游客上下点 M、N, 从M、N到观景台P建造两条游船观光线路MP、NP, 测得3AMAN千米. （1）求游客上下点M、N间的距离； （2）若 60MPN ?,设 PMN，求两条观光线路MP与NP之和关于的表达式 f，并求其最大值. 20（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3
8、小题满分小题满分 6 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)F， 左右顶点分别为A、B，1BF 过点F的直线l（不 与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线4x与x轴的交点为D,与直线MB的交点为P. （1）求椭圆C的方程； （2）若/ /APDM，求出点P的坐标； （3）求证：A、N、P三点共线. M N B DFOA P x y C BA P M N 21（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 已知数列 n a的前n项和为 n S,
9、 把满足条件 1nn aS (对任意的 * nN)的所有数列 n a构成的集合记为M. （1）若数列 n a的通项为1 n an , 判断 n a是否属于M，并说明理由； （2）若数列 n a的通项为 1 2 n n a , 判断 n a是否属于M，并说明理由； （3）若数列 n a是等差数列, 且 n anM,求 1 a的取值范围. 由题意知公0恒成立， 设M（1.Y1 ) , N的，只）， . orn可 贝ljY1 + Y2 = 云丁， Y1 ）、 一 千 由（2）知P(4，士） k _ -k 一_lj_ rn “ 3(xl -2) X1 - “ Y2 _ (x2 + 2).Y1 -3(.
10、x1 -2)Y2 x2 + 23(x1 -2)(x2 + 2) - 2rn( -2.一）3（） = -21191.Y2 + 3(y1 + Y2) = 31n2 + 4 3rn2 + 4 _ 0 3(x1 -2)(x2 + 2) 3（引 2)(x 2 + 2) 所以A、N、P三点共线 2分 3分 21. 本题满分18分， 第1小题满分4分， 第2小题满分6分， 第3小题满分8分 解：(1）当 n=2时，叫 -4,S2 = (-2) + (-3) = -5，向s2, 所以，如 M. 4分 (2)a. 土 ， ” 2 1 1-(t） ” 1 所以s, 二 一一土一1（二）”， 2 l 1 2 , 1
11、 31 3 1 1 所以q川丘，（）川1（）”一（）”1:s;1=-0, 时. “ 2 2 2 2 2 2 4 所以川忌，即，M. 2分 . 4分 (3）设机，的公差为d，因为仇，neM，所以川n+l豆（0i+l）（句2) + . 例，n) (*) (n -1) n(n+ I) 叫nd+n+I豆 na1 一 d 一一 ， 特别的当n=l时，叫2豆0i+1，即d 1, 2 分 2分 d+I句3I 整理得一n2（钊d一）n-1i -1泣。， 2 2 因为上述不等式对一切nN 恒成立， d+I 所以必有2川， ？：寸，又d：三 1，所以 d=-1, 2分 于是问l)n-Cli -1注0，即（Cli+l)Cn-1）注0，所以Cli+1注0，即I注 1 2 分 解得 d