1、2020 年北京市东城区高考数学二模试卷年北京市东城区高考数学二模试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1 已知全集 U0， 1， 2， 3， 4， 5， 集合 A0， 1， 2， B5， 那么 （UA） B （ ） A0，1，2 B3，4，5 C1，4，5 D0，1，2，5 2已知三个函数 yx3，y3x，ylog3x，则（ ） A定义域都为 R B值域都为 R C在其定义域上都是增函数 D都是奇函数 3平面直角坐标系中，已知点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且 四边形 ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为（ ） A（3，3） B（5，1） C（3，1）
2、 D（3，3） 4双曲线 C：x2 1 的渐近线与直线 x1 交于 A，B 两点，且|AB|4，那么双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 5 已知函数 f （x） logax+b 的图象如图所示， 那么函数 g （x） ax+b 的图象可能为 （ ） A B C D 6 已知向量 （0， 5） ， （4， 3） ， （2， 1） ， 那么下列结论正确的是 （ ） A 与 为共线向量 B 与 垂直 C 与 的夹角为钝角 D 与 的夹角为锐角 7 九章算术 成书于公元一世纪， 是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书 中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”
3、（一步1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为（ ） A135 平方米 B270 平方米 C540 平方米 D1080 平方米 8已知函数 f（x）lnx+ax2，那么“a0”是“f（x）在（0，+）上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边 拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体 的体积是（ ） A1 B1 C1 D1+ 10 函数f （x） 是定义域为R的奇函数， 且它的最
4、小正周期是T， 已知f （x） ， ， ， ， g（x）f（x+a）（a R）给出下列四个判断： 对于给定的正整数 n，存在 a R，使得 成立； 当 a 时，对于给定的正整数 n，存在 k R（k1），使得 成 立； 当 ak （k Z）时，函数 g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心； 当 ak （k Z）时，g（x）+f（x）的值只有 0 或 其中正确判断的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分 11复数 z 的共轭复数 为 12已知 cos2 ，则 cos 2（ ）2cos2（）的值为 13设 ， 是三个不同的平面，m，n
5、是两条不同的直线，给出下列三个结论： 若 m，n，则 mn； 若 m，m，则 ； 若 ，则 其中，正确结论的序号为 14从下列四个条件a c；C ；cosB ；b 中选出三个条件，能使 满足所选条件的ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号），所 选三个条件下的 c 的值为 15配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200 件由于生产这种 配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以需要 周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求， 称 n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）配
6、件的存储费为每件每天 2 元 （当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）在长期的生产活动 中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 如图， 四边形 ABCD 中， ADBC， CDBC， BCCD1， AD2， E 为 AD 中点 将 ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 （）求证：平面 A1EB平面 A1ED； （ ） 若 A1ED 90 ， 求A1C与 平 面A1BD 所 成 角 的 正 弦 值 17已知an为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 a31
7、，S33a2+1bn为等差数列， 其前 n 项和为 Tn，如图_，Tn的图象经过 A，B 两个点 （）求 Sn； （）若存在正整数 n，使得 bnSn，求 n 的最小值 从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答 18某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取 的方法招募志愿者，如表记录了 A，B，C，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数 据模糊，记为 a，b 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目， 记 为甲同学最终被招募的项目个数， 已知 P （
8、0） ，P（4） （）求甲同学至多获得三个项目招募的概率； （）求 a，b 的值； （）假设有十名报了项目 A 的志愿者（不包含甲）调整到项目 D，试判断 E 如何变化 （结论不要求证明） 19已知椭圆 C： 1（ab0）的一个顶点坐标为 A（0，1），离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 yk（x1）（k0）与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，线段 PQ 的中点为 M，点 B（1，0），求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上 20已知 f（x）ex+sinx+ax（a R） （）当 a2 时，求证：f（x）在（，0）上单调递减； （）若对任意 x0，f（x）1 恒成立，求实数 a
9、 的取值范围； （）若 f（x）有最小值，请直接给出实数 a 的取值范围 21设数列：A：a1，a2，an，B：b1，b2，bn已知 ai，bj 0，1（i1，2， n； j1， 2， ， n） ， 定义 nn 数表 ， ( )， 其中 xij ， ， （）若 A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出 X（A，B）； （）若 A，B 是不同的数列，求证：nn 数表 X（A，B）满足“xijxji（i1，2， n；j1，2，n；ij）”的充分必要条件为“ak+bk1（k1，2，n）”； （） 若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个， 求证： nn 数表 X （A， B） 中 1 的个数不
10、大于 参考答案 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 1 已知全集 U0， 1， 2， 3， 4， 5， 集合 A0， 1， 2， B5， 那么 （UA） B （ ） A0，1，2 B3，4，5 C1，4，5 D0，1，2，5 【分析】进行补集和并集的运算即可 解：U0，1，2，3，4，5，A0，1，2，B5， UA3，4，5，（UA）B3，4，5 故选：B 2已知三个函数 yx3，y3x，ylog3x，则（ ） A定义域都为 R B值域都为 R C在其定义域上都是增函数 D都是奇函数 【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质
11、进行分析即可 解：函数 ylog3x 的定义域为（0，+），即 A 错误； 函数 y3x的值域是（0，+），即 B 错误； 函数 y3x和 ylog3x 是非奇非偶函数，即 D 错误， 故选：C 3平面直角坐标系中，已知点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且 四边形 ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为（ ） A（3，3） B（5，1） C（3，1） D（3，3） 【分析】设 D（x，y），由四边形 ABCD 为平行四边形，得 ，由此能求出 D 点 的坐标 解：设 D（x，y）， 点 A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2）， 且四边形 A
12、BCD 为平行四边形， ，（x，y1）（3，2）， 解得 x3，y3， D 点的坐标为（3，3） 故选：A 4双曲线 C：x2 1 的渐近线与直线 x1 交于 A，B 两点，且|AB|4，那么双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线 x1 联立求出|AB|的值，进而求出 |b|的值，求出双曲线的离心率 解：由双曲线的方程可得 a1，且渐近线的方程为：ybx， 与 x1 联立可得 yb，所以|AB|2b|， 由题意可得 42|b|，解得|b|2，c2a2+b2， 所以双曲线的离心率 e ， 故选：D 5 已知函数 f （x） logax+b
13、的图象如图所示， 那么函数 g （x） ax+b 的图象可能为 （ ） A B C D 【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）b1，a1，结合指数函数的性质及函 数图象的平移可知， yax+b 的图象单调递增， 且由 yax的图象向下平移超过 1 个单位， 结合选项即可判断 解：结合已知函数的图象可知，f（1）b1，a1， 结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，yax+b 的图象单调递增，且由 yax的图 象向下平移超过 1 个单位， 结合选项可知，D 符合题意 故选：D 6 已知向量 （0， 5） ， （4， 3） ， （2， 1） ， 那么下列结论正确的是 （ ） A 与 为共线向量
14、B 与 垂直 C 与 的夹角为钝角 D 与 的夹角为锐角 【分析】根据题意，求出向量（ ）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析 可得答案 解：根据题意，向量 （0，5）， （4，3）， （2，1），则 （ 4，8）， 又由 （2，1），有（4）（1）（2）8，则（ ）与 不是共线向 量， （2，1），则（ ） （4）（2）+（1）80，则（ ） 与 垂直； 故选：B 7 九章算术 成书于公元一世纪， 是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书 中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇
15、形田的面积为（ ） A135 平方米 B270 平方米 C540 平方米 D1080 平方米 【分析】根据扇形的面积公式计算即可 解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 S lr 45 270（平方米） 故选：B 8已知函数 f（x）lnx+ax2，那么“a0”是“f（x）在（0，+）上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可 解：f（x）的定义域是（0，+）， f（x） 2ax ， a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增， 故 a0f（x）递增，是充分条件， 由 f（
16、x）递增，得 a0 或 a0，不是必要条件， 故选：A 9已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边 拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体 的体积是（ ） A1 B1 C1 D1+ 【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为 1 的正方体和一个底 面半径为 ，高为 1 的半个圆柱 如图所示： 所以：V 故选：C 10 函数f （x） 是定义域为R的奇函数， 且它的最小正周期是T， 已知f （x） ， ， ， ， g（x）f（x+a）（a R
17、）给出下列四个判断： 对于给定的正整数 n，存在 a R，使得 成立； 当 a 时，对于给定的正整数 n，存在 k R（k1），使得 成 立； 当 ak （k Z）时，函数 g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心； 当 ak （k Z）时，g（x）+f（x）的值只有 0 或 其中正确判断的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】对于，易知当 时，n N ，都符合 ；对于，即 成立，取 k0 即可证明结论 成立； 对于， 分别取 k1， 2， 3， 4， 结合函数图象的平移变换即可得出对错； 综合即可得出正确选项 解：对于，要使 成立，即 ， 当 时，n N ，都符合 ，故正
18、确； 对于， 要使 成立， 即 ， 取 k0，此时 ，故正确； 对于，当 k1，k3 时，g（x）为将 f（x）左移 ， 个单位，此时周期变为 ， 既有对称轴也有对称中心，值域为 ， ， 当 k2 时，g（x）为将 f（x）左移 个单位，此时 g（x）+f（x）0， 当 k4 时，g（x）为将 f（x）左移 T 个单位，此时 g（x）+f（x）2f（x），故正确， 错误； 故选：C 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分 11复数 z 的共轭复数 为 1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解：z ， 故答案为：1+i 12已知 cos2 ，则 co
19、s 2（ ）2cos2（）的值为 1 【分析】由 cos2 求得 cos 2 的值，再化简并计算所求三角函数值 解：由 cos2 ，得 2cos 21 ，即 cos 2 ； 所以 cos2（ ）2cos2（）sin22cos2 13cos2 13 1 故答案为：1 13设 ， 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论： 若 m，n，则 mn； 若 m，m，则 ； 若 ，则 其中，正确结论的序号为 【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断；由同垂直于同一直线的两平面 平行，可判断；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断 解：， 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，
20、 对于，若 m，n，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得 mn，故正确； 对于，若 m，m，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得 ，故正确； 对于，若 ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断 、 相交，则 不正确 故答案为： 14从下列四个条件a c；C ；cosB ；b 中选出三个条件，能使 满足所选条件的ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号），所 选三个条件下的 c 的值为 ， ，或者， 【分析】由结合正弦定理可得， ，可求 sinA，但是 A 不唯一，故所选 条件中不能同时有，只能是或， 若选，结合余弦定理可求 c；若选，结合正弦定理即可求解 解：由结合正弦定理可得，
21、 ， 所以 sinA sinC ，此时 A 不唯一，故所选条件中不能同时有， 故只能是或， 若选a c，cosB ，b ， 由余弦定理可得， ， 解可得，c ； 若选，C ，cosB ，b ， sinB ，且 B 为钝角， 由正弦定理可得， ， 解可得，c 故答案为， ， 15配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200 件由于生产这种 配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以需要 周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求， 称 n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）配件的存储费为每件每
22、天 2 元 （当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）在长期的生产活动 中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为 5 【分析】求出每天的平均费用关于 n 的式子，利用基本不等式得出结论 解：每个周期内的总费用为 5000+400+4002+4003+400（n1）5000+200n（n 1）， 每 个 周 期 内 每 天 的 平 均 费 用 为 ： 200n 200 2 2001800， 当且仅当 200n 即 n5 时取等号 故答案为：5 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 如图， 四边形 ABCD 中，
23、 ADBC， CDBC， BCCD1， AD2， E 为 AD 中点 将 ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 （）求证：平面 A1EB平面 A1ED； （ ） 若 A1ED 90 ， 求A1C与 平 面A1BD 所 成 角 的 正 弦 值 【分析】（）证明 BEADBEA1E，BEDE然后证明 BE平面 A1DE即可证 明平面 A1EB平面 A1DE （）建立以 E 为原点，EB，ED，DA 为 x，y，z 轴的空间直角坐标系 Exyz求出平 面 A1BD 的法向量，结合 ， ， ，利用空间向量的数量积求解直线 A1C 与平 面 A1BD 所成角的正弦函数值 【解答】（）证明：因为
24、四边形 ABCD 中，ADBC，CDBC，BC1，AD2，E 为 AD 中点， 所以 BEAD 故 图中，BEA1E，BEDE 又 因为 A1EDEE，A1E，DE平面 A1DE， 所以 BE平面 A1DE 又 因为 BE平面 A1EB， 所以 平面 A1EB平面 A1DE （）解：由A1ED90得 A1EDE， 又 A1EBE，BEDE， 因此，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz 由 A1ECDDE1， 得 A1（0， 0， 1） ， B （1， 0， 0） ， C （1， 1， 0） ， D （0， 1， 0） ， ， ， ， ， ， ， 设平面 A1BD 的法向量为 （x，y，z），
25、 则 ， ， 即 ， ，令 z1 得 x1，y1， 所以 （1，1，1）是平面 A1BD 的一个法向量 又 ， ， ， 设直线 A1C 与平面 A1BD 所成角为 ， 所以 ， 17已知an为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 a31，S33a2+1bn为等差数列， 其前 n 项和为 Tn，如图_，Tn的图象经过 A，B 两个点 （）求 Sn； （）若存在正整数 n，使得 bnSn，求 n 的最小值 从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答 【分析】（）设an为公比为 q 的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得 首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和； （
26、） 分别考虑图、 、 ， 判断数列bn的单调性， 选择均可能满足 “存在 n， 使得 bnSn”讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小 值 解：（）设an为公比为 q 的等比数列， 由 a31，S33a2+1，得 a12a2，即 q ，a1q 21， 所以 ，a14 所以 ； （）由图知：T1b11，T33，可判断 d0，数列bn是递减数列； 而823n递增，由于 b1S1， 所以选择不满足“存在 n，使得 bnSn”； 由图知：T1b11，T36，可判断 d0，数列bn是递增数列； 由图知：T1b13，T30，可判断 d0，数列bn是递增数列 所以选择均可能满足“存在
27、 n，使得 bnSn” 第一种情况： 如果选择条件即 T1b11，T36，可得：d1，bnn 当 n1，2，3，4，5，6，7 时，bnSn不成立， 当 n8 时， ， ， 所以 使得 bnSn成立的 n 的最小值为 8 第二种情况： 如果选择条件即 T1b13，T30，可得：d3，bn3n6 当 n1，2，3，4 时，bnSn不成立， 当 n5 时， ， 成立， 所以 使得 bnSn成立的 n 的最小值为 5 18某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取 的方法招募志愿者，如表记录了 A，B，C，D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数 据模糊，记为 a，
28、b 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目， 记 为甲同学最终被招募的项目个数， 已知 P （0） ，P（4） （）求甲同学至多获得三个项目招募的概率； （）求 a，b 的值； （）假设有十名报了项目 A 的志愿者（不包含甲）调整到项目 D，试判断 E 如何变化 （结论不要求证明） 【分析】（）由 ，得 a60，且 b80设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”，则 ；设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，则 ；设 事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，则 ；设事件 D 表示“甲同学被项目
29、 D 招募”，则 ，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4” 是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率 （）由题意可知， ， ，由此能求出 a，b （）E 变大 解：（）因为 ， 所以 a60，且 b80 设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”，由题意可知， ； 设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，由题意可知， ； 设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知， ； 设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知， ， 由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的， 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ， （）由题意可知，
30、， ， 解得 a120，b160 （）E 变大 19已知椭圆 C： 1（ab0）的一个顶点坐标为 A（0，1），离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 yk（x1）（k0）与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，线段 PQ 的中点为 M，点 B（1，0），求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上 【分析】（）利用已知条件列出 ， ， ， 求出 a，b 然后得到椭圆方程 （）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）联立直线与椭圆方程，利用 韦达定理以及线段 PQ 的中点为 M，结合向量的数量积，判断点 M 不在以 AB 为直径的 圆上 【解答】（）解：由题意可知 ， ，
31、 ， 解得 ， ， ， 所以椭圆 C 的方程为 （）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0） 由 ， ， 得 （4k2+1）x28k2x+4k240， 所以（8k2）24（4k2+1）（4k24）48k2+16 所以当 k 为任何实数时，都有0 所以 ， 因为线段 PQ 的中点为 M， 所以 ， ， 因为 B（1，0）， 所以 ， ， ， 所以 又因为 k0， ， 所以 ， 所以点 M 不在以 AB 为直径的圆上 20已知 f（x）ex+sinx+ax（a 一、选择题） （）当 a2 时，求证：f（x）在（，0）上单调递减； （）若对任意 x0，f（x）1 恒成立，求实数
32、 a 的取值范围； （）若 f（x）有最小值，请直接给出实数 a 的取值范围 【分析】（I）把 a2 代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明； （II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对 a 进行分类讨论可求； （III）结合最值与极值及导数关系可求 【解答】（）解：a2，f（x）ex+cosx2， 当 x0 时，ex1，cosx1， 所以 f（x）ex+cosx20 所以 f（x）在（，0）上单调递减 （）解：当 x0 时，f（x）11，对于 a R，命题成立， 当 x0 时，设 g（x）ex+cosx+a， 则 g（x）exsinx 因为 e
33、x1，sinx1， 所以 g（x）exsinx110，g（x）在（0，+）上单调递增 又 g（0）2+a， 所以 g（x）2+a 所以 f（x）在（0，+）上单调递增，且 f（x）2+a 当 a2 时，f（x）0， 所以 f（x）在（0，+）上单调递增 因为 f（0）1， 所以 f（x）1 恒成立 当 a2 时，f（0）2+a0， 因为 f（x）在0，+）上单调递增， 又当 xln（2a）时，f（x）a+2+cosx+a2+cosx0， 所以 存在 x0 （0，+），对于 x （0，x0），f（x）0 恒成立 所以 f（x）在（0，x0）上单调递减， 所以 当 x （0，x0）时，f（x）f（
34、0）1，不合题意 综上，当 a2 时，对于 x0，f（x）1 恒成立 （）解：a0 21设数列：A：a1，a2，an，B：b1，b2，bn已知 ai，bj 0，1（i1，2， n； j1， 2， ， n） ， 定义 nn 数表 ， ( )， 其中 xij ， ， （）若 A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出 X（A，B）； （）若 A，B 是不同的数列，求证：nn 数表 X（A，B）满足“xijxji（i1，2， n；j1，2，n；ij）”的充分必要条件为“ak+bk1（k1，2，n）”； （） 若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个， 求证： nn 数表 X （A， B） 中 1
35、 的个数不大于 【分析】（I）根据 xij ， ， 得出 X（A，B）的各行各列的数值； （II）根据 aibjai1ajai+aj1aj1aiajbi证明充分性，根据 a1，b1的各 种不同取值分类证明必要性； （III）讨论 ai的不同取值，计算 X（A，B）的第 i 行中 1 的个数，从而得出 X（A，B） 中 1 的总数，利用基本不等式得出结论 【解答】（）解： ， ( ) （）证明：充分性 若 ak+bk1（k1，2，n），由于 xij ， ， ，x ji ， ， ， 令 A：a1，a2，an，由此数列 B：1a1，1a2，1an 由于 aibjai1ajai+aj1aj1aiajb
36、i 从而有 xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij） 必要性 若 xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij） 由于 A，B 是不同的数列， （1）设 a11，b10，对任意的正整数 k1， 若 x1kxk11，可得 a1bk1，akb10， 所以 ak+bk1 若 x1kxk10，可得 bk0，ak1， 所以 ak+bk1 同理可证 a10，b11 时，有 ak+bk1（k1，2，n）成立 （2）设 a11，b11，对任意的正整数 k1， 若 x1kxk11，可得 a1bk1，akb11， 所以有 akbk1，则 A，B 是相同的数列，不符合要求 若 x1kxk10，可得 bk0
37、，ak0， 所以有 akbk，则 A，B 是相同的数列，不符合要求 同理可证 a10，b10 时，A，B 是相同的数列，不符合要求 综上， 有 nn 数表 X （A， B） 满足 “xijxji” 的充分必要条件为 “ak+bk1 （k1， 2， ， n）” （）证明：由于数列 A，B 中的 1 共有 n 个，设 A 中 1 的个数为 p， 由此，A 中 0 的个数为 np，B 中 1 的个数为 np，B 中 0 的个数为 p 若 ai1，则数表 X（A，B）的第 i 行为数列 B：b1，b2，bn， 若 ai0，则数表 X（A，B）的第 i 行为数列 B：1b1，1b2，1b n， 所以 数表 X （A， B） 中 1 的个数为 所以 nn 数表 X（A，B）中 1 的个数不大于