1、2020 的倒数是（ ） A2020 B C D 2 （2 分）2020 年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有 2 万名以上的医护人员 在短时间就集结完毕，他们是我们心中的“最美逆行者”!其中数据 2 万用科学记数法表 示为（ ） A2103 B2104 C0.2105 D20103 3（2分） 如图， 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成， 则这个立体图形的俯视图是 （ ） A B C D 4 （2 分） “2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （2 分）不等式组的解集为（ ） A 第 2 页（共 34 页） B C D 6 （2
2、分）如图，将一张矩形纸片折叠，若178，则2 的度数是（ ） A51 B56 C61 D78 7 （2 分） 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里， 一次方程组是由算筹布置而成的 九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们 把它改为横排，如图 1、图 2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的 系数与相应的常数项把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来， 就是，类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为（ ） A B C D 8 （2 分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了 15 名同学，结果如表： 每天使用零花 钱
3、 （单位： 元） 0 2 3 4 5 人数 1 4 5 3 2 关于这 15 名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（ ） 第 3 页（共 34 页） A中位数是 3 元 B众数是 5 元 C平均数是 2.5 元 D方差是 4 9 （2 分）如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角 ，它们 重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么 sin 的值为（ ） A B C D 10 （2 分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x （单位：度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种 家用燃气灶烧开同
4、一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数 据，可 推断出此燃气灶烧开 一壶水最节省燃气的 旋钮角度可能为（ ） A18 B37 C54 D58 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：9ax2ay2 12 （3 分）若一个圆内接正六边形的边长是 4cm，则这个正六边形的边心距 13 （3 分） 关于 x 的一元二次方程 x22x+k10 没有实数根， 则 k 的取值范围是 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，菱形 OABC 的对角线 OB 在 x 轴上， 顶点 A 在反比例函数的图象上，
5、则菱形的面积为 第 4 页（共 34 页） 15 （3 分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 4000 元购进一批衬衫，面市后果 然供不应求，该服装商又用 9000 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量 的 2 倍，但单价贵了 5 元则该服装商第一批进货的单价是 元 16 （3 分）如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D 均落在格点上，点 E 是 AB 的中点，过点 E 作 EFAD， 交 BC 于点 F，作 AGEF，交 FE 延长线于点 G，则线段 EG 的长度是 三、解答题（第三、解答题（第 17 小
6、题小题 6 分，分，18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：+|2|2cos30+（） 1 18 （8 分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方 案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上 则重转） 方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品 （1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是 ； （2） 选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理 由 19 （8 分）我校为了了解九年级学生身体
7、素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生 第 5 页（共 34 页） 的身体素质测试成绩为样本，按 A（优秀） 、B（良好） 、C（合格） 、D（不合格）四个等 级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完整的统计图，请你结合图表所给信息解答下 列问题： （1）请在答题卡上直接将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是 ； （3） 若我校九年级共有 1500 名学生参加了身体素质测试， 试估计测试成绩合格以上 （含 合格）的人数 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O
8、，AEBC 交 CB 延长线于点 E，CFAE 交 AD 延长线于点 F （1）求证：四边形 AECF 是矩形； （2）连接 OE，若 AE12，AD13，则线段 OE 的长度是 21 （8 分）如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车 辆应沿北偏西 60方向行驶 6 千米至 B 地， 再沿北偏东 45方向行驶一段距离到达景区 C，小明发现景区 C 恰好在 A 地的正北方向，求 A，C 两地相距多少千米？（结果保留根 号） 第 6 页（共 34 页） 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 A
9、B 上，BCCD，过点 C 作O 的 切线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F （1）求证：AFEF； （2）若 cosDAB，BE1，则线段 AD 的长是 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 边 OA，OC 分别在 x 轴，y 的正半轴 上，且 OA8，OC6，连接 AC，点 D 为 AC 中点，点 E 从点 C 出发以每秒 1 个单位 长度运动到点 O 停止，设运动时间为 t 秒（0t6） ，连接 DE，作 DFDE 交 OA 于点 F，连接 EF （1）当 t 的值为 时，四边形 DEOF 是矩形； （2）用含 t
10、的代数式表示线段 OF 的长度，并说明理由； （3）当OEF 面积为时，请直接写出直线 DE 的解析式 第 7 页（共 34 页） 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）思维探索： 在正方形 ABCD 中， AB4， EAF 的两边分别交射线 CB， DC 于点 E， F， EAF45 （1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 BC，CD 上时，CEF 的周长是 ； （2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF2 时，求CEF 的周长； 拓展提升：如图 3，在 RtABC 中，ACB90，CACB，过点 B 作 BDBC，连接 AD，在 BC 的延长
11、线上取一点 E，使EDA30，连接 AE，当 BD2，EAD45 时，请直接写出线段CE的长 度 八、 （本题八、 （本题 12 分分) 25 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+与 x 轴分别交于点 A（1，0） ， B（3，0） ，点 C 是顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，线段 DE 是射线 AC 上的一条动线段（点 D 在点 E 的下方） ，且 DE2， 点 D 从点 A 出发沿着射线 AC 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，以 DE 为一边在 AC 上方作等腰 RtDEF，其中EDF90，设运动时间为 t 秒 点 D 的坐标是 （用含 t 的代
12、数式表示） ； 当直线 BC 与DEF 有交点时，请求出 t 的取值范围； （3）如图 2，点 P 是ABC 内一动点，BP，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的两个动 第 8 页（共 34 页） 点，当PMN 的周长最小时，请直接写出四边形 PNBM 面积的最大值 第 9 页（共 34 页） 2020 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）202
13、0 的倒数是（ ） A2020 B C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是 故选：C 【点评】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义 2 （2 分）2020 年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有 2 万名以上的医护人员 在短时间就集结完毕，他们是我们心中的“最美逆行者”!其中数据 2 万用科学记数法表 示为（ ） A2103 B2104 C0.2105 D20103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原
14、数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将数据“2 万”用科学记数法表示为 2104， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3（2分） 如图， 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成， 则这个立体图形的俯视图是 （ ） A B 第 10 页（共 34 页） C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图， 【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上 层是一个小正方形， 故选：D 【点评】本题考查了简
15、单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图 4 （2 分） “2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的定义进行分析即可 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C是轴对称图形，故本选项符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义 5 （2 分）不等式组的解集为（ ） A B 第 11 页（共 34 页） C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小
16、小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2a+34，得：a， 解不等式 5a+1020，得：a2， 则不等式组的解集为a2， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：C 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6 （2 分）如图，将一张矩形纸片折叠，若178，则2 的度数是（ ） A51 B56 C61 D78 【分析】根据翻折可得，24，根据矩形纸片的对边平行，得1378，进 而可求2 的度数 【解答】解：如图， 第 12 页（共 34 页） 根据翻折可知：24， 根
17、据矩形纸片的对边平行，得1378， 2（18078）51 故选：A 【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质 7 （2 分） 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里， 一次方程组是由算筹布置而成的 九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们 把它改为横排，如图 1、图 2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的 系数与相应的常数项把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来， 就是，类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为（ ） A B C D 【分析】由图 1 可得 1 个竖直的算筹数算 1，一个横的算筹数算 10，
18、每一横行是一个方 程，第一个数是 x 的系数，第二个数是 y 的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示 十位，后面的表示个位，由此可得图 2 的表达式 【解答】解：第一个方程 x 的系数为 2，y 的系数为 1，相加的结果为 11；第二个方程 x 的系数为 4，y 的系数为 3，相加的结果为 27，所以可列方程为 故选：A 【点评】本题主要考查的是列二元一次方程组，读懂图意，得到所给未知数的系数及相 加结果是解题的关键 8 （2 分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了 15 名同学，结果如表： 每天使用零花 钱 （单位： 元） 0 2 3 4 5 人数 1 4 5 3 2 第
19、13 页（共 34 页） 关于这 15 名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（ ） A中位数是 3 元 B众数是 5 元 C平均数是 2.5 元 D方差是 4 【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、方差及中位数后找到正确答案即可 【解答】解：一共有 15 人， 中位数为第 8 人所花钱数， 中位数为 3 元，故 A 正确； 每天使用 3 元零花钱的有 5 人，最多， 众数为 3 元，故 B 错误； 平均数为：3，故 C 错误； 方差为：1（03）2+4（23）2+5（33）2+3（43）2+2（53） 21.6，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了方差、加权平均数、中位数及众数
20、，在解决此类题目的时候一定要 细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数 9 （2 分）如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角 ，它们 重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么 sin 的值为（ ） A B C D 【分析】如图，过点 A 作 AEBC，AFCD，由菱形的判定可证四边形 ABCD 是菱形， 可得 ADCD，由面积公式可求 ADCD，即可求解 【解答】解：如图，过点 A 作 AEBC，AFCD， 第 14 页（共 34 页） ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 的面积是 1.5， BCAECDAF，且
21、AEAF1， BCCD， 四边形 ABCD 是菱形， ADCD， 1.5CDAF， CD， ADCD， sin， 故选：B 【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形 ABCD 是菱形，利用三角函数求出 BC 的长 10 （2 分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x （单位：度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种 家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数 据，可 推断出此燃气灶烧开 一壶水最节省燃气的 旋钮角度可能为（ ） A18 B3
22、7 C54 D58 第 15 页（共 34 页） 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称 x 的取值范围，从而可以解答本 题 【解答】解：由图象可得， 该函数的对称轴 x且 x54， 36x54， 故选：B 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：9ax2ay2 a（3x+y） （3xy） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（9x2y2）a（3x+y） （3xy） ， 故答案为：a（3x+y） （3xy） 【点
23、评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 12 （3 分）若一个圆内接正六边形的边长是 4cm，则这个正六边形的边心距 2 【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可 【解答】解：如图所示，AB4cm，过 O 作 OGAB 于 G； 此多边形是正六边形， AOB60，AOG30， OG2 【点评】此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的 定义解答即可 13（3 分） 关于 x 的一元二次方程 x22x+k10 没有实数根， 则 k 的取值范围是 k2 第 16 页（共 34 页） 【分析】由方程无实数根，根据根的
24、判别式可得到关于 k 的不等式，则可求得 k 的取值 范围 【解答】解： 关于 x 的一元二次方程 x22x+k10 没有实数根， 0，即（2）24（k1）0， 解得 k2， 故答案为：k2 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关 键 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点，菱形 OABC 的对角线 OB 在 x 轴上， 顶点 A 在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 6 【分析】连接 AC 交 OB 于 D，由菱形的性质可知 ACOB根据反比例函数 y中 k 的几何意义，得出AOD 的面积，从而求出菱形 OABC 的面积AOD 的面积的
25、 4 倍 【解答】解：如图，连接 AC 交 OB 于 D 四边形 OABC 是菱形， ACOB 点 A 在反比例函数 y的图象上， AOD 的面积3， 菱形 OABC 的面积4AOD 的面积6 故答案为 6 第 17 页（共 34 页） 【点评】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数 k 的几何意义反比例函数 图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的 关系，即 S|k| 15 （3 分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 4000 元购进一批衬衫，面市后果 然供不应求，该服装商又用 9000 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量
26、的 2 倍，但单价贵了 5 元则该服装商第一批进货的单价是 40 元 【分析】设第一批进货的单价为 x 元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数 量的 2 倍，列出方程即可解决问题 【解答】解：设第一批进货的单价为 x 元/件， 由题意 2， 解得 x40， 经检验，x40 是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次进货单价为 40 元/件， 故答案为：40 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程求解 16 （3 分）如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，每个小正方形的 顶点叫做格点，点 A，B，C，D
27、均落在格点上，点 E 是 AB 的中点，过点 E 作 EFAD， 交 BC 于点 F，作 AGEF，交 FE 延长线于点 G，则线段 EG 的长度是 【分析】 如图， 作 DJAB 于 J 解直角三角形求出 AD， AJ， DJ， 再证明AJDEGA， 第 18 页（共 34 页） 可得，由此即可解决问题 【解答】解：如图，作 DJAB 于 J 在 RtACB 中，AC3，BC4，C90， AB5， SABD33ABDJ， DJ， AD， AJ， AGEG， GAJD90， ADEG， DAJAEG， AJDEGA， ， ， EG， 故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性
28、质，勾股定理等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，分，18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：+|2|2cos30+（） 1 第 19 页（共 34 页） 【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂计 算 【解答】解：原式2+22+2 2+2+2 4 【点评】本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三 角函数值、负整数指数幂的运算是解题的关键 18 （8 分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝
29、三色均分的转盘设计了两种抽奖方 案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上 则重转） 方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品 （1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是 ； （2） 选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理 由 【分析】 （1）直接利用概率公式求解可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到指针落在不同颜色区域的结果数，再根据概率 公式计算，比较大小即可得 【解答】解： （1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是， 故答案为：； （2
30、）方案二中出现的可能性如下表所示： 第 20 页（共 34 页） 共有 9 种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的有 6 种结果， 可领取一份奖品的概率为， ， 方案二获得奖品的可能更大 【点评】此题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每 一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件 19 （8 分）我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生 的身体素质测试成绩为样本，按 A（优秀） 、B（良好） 、C（合格） 、D（不合格）四个等 级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完整的统计图，请你结合图表所给信息解答下 列问题： （1）请在答题卡上直
31、接将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是 144 ； （3） 若我校九年级共有 1500 名学生参加了身体素质测试， 试估计测试成绩合格以上 （含 合格）的人数 【分析】 （1）首先根据两种统计图中的 B 级的人数和所占的百分率求得总人数，然后即 可求的 A 级的人数，从而补全统计图； （2）根据 B 级所占的百分比乘以 360即可求的其圆心角的度数； （3）用总人数乘以合格的百分率即可求的合格的人数 【解答】解： （1）A 所占的百分比是 140%30%10%20%， 第 21 页（共 34 页） 抽取的总人数是：100（人） ， A 的人数有 10020
32、%20（人） ，补图如下： （2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是 36040%144； 故答案为：144； （3）根据题意得： 1500（110%）1350（人） ， 答：测试成绩合格以上（含合格）的人数为 1350 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据扇形 统计图直接反映部分占总体的百分比大小 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AEBC 交 CB 延长线于点 E，
33、CFAE 交 AD 延长线于点 F （1）求证：四边形 AECF 是矩形； （2）连接 OE，若 AE12，AD13，则线段 OE 的长度是 3 【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ADBC，推出四边形 AECF 是平行四边形，根据矩 形的判定定理即可得到结论； 第 22 页（共 34 页） （2）根据已知条件得到得到 CE18根据勾股定理得到 AC6，于是得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC， CFAE， 四边形 AECF 是平行四边形 AEBC， AEC90， 平行四边形 AECF 是矩形； （2）解：AE12，AD13， AB13， BE5， ABBC13
34、， CE18， AC6， 对角线 AC，BD 交于点 O， AOCO3 OE3， 故答案为：3 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形 是解题的关键 21 （8 分）如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车 辆应沿北偏西 60方向行驶 6 千米至 B 地， 再沿北偏东 45方向行驶一段距离到达景区 C，小明发现景区 C 恰好在 A 地的正北方向，求 A，C 两地相距多少千米？（结果保留根 号） 第 23 页（共 34 页） 【分析】过 B 作 BDAC 于点 D，在直角ABD 中利用三角函数求得 AD，BD 的长，然 后
35、在直角BCD 中利用三角函数求得 CD 的长即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BDAC 于点 D 在 RtABD 中，ADABcosBAD63（千米） ，BDABsinBAD6 3（千米） ， 在BCD 中，CBD45， BCD 是等腰直角三角形， CDBD3（千米） ， ACAD+CD（3+3） （千米） 答：A，C 两地的距离是（3+3）千米 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题此题难度适中，解此题的关键 是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 A
36、B 上，BCCD，过点 C 作O 的 切线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F （1）求证：AFEF； （2）若 cosDAB，BE1，则线段 AD 的长是 第 24 页（共 34 页） 【分析】 （1）连接 OC，如图，先证明 OCAF，再根据切线的性质得 OCEF，从而得 到 AFEF； （2）先利用 OCAF 得到COEDAB，在 RtOCE 中，设 OCr，利用余弦的定 义得到，解得 r3，连接 BD，如图，根据圆周角定理得到ADB90，然后 根据余弦的定义可计算出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， CDBC， ， 12， OAOC， 2OCA， 1OCA，
37、OCAF， EF 为切线， OCEF， AFEF； （2）解：OCAF， COEDAB， 在 RtOCE 中，设 OCr， cosCOEcosDAB，即，解得 r3， 连接 BD，如图， AB 为直径， ADB90， 第 25 页（共 34 页） 在 RtADB 中，cosDAB， AD6， 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理和解直角三角形，正确的作出辅助线构造 直角三角形是解题的关键 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 边 OA，OC 分别在 x 轴，y 的正半轴 上，且 OA8，OC6，连接 AC，点 D
38、为 AC 中点，点 E 从点 C 出发以每秒 1 个单位 长度运动到点 O 停止，设运动时间为 t 秒（0t6） ，连接 DE，作 DFDE 交 OA 于点 F，连接 EF （1）当 t 的值为 3 时，四边形 DEOF 是矩形； （2）用含 t 的代数式表示线段 OF 的长度，并说明理由； （3）当OEF 面积为时，请直接写出直线 DE 的解析式 【分析】 （1）根据平行线的判定定理得到 DEOA，由线段的中点的定义得到 CDAD， 于是得到结论， （2）如图所示：作 DMOA 于 M，DNOC 于 N，推出四边形 DMON 是矩形，求得 DMOC3， DNOA4， 根据相似三角形的性质得到
39、 FMEN， 于是得到结论； 第 26 页（共 34 页） （3）由 OA8，OC6，得到 A（8，0） ，C（0，6） ，求得 D（4，3） ，根据三角形的面 积列方程得到 t2 或，于是得到结论 【解答】解： （1）当 DEOC 时，四边形 DEOF 是矩形； DEOC， DEOA， 点 D 为 AC 中点， CDAD， CEOEOC3， t3， 当 t 的值为 3s 时，四边形 DEOF 是矩形， 故答案为：3； （2）如图 1 所示：作 DMOA 于 M，DNOC 于 N， 四边形 OABC 是矩形， OAOC， 四边形 DMON 是矩形， MDN90，DMOC，DNOA， ， 点 D
40、 为 OB 的中点， M、N 分别是 OA、AB 的中点， DMOC3，DNOA4， EDF90， FDMEDN， 又DMFDNE90， DMFDNE， ， FMEN， CNOC3，CEt， 第 27 页（共 34 页） EN3t，或 ENt3， FMENt，或 FMENt， OF4FM+t 或 OF4+FMt； （3）OA8，OC6， A（8，0） ，C（0，6） ， 点 D 为 AC 中点， D（4，3） ， CEt， OE6t， OF+t， OEF 面积OEOF（6t） （+t）， 解得：t2 或， 当 t2 时，点 E（0，4） ， 直线 DE 的解析式为 yx+4； 当 t时，点 E
41、（0，） ， 直线 DE 的解析式为 yx+， 综上所述，直线 DE 的解析式为 yx+4 或 yx+ 第 28 页（共 34 页） 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判 定和性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）思维探索： 在正方形 ABCD 中， AB4， EAF 的两边分别交射线 CB， DC 于点 E， F， EAF45 （1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 BC，CD 上时，CEF 的周长是 8 ； （2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的
42、延长线上，CF2 时，求CEF 的周长； 拓展提升：如图 3，在 RtABC 中，ACB90，CACB，过点 B 作 BDBC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一点 E，使EDA30，连接 AE，当 BD2，EAD45 时，请直接写出线段CE的长 度 【分析】思维探索： （1）利用旋转的性质，证明AGEAFE 即可； （2）把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90到 AD，交 CD 于点 G，证明AEFAGF 即可 求得 EFDFBE； 拓展提升：如图 3，过 A 作 AGBD 交 BD 的延长线于 G，推出四边形 ACBG 是矩形， 得到矩形 ACBG 是正方形，根据正方形的性质得到 ACAG
43、，CAG90，在 BG 上 截取 GFCE，根据全等三角形的性质得到 AEAF，EACFAG，ADFADE 30，解直角三角形得到 DEDF4，BE2，设 CEx，则 GFCEx，BC BG2x，根据线段的和差即可得到结论 【解答】解：思维探索： 第 29 页（共 34 页） （1）如图 1，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG， GBDF，AFAG，BAGDAF， 四边形 ABCD 为正方形， BAD90， EAF45， BAE+DAF45， BAG+BAE45EAF， 在AGE 和AFE 中 AGEAFE（SAS） ， GEEF， GEGB+BEBE+DF， EFBE+DF， C
44、EF 的周长CE+CF+EFCE+BE+DF+CFBC+CD8， 故答案为：8； （2）如，2，把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90到 AD，交 CD 于点 G， 同（1）可证得AEFAGF， EFGF，且 DGBE， EFDFDGDFBE， CEF 的周长CE+CF+EFCE+CF+DFBEBC+DF+CF4+4+2+212； 拓展提升：如图 3，过 A 作 AGBD 交 BD 的延长线于 G， BDBC，ACB90， ACBCBGG90， 四边形 ACBG 是矩形， ACBC， 矩形 ACBG 是正方形， ACAG，CAG90， 在 BG 上截取 GFCE， AECAGF（SAS） ， 第
45、 30 页（共 34 页） AEAF，EACFAG， EADBACGAB45， DAFDAE45， ADAD， ADEADF（SAS） ， ADFADE30， BDE60， DBE90，BD2， DEDF4，BE2， 设 CEx，则 GFCEx，BCBG2x， DG2+2x， DGFGDF， 即 2+2xx4， x1， CE1 第 31 页（共 34 页） 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线， 属于中考压轴题 八、 （本题八、 （本题 12 分分) 25 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+与 x 轴分别交于点 A（1，0） ， B（3，0） ，点 C 是顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，线段 DE 是射线 AC 上的一条动线段（点 D 在点 E