1、2cos30的值等于（ ） A1 B C2 D 2 （3 分）下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3 （3 分）据国家卫健委报道，截止到 2020 年 2 月 16 日 24 时，全国 31 省和新疆建设兵团 共报告新冠肺炎确诊病例 28179 人，将 28179 科学记数法表示为（精确到千位） （ ） A2.8102 B2.8103 C2.8104 D2.0103 4 （3 分）估计1 的值在（ ） A0 到 1 之间 B1 到 2 之间 C2 到 3 之间 D3 至 4 之间 5 （3 分）将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转 90，所得图形
2、一定与原图形重合的是 （ ） A平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形 6 （3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 7 （3 分）为调查某校 3000 名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱 情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图根据 统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ） 第 2 页（共 24 页） A2400 名 B900 名 C800 名 D600 名 8 （3 分）用配方法解一元二次方程 x24x5 时，此方程可变形为（ ） A （x+2）21 B （x2）21
3、 C （x+2）29 D （x2）29 9 （3 分）如图，ABC 中，AD、BE 是两条中线，则 SEDC：SABC（ ） A1：2 B2：3 C1：3 D1：4 10 （3 分）下列各因式分解正确的是（ ） Ax2+2x1（x1）2 Bx2+（2）2（x2） （x+2） Cx34xx（x+2） （x2） D （x+1）2x2+2x+1 11 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB4，BED120，则图中 阴影部分的面积之和为（ ） A1 B C D2 12 （3 分）如图，在ABC 中，C90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运
4、动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接 MP，MQ，PQ在整个运动过程中，MPQ 的 面积大小变化情况是（ ） 第 3 页（共 24 页） A一直增大 B一直减小 C先减小后增大 D先增大后减少 二、填空题二、填空题 13 （3 分）| 14（3 分） 如果一次函数 ymx+3 的图象经过第一、 二、 四象限， 则 m 的取值范围是 15 （3 分）在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测， 抽到合格产品的概率是 16 （3 分）在临桂新区建设中，需要修一段全长 2400
5、m 的道路，为了尽量减少施工对县城 交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 天完成任务， 求原计划每天修路的长度若设原计划每天修路 xm，则根据题意可得方程 17 （3 分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单 位称为 1 次变换如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 B、C 的坐标分别是（1，1） 、 （3， 1） ， 把ABC 经过连续 9 次这样的变换得到ABC， 则点 A 的对应点 A 的坐标是 18 （3 分）如图，已知等腰 RtABC 的直角边长为 1，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边， 画第二个等腰RtA
6、CD， 再以RtACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰RtADE， ， 依此类推到第五个等腰 RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积 为 三、解答题三、解答题 19 （1）计算：4cos45+（）0+（1）3； （2）化简： （1） 第 4 页（共 24 页） 20解不等式组： 21如图，在ABC 中，ABAC，ABC72 （1） 用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D （保留作图痕迹， 不要求写作法） ； （2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数 22在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校 1200 名学生参加活动的情况，随
7、 机调查了 50 名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图 （）求这 50 个样本数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估算该校 1200 名学生共参加了多少次活动？ 23如图，山坡上有一棵树 AB，树底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6米，山坡的坡角 为 30小宁在山脚的平地 F 处测量这棵树的高，点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF1 米，从 E 处测得树顶部 A 的仰角为 45，树底部 B 的仰角为 20，求树 AB 的高度 （参考数值：sin200.34，cos200.94，tan200.36） 24如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，点
8、 M 在 PB 上，且 OMAP，MNAP，垂 第 5 页（共 24 页） 足为 N （1）求证：OMAN； （2）若O 的半径 R3，PA9，求 OM 的长 25某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套经招标，购买一套 A 型课桌凳比购买一 套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元 （1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳数量的，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有 几种
9、方案？哪种方案的总费用最低？ 26在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴 上，点 C 为（1，0） 如图所示，B 点在抛物线 yx2+x2 图象上，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D，且 B 点横坐标为3 （1）求证：BDCCOA； （2）求 BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存 在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2020 年山东省菏泽市东明县菜园集中学中考数学一模试卷年山东省菏泽市东明县菜园集中学中考数学一模试卷 参考答案与
10、试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）2cos30的值等于（ ） A1 B C2 D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：2cos302， 故选：D 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数 值 2 （3 分）下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解如果一个图形沿着一条直线 对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴 【解答】解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴 对称图形
11、的有圆弧、角、扇形、菱形和等腰梯形共 5 个 故选：D 【点评】本题考查了轴对称的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿 一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 3 （3 分）据国家卫健委报道，截止到 2020 年 2 月 16 日 24 时，全国 31 省和新疆建设兵团 共报告新冠肺炎确诊病例 28179 人，将 28179 科学记数法表示为（精确到千位） （ ） A2.8102 B2.8103 C2.8104 D2.0103 【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字 1 进行四舍五入即可 【解答】解：281792.8104， 故选：C 第
12、 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查了近似数和科学记数法：经过四舍五入得到的数为近似数科学记数 法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）估计1 的值在（ ） A0 到 1 之间 B1 到 2 之间 C2 到 3 之间 D3 至 4 之间 【分析】求出的范围，都减去 1 即可得出答案 【解答】解：23， 112， 即1 在 1 到 2 之间， 故选：B 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定的范围 5 （3 分）将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转 90，所得图形一定与原图形重合的是 （ ）
13、A平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形 【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出 答案 【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是 正方形 故选：C 【点评】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着 一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫 做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角 6 （3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答
14、】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形 故选：B 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 7 （3 分）为调查某校 3000 名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱 情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图根据 统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ） A2400 名 B900 名 C800 名 D600 名 【分析】根据扇形图可以得出该校喜爱体育节目的学生所占比例，进而得出该校喜爱体 育节目的学生数目 【解答】解：根据扇形图可得： 该校喜爱体育节目
15、的学生所占比例为：15%35%30%10%20%， 故该校喜爱体育节目的学生共有：300020%600（名） ， 故选：D 【点评】此题主要考查了扇形图的应用，根据该校喜爱体育节目的学生所占比例进而求 出具体人数是解题关键 8 （3 分）用配方法解一元二次方程 x24x5 时，此方程可变形为（ ） A （x+2）21 B （x2）21 C （x+2）29 D （x2）29 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数
16、 【解答】解：x24x5，x24x+45+4，（x2）29故选 D 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用 9 （3 分）如图，ABC 中，AD、BE 是两条中线，则 SEDC：SABC（ ） 第 9 页（共 24 页） A1：2 B2：3 C1：3 D1：4 【分析】在ABC 中，AD、BE 是两条中线，可得 DE 是ABC 的中位线，即可证得 EDCABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案 【解答】解：ABC 中，AD、BE 是两条中线， DE 是ABC 的中位线， DEAB，DEAB， EDCABC， SEDC：SABC（）2 故选：
17、D 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质此题比较简单， 注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应 用是解此题的关键 10 （3 分）下列各因式分解正确的是（ ） Ax2+2x1（x1）2 Bx2+（2）2（x2） （x+2） Cx34xx（x+2） （x2） D （x+1）2x2+2x+1 【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可 【解答】解：A、x2+2x1 无法因式分解，故 A 错误； B、x2+（2）2（2+x） （2x） ，故 B 错误； C、x34xx（x+2） （x2） ，故 C 正确； D、
18、 （x+1）2x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故 D 错误 故选：C 【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌 握相关公式是解题关键 11 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB4，BED120，则图中 第 10 页（共 24 页） 阴影部分的面积之和为（ ） A1 B C D2 【分析】首先证明ABC 是等边三角形则EDC 是等边三角形，边长是 2而和弦 BE 围成的部分的面积和弦 DE 围成的部分的面积据此即可求解 【解答】解：连接 AE，OD、OE AB 是直径， AEB90， 又BED120， AED30，
19、AOD2AED60 OAOD AOD 是等边三角形， OAD60， 点 E 为 BC 的中点，AEB90， ABAC， ABC 是等边三角形，边长是 4EDC 是等边三角形，边长是 2 BOEEOD60， 和弦 BE 围成的部分的面积和弦 DE 围成的部分的面积 阴影部分的面积SEDC22 故选：C 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查了等边三角形的面积的计算，证明EDC 是等边三角形，边长是 4理 解和弦 BE 围成的部分的面积和弦 DE 围成的部分的面积是关键 12 （3 分）如图，在ABC 中，C90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点
20、 C，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接 MP，MQ，PQ在整个运动过程中，MPQ 的 面积大小变化情况是（ ） A一直增大 B一直减小 C先减小后增大 D先增大后减少 【分析】连接 CM，根据点 M 是 AB 的中点可得ACM 和BCM 的面积相等，又 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，所以点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 到达 BC 的中点， 然后把开始时、结束时、与中点时的MPQ 的面积与ABC 的面积相比即可进行判断 【解答】解：如图所示，连接 CM，M 是 AB 的中点， SACMSBCMSABC， 开始
21、时，SMPQSACMSABC， 点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 到达 BC 的中点时，SMPQSABC， 结束时，SMPQSBCMSABC， 所以，MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大 故选：C 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意找出关键的开始时，中点时，结束 时三个时间点的三角形的面积与ABC 的面积的关系是解题的关键 二、填空题二、填空题 13 （3 分）| 【分析】负数的绝对值是它的相反数；一个数的相反数即在这个数的前面加负号 【解答】解：根据绝对值的性质，得| 【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的
22、相反 数；0 的绝对值是 0 14 （3 分）如果一次函数 ymx+3 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是 m 0 【分析】 根据一次函数 ymx+3 的图象经过第一、 二、 四象限判断出 m 的取值范围即可 【解答】解：一次函数 ymx+3 的图象经过第一、二、四象限， m0 故答案为：m0 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 ykx+b（k0）中， 当 k0，b0 时函数的图象在一、二、四象限 15 （3 分）在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测， 抽到合格产品的概率是 【分析】由在 10 个外观相同的产品
23、中，有 2 个不合格产品，直接利用概率公式求解即可 求得答案 【解答】解：在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品， 现从中任意抽取 1 个进行检测，抽到合格产品的概率是： 故答案为： 第 13 页（共 24 页） 【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情 况数之比 16 （3 分）在临桂新区建设中，需要修一段全长 2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城 交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 天完成任务， 求原计划每天修路的长度若设原计划每天修路 xm，则根据题意可得方程 【分析】 求的是原计划的工效， 工作总量为
24、 2400， 一定是根据工作时间来列等量关系 本 题的关键描述语是： “提前 8 小时完成任务” ；等量关系为：原计划用的时间实际用的 时间8 【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：所列方程为： ， 故答案为： 【点评】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一 个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题考查分式方程的应用，分析题意，找到 合适的等量关系是解决问题的关键本题应用的等量关系为：工作时间工作总量工 效 17 （3 分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单 位称为 1 次变换如图，已知等边三角形 ABC 的顶点
25、 B、C 的坐标分别是（1，1） 、 （3， 1） ， 把ABC 经过连续 9 次这样的变换得到ABC， 则点 A 的对应点 A 的坐标是 （16，1+） 【分析】首先由ABC 是等边三角形，点 B、C 的坐标分别是（1，1） 、 （3，1） ， 求得点 A 的坐标，然后根据题意求得第 1 次、2 次、3 次变换后的点 A 的对应点的坐标， 即可得规律：第 n 次变换后的点 A 的对应点的为：当 n 为奇数时为（2n2，1+） ，当 第 14 页（共 24 页） n 为偶数时为 （2n2， 1） ， 继而求得把ABC 经过连续 9 次这样的变换得到A BC，则点 A 的对应点 A的坐标 【解答
26、】解：ABC 是等边三角形，点 B、C 的坐标分别是（1，1） 、 （3，1） ， 点 A 的坐标为（2，1） ， 根据题意得：第 1 次变换后的点 A 的对应点的坐标为（2+2，1+） ，即（0，1+） ， 第 2 次变换后的点 A 的对应点的坐标为（0+2，1） ，即（2，1） ， 第 3 次变换后的点 A 的对应点的坐标为（2+2，1+） ，即（4，1+） ， 第 n 次变换后的点 A 的对应点的为：当 n 为奇数时为（2n2，1+） ，当 n 为偶数时为 （2n2，1） ， 把ABC 经过连续 9 次这样的变换得到ABC， 则点 A 的对应点 A的坐标是： （16，1+） 故答案为：
27、（16，1+） 【点评】此题考查了对称与平移的性质此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规 律：第 n 次变换后的点 A 的对应点的为：当 n 为奇数时为（2n2，1+） ，当 n 为偶数 时为（2n2，1）是解此题的关键 18 （3 分）如图，已知等腰 RtABC 的直角边长为 1，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边， 画第二个等腰RtACD， 再以RtACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰RtADE， ， 依此类推到第五个等腰 RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 15.5 【分析】根据ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出 RtABC、 R
28、tACD、RtADE 的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律， 再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可 【解答】解：ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形， SABC1121 2； AC，AD2， 第 15 页（共 24 页） SACD122 2； SADE22223 2 第 n 个等腰直角三角形的面积是 2n 2 SAEF24 24， SAFG25 28， 由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+815.5 故答案为：15.5 【点评】此题主要考查学生对等腰直角三角形、三角形面积公式和勾股定理的理解和掌 握，解答此题的关键是根据ABC
29、 是边长为 1 的等腰直角三角形分别求出 RtABC、Rt ACD、RtADE 的面积，找出规律 三、解答题三、解答题 19 （1）计算：4cos45+（）0+（1）3； （2）化简： （1） 【分析】 （1）原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项化为最简二次根式，第 二项利用零指数幂法则计算，最后一项表示 3 个1 的乘积，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分即可得到结果 【解答】解： （1）原式42+110； （2）原式（） mn 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的 关键 2
30、0解不等式组： 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可 【解答】解： 由得：x1， 由得：x4， 第 16 页（共 24 页） 所以不等式组的解集是 x1 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是 能根据不等式的解集求出不等式组的解集 21如图，在ABC 中，ABAC，ABC72 （1） 用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D （保留作图痕迹， 不要求写作法） ； （2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数 【分析】 （1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出ABC 的平分线即可； （
31、2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出A 的度数，再由角平分线的定 义得出ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出BDC 的度数即可 【解答】解： （1）一点 B 为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 E、 F； 分别以点 E、F 为圆心，以大于EF 为半径画圆，两圆相交于点 G，连接 BG 角 AC 于点 D 即可 （2）在ABC 中，ABAC，ABC72， A1802ABC18014436， BD 是ABC 的平分线， ABDABC7236， BDC 是ABD 的外角， BDCA+ABD36+3672 第 17 页（共 24 页） 【点评】本题考查的是基本作图
32、及等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题 的关键 22在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校 1200 名学生参加活动的情况，随 机调查了 50 名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图 （）求这 50 个样本数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估算该校 1200 名学生共参加了多少次活动？ 【分析】 （）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中 出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺 序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求 出众数与中位数； （）利用样
33、本估计总体的方法，用样本中的平均数1200 即可 【解答】解： （）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是： 3.3 次， 则这组样本数据的平均数是 3.3 次 在这组样本数据中，4 出现了 18 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 4 次 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是 3，3 次， 这组数据的中位数是 3 次； 第 18 页（共 24 页） （）这组样本数据的平均数是 3.3 次， 估计全校 1200 人参加活动次数的总体平均数是 3.3 次， 3.312003960 该校学生共参加活动约为 3960 次 【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，
34、中位数，以及样本估计总体读懂 统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 23如图，山坡上有一棵树 AB，树底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6米，山坡的坡角 为 30小宁在山脚的平地 F 处测量这棵树的高，点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF1 米，从 E 处测得树顶部 A 的仰角为 45，树底部 B 的仰角为 20，求树 AB 的高度 （参考数值：sin200.34，cos200.94，tan200.36） 【分析】首先在直角三角形 BDC 中求得 DC 的长，然后求得 DF 的长，进而求得 GF 的 长
35、，然后在直角三角形 BGE 中即可求得 BG 的长，从而求得树高 【解答】解：底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6米，山坡的坡角为 30 在 RtBDC 中 DCBCcos3069 米， CF1 米， DF9+110 米， GE10 米， AEG45， AGEG10 米， 在直角三角形 BGE 中， BGGEtan20100.363.6 米， ABAGBG103.66.4 米， 第 19 页（共 24 页） 答：树高约为 6.4 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合 图形利用三角函数解直角三角形 24如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A
36、、B，点 M 在 PB 上，且 OMAP，MNAP，垂 足为 N （1）求证：OMAN； （2）若O 的半径 R3，PA9，求 OM 的长 【分析】 （1）连接 OA，由切线的性质可知 OAAP，再由 MNAP 可知四边形 ANMO 是矩形，故可得出结论； （2）连接 OB，则 OBBP 由 OAMN，OAOB，OMAP可知 OBMN，OMB NPM故可得出 RtOBMMNP，OMMP 设 OMx，则 NP9x，在 RtMNP 利用勾股定理即可求出 x 的值，进而得出结论 【解答】 （1）证明：如图，连接 OA，则 OAAP， MNAP， MNOA， OMAP， 四边形 ANMO 是矩形， O
37、MAN； （2）解：连接 OB，则 OBBP OAMN，OAOB，OMAP OBMN，OMBNPM RtOBMRtMNP， OMMP 设 OMx，则 NP9x， 第 20 页（共 24 页） 在 RtMNP 中，有 x232+（9x）2 x5，即 OM5 【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定 与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角 形的性质解答 25某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套经招标，购买一套 A 型课桌凳比购买一 套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳
38、共需 1820 元 （1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳数量的，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有 几种方案？哪种方案的总费用最低？ 【分析】 （1）根据购买一套 A 型课桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元，以及购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元，得出等式方程求出即可； （2）利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量 不能超过 B 型课桌凳数量的，得出不等
39、式组，求出 a 的值即可，再利用一次函数的增 减性得出答案即可 【解答】解： （1）设 A 型每套 x 元，则 B 型每套（x+40）元 由题意得：4x+5（x+40）1820 解得：x180，x+40220 即购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需 180 元、220 元； （2）设购买 A 型课桌凳 a 套，则购买 B 型课桌凳（200a）套 由题意得：， 第 21 页（共 24 页） 解得：78a80 a 为整数， a78、79、80 共有 3 种方案， 设购买课桌凳总费用为 y 元， 则 y180a+220（200a）40a+44000 400，y 随 a 的增大而减小， 当
40、a80 时，总费用最低，此时 200a120， 即总费用最低的方案是：购买 A 型 80 套，购买 B 型 120 套 【点评】 此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性， 根据已知得出不等式组，求出 a 的值是解题关键 26在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴 上，点 C 为（1，0） 如图所示，B 点在抛物线 yx2+x2 图象上，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D，且 B 点横坐标为3 （1）求证：BDCCOA； （2）求 BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC
41、为直角边的直角三角形？若存 在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）首先根据题意推出BDCCOA，然后 BCAC，根据全等三角形的判 定定理“AAS”定理，即可判定BDCCOA； （2）首先（1）所得的结论，即可推出 OCBD1，即可得 B 点的纵坐标，设出直线的 函数关系式，把 B，C 两点的坐标代入，求出 k、b，即可推出结论； （3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析： 第 22 页（共 24 页） 以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，根据题意推出 P1点为 BC 与抛物线的对称轴的交 点，根据直线 BC 的解析式和抛物线的解析式，
42、即可推出 P1点的坐标； 以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 AP2AC，设与抛物线的对称轴交于 P2点，确 定点 P2的位置，由 OACD，即可推出 A 点的坐标，根据 AP2BC，即可推出直线 AP2 的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出 P2的坐标 【解答】 （1）证明：ACBC，BDCD， BDCCOA90，ACO+BCD90， BCDOAC， ABC 为等腰直角三角形， BCAC， 在BDC 和COA 中 BDCCOA（AAS） ， （2）解：BDCCOA， BDCO， C 点的坐标为（1，0） ， BDOC1， B 点的纵坐标为 1， B 点的横坐标为3， B 点的坐
43、标为（3，1） ， 设 BC 所在直线的函数关系式为 ykx+b， ， 解方程组得， 直线 BC 所在直线的解析式为：yx， 第 23 页（共 24 页） （3）解：存在， 抛物线的解析式为：yx2+x2， yx2+x2 （x+）2， 二次函数的对称轴为 x， 若以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 CP1AC， BCAC， P1点为直线 BC 与对称轴直线 x的交点， 直线 BC 所在直线的解析式为：yx， ， 解得， P1点的坐标为（，） ； 若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使 AP2AC， 过点 A 作 AP2BC，交对称轴直线 x于点 P2， OD3，OC1， OACD2， A 点的坐标为（0，2） ， 直线 AP2的解析式为 yx+2， ， 解得：， 第 24 页（共 24 页） P2点的坐标为（，） ， P 点的坐标为 P1（，） 、P2（，） 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根 据解析式求点的坐标，关键在于： （1）推出BCDOAC； （2）根据（1）的结论，推出 B 点的坐标； （3）注意分情况讨论，若以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，推出 P1点为直线 BC 与 对称轴直线 x的交点，若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，由 A 点的坐标，求 出直线 AP2的解析式