1、数学试题第 1 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 数学 2020.06 (全卷满分全卷满分 160 分,考试时间分,考试时间 120 分钟分钟) 注意事项: 1答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上)置上) 1已知集合 2 1,0,Aa , 1,1B ,则ABB,则实数a的值是 2已知复数z满足 34i i z (i 为虚数单位
2、),则| z 3某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人,现用分层抽样的方法分配三个 年级的志愿者人数,已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3,则应从高三年 级抽取 名志愿者 4一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为 第 4 题图 第 9 题图 5已知抛物线的准线也是双曲线 22 1 3 xy m 的一条准线,则该双曲线的两条渐近 线方程是 6某校机器人兴趣小组有男生 3 名,女生 2 名,现从中随机选出 3 名参加一个机器人大 赛,则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7 已知数列 n a是等比数列, n T是其前n项之积, 若 567 aaa, 则 7
3、 T的值是 8已知( )cos x f xxe,则(3)(31)0fxfx的解集为 9 如图, 已知正ABC是一个半球的大圆O的内接三角形, 点P在球面上, 且OP 面ABC, 则三棱锥PABC与半球的体积比为 B P O C A 2 2yx S0 I 1 While I4 SS+5 I I +1 End While Print S 数学试题第 2 页 10已知 3 sin() 283 ,则sincos . 11 设 t表示不超过实数t的最大整数(如 1.32 ,2.62), 则函数 ( )21f xxx 的零点个数为 . 12已知点M是边长为 2 的正ABC内一点,且AMABAC,若 1 3
4、 ,则 MB MC 的最小值为 . 13已知等腰梯形ABCD中,60AB ,2AB ,若梯形上底CD上存在点P,使 得2PAPB,则该梯形周长的最大值为 . 14锐角ABC中,, ,a b c分别为角, ,A B C的对边,若cos(1cos )aBbA,则 2 2 ab bc 的 取值范围为 . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 设函数 2 3 ( )cossin()3cos 34 f xxxx ,Rx. (1) 求( )f x的最小正周期和对称中心; (2) 若函数( )() 4 g xf x
5、,求函数( )g x在区间, 6 6 上的最值 16 (本小题满分 14 分) 如图,四面体被一平面所截,平面与四条棱分别相交于 四点,且截面是一个平行四边形,平面,. 求证: (1) ; (2) 平面. ABCD,AB AC CD BD , , ,E F G HEFGHADBCDBCCD EFBC EF ACD F H E G D A C B 数学试题第 3 页 17.(本小题满分 14 分) 如图,边长为 1 的正方形区域 OABC 内有以 OA 为半径的圆弧AEC. 现决定从 AB 边 上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧AEC相切于点 E,从而将正方形区域 OABC 分成三块: 扇形
6、COE 为区域 I,四边形 OADE 为区域 II,剩下的 CBDE 为区域 III.区域 I 内栽树,区 域 II 内种花,区域 III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为5a、4a、a,总 造价是 W,设2AOE. (1) 分别用表示区域 I、II、III 的面积; (2) 将总造价 W 表示为的函数,并写出定义域; (3) 求为何值时,总造价 W 取最小值? 18.(本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右准线为直线4x , 左顶点为A,右焦点为F. 已知斜率为 2 的直线l经过点F,与椭圆E相交于,B
7、C两点, 且O到直线l的距离为2 5 5 . (1) 求椭圆E的标准方程; (2) 若过O的直线:m ykx与直线,AB AC分别相交于,M N两点, 且OMON, 求k 的值. D E C B O A F N M y Ox C B A 数学试题第 4 页 19 (本小题满分 16 分) 已知函数 2 ( )(R) x f xeax a. (1) 若曲线( )f x与直线:(2)(R)l yexb b在1x 处相切. 求a b 的值; 求证:当 0x 时, ( )(2)f xexb ; (2) 当0a 且(0,)x时, 关于的x不等式 2 ( )2ln1x f xmxx有解, 求实数m的 取值
8、范围. 20 (本小题满分 16 分) 已知数列 n a的各项均为非零实数,其前n项和为 n S,且 +12 = nn nn Sa Sa . (1) 若 3=3 S,求 3 a的值; (2) 若 20211 =2021aa,求证:数列 n a是等差数列; (3) 若 1=1 a, 2=2 a,是否存在实数,使得 22 22 nm a m a n aa对任意正整数mn, 恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,说明理由. 数学试题第 5 页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学 (全卷满分全卷满分 40 分,考试时间分,考试时间 30 分钟分钟) 202006 21. 已知矩阵 1 0
9、 02 A ,求矩阵A的逆矩阵 1 A的特征值 22. 在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程是: 2cos , 2sin x ym (为参数).以O为极点, x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos1 3 若直线l与曲 线C相交于PQ、两点,且2 3PQ ,求实数m的值. 数学试题第 6 页 23. 如图,在三棱锥ABCD中,已知ABD,BCD都是边长为 2 的等边三角形,E为 BD中点,且AE 平面BCD,F为线段AB上一动点,记 BF BA (1) 当 1 3 时,求异面直线DF与BC所成角的余弦值; (2) 当直线CF与平面ACD所成角的正弦值为 15 10 时,求
10、的值. 24. 一个笼子里关着 10 只猫,其中有 7 只白猫,3 只黑猫把笼门打开一个小口,使得每 次只能钻出 1 只猫猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子,以X表示 7 只白猫 被 3 只黑猫所隔成的段数 例如, 在出笼顺序为 “” 中, 则3X (1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率; (2) 求X的分布列和数学期望. E A B D C F 数学试题第 7 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、填空题 1. 1 2. 5 3. 15 4. 15 5. 3yx 6. 3 5 7. 1 8. 1 2, 2 9. 3 3 8 10. 2 3 11. 2
11、12. 1 3 13. 3+ 5 14. 7 3 2 , 二、解答题 15解:解:(1) 由已知,f(x)cos x (1 2sin x 3 2 cos x) 3cos2x 3 4 1 2sin x cos x 3 2 cos2x 3 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos 2x)+ 3 4 1 4sin 2x 3 4 cos 2x1 2sin(2x 3) 4 分来 最小正周期为T,对称中心为)0 , 62 k (Zk .7 分 (2) ) 6 2sin( 2 1 )( xxg 8 分 )(xg在区间 6 , 6 上单调递增 .10 分 2 1 ) 6 ()( max gxg 12 分 m
12、in 1 ( )() 64 g xg 14 分 16. 证明:证明:(1) 因为四边形EFGH为平行四边形,所以EFHG, 又EF 平面BCD,HG 平面BCD,所以EF平面BCD, .4 分 又EF 平面ABC,平面ABC平面BCDBC,所以EFBC. .7 分 (2) 因为AD 平面BCD,BC 平面BCD,所以ADBC, 由(1)知EFBC,所以EFAD. .10 分 因为BCCD,所以EFCD. .12 分 又ADCDD,AD、CD 平面ACD, 所以EF 平面ACD. .14 分 数学试题第 8 页 17. 解:解:(1)如图, 1 1 (2 ) 1 224 S 2 分 连接 OD,
13、则ODEODA,tanDA, 2 1 21 tantan 2 S , 4 分 3 1tan 4 S . 5 分 (2) 123 54(3tan41)WaSaSaSa, 7 分 由20, 2 ,知(0,) 4 ,所以函数的定义域为(0,) 4 9 分 (3) 2 3 (4) cos Wa , 11 分 由0W ,得 3 cos 2 或 3 cos 2 (舍去) 又(0,) 4 ,所以 6 当0 6 时, 0W ,函数在0, 6 上单调递减, 当 62 时,0W ,函数在, 6 2 上单调递增, 所以当 6 时,W取最小值. 答:= 6 时,总造价 W 取最小值 14 分 18解:解:(1) 设椭
14、圆E的焦距为2c, 则直线l的方程为2()yxc,即220xyc. 因为O到直线l的距离为 2 5 5 , 22 2002 2 5 21 c c d , 所以 22 5 55 c ,则1c . .3 分 因为椭圆E的右准线的为直线4x ,则 2 4 a c ,所以 2 4a , 222 3bac, 故椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy . .4 分 (2) 由(1)知l:2(1)yx,设 11 (,)B x y, 22 (,)C xy. 数学试题第 9 页 由 22 2(1), 3412 yx xy 得 2 193240xx,则 2 12 12 324 1940, 32 , 19 4 .
15、 19 xx x x .6 分 由( 2,0)A , 11 (,)B x y可知 1 1 :(2) 2 y AB yx x , 由 1 1 , (2) 2 ykx y yx x 得 1 11 2 (2) M y x k xy , .9 分 同理 2 22 2 (2) N y x k xy , 因为OMON,所以 22 11 MN kxkx, 由图可知0 MN xx, .12 分 所以 122211 2 (2)2 (2)0y k xyy k xy, 即 122211 (1) (2)2(1)(1) (2)2(1)0xk xxxk xx, 所以 121212 12211212 4(1)(1)4()1
16、 (1)(2)(1)(2)2()4 xxx xxx k xxxxx xxx .14 分 432 41 4(43219) 1919 1 432 8324 19 24 1919 . .16 分 19. 解:解:(1) 因为 2x f xeax,所以 2 x fxeax. 因为曲线 f x与直线:l(2)yexb在1x 处相切, 所以 122feae ,所以1a . 所以 2x f xex,所以 11fe. 又切点(1,1)e在直线l上,所以12eeb , 所以1b ,所以2ab;4 分 由知1,1ab,可设 2 210 x h xexexx, 则 ( )22 ,2 xx g xh xexegxe,
17、 当ln2x 时, 0g x,当ln2x 时, 0g x, 所以 h x在0,ln2上单调递减,在ln2,上单调递增, 由 030,10,0ln21heh ,所以ln20 h , 所以存在 0 0,ln2x ,使得 0 0h x, 8 分 所以当 0 0,1,xx时, 0h x,当 0,1 xx时, 0h x, 数学试题第 10 页 所以 h x在 0 0,x上单调递增,在 0,1 x上单调递减,在1,上单调递增. 因为 010hh,所以 0h x , 即 21f xex,当且仅当1x 时取等号, 所以当0x 时, 2 21 x exex, 故当0x 时,( )2f xexb 10 分 (3)
18、先证1 x ex. 构造函数( )1 x p xex,则( )1 x p xe. 故当(0,)x时,( )0p x,( )p x在(0,)上递增, 当(,0)x 时,( )0p x,( )p x 在(,0)上递减, 所以( )(0)0p xp,即1 x ex 12 分 又当0a ,且(0,)x时, 2 ( )2ln1x f xmxx等价于 2 2ln1 x x ex m x 故原题等价于(0,)x时, 2 2ln1 x x ex m x 有解. 因为 2 2lnx2 2ln12ln1ln12ln11 xx x exexxxx xxx (当 2 ln0xx时取 等号) , 所以1m . 16 分
19、 20. (1) 解:由 +12 = nn nn Sa Sa ,令1n ,得 11 23 = Sa Sa , 因为数列 n a的各项均为非零实数,所以 2123 =+=Saaa, 所以 31233 =23Saaaa, 所以 3 3 = 2 a. 3 分 (2) 证明:由 +12 = nn nn Sa Sa 得: 11 23 = Sa Sa , 22 34 = Sa Sa 33 45 = Sa Sa , 11 1 = nn nn Sa Sa ,相乘得: 112 1 = nnn Sa a Sa a , 因为数列 n a的各项均为非零实数,所以 21 = nnn a Sa a , 当2n 时: 21
20、1 = nnn a Saa ,所以 22111 = nnnnnn a Sa Sa aaa , 即 2111 = nnnnn aSSaaa , 即 211 = nnnn aa a aa , 因为0 n a , 所以 112 = nn aaa , 所以数列 21n a 是等差数列,首项为 1 a,公差为 2 a, 所以 2021121 =+1010=2021aaaa,所以 21 =2aa, 所以 21121 = +121 n aanana , 2221 =+12 n aanana,所以 1 = n ana, 所以 11 = nn aaa ,所以数列 n a是等差数列. 9 分 (3) 解: 当 1
21、=1 a, 2=2 a时, 由(2)知= n an, 所以 22 22 nm a m a n aa, 即 22 22 nm nm, 数学试题第 11 页 不妨设mn,则22 mn , 22 mn,所以 22 22 mn mn, 即 22 22 mn mn对任意正整数mn, (mn)恒成立, 则 22+1 +122 nn nn (),即220 n n对任意正整数n恒成立, 设 2 2n n Cn,则 2 +12 +1 2+12 +=221 nnn nn CCnnn, 设221 n n Dn,则 1 +1 22(1) 1 22122 nnn nn DDnn , 当5n 时, +1 0 nn DD,
22、所以 5 0 n DD,所以 5 0 n CC,所以 2 2nn, 所以 2 222 n nnn,当5n 且 2 +n时,220 n n, 所以不存在满足条件的实数. 16 分 三、加试题 21. 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ab cd , 则 10 02 ab cd = 10 01 ,即 22 ab cd = 10 01 , 故1a ,0b ,0c , 1 2 d . 所以矩阵 A 的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A . 5 分 矩阵 1 A的特征多项式为 10 1 1 1 20 2 f 令 0f,解得 1 A的特征值为 12 1 1, 2 10 分 22. 解:曲线C的直角坐标方程为 2
23、 2 4xym,表示圆心为0,m,半径为2的圆 由cos1 3 ,得 13 cossin1 22 ,320xy2 分 设圆心到直线l的距离为d,则 2 |032|32| 2 13 mm d , 4 分 所以 2 32 2 4 4 m PQ , 令 2 32 2 42 3 4 m ,得0m 或 4 3 3 m 10 分 23. 解:连接 CE,因为BCD 为正三角形,所以AE DB 数学试题第 12 页 又因为AE 平面BCD,CE 平面 BCD,所以 AECE 以 ,EB EC EA为正交基底建立如图空间直角坐标系, 则 0,0, 3 ,1,0,0 ,0, 3,0 ,( 1,0,0)ABCD
24、, 因为 F 为线段 AB 上一动点,且 BF BA , 则 =1,0, 3(,0, 3 )BFBA ,所以(1,0, 3 )F. (1)当 1 4 时, 33 ( ,0,) 44 F, 73 ( ,0,),(1,3,0) 44 DFCB, 所以 2222 7 7 13 4 cos, 52 73 ( )()1(3) 44 DF CB ;4 分 (2)(2,0, 3 )DF, 1, 3,0DC 设平面CDF的一个法向量为 1 n=, ,x y z 由 1 nDF, 1 nDC得 , ,2- ,0, 30 , ,1, 3,00 x y z x y z ,化简得 230 30 xz xy , 取 1
25、 n 2 3, 1,1 又平面BCD的一个法向量为 2 0,0,1n 设平面BCD与平面ACD所成角为,则 12 2 2 1 3 13 cos|cos,| 13 2 3111 n n . 解得 1 2 或1 (舍去) ,所以 1 2 . 10 分 24. 解:(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 A,则 3! 7! 81 10!15 P A 答:三只黑猫挨在一起出笼的概率为 1 15 3 分 (2) X 的取值为:1、2、3、4. 其中X=1 时,7 只白猫相邻,则 4! 7!1 1 10!30 P X ; 2X 时, (626262)7! 3!3 2 10!10 P X ; x y z E B A C D F 数学试题第 13 页 12122 36362 7! 2 1 3 10!2 C AC A A P X ; 3 6 7!1 4 10!6 A P X ; 所以 131114 1234 3010265 E X . 10 分