1、2020 年湖南省长沙市雨花区中考数学模拟试卷（年湖南省长沙市雨花区中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1下列各数比1 大的数是（ ） A7 B5 C3 D0 2下列运算中，计算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B （3a2）327a6 Cx6x2x3 D （a+b）2a2+b2 3据人民日报 “9 组数据看懂新中国成立 70 周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生 产总值从 1952 年 679 亿元到 2018 年 900309 亿元，从一穷二白到世界第二大经济体用 科学记数法表示数字 900309（精确到万位）是（ ） A9105 B9.01
2、05 C9.00105 D9.003104 4若 ab0 且 ab，则函数 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 5下列不等式的变形不正确的是（ ） A若 ab，则 a+3b+3 B若ab，则 ab C若xy，则 x2y D若2xa，则 xa 6 下图是 2 月 26 日至 3 月 10 日 14 天期间全国新冠肺炎新增确诊病例统计图， 根据图中信 息，下列描述不正确的是（ ） A2 月 29 日新增确诊病例数最多 B3 月 1 日新增确诊病例数较前日大幅下降 C2 月 29 日后新增确诊病例数持续下降 D新增确诊病例数最少出现在 3 月 9 日 7如图所示，过正五边形 ABCDE
3、的顶点 B 作一条射线与其内角EAB 的角平分线相交于 点 P，且ABP60，那么APB 的度数是（ ） A36 B54 C60 D66 8如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A（1，2） ，B（3，3） 作菱形 OABC 关于 y 轴的对称图形 OABC，再作图形 OABC关于点 O 的中心对称图形 OABC， 则点 C 的对应点 C的坐标是（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 9如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、AD 的中点，若 EF2，BC5，CD3， 则 tanC 等于（ ） A B C D 10如图，AB 是O 直径，
4、点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若A25， 则C 的度数是（ ） A40 B50 C65 D25 11RtABC，已知C90，B50，点 D 在边 BC 上，BD2CD （如图） 把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上， 那么 m（ ） A80 B80 或 120 C60 或 120 D80 或 100 12已知二次函数 yax2+bx+c 自变量 x 与函数值 y 之间满足下列数量关系： x 2 4 5 y 0.38 0.38 6 则（a+b+c） （+）值为（ ） A24 B36 C6 D4 二填空题（共
5、二填空题（共 6 小题）小题） 13如果 ab1，则称 a、b 互为“负倒数” 那么2 的“负倒数”等于 14小明记录了一周每天的零花钱（单位：元）如下：5.5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，则 这组数据的中位数是 15 九章算术中有一道题的条件是： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛 ” 大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛 斛米 （注：斛是古代一种容量单位） 16已知反比例函数 y（k 是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值 范围是 17如图，用等分圆
6、的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若 OA 2，则四叶幸运草的周长是 18如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AEEF，下列结论： BAE30；ABEAEF；CD3CF；SABE4SECF其中正确的有 （填序号） 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： （1）02cos60+（） 1+（1）2020 20先化简，再求值：a，中 a1 21某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统 计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条
7、形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传 活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 22如图所示，已知 A，B 两点的坐标分别为（2，0） ， （0，10） ，P 是AOB 外接圆C 上的一点，OP 交 AB 于点 D （1）当 OPAB 时，求 OP； （2）当AOP30时，求 AP 23在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产 1440 万个医用防护口罩补充防疫一 线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线试产时甲生产线每天的产能（每天 的生产的数量）是
8、乙生产线的 2 倍，各生产 80 万个，甲比乙少用了 2 天 （1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？ （2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是 1.2 万元和 0.5 万元，要使完成这批任 务总运行成本不超过 40 万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？ （3）正式开工满负荷生产 3 天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了 50%，乙生 产线的日产能翻了一番再满负荷生产 13 天能否完成任务？ 24在阳光下，小玲同学测得一根长为 1 米的垂直地面的竹竿的影长为 0.6 米，同时小强同 学测量树的高度时， 发现树的影子有一部分 0.2 米落在教学楼的第一级台阶上， 落在地面 上的影
9、长为 4.42 米，每级台阶高为 0.3 米小玲说： “要是没有台阶遮挡的话，树的影子 长度应该是 4.62 米” ；小强说： “要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62 米要 长” （1）你认为小玲和小强的说法对吗？ （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度； （3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？ 25在平面直角坐标系中，由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围 成的封闭曲线称为“月牙线” 如图所示，抛物线 C1与抛物线 C2：ymx2+4mx12m（m 0）组成一个开口向上的“月牙线” ，相同的交点为 M，N（点 M 在点 N 的左侧） ，与
10、y 轴的交点分别为 A，B 且点 A 的坐标为（0，3） （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线” ，直接写出两条抛物 线的解析式； （2）求图中 M，N 两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线 C1上是否存在一点 P，使得PAM 的面积最大？若存在， 求出PAM 的面积的最大值；若不存在，说明理由 26在ABC 中，ACB45，点 D 为射线 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AD， 以 AD 为一边在 AD 一侧作正方形 ADEF（如图 1） （1）如果 ABAC，且点 D 在线段 BC 上运动，证明：CFBD； （2）如果 ABAC，且点 D 在线段
11、BC 的延长线上运动，请在图 2 中画出相应的示意图， 此时（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）设正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与直线 CF 相交于点 P，若 AC4，CD2，求 线段 CP 的长 参考参考答案与试题解析答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1下列各数比1 大的数是（ ） A7 B5 C3 D0 【分析】 根据有理数大小比较法则： 正数都大于 0， 负数都小于 0， 正数大于一切负数 两 个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断 【解答】解：因为7，5，3 都比1 小， 0 比1 大， 所以比1 大的数是 0 故选：D 【点评】本题考查了
12、有理数大小比较，解决本题的关键是掌握有理数大小比较法则 2下列运算中，计算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B （3a2）327a6 Cx6x2x3 D （a+b）2a2+b2 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出 答案 【解答】解：A、2a+3a5a，故此选项错误； B、 （3a2）327a6，正确； C、x6x2x4，故此选项错误； D、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关 运算法则是解题关键 3据人民日报 “9 组数据看懂新中国成立 70 周年的沧
13、桑巨变”一文报道，我国国民生 产总值从 1952 年 679 亿元到 2018 年 900309 亿元，从一穷二白到世界第二大经济体用 科学记数法表示数字 900309（精确到万位）是（ ） A9105 B9.0105 C9.00105 D9.003104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：9003099.003091059.0105 故选：B 【点评】本题考查了科学记数法解
14、题的关键是掌握科学记数法的表示方法科学记数 法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4若 ab0 且 ab，则函数 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】利用 ab0，且 ab 得到 a0，b0，然后根据一次函数图象与系数的关系进 行判断 【解答】解：ab0，且 ab， a0，b0， 函数 yax+b 的图象经过第一、三、四象限 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k 0）是一条直线，当 k0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0，
15、图象 经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小；图象与 y 轴的交点坐标为（0，b） 5下列不等式的变形不正确的是（ ） A若 ab，则 a+3b+3 B若ab，则 ab C若xy，则 x2y D若2xa，则 xa 【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可 【解答】解：A若 ab，不等式两边同时加上 3 得：a+3b+3，即 A 项正确， B若ab，不等式两边同时乘以1 得：ab，即 B 项正确， C若xy，不等式两边同时乘以2 得：x2y，即 C 项正确， D若2xa，不等式两边同时乘以得：x，即 D 项错误， 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质，
16、正确掌握不等式的性质是解题的关键 6 下图是 2 月 26 日至 3 月 10 日 14 天期间全国新冠肺炎新增确诊病例统计图， 根据图中信 息，下列描述不正确的是（ ） A2 月 29 日新增确诊病例数最多 B3 月 1 日新增确诊病例数较前日大幅下降 C2 月 29 日后新增确诊病例数持续下降 D新增确诊病例数最少出现在 3 月 9 日 【分析】直接利用折线统计图进而分别分析得出答案 【解答】解：如图所示： A、2 月 29 日新增确诊病例数最多为 579 人，正确，不合题意； B、3 月 1 日新增确诊病例数较前日大幅下降，正确，不合题意； C、2 月 29 日后新增确诊病例数持续下降，
17、3 月 4 日，5 日人数较 3 月 3 日增加，故错误， 符合题意； D、新增确诊病例数最少出现在 3 月 9 日，正确，不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了折现统计图，结合折现统计图获取正确信息是解题关键 7如图所示，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角EAB 的角平分线相交于 点 P，且ABP60，那么APB 的度数是（ ） A36 B54 C60 D66 【分析】根据多边形 ABCDE 正五边形，可得EAB108，再根据 AP 是EAB 的角 平分线，可得PAB54，最后根据三角形内角和即可求出APB 的度数 【解答】解：多边形 ABCDE 正五边形， EAB
18、108， AP 是EAB 的角平分线， PABEAB54， ABP60， APB180605466， 所以APB 的度数是 66 故选：D 【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理 8如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A（1，2） ，B（3，3） 作菱形 OABC 关于 y 轴的对称图形 OABC，再作图形 OABC关于点 O 的中心对称图形 OABC， 则点 C 的对应点 C的坐标是（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 【分析】根据题意可以写出点 C 的坐标，然后根据与 y 轴对称和与原点对称的点的特点 即可得
19、到点 C的坐标，本题得以解决 【解答】解：点 C 的坐标为（2，1） ， 点 C的坐标为（2，1） ， 点 C的坐标的坐标为（2，1） ， 故选：A 【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答 9如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、AD 的中点，若 EF2，BC5，CD3， 则 tanC 等于（ ） A B C D 【分析】根据三角形的中位线定理即可求得 BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可 证得BCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解 【解答】解：连接 BD E、F 分別是 AB、AD 的中点 BD2EF4 BC5
20、，CD3 BCD 是直角三角形 tanC 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义， 正确证明BCD 是直角三角形是解题关键 10如图，AB 是O 直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若A25， 则C 的度数是（ ） A40 B50 C65 D25 【分析】由 OAOD 可得AODA25，根据三角形外角性质可得COD50， 由切线的性质可得COD90，即可求C 的度数 【解答】解：连接 OD， AOOD， AODA25， CODA+ADO， COD50， CD 与O 相切于点 D， ODC90， C+COD90， C40，
21、 故选：A 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半 径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系 11RtABC，已知C90，B50，点 D 在边 BC 上，BD2CD （如图） 把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上， 那么 m（ ） A80 B80 或 120 C60 或 120 D80 或 100 【分析】分类讨论：当把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，点 B 恰好 落在 AB 边上的 B点位置，如图 1，根据旋转的性质得BDBm，DBDB，则 1B50
22、，然后根据三角形内角和定理可计算出 m80；当把ABC 绕着点 D 逆 时针旋转 m（0m180）度后，点 B 恰好落在 AC 边上的 B点位置，如图 2，根据旋 转的性质得BDBm，DBDB，由 BD2CD 得到 DB2CD，利用含 30 度的 直角三角形三边的关系得到CBD30， 则BDC60， 所以BDB120， 即 m120 【解答】解：当把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，点 B 恰好落在 AB 边上的 B点位置，如图 1， BDBm，DBDB， 1B50， BDB1801B80， 即 m80； 当把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，点 B 恰
23、好落在 AC 边上的 B 点位置，如图 2， BDBm，DBDB， BD2CD， DB2CD， CBD30，则BDC60， BDB180BDC120， 即 m120， 综上所述，m 的值为 80或 120 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等运用含 30 度的直角三角形三边的关 系也是解决问题的关键 12已知二次函数 yax2+bx+c 自变量 x 与函数值 y 之间满足下列数量关系： x 2 4 5 y 0.38 0.38 6 则（a+b+c） （+）值为（ ） A24 B36 C6 D4 【分析
24、】根据表格的数据可确定抛物线的对称轴为直线 x3，利用抛物线的对称性得到 x 1 时 ， y 6 ， 即 a+b+c 6 ， 然 后 利 用 整 体 代 入 的 方 法 计 算 （ a+b+c ） （+）的值 【解答】解：由表格数据可知抛物线的对称轴为 x3， 6， x1 与 x5 时的函数值相等， x1 时，y6，即 a+b+c6， （a+b+c） （+）6（）6636 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析 式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13如果 ab1，则称 a、b 互为“负倒数” 那
25、么2 的“负倒数”等于 【分析】根据负倒数的定义进行求解即可 【解答】解：根据题意，得2 的负倒数等于 故答案为： 【点评】本题考查了倒数和负倒数的定义解题的关键是掌握负倒数的定义：若两个数 的乘积是1，我们就称这两个数互为负倒数注意 0 没有倒数，也没有负倒数 14小明记录了一周每天的零花钱（单位：元）如下：5.5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，则 这组数据的中位数是 5 【分析】先把这些数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案 【解答】解：把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5.5，5.5，5.5，最中间的数 是 5， 则这组数据的中位数是 5 故答案为：5 【
26、点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清 楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先按从小到大（或从 大到小）排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正 中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数 15 九章算术中有一道题的条件是： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛 ” 大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛 斛米 （注：斛是古代一种容量单位） 【分析】 直接利用 5 个大桶加上 1 个小桶可以
27、盛米 3 斛， 1 个大桶加上 5 个小桶可以盛米 2 斛，分别得出等式组成方程组求出答案 【解答】解：设 1 个大桶可以盛米 x 斛，1 个小桶可以盛米 y 斛， 则， 故 5x+x+y+5y5， 则 x+y 答：1 大桶加 1 小桶共盛斛米 故答案为： 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键 16已知反比例函数 y（k 是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值 范围是 k1 【分析】由于反比例函数 y的图象有一支在第二象限，可得 k10，求出 k 的取 值范围即可 【解答】解：反比例函数 y的图象有一支在第二象限， k10， 解得 k1 故答案
28、为：k1 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键 17如图，用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若 OA 2，则四叶幸运草的周长是 4 【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为 4 个半圆的弧长2 个圆的周长，求出圆的半 径，由圆的周长公式即可得出结果 【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为 4 个半圆的弧长2 个圆的周长，连接 AB、 BC、CD、AD，则四边形 ABCD 是正方形，连接 OB，如图所示： 则正方形 ABCD 的对角线2OA4，OAOB，OAOB2， AB2， 过点 O 作 ONAB 于 N，则 NAAB，
29、 圆的半径为， 四叶幸运草的周长224； 故答案为：4 【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸 运草的周长2 个圆的周长是解题的关键 18如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AEEF，下列结论： BAE30；ABEAEF；CD3CF；SABE4SECF其中正确的有 （填序号） 【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：BAECEF，则可证得 正确，错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABE AEF，即可求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BC90，ABBCCD， AEEF，
30、 AEFB90， BAE+AEB90，AEB+FEC90， BAECEF， BAECEF， ， BECEBC， （）24， SABE4SECF，故正确； CFECCD， CD4CF， 故错误； tanBAE， BAE30，故错误； 设 CFa，则 BECE2a，ABCDAD4a，DF3a， AE2a，EFa，AF5a， ， ， ABEAEF，故正确 与正确 故答案为： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质题目综合性较强， 注意数形结合思想的应用 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： （1）02cos60+（） 1+（1）2020 【分析】本题涉及零指数幂
31、、负整数幂以及特殊角的锐角三角函数值的运算在计算时， 需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式12+（3）+1， 113+1， 2 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决 此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 20先化简，再求值：a，中 a1 【分析】先化简，后代入求值，特别注意分母有理化 【解答】解：原式 1 当 a1 时， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 21某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的
32、条形统 计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传 活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 【分析】 （1）先有一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等 奖的人数和求出二等奖的人数，从而补全图形； （2）用 360乘以“二等奖”所占比例即可得； （3）画出树状图，由概率公式即可解决问题 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为 410%40（人）
33、 ， 所以二等奖人数为 40（4+24）12（人） ， 补全图形如下： （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360108； （3）树状图如图所示， 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能， 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意， 画出相应的树状图，求出相应的概率 22如图所示，已知 A，B 两点的坐标分别为（2，0） ， （0，10） ，P 是AOB 外接圆C 上的一点，OP 交 AB 于点 D （1）当 OPAB 时，求 OP； （2）当AOP30时，求 AP 【分析】 （1）当
34、 OPAB 时，由垂径定理可知 ODDP，根据等面积可求出斜边上的高 OD 的长，进而可求出 PO 的长； （2）连接 CP，由圆周角定理可知ACP60，进而可证明ACP 为等边三角形，则 APAC，即求出圆的半径即可 【解答】解： （1）A，B 两点的坐标分别为（2，0） ， （0，10） ， AO2，OB10， AOBO， AB4， OPAB， ，CDDP， CD， OP2CD； （2）连接 CP， AOP30， ACP60， CPCA， ACP 为等边三角形， APACAB2 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心的性质、圆周角定理的运用、勾股定理的运 用以及等边三角形的判定和性质，熟记
35、和圆有关的各种性质定理是解题的关键 23在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产 1440 万个医用防护口罩补充防疫一 线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线试产时甲生产线每天的产能（每天 的生产的数量）是乙生产线的 2 倍，各生产 80 万个，甲比乙少用了 2 天 （1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？ （2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是 1.2 万元和 0.5 万元，要使完成这批任 务总运行成本不超过 40 万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？ （3）正式开工满负荷生产 3 天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了 50%，乙生 产线的日产能翻了一番再满负荷生
36、产 13 天能否完成任务？ 【分析】 （1） 可设乙条生产线每天的产能是 x 万个， 则甲条生产线每天的产能是 2x 万个， 根据等量关系：乙用了的天数甲用了的天数2，列出方程即可求解； （2）可设安排乙生产线生产 y 天，根据完成这批任务总运行成本不超过 40 万元列出不 等式计算即可求解； （3）根据题意求出原来满负荷生产 3 天的产能和再满负荷生产 13 天的产能的和，再与 1440 万个比较大小即可求解 【解答】解： （1）设乙条生产线每天的产能是 x 万个，则甲条生产线每天的产能是 2x 万 个，依题意有 2， 解得 x20， 经检验，x20 是原方程的解， 2x22040， 故甲条
37、生产线每天的产能是 40 万个，乙条生产线每天的产能是 20 万个； （2）设安排乙生产线生产 y 天，依题意有 0.5y+1.240， 解得 y32 故至少应安排乙生产线生产 32 天； （3） （40+20）3+40（1+50%）+20213 180+1300 1480（万个） ， 1440 万个1480 万个， 故再满负荷生产 13 天能完成任务 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，根据已知得出正确方程 组以及不等式是解决本题的关键 24在阳光下，小玲同学测得一根长为 1 米的垂直地面的竹竿的影长为 0.6 米，同时小强同 学测量树的高度时， 发现树的影子有一部分 0
38、.2 米落在教学楼的第一级台阶上， 落在地面 上的影长为 4.42 米，每级台阶高为 0.3 米小玲说： “要是没有台阶遮挡的话，树的影子 长度应该是 4.62 米” ；小强说： “要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62 米要 长” （1）你认为小玲和小强的说法对吗？ （2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度； （3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？ 【分析】 （1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对； （2）根据题意可得，DE0.3，EH0.18，进而可求大树的影长 AF，所以可 求大树的高度； （3）结合（2）即可得树的影长 【解答】解： （1）小玲的说法不
39、对，小强的说法对，理由如下（2）可得； （2）根据题意画出图形，如图所示， 根据平行投影可知： ，DE0.3， EH0.30.60.18， 四边形 DGFH 是平行四边形， FHDG0.2， AE4.42， AFAE+EH+FH4.42+0.18+0.24.8， ， AB8（米） 答：树的高度为 8 米 （3）由（2）可知： AF4.8（米） ， 答：树的影子长度是 4.8 米 【点评】本题考查了相似三角形的应用、平行投影，解决本题的关键是掌握平行投影 25在平面直角坐标系中，由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围 成的封闭曲线称为“月牙线” 如图所示，抛物线 C1与抛物
40、线 C2：ymx2+4mx12m（m 0）组成一个开口向上的“月牙线” ，相同的交点为 M，N（点 M 在点 N 的左侧） ，与 y 轴的交点分别为 A，B 且点 A 的坐标为（0，3） （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线” ，直接写出两条抛物 线的解析式； （2）求图中 M，N 两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线 C1上是否存在一点 P，使得PAM 的面积最大？若存在， 求出PAM 的面积的最大值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据定义，只要两个抛物线与 x 轴有着相同的交点，且 a 的值为负即可； （2）在解析式 ymx2+4mx12m 中，令 y0 即
41、可求出 M，N 的横坐标，可进一步写出 其坐标； （3）先求出抛物线 C1的解析式，再用含 t 的代数式表示出点 P 的坐标，进一步用含 t 的代数式表示出PAM 的面积，即可根据二次函数的图象及性质求出其最大值 【解答】解： （1）如图 1，抛物线 yx2+2x+3 与抛物线 yx2+1 所围成的封闭 曲线即为开口向下的“月牙线” ； （2）在抛物线 C2的解析式 ymx2+4mx12m 中， 当 y0 时，mx2+4mx12m0， m0， x2+4x120， 解得，x16，x22， 点 M 在点 N 的左边， M（6，0） ，N（2，0） ； （3）存在，理由如下： 如图 2，连接 AM，
42、PO，PM，PA， 抛物线 C1和抛物线 C2与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线 C1的解析式 ynx2+4nx12n（n0） ， 抛物线 C1与 y 轴的交点为 A（0，3） ， 12n3， n， 抛物线 C1的解析式为 yx2+x3， 可设点 P 的坐标为（t，t2+t3） ， SPAMSPMO+SPAOSAOM 6（t2t+3）+3（t）63 t2t （t+3）2+ 0，6t0， 根据二次函数的图象和性质知，当 m3 时，即点 P 的坐标为（3，）时， PAM 的面积有最大值，最大值为 【点评】本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象及性质，三角 形
43、的最大面积等，解题关键是要有较高的阅读能力及理解能力，且能够用函数的思想求 最大值 26在ABC 中，ACB45，点 D 为射线 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AD， 以 AD 为一边在 AD 一侧作正方形 ADEF（如图 1） （1）如果 ABAC，且点 D 在线段 BC 上运动，证明：CFBD； （2）如果 ABAC，且点 D 在线段 BC 的延长线上运动，请在图 2 中画出相应的示意图， 此时（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）设正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与直线 CF 相交于点 P，若 AC4，CD2，求 线段 CP 的长 【分析】 （1）证出BAC
44、DAF90，得出BADCAF；可证DABFAC （SAS） ，得ACFABD45，得出BCFACB+ACF90，即 CFBD （2）过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，可得出 ACAG，易证GADCAF（SAS） ， 得出ACFAGD45，BCFACB+ACF90，即 CFBD （3） 分两种情况去解答， 点 D 在线段 BC 上运动， 求出 AQCQ2， 即 DQ2 2，易证AQDDCP，得出对应边成比例，即可得出 CP2； 点 D 在线段 BC 延长线上运动时，同理得出 CP2+ 【解答】 （1）证明：四边形 ADEF 是正方形， DAF90，ADAF， ABAC，BAC90， B
45、AD+DACCAF+DAC90， BADCAF， 在BAD 和CAF 中， BADCAF（SAS） ， CFBD， BACF， B+BCA90， BCA+ACF90， BCF90， CFBD； （2）解：如图 2 所示：ABAC 时，CFBD 的结论成立理由如下： 过点 A 作 GAAC 交 BC 于点 G， 则GADCAF90+CAD， ACB45， AGD45， ACAG， 在GAD 和CAF 中， GADCAF（SAS） ， ACFAGD45， BCFACB+ACF90， CFBD； （3）解：过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q， 点 D 在线段 BC 上运动时，如图 3 所示： BCA45， ACQ 是等腰直角三角形， AQCQAC2 DQCQCD2222， AQBC，ADE90，