1、如图是由几个小立方块所搭成的儿何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位 置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ） A B C D 3 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边 上，若135，则 等于（ ） A45 B60 C75 D85 4 （3 分）正比例函数 ykx 的 y 值随 x 值的增大而减小，则此函数的图象经过（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （b2）3b6 C3a3a23a3 D （ab）2a2b2 6 （3 分）如图，在ABC 中，A
2、CBC，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，若 CD1，则 AC 的长度等于（ ） 第 2 页（共 30 页） A B+1 C2 D+2 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 经过点 A，作 ABx 轴于点 B， 将ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到CBD若点 B 的坐标为（2，0） ，则点 C 的坐标 为（ ） A （1，） B （2，） C （，1） D （，2） 8 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AD4，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OEAC 交 BC 于点 E，CE3，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A B C12 D32 9 （3
3、分）如图，过O 外一点 A 引圆的两条切线，切点分别为 D，C，BD 为O 的直径， 连接 BC，DC若 ADCD，BD4，则 AC 的长度为（ ） A2 B2 C2 D4 第 3 页（共 30 页） 10 （3 分）二次函数 yx2+mxn 的对称轴为 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+mxn 0 在1x6 的范围内有实数解，则 n 的取值范围是（ ） A4n5 Bn4 C4n12 D5n12 二、填空题（木大题共二、填空题（木大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）分解因式：a22a+1 12 （3 分）正六边形的外接圆的半径与内切圆
4、的半径之比为 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中菱形 ABCD 的顶点 A、B 在反比例函数 y （k0， x0）的图象上，点 A、B 横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱形 ABCD 的面积 为 10，则 k 的值为 14 （3 分）如图，已知BAC45，线段 DE 的两个端点在角的两边 AB，AC 上运动，且 DE2以线段 DE 为边在 DE 的右侧作等边三角形 DEF，则 AF 的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算：+4cos260|1| 16 （5 分）解分式方程：
5、+3 17 （5 分）尺规作图：已知O，求作：O 的内接正方形 ABCD （要求：不写作法，保 留作图痕迹） 第 4 页（共 30 页） 18 （5 分）如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E，F 为直线 AD 上的点，连接 BE， CF，且 BECF求证：DEDF 19 （7 分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期 间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在 暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为 2 本的人数占抽查总人数的 20%，根据所给出 信息，解答下列问题： （1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读
6、量的中位数； （2）将条形统计图补充完整； （3）若规定：假期阅读 4 本及 4 本以上课外书者为“优秀阅读者” ，据此估计该校 2500 名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人？ 20 （7 分）某学校有一栋教学楼 AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端 C 处 测得教学楼顶端 A 的仰角为 60，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端 E 处，又测得教学 楼顶端 A 的仰角为 45已知斜坡的坡角（ECD）为 30，坡面长度 CE6m，求楼 房 AB 的高度 （1.4，1.7 结果保留整数） 第 5 页（共 30 页） 21 （7 分） 郑州市城市生活垃圾分类管理办法于 2019
7、 年 12 月起施行某社区要投放 A， B 两种垃圾桶，负责人小李调查发现： 购买数量 种类 购买数量少于 100 个 购买数量不少于 100 个 A 原价销售 以原价的 7.5 折销售 B 原价销售 以原价的 8 折销售 若购买 A 种垃圾桶 80 个，B 种垃圾桶 120 个，则共需付款 6880 元；若购买 A 种垃圾桶 100 个，B 种垃圾桶 100 个，则共需付款 6150 元 （1）求 A，B 两种垃圾桶的单价各为多少元？ （2） 若需要购买 A， B 两种垃圾桶共 200 个， 且 B 种垃圾桶不多于 A 种垃圾桶数量的， 如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由 22
8、 （7 分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的 4 张牌的正面，将它们正面朝 下洗匀后放在桌面上 （1）小红从 4 张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 ； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的 3 张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上 的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率 23 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂 足为点 D，AD 交O 于点 E，连接 CE，CB 第 6 页（共 30 页） （1）求证：CECB； （2）若 AC，CE2，求 CD 的长 24 （10 分）设抛物线 yax2+b
9、x2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（m，0） ，与 y 轴交于点 C且ACB90 （1）求抛物线的解析式 （2）已知过点 A 的直线 yx+1 交抛物线于另一点 E，且点 D（1，3）在抛物线上问： 在 x 轴上是否存在点 P，使以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似？若存在，请求 出所有符合要求的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （12 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有一点 P，分别作点 P 关于边 OA、OB 的对 称点 P1，P2顺次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 三角形 （2）如图 2，在ABC 中，ABAC，
10、BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求： ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 ABCD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60， 点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况 下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出PMN 的面积的最大值；若不 存在，请说明理由 第 7 页（共 30 页） 第 8 页（共 30 页） 2020 年陕西省西安交大附中分校中考数学二模试卷年陕西省西安交大附中分校中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10
11、小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 【解答】解：的相反数是， 故选：C 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号； 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2 （3 分）如图是由几个小立方块所搭成的儿何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位 置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ） A B C D 【
12、分析】由已知条件可知，左视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，3，2据此可作 出判断 【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是 3，2 个正方形 故选：A 【点评】本题考查几何体的三视图由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视 图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中 的最大数字 3 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边 上，若135，则 等于（ ） 第 9 页（共 30 页） A45 B60 C75 D85 【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案 【解答】解：由题意可得：135， 1
13、45， 180456075 故选：C 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出1 的度数是解题关键 4 （3 分）正比例函数 ykx 的 y 值随 x 值的增大而减小，则此函数的图象经过（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 【分析】根据正比例函数的性质进行判断 【解答】解：正比例函数 ykx 的 y 值随 x 值的增大而减小， k0， 此函数的图象经过第二、四象限 故选：D 【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数 ykx（k0） ，正比例函数图象过 原点，当 k0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；k0，图象经过第二、 四象限，y 随
14、 x 的增大而减小也考查了一次函数的性质 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （b2）3b6 第 10 页（共 30 页） C3a3a23a3 D （ab）2a2b2 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A、a2+a22a2，故此选项错误； B、 （b2）3b6，正确； C、3a3a29a3，故此选项错误； D、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 6 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D
15、，若 CD1，则 AC 的长度等于（ ） A B+1 C2 D+2 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，依据BDE 是等腰直角三角形，即可得到 BD 的长，进 而得到 BC 的长，可得答案 【解答】解：如图所示，过 D 作 DEAB 于 E， ACBC，C90，AD 平分BAC， DECD1，B45， BDEB45， BEDE1， RtBDE 中，BD， BC+1， 第 11 页（共 30 页） AC+1， 故选：B 【点评】本题主要考查了角平分线的的性质以及等腰直角三角形，等腰直角三角形是一 种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质 7 （3 分）如图，
16、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 经过点 A，作 ABx 轴于点 B， 将ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到CBD若点 B 的坐标为（2，0） ，则点 C 的坐标 为（ ） A （1，） B （2，） C （，1） D （，2） 【分析】 作 CHx 轴于 H， 如图， 先根据一次函数图象上点的坐标特征确定 A （2， 2） ， 再利用旋转的性质得 BCBA2，ABC60，则CBH30，然后在 RtCBH 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系可计算出 CHBC，BHCH3， 所以 OHBHOB321，于是可写出 C 点坐标 【解答】解：作 CHx 轴于 H，如图， 点 B 的
17、坐标为（2，0） ，ABx 轴于点 B， A 点横坐标为 2， 当 x2 时，yx2， A（2，2） ， ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到CBD， BCBA2，ABC60， CBH30， 在 RtCBH 中，CHBC， BHCH3， OHBHOB321， C（1，） 第 12 页（共 30 页） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60， 90，180也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含 30 度的直角三角形三边的关 系 8 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AD4
18、，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OEAC 交 BC 于点 E，CE3，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A B C12 D32 【分析】由矩形的性质得出 OAOC，由线段垂直平分线的性质得出 AECE3，求出 BE1，由勾股定理求出 AB，即可得出答案 【解答】解：连接 AE，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， OAOC，ABC90，BCAD4， OEAC， AECE3， BEBCCE1， AB2， 矩形 ABCD 的面积ABBC248； 故选：B 第 13 页（共 30 页） 【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握 矩形的性质，由勾股定理求出
19、AB 是解题的关键 9 （3 分）如图，过O 外一点 A 引圆的两条切线，切点分别为 D，C，BD 为O 的直径， 连接 BC，DC若 ADCD，BD4，则 AC 的长度为（ ） A2 B2 C2 D4 【分析】利用切线长定理得到 ADAC，则可判断ADC 为等边三角形，所以ADC 60，再利用切线的性质得到 ADDB，所以CDB30，接着根据圆周角定理得到 BCD90，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求出 CD 即可 【解答】解：AD、AC 为O 的两条切线，切点分别为 D，C， ADAC， 而 ADCD， ADCDAC， ADC 为等边三角形， ADC60， AD 为切线， AD
20、DB， CDB906030， BD 为O 的直径， BCD90， 在 RtBCD 中，BCBD42， CDBC2， 第 14 页（共 30 页） AC2 故选：C 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线， 必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系 10 （3 分）二次函数 yx2+mxn 的对称轴为 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+mxn 0 在1x6 的范围内有实数解，则 n 的取值范围是（ ） A4n5 Bn4 C4n12 D5n12 【分析】根据对称轴求出 m 的值，从而得到 x1、6 时的函数 yx24x 值，再根据 一元二次方程 x2+mxn
21、0 在1x6 的范围内有解相当于 yx2+mx 与 yn 在 x 的范 围内有交点解答 【解答】解：抛物线的对称轴 x2， m4， 则方程 x2+mxn0，即 x24xn0 的解相当于 yx24x 与直线 yn 的交点的横坐 标， 方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数解， 当 x1 时，y1+45， 当 x6 时，y362412， 又yx24x（x2）24， 当4n12 时，在1x6 的范围内有解 n 的取值范围是4n12， 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的 关键 难点是把一元二次方程 x2+mxn0 在1x6 的范围内有实数
22、解， 转化为函数 yx2+mx 与直线 yn 在1x6 的范围内有交点的问题进行解答 二、填空题（木大题共二、填空题（木大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）分解因式：a22a+1 （a1）2 【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式 a22ab+b2（ab）2，即可把 原式化为积的形式 【解答】解：a22a+1a221a+12（a1）2 第 15 页（共 30 页） 故答案为： （a1）2 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题 的关键 12 （3 分）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比
23、为 2： 【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解 三角形 i 可 【解答】解：设正六边形的半径是 r， 则外接圆的半径 r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 2： 故答案为：2： 【点评】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径， 把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中菱形 ABCD 的顶点 A、B 在反比例函数 y （k0， x0）的图象上，点 A、B 横坐标分别为 1，4，对角线 BDx 轴若菱
24、形 ABCD 的面积 为 10，则 k 的值为 【分析】连接 AC 交 BD 于 E，如图，利用菱形的性质得 ACBD，AECE，DEBE， 设 A（1，k） ，B（4，） ，则 BE3，AEkk，根据菱形的面积公式得到 4 3k10，然后解关于 k 的方程即可 【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于 E， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD，AECE，DEBE， 第 16 页（共 30 页） BDx 轴， 设 A（1，k） ，B（4，） ， BE3，AEkk， 菱形 ABCD 的面积为 10， 4SABE10， 即 43k10，解得 k 故答案为 【点评】 本题考查了反比例函数系数 k
25、 的几何意义： 在反比例函数 y图象中任取一点， 过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线， 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 也考查了反 比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质 14 （3 分）如图，已知BAC45，线段 DE 的两个端点在角的两边 AB，AC 上运动，且 DE2以线段 DE 为边在 DE 的右侧作等边三角形 DEF，则 AF 的最大值为 +1+ 【分析】当 AFDE 时，AF 的值最大，设 AF 交 DE 于 H，在 AH 上取一点 M，使得 AM DM，连接 DM分别求出 MH、AM、FH 即可解决问题 【解答】解：如图，作ADE 的外接圆 O，连接 OD，OE， D
26、AE45， 弦 DE 所对的圆心角DOE90， 第 17 页（共 30 页） 当 A，O，F 在同一条直线上时，AF 最大， DEF 是等边三角形， DFEF， ODOE， AF 垂直平分 DE， 即当 AFDE 时，AF 的值最大，设 AF 交 DE 于 H，在 AH 上取一点 M，使得 AMDM， 连接 DM FDFEDE2，AFDE， DHHE，ADAE，DAHDAE22.5， AMDM， MADMDA22.5， DMHMDH45， DHHM1， DMAM， FH，DAHDAE22.5，DH1， AH（为定值） ， AFAM+MH+FH+1+ AF 的最大值为+1+， 故答案为：+1+
27、【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造直角三角形解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算：+4cos260|1| 第 18 页（共 30 页） 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即 可求出值 【解答】解：原式2+4（）2（1） 2+4+1 2+1+1 +2 【点评】此题考查了实数的运算，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值，熟练 掌握运算法则是解本题的关键 16 （5 分）解分式方程：+3 【分析】分式方
28、程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：2+3x6x1， 解得：x1.5， 经检验 x1.5 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 17 （5 分）尺规作图：已知O，求作：O 的内接正方形 ABCD （要求：不写作法，保 留作图痕迹） 【分析】根据垂径定理即可作O 的内接正方形 ABCD 【解答】解：如图 正方形 ABCD 即为所求作的图形 第 19 页（共 30 页） 【点评】本题考查了作图复杂作图、正方形的性质、正多边形和圆，解决本题的关键 是掌握正多边形和圆的关系 18 （
29、5 分）如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E，F 为直线 AD 上的点，连接 BE， CF，且 BECF求证：DEDF 【分析】由 AD 是ABC 的中线就可以得出 BDCD，再由平行线的性质就可以得出 CDFBDE 就可以得出 DEDF 【解答】证明：AD 是ABC 的中线， BDCD BECF， FCDEBD，DFCDEB 在CDE 和BDF 中 ， CDFBDE（AAS） ， DEDF 【点评】本题全等三角形的判定及性质、平行线的性质等知识，解答时证明三角形全等 是关键 19 （7 分）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期 间的课外阅读量进行统
30、计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图，已知抽查的学生在 暑假期间阅读量（阅读本数为正整数）为 2 本的人数占抽查总人数的 20%，根据所给出 信息，解答下列问题： （1）求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数； （2）将条形统计图补充完整； （3）若规定：假期阅读 4 本及 4 本以上课外书者为“优秀阅读者” ，据此估计该校 2500 名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有多少人？ 第 20 页（共 30 页） 【分析】 （1）根据读两本的人数除以读两本人数所占的百分比，可得抽测人数，根据中 位数的定义，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得读 4 本的人数，可得答案；
31、 （3）根据样本估计总体，可得答案 【解答】解： （1）1020%50，被调查的人数为 50，被抽查学生课外阅读量的中位 数 3； （2）5041015615， 补充如图； （3）25001050（人） ， 答：估计该校 2500 名学生中，在这次暑假期间“优秀阅读者”约有 1050 人 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 20 （7 分）某学校有一栋教学楼 AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端 C 处 测得教学楼顶端 A 的仰角为 60，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端 E 处，又测得
32、教学 楼顶端 A 的仰角为 45已知斜坡的坡角（ECD）为 30，坡面长度 CE6m，求楼 第 21 页（共 30 页） 房 AB 的高度 （1.4，1.7 结果保留整数） 【分析】 过 E 作 EFAB 于 F， 得到四边形 BDEF 是矩形， 根据矩形的性质得到 EFDB， BFDE，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 E 作 EFAB 于 F， 则四边形 BDEF 是矩形， EFDB，BFDE， 在 RtCDE 中，EDC90，CE6m，DCE30， DE3m，CD3m， 设 BCxm， AEF45， EFAFBD（3+x）m， ABAF+BF（3+3+x）m， 在 RtABC 中
33、，tan60， 解得：x6+3， AB19m 答：楼房 AB 的高度大约为 19 米 第 22 页（共 30 页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角 俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 21 （7 分） 郑州市城市生活垃圾分类管理办法于 2019 年 12 月起施行某社区要投放 A， B 两种垃圾桶，负责人小李调查发现： 购买数量 种类 购买数量少于 100 个 购买数量不少于 100 个 A 原价销售 以原价的 7.5 折销售 B 原价销售 以原价的 8 折销售 若购买 A 种垃圾桶 80 个，B 种垃圾桶 120 个，则共需付款 688
34、0 元；若购买 A 种垃圾桶 100 个，B 种垃圾桶 100 个，则共需付款 6150 元 （1）求 A，B 两种垃圾桶的单价各为多少元？ （2） 若需要购买 A， B 两种垃圾桶共 200 个， 且 B 种垃圾桶不多于 A 种垃圾桶数量的， 如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由 【分析】 （1）设 A 种垃圾桶的单价为 x 元，B 种垃圾桶的单价为 y 元，根据“购买 A 种 垃圾桶 80 个，B 种垃圾桶 120 个，则共需付款 6880 元；若购买 A 种垃圾桶 100 个，B 种垃圾桶 100 个，则共需付款 6150 元”列出方程组并解答； （2）设购买 A 种垃圾桶为
35、 a 个，则购买 B 种垃圾桶为（200a）个，根据“B 种垃圾桶 不多于 A 种垃圾桶数量的”列出不等式并求得 a 的取值范围，再根据一次函数的性质 解答即可 【解答】解： （1）设 A 种垃圾桶的单价为 x 元，B 种垃圾桶的单价为 y 元，根据题意得 ， 解得， 答：A 种垃圾桶的单价为 50 元，B 种垃圾桶的单价为 30 元； （2）设购买 A 种垃圾桶为 a 个，则购买 B 种垃圾桶为（200a）个，根据题意得 ， 解得 a150； 第 23 页（共 30 页） 设购买 A，B 两种垃圾桶的总费用为 W 元，则 W0.7550a+30（200a）7.5a+6000， k7.50，
36、W 随 x 的增大而增大， 当 a150 时，花费最少，最少费用为：7.5150+60007125（元） 答：购买 A 种垃圾桶 150 个，B 种垃圾桶 50 个花费最少，最少费用为 7125 元 【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂 题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系 22 （7 分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的 4 张牌的正面，将它们正面朝 下洗匀后放在桌面上 （1）小红从 4 张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 ； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的 3 张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上 的数
37、字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率 【分析】 （1）根据概率公式计算即可 （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率 公式求解 【解答】解： （1）4 张牌中有 3 张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是 故答案为 （2）解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为 6， 所以小红获胜的概率 第 24 页（共 30 页） 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率 23
38、 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂 足为点 D，AD 交O 于点 E，连接 CE，CB （1）求证：CECB； （2）若 AC，CE2，求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OC、OE，根据切线的性质得到 OCCD，根据平行线的性质、等腰 三角形的性质得到DACOAC，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理 证明结论； （2）根据勾股定理求出 AB，证明DACCAB，根据相似三角形的性质列出比例式， 代入计算得到答案 【解答】 （1）证明：连接 OC、OE， CD 是O 的切线， OCCD， ADCD， OCAD， DACOCA，
39、 OAOC， OACOCA， DACOAC， 由圆周角定理得，BOC2OAC，EOC2DAC， BOCEOC， CECB； （2）解：由（1）可知，BCCE2， 第 25 页（共 30 页） AB 是O 的直径， ACB90， AB3， DACBAC，ADCACB90， DACCAB， ，即， 解得，DC 【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的 切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 24 （10 分）设抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（m，0） ，与 y 轴交于点 C且ACB90 （1）求抛物线的解析式 （2）已知过
40、点 A 的直线 yx+1 交抛物线于另一点 E，且点 D（1，3）在抛物线上问： 在 x 轴上是否存在点 P，使以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似？若存在，请求 出所有符合要求的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线的解析式可知 OC2，由于ACB90，可根据射影定理求 出 OB 的长，即可得出 B 点的坐标，也就得出了 m 的值然后根据 A，B，C 三点的坐标， 用待定系数法可求出抛物线的解析式 （2）本题要分情况进行讨论，如果过 E 作 x 轴的垂线，不难得出DBx135，而 第 26 页（共 30 页） ABE 是个钝角但小于 135，因此 P 点只
41、能在 B 点左侧可分两种情况进行讨论： DPBABE，即DBPEAB，可得出 BP：APBD：AE，可据此来求出 P 点的坐 标PDBABE，即DBPBAE，方法同，只不过对应的成比例线段不一 样综上所述可求出符合条件的 P 点的值 【解答】解： （1）令 x0，得 y2， C（0，2） ， ACB90，COAB， AOCCOB， OAOBOC2 OB4， m4， B（4，0） ， 将 A（1，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx2 得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2x2； （2）解得， E（6，7） ， 过 E 作 EHx 轴于 H，则 H（6，0） ， AHEH7， EAH45，
42、过 D 作 DFx 轴于 F，则 F（1，0） ， BFDF3 DBF45， EAHDBF45， DBH135，90EBA135 第 27 页（共 30 页） 则点 P 只能在点 B 的左侧，有以下两种情况： 若DBP1BAE，则， BP1 OP14， P1（，0） ； 若DBP2BAE，则， BP2 OP24， P2（，0） 综合、，得点 P 的坐标为：P1（，0）或 P2（，0） 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知 识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 25 （12 分）问题探究： （1）如图 1，AOB45，在AOB 内部有
43、一点 P，分别作点 P 关于边 OA、OB 的对 称点 P1，P2顺次连接 O，P1，P2，则OP1P2的形状是 等腰直角 三角形 （2）如图 2，在ABC 中，ABAC，BAC30，ADBC 于 D，AD2+，求： ABC 的面积 问题解决： （3）如图 3，在四边形 ABCD 内有一点 P，点 P 到顶点 B 的距离为 10，ABC60， 点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，顺次连接 P、M、N，使PMN 在周长最小的情况 下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出PMN 的面积的最大值；若不 第 28 页（共 30 页） 存在，请说明理由 【分析】 （1）如图，OP1P2
44、是等腰直角三角形证明 OP1OP2，P1OP290即可 （2）如图 2 中，在 AD 上取一点 E，使得 AEEC，连接 EC证明DECEAC+ ECA30，设 CDBDx，则 ECEA2x，DEx，构建方程求出 x 即可解决问 题 （3）存在如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 BC 的对称点 H，连接 GH， 交 AB，BC 于点 M，N，此时PMN 的周长最小，易知 SBGHGHBO25，由 S四边形BMPNSBGM+SBNHSBGHSBMN，推出 SBMN的值最小时，S四边形BMPN的值 最大，此时 SPMN的面积最大 【解答】解： （1）如图 1 中，OP1P2是等腰直角三角形 理由：点 P 关于边 OA、OB 的对称点分别为 P1，P2， OPOP1OP2，AOPAOP1，BOPBOP2， AOB45， P1OP22（AOP+BOP）90， OP1P2是等腰直角三角形 故答案为等腰直角 第 29 页（共 30 页） （2）如图 2 中，在 AD 上取一点 E，使得 AEEC，连接 EC ABAC，ADBC， EACBAC15， EAEC， EACECA15， DECEAC+ECA30，设 CDBDx，则