1、据报道，2020 年某市户籍人口中，60 岁以上的老人有 1230000 人，预计未来五 年该市人口“老龄化”还将提速将 1230000 用科学记数法表示为（ ） A12.3105 B1.23105 C0.12106 D1.23106 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5m+2m7m2 B2m2m32m5 C （a2b）3a6b3 D （b+2a） （2ab）b24a2 3 （3 分）如图，已知O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 是O 上任意一点，则BEC 的度数为（ ） A45 B30 C60 D90 4 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） Am2+n2（m+n） （mn） B
2、x2+2x1（x1）2 Ca2aa（a1） Da2+2a+1a（a+2）+1 5 （3 分）把 a的根号外的 a 移到根号内得（ ） A B C D 6 （3 分）如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB，若AOB 15，则AOB的度数是（ ） A25 B30 C35 D40 第 2 页（共 25 页） 7 （3 分）某校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前 13 名参加决赛，其中一 名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25 名同学成绩的（ ） A最高分 B中位数 C方差 D平均数 8 （3 分）如图，C、D 是以 AB 为直径、O 为圆心
3、的半圆上的两点，ODBC，OD 与 AC 交于点 E，下列结论中不一定成立的是（ ） AADDC BACB90 CAOD 是等边三角形 DBC2EO 9 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ） A2cm2 B4cm2 C8cm2 D16cm2 10 （3 分） 九年级学生去距学校 10km 的博物馆参观， 一部分学生骑自行车先走， 过了 20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍， 求骑车学生的速度设骑车学生的速度为 xkm/h，则所列方程正确的是（ ） A B20 C+ D+20 二、认真填一填，试试自己的身手！本大题
4、共二、认真填一填，试试自己的身手！本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分.只要求填写最只要求填写最 后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上. 11 （3 分）若+有意义，则 12 （3 分）如图，ABC 中，ABAC15cm，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E， 第 3 页（共 25 页） 若 BC8cm，则EBC 的周长为 cm 13 （3 分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AEEF，EFFC，并且 AE6， EF8，FC10，则正方形的边长为 14 （3 分）如图，A、B 两点在双曲线 y
5、上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影1，则 S1+S2 15 （3 分）如图，一次函数 y1x1 与反比例函数 y2的图象交于点 A（2，1） ， B（1，2） ，则使 y1y2的 x 的取值范围是 三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本大题共 7 小题，共小题，共 55 分）请认真读题，冷静思考解答题应写出文字分）请认真读题，冷静思考解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 16 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a2cos30+（） 1（ 3）0 第 4 页（共 25 页） 17 （6 分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更
6、多样、便捷某校数学兴 趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种） ，在全校范围内 随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的 信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的 度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信” 、 “QQ” 、 “电话”三种沟通方式中选一种方式 与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式 的概率 18 （7 分）
7、如图，在图中求作P，使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距 离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19 （7 分）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种 品牌的足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元 （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球 共 50 个， 正好赶上商场对商品价格进行调整， A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，
8、B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总 第 5 页（共 25 页） 费用不超过第一次花费的 70%， 且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个， 则这次学 校有哪几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 20 （9 分）在 RtABC 中，ACB90，BE 平分ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为 直径的O 经过点 E，且交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长 21 （9 分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于1，记为 i21，
9、这个数 i 叫做虚数单位，把形如 a+bi （a，b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部它 的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 例如计算： （2i）+（5+3i）（2+5）+（1+3）i7+2i； （1+i）（2i）12 i+2ii22+（1+2）i+13+i 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3 ，i4 ； （2）计算： （3+2i）（1i） ； （3）计算：i+i2+i3+i4+i2020 22 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c，经过点 A（1，3） 、B（0， 1） ，过点 A 作 x 轴的平行线交
10、抛物线于另一点 C （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2） 如图 1， 点 M 是第一象限中 BC 上方抛物线上的一个动点， 过点作 MHBC 于点 H， 作 MEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，在点 M 运动的过程中，MFH 的周长是否存在最大 值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AB，在 y 轴上取一点 P，使ABP 和ABC 相似，请求出符合要求的 第 6 页（共 25 页） 点 P 坐标 第 7 页（共 25 页） 2020 年山东省济宁市曲阜师大附属梁山中学中考数学一模试卷年山东省济宁市曲阜师大附属梁山中学中考数学一模试卷 参考答案与试
11、题解析参考答案与试题解析 一、选择题：精心选一选，相信自己的判断力！ （本题共一、选择题：精心选一选，相信自己的判断力！ （本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.） 1 （3 分）据报道，2020 年某市户籍人口中，60 岁以上的老人有 1230000 人，预计未来五 年该市人口“老龄化”还将提速将 1230000 用科学记数法表示为（ ） A12.3105 B1.23105 C0.12106 D1.23106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值
12、与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 1230000 用科学记数法表示为 1.23106 故选：D 【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形 式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5m+2m7m2 B2m2m32m5 C （a2b）3a6b3 D （b+2a） （2ab）b24a2 【分析】A、依据合并同类项法则计算即可；B、依据单项式乘单项式法则计算即可；C、 依据积的乘方法则计算即可；D、依据平方差公
13、式计算即可 【解答】解：A、5m+2m（5+2）m7m，故 A 错误； B、2m2m32m5，故 B 错误； C、 （a2b）3a6b3，故 C 正确； D、 （b+2a） （2ab）（2a+b） （2ab）4a2b2，故 D 错误 故选：C 【点评】本题主要考查的是整式的计算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式法则、 积的乘方法则以及平方差公式是解题的关键 3 （3 分）如图，已知O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 是O 上任意一点，则BEC 的度数为（ ） 第 8 页（共 25 页） A45 B30 C60 D90 【分析】连接 OC、OB，根据圆周角和圆心角的关系解答即可 【解答】
14、解：相同的弦所对的弧相同， 36090， BEC9045 故选：A 【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，同时要熟悉圆周角和圆心角 的关系 4 （3 分）下列因式分解正确的是（ ） Am2+n2（m+n） （mn） Bx2+2x1（x1）2 Ca2aa（a1） Da2+2a+1a（a+2）+1 【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案 【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误； B、x2+2x1 无法分解因式，故此选项错误； C、a2aa（a1） ，正确； D、a2+2a+1（a+1）2，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因
15、式法分解因式，正确应用乘法公式是解题 关键 第 9 页（共 25 页） 5 （3 分）把 a的根号外的 a 移到根号内得（ ） A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 a0，原式变形为（a） ，然后利用 二次根式的性质得到，再把根号内化简即可 【解答】解：0， a0， 原式（a） 故选：C 【点评】本题考查了二次根式的性质：a（a0） 6 （3 分）如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB，若AOB 15，则AOB的度数是（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答 案即可 【解答】解：将
16、AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到AOB， AOA45，AOBAOB15， AOBAOAAOB451530， 故选：B 【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出AOA45，AOB AOB15是解题关键 第 10 页（共 25 页） 7 （3 分）某校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前 13 名参加决赛，其中一 名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25 名同学成绩的（ ） A最高分 B中位数 C方差 D平均数 【分析】根据中位数的意义分析 【解答】解：某校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前 13 名参加决赛， 其中一名同
17、学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25 名同学成绩的中 位数 故选：B 【点评】 此题主要考查统计的有关知识， 主要包括平均数、 中位数、 众数、 方差的意义 反 映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统 计量进行合理的选择和恰当的运用 8 （3 分）如图，C、D 是以 AB 为直径、O 为圆心的半圆上的两点，ODBC，OD 与 AC 交于点 E，下列结论中不一定成立的是（ ） AADDC BACB90 CAOD 是等边三角形 DBC2EO 【分析】根据圆周角定理可得ACB90，再根据平行可得 DOAC，根据垂径定理 可得 ADCD，然后再
18、证明AEOACB，可得 EO：ABAO：BC1：2 【解答】解：连接 CD， AB 为直径， ACB90， ODBC， AEOACB90， DOAC， ADCD，故 A、B 正确； AODO，不一定等于 AD，因此 C 错误； O 为圆心， 第 11 页（共 25 页） AO：AB1：2， EOBC， AEOACB， EO：ABAO：BC1：2， BC2EO，故 D 正确； 故选：C 【点评】此题主要考查了圆周角定理和相似三角形的性质，关键是掌握圆（或直径）所 对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径，垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧 9 （3 分）一个几何体的三视图如图所示
19、，这个几何体的侧面积为（ ） A2cm2 B4cm2 C8cm2 D16cm2 【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此 几何体为圆锥，那么侧面积底面周长母线长2 【解答】解：此几何体为圆锥； 半径为 1，圆锥母线长为 4， 侧面积2rR221424； 故选：B 【点评】本题考查了圆锥的计算，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题 第 12 页（共 25 页） 的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角 三角形 10 （3 分） 九年级学生去距学校 10km 的博物馆参观， 一部分学生骑自行车先走， 过了 20min
20、 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍， 求骑车学生的速度设骑车学生的速度为 xkm/h，则所列方程正确的是（ ） A B20 C+ D+20 【分析】表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑车行驶的时间减去时间差 列方程即可 【解答】解：设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车的速度为 2xkm/h， 由题意得，+ 故选：C 【点评】本题考查了实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时 间的关系是解题的关键 二、认真填一填，试试自己的身手！本大题共二、认真填一填，试试自己的身手！本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
21、，共 15 分分.只要求填写最只要求填写最 后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上. 11 （3 分）若+有意义，则 1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到 x0，由此可以求得的值 【解答】解：由题意，得 ， 解得 x0， 则1 故答案是：1 【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二 次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 12 （3 分）如图，ABC 中，ABAC15cm，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E， 若 BC8cm，则EBC 的周长为 23 cm 第 13 页（共 25 页）
22、【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AEBE，求出EBC 的周长是 BC+BE+EC BC+AC，代入求出即可 【解答】解：AB 的垂直平分线 DE， AEBE， ABAC15cm，BC8cm， EBC 的周长是 BC+BE+ECBC+AE+CEBC+AC8+1523cm 故答案为：23 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直 平分线上的点到线段两个端点的距离相等 13 （3 分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AEEF，EFFC，并且 AE6， EF8，FC10，则正方形的边长为 4 【分析】首先连接 AC，则可证得AEMCFM，根据相似三
23、角形的对应边成比例，即 可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长，进而得到 AC 的长，在 RtABC 中，由 ABACsin45，即可求出正方形的边长 【解答】解：连接 AC， AEEF，EFFC， EF90， AMECMF， AEMCFM， ， 第 14 页（共 25 页） AE6，EF8，FC10， ， EM3，FM5， 在 RtAEM 中，AM3， 在 RtFCM 中，CM5， AC8， 在 RtABC 中，ABACsin4584， 故答案为：4 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用此 题综合性较强，解题时要注意数形结合
24、思想的应用 14 （3 分）如图，A、B 两点在双曲线 y上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影1，则 S1+S2 6 【分析】欲求 S1+S2，只要求出过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段求出与坐标轴所形成 的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线 y的系数 k，由此即可求出 S1+S2 【解答】解：点 A、B 是双曲线 y上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线 段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|4， S1+S24+4126 第 15 页（共 25 页） 故答案为 6 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义
25、，有一定的难度 15 （3 分）如图，一次函数 y1x1 与反比例函数 y2的图象交于点 A（2，1） ， B（1，2） ，则使 y1y2的 x 的取值范围是 x2 或 0x1 【分析】根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量 x 的取值范围 【解答】解：使 y1y2的 x 的取值范围是点 A 左侧和点 B 的左侧到 y 轴之间部分， 所以 x2 或 0x1 故答案为：x2 或 0x1 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质 才能灵活解题 （1）反比例函数 ykx 的图象是双曲线，当 k0 时，它的两个分支分别位于第一、三 象限；当 k0 时
26、，它的两个分支分别位于第二、四象限 （2）一次函数 ykx+b 的图象有四种情况：当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过 第一、二、三象限；当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限；当 k0，b0 时， 函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限 三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本大题共 7 小题，共小题，共 55 分）请认真读题，冷静思考解答题应写出文字分）请认真读题，冷静思考解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 16 （6 分）先化简，再求值： （），其中
27、a2cos30+（） 1（ 3）0 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数 值、负整数指数幂与零指数幂得到 a 的值，继而将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 （a+1） （a+1） 第 16 页（共 25 页） ， 当 a2cos30+（） 1（3）02 +21+1 时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂 17 （6 分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴 趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一
28、种） ，在全校范围内 随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的 信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了 100 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的 度数为 108 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信” 、 “QQ” 、 “电话”三种沟通方式中选一种方式 与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式 的概率 【分析】 （1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用 QQ
29、的 百分比即可求出 QQ 的扇形圆心角度数 （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图 （3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计 1500 名学生中喜欢用微信进行沟通 的人数即可求出答案； （4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况 后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率 第 17 页（共 25 页） 【解答】解： （1）喜欢用电话沟通的人数为 20，所占百分比为 20%， 此次共抽查了：2020%100 人 喜欢用 QQ 沟通所占比例为：， QQ”的扇形圆心角的度数为：360108 （2）喜欢用短信的人数为：1005%5
30、人 喜欢用微信的人数为：10020530540 补充图形，如图所示： （3）喜欢用微信沟通所占百分比为：100%40% 该校共有 1500 名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：150040% 600 人 （4）列出树状图，如图所示 所有情况共有 9 种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有 3 种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 故答案为： （1）100；108 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属 于中等题型 18 （7 分）如图，在图中求作P，使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P
31、 到AOB 两边的距 离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作AOB 的角平分线，作 MN 的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点 为圆心，以圆心到 M 点（或 N 点）的距离为半径作圆 【解答】解：如图所示 圆 P 即为所作的圆 【点评】本题考查作图复杂作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的 性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直 平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键 19 （7 分）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4
32、500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种 品牌的足球多花 30 元 第 19 页（共 25 页） （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元 （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球 共 50 个， 正好赶上商场对商品价格进行调整， A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元， B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总 费用不超过第一次花费的 70%， 且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个， 则这次学 校有哪几种购买方案？ （3）请你求出学校在第二次购买
33、活动中最多需要多少资金？ 【分析】 （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“总费 用买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球单价比 A 种足球贵 30 元”可得出 关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 种足球（50m）个，根据“总费用买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球不小于 23 个”可得出关于 m 的一元一次不 等式组，解不等式组可得出 m 的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，A、B 种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求
34、出花费 最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元， 依题意得：，解得： 答：购买一个 A 种品牌的足球需要 50 元，购买一个 B 种品牌的足球需要 80 元 （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 种足球（50m）个， 依题意得：， 解得：25m27 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买 A 种足球 25 个，B 种足球 25 个； 方案二：购买 A 种足球 26 个，B 种足球 24 个； 方案三：购买 A 种足球 27 个，B 种足球 23 个 （3）第二次购买足球时，A 种足球单价为 50+454（元
35、） ，B 种足球单价为 800.9 72（元） ， 当购买方案中 B 种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多 2554+25723150（元） 第 20 页（共 25 页） 答：学校在第二次购买活动中最多需要 3150 元资金 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键 是： （1）根据数量关系找出关于 x、y 的二元一次方程组； （2）根据数量关系找出关于 m 的一元一次不等式组； （3）确定花费最多的方案本题属于中档题，难度不大，解决该 题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键 20 （9 分）在 RtABC 中，ACB90，B
36、E 平分ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为 直径的O 经过点 E，且交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 BF6，O 的半径为 5，求 CE 的长 【分析】 （1）连接 OE，证明OEA90即可； （2）连接 OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，利用 垂径定理和勾股定理计算出 OH 的长，进而求出 CE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OE OEOB， OBEOEB， BE 平分ABC， OBEEBC， EBCOEB， OEBC， OEAC， ACB90， OEA90 AC 是O 的切线； 第 21 页（共
37、25 页） （2）解：连接 OE、OF，过点 O 作 OHBF 交 BF 于 H， 由题意可知四边形 OECH 为矩形， OHCE， BF6， BH3， 在 RtBHO 中，OB5， OH4， CE4 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性 21 （9 分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于1，记为 i21，这个数 i 叫做虚数单位，把形如 a+bi （a，b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部它 的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 例如计算： （2
38、i）+（5+3i）（2+5）+（1+3）i7+2i； （1+i）（2i）12 i+2ii22+（1+2）i+13+i 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3 i ，i4 1 ； （2）计算： （3+2i）（1i） ； 第 22 页（共 25 页） （3）计算：i+i2+i3+i4+i2020 【分析】 （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用多项式乘多项式法则，以及题中的新定义计算即可求出值； （3）原式利用题中的新定义计算即可求出值 【解答】解： （1）i3i，i41， 故答案为：i，1； （2） （3+2i）（1i） 313i+2i12ii 33i+2i2i2 3+（
39、3+2）i+2 5i； （3）原式i1i+1+i1i+1+i+1 （i1i+1）505 0 【点评】此题考查了实数的运算，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的 新定义是解本题的关键 22 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c，经过点 A（1，3） 、B（0， 1） ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2） 如图 1， 点 M 是第一象限中 BC 上方抛物线上的一个动点， 过点作 MHBC 于点 H， 作 MEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，在点 M 运动的过程中，MFH 的周长是否存在最大 值？若存
40、在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AB，在 y 轴上取一点 P，使ABP 和ABC 相似，请求出符合要求的 点 P 坐标 第 23 页（共 25 页） 【分析】 （1）将 A（1，3） ，B（0，1） ，代入抛物线 y，即可得出答案； （2） 延长 CA 交 y 轴于点 D， 由点 C （4， 3） 可求得， 由 tanCtan， 设 M（a，） ，求得 F，则 MF，由勾股定理得， MF，所以MFH 的周长可用 MF 表示，最后利用二次函数的性 质解决问题； （3）由，CDB 为公共角，可得ABDBCD从而ABDBCD分 1当PABABC 时，2当PABBAC
41、 时两种情况讨论即可得出答案 【解答】解： （1）将 A（1，3） ，B（0，1） ，代入， ，解得， 抛物线的解析式为 y， 顶点坐标为（） ； （2）延长 CA 交 y 轴于点 D，由对称性得 C（4，3） 则 CD4，BD2， 设直线 BC 的解析式为 ykx+m，则有，解得， 直线 BC 的解析式为， 设 M（a，） ，则 F（a，） ， MFMEEF， MHBC 于点 H，MEx 轴， 第 24 页（共 25 页） M+MFH90，C+MFH90， MC， 在Rt MFH和Rt BDC中 ， tan C tan M ， ， FH：MH：MF1：2：， FH，MH， FMH的 周 长 FH+MH+MF ， 当 a2 时，FMH 的周长最大，最大值为 ，此时 M 点的坐标为（2，4） （3），CDB 为公共角， ABDBCD ABDBCD 1当PABABC 时， BC， ，AC3， ， 第 25 页（共 25 页） 2当PABBAC 时， ， ， ， 综上所述满足条件的 P 点有， 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次 函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质