1、窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下 列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若12，3125，则4 的度数是 （ ） A65 B60 C55 D75 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+kx20（k 为实数）根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 5 （3 分）从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体 如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ） 第 2
2、页（共 30 页） A B C D 6 （3 分）研究表明，某新型冠状病毒体大小约为 125 纳米也就是 0.125 微米，而 95 口罩能 过滤 0.3 微米的颗粒，并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体” ，而非 直接挡住病毒1 纳米就是 0.000000001 米那么 0.3 微米用科学记数法表示为（ ） A310 9 米 B0.310 8 米 C310 5 米 D310 7 米 7 （3 分）AB 和 DE 是直立在水平地面上的两根立柱，AB7 米，某一时刻测得在阳光下的 投影 BC4 米，同时，测量出 DE 在阳光下的投影长为 6 米，则 DE 的长为（ ） A米 B米
3、C米 D米 8 （3 分）如图，点 A 的坐标是（3，0） ，点 B 的坐标是（0，8） ，C 为 OB 的中点，将 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到ABC，若反比例函数 y的图象恰好经过 AB 的中点 D，则 k 的值是（ ） A24 B25 C26 D30 9 （3 分）如图，AOB60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA，OB 于 C，D 两点；分别以 C，D 为圆心，以大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；以 O 为端 点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM6cm，则射线 OA 上与点 M 的距离为 2cm 的点有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D
4、0 个 第 3 页（共 30 页） 10 （3 分）如图，O 中，ACB75，BC4，阴影部分的面积是（ ） A+8 B4+ C8+ D4+ 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11 （3 分）方程（x2） （x+）0 的解为 12 （3 分）在平面直角坐标系，点 A 坐标（2，4） ，点 B 坐标（4，0） ，点 P 是线段 AB 的中点，若以原点 O 为位似中心，把线段 AB 缩小为原来的得到线段 AB，则点 P 的对应点 P坐标是 13（3分） 如图， 四边形ABCD内接于圆O， 四边形ABCO是平行四边形， 则ADC 14（
5、3 分） 如图， 一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上， 这时测得ABO70， 如果梯子的底端 B 外移到 D，则梯子顶端 A 下移到 C，这时又测得CDO50，那么 AC 的长度约为 米 （sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos50 0.64） 15 （3 分）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 的对应点为 C，再将 所折得的图形沿 EF 折叠，使得点 D 和点 A 重合若 AB3，BC4，则折痕 EF 的长 为 第 4 页（共 30 页） 三、解答压（共三、解答压（共 8 小题，满分小题，满分 0 分）分） 16 （
6、1） （） 1+ 2tan30（1）0 （2）解方程： 3x7（x1）32（x+3） ； x（x7）8（7x） 17如图，已知菱形中 ABCD，且BAD60，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 BD 和 CE （1）求证：DABCBE； （2）求证：四边形 DBEC 是菱形 18如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象交 于 A（4，2） 、B（2，n）两点，与 x 轴交于点 C （1）求 k2，n 的值； （2）请直接写出不等式 k1x+b的解集； （3）将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折，点 A 落在点 A处，连接 AB，AC，求A BC 的面积
7、 第 5 页（共 30 页） 19 “一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德2 月 20 日 13 时 25 分，山西第 12 批 支援武汉医疗队整装出发，在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共 1500 多人奔 赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排 需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题 （1）小丽被派往急诊科的概率是 ； （2）若正好抽出她们一同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和 小王同时被派往发热门诊的概率 20为确保贫困人口到 2020 年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精
8、准， 成败之举在于精准” ，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植 一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量 是亩产约 1000 千克 （1）预计明年这种水果产量要达到亩产 1440 千克，求这种水果亩产量去年到明年平均 每年的增长率为多少？ （2）某水果店从果农处直接以每千克 24 元批发，专营这种水果调查发现，若每千克 的平均销售价为 41 元，则每天可售出 300 千克，若每千克的平均销售价每降低 3 元，每 天可多卖出180千克， 设水果店一天的利润为w元， 当每千克的平均销售价为多少元时 该 水果店一天的利润最大，最大利润是多少
9、？（利润计算时，其它费用忽略不计） 21在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现： “如图 1，在 RtABC 中，C 90，可探究得到” （1）请你利用图 1 探究说明小亮的说法是否正确； （2）小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一 定的关系 “在图 2 的钝角ABC 中， B 是钝角， 请你利用图 2 帮小丽探究与 第 6 页（共 30 页） 之间的关系，并写出探究过程 （3）在锐角ABC 中，之间存在什么关系，请你探究并直接写出 结论 22阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作 垂线，即可得三垂直
10、模型”如图：在ABC 中，ACB90，ACBC，分别过 A、 B 向经过点 C 直线作垂线，垂足分别为 D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB （1） 探究问题： 如果 ACBC， 其他条件不变， 如图， 可得到结论； ADCCEB 请 你说明理由 （2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线 yx 与直线 CD 交于点 M（2， 1） ，且两直线夹角为 ，且 tan，请你求出直线 CD 的解析式 （3）拓展应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 E 为 BC 边上一个动点， 连接 BE，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90，点 A 落在点 P 处，当点 P 在矩形 AB
11、CD 外部时，连接 PC，PD若DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出 BE 的长 23如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，C（0，2） ，对称轴为直线 x （1）求该抛物线和直线 BC 的解析式； （2）点 G 是直线 BC 上方抛物线上的动点，设 G 点的横坐标为 m，试用含 m 的代数式 表示GBC 的面积，并求出GBC 面积的最大值； （3）设 R 点是直线 x1 上一动点，M 为抛物线上的点，是否存在点 M，使以点 B、C、 第 7 页（共 30 页） R、M 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点 M 坐标， 不存在说明理由
12、 第 8 页（共 30 页） 2020 年山西省晋中市平遥县中考数学一模试卷年山西省晋中市平遥县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2020 的绝对值的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用绝对值的性质以及倒数的定义分别分析得出答案 【解答】解：2020 的绝对值为 2020， 2020 的倒数是： 故选：C 【点评】此题主要考查了绝对值和倒数，正确掌握相关定义是解题关键 2 （3 分）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下 列表示我
13、国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分重合 第 9 页（共 30 页） 3 （3 分）如图，直线 a，b
14、被直线 c，d 所截，若12，3125，则4 的度数是 （ ） A65 B60 C55 D75 【分析】首先证明 ab，推出45，求出5 即可 【解答】解：12， ab， 45， 5180355， 455， 故选：C 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+kx20（k 为实数）根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求 【解答】解： 由根的判别式得，b24ack2+80 故有两个不相等的实数根 故选：A 【点评】
15、此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（ b24ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系： 第 10 页（共 30 页） 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根； 当0 时，方程无实数根，但有 2 个共轭复根上述结论反过来也成立 5 （3 分）从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体 如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ） A B C D 【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图 【解答】解：如图所示：从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的
16、小立方 体， 该几何体的左视图为： 故选：C 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键 6 （3 分）研究表明，某新型冠状病毒体大小约为 125 纳米也就是 0.125 微米，而 95 口罩能 过滤 0.3 微米的颗粒，并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体” ，而非 直接挡住病毒1 纳米就是 0.000000001 米那么 0.3 微米用科学记数法表示为（ ） A310 9 米 B0.310 8 米 C310 5 米 D310 7 米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用
17、的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.3 微米0.30.0000000011000 米310 7 米 故选：D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 第 11 页（共 30 页） 7 （3 分）AB 和 DE 是直立在水平地面上的两根立柱，AB7 米，某一时刻测得在阳光下的 投影 BC4 米，同时，测量出 DE 在阳光下的投影长为 6 米，则 DE 的长为（ ） A米 B米 C米 D米 【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长
18、成比例，构建方程即可解决问题 【解答】解：如图，在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长 EF 为 6m， ABCDEF，AB7m，BC4m，EF6m ， ， DE（m） 故选：B 【点评】本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长 成比例 8 （3 分）如图，点 A 的坐标是（3，0） ，点 B 的坐标是（0，8） ，C 为 OB 的中点，将 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到ABC，若反比例函数 y的图象恰好经过 AB 的中点 D，则 k 的值是（ ） A24 B25 C26 D30 【分析】作 AHy 轴于 H证明AOBBHA（AAS）
19、，推出 OABH，OBA H，求出点 A坐标，再利用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题 【解答】解：作 AHy 轴于 H 第 12 页（共 30 页） AOBAHBABA90， ABO+ABH90，ABO+BAO90， BAOABH， BABA， AOBBHA（AAS） ， OABH，OBAH， 点 A 的坐标是（3，0） ，点 B 的坐标是（0，8） ， OA3，OB8， BHOA3，AHOB8， OH5， A（8，5） ， BDAD， D（4，） ， 反比例函数 y的图象经过点 D， k426 故选：C 【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识， 解
20、题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 9 （3 分）如图，AOB60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA，OB 于 C，D 两点；分别以 C，D 为圆心，以大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；以 O 为端 点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM6cm，则射线 OA 上与点 M 的距离为 2cm 的点有（ ） 第 13 页（共 30 页） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 【分析】根据作图过程可得 OP 平分AOB，以点 M 为圆心，2为半径作圆，与 OA 有两个交点 F 和 Q，可得射线 OA 上与点 M 的距离为 2cm 的点有 2 个 【解答
21、】解：根据作图过程可知： OP 平分AOB， AOPAOB30， 作 MEOA 于点 E， MEOM3， 以点 M 为圆心，2为半径作圆，与 OA 有两个交点 F 和 Q， 所以射线 OA 上与点 M 的距离为 2cm 的点有 2 个 故选：B 【点评】本题考查了作图基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是利用分类讨 论思想 10 （3 分）如图，O 中，ACB75，BC4，阴影部分的面积是（ ） 第 14 页（共 30 页） A+8 B4+ C8+ D4+ 【分析】连接 OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形 的圆心角为 60 度，即可求出半径的长 4，利用三角
22、形和扇形的面积公式即可求解； 【解答】解：作 ODBC，则 BDCD，连接 OA，OB，OC， OD 是 BC 的垂直平分线， ， ABAC， A 在 BC 的垂直平分线上， A、O、D 共线， ACB75，ABAC， ABCACB75， BAC30， BOC60， OBOC， BOC 是等边三角形， OAOBOCBC4， ADBC，ABAC， BDCD， ODOB2， AD4+2， SABCBCAD8+4， SBOCBCOD4， S阴影SABC+S扇形OBCSBOC8+4+48+； 第 15 页（共 30 页） 故选：A 【点评】 本题主要考查了扇形的面积公式， 圆周角定理， 垂径定理等，
23、明确 S阴影SABC+S 扇形OBCSBOC是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11 （3 分）方程（x2） （x+）0 的解为 x2 或 x0.5 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：（x2） （x+）0， x20，或 x+0， 解得 x2 或 x0.5， 故答案为：x2 或 x0.5 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键 12 （3 分）在平面直角坐标系，点 A 坐标（2，
24、4） ，点 B 坐标（4，0） ，点 P 是线段 AB 的中点，若以原点 O 为位似中心，把线段 AB 缩小为原来的得到线段 AB，则点 P 的对应点 P坐标是 （，1）或（，1） 【分析】根据线段中点的定义、坐标与图形性质求出点 P 的坐标，根据位似变换的性质 求出点 P 的对应点 P坐标 【解答】解：点 A 坐标（2，4） ，点 B 坐标（4，0） ，点 P 是线段 AB 的中点， 点 P 的坐标（3，2） ， 以原点 O 为位似中心，把线段 AB 缩小为原来的得到线段 AB， 点 P 的对应点 P坐标为（3，2）或（3，2） ，即（，1）或 （，1） ， 故答案为： （，1）或（，1）
25、【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变 换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 13 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，四边形 ABCO 是平行四边形，则ADC 第 16 页（共 30 页） 60 【分析】设ADC 的度数，ABC 的度数，由题意可得，求出 即可解决问题 【解答】解：设ADC 的度数，ABC 的度数； 四边形 ABCO 是平行四边形， ABCAOC； ADC，AOC；而 +180， ， 解得：120，60，ADC60， 故答案为：60 【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固
26、掌握该定理并能灵活运用 14（3 分） 如图， 一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上， 这时测得ABO70， 如果梯子的底端 B 外移到 D，则梯子顶端 A 下移到 C，这时又测得CDO50，那么 AC 的长度约为 1.02 米 （sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos50 0.64） 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 AO，CO 的长，进而得出答案 【解答】解：由题意可得： ABO70，AB6m， 第 17 页（共 30 页） sin700.94， 解得：AO5.64（m） ， CDO50，DC6m， sin500.77， 解得：CO4.6
27、2（m） ， 则 AC5.644.621.02（m） ， 答：AC 的长度约为 1.02 米 故答案为：1.02 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AO，CO 的长是解题关键 15 （3 分）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 的对应点为 C，再将 所折得的图形沿 EF 折叠，使得点 D 和点 A 重合若 AB3，BC4，则折痕 EF 的长为 【分析】 首先由折叠的性质与矩形的性质， 证得BND 是等腰三角形， 则在 RtABN 中， 利用勾股定理，借助于方程即可求得 AN 的长，又由ANBCND，易得：FDM ABN，由三角函数的性质即可求得 MF
28、 的长，又由中位线的性质求得 EM 的长，则 问题得解 【解答】解：设 BC与 AD 交于 N，EF 与 AD 交于 M， 根据折叠的性质可得：NBDCBD，AMDMAD，FMDEMD90， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC4，BAD90， ADBCBD， NBDADB， BNDN， 设 ANx，则 BNDN4x， 第 18 页（共 30 页） 在 RtABN 中，AB2+AN2BN2， 32+x2（4x）2， x， 即 AN， CDCDAB3，BADC90，ANBCND， ANBCND（AAS） ， FDMABN， tanFDMtanABN， ， ， MF， 由折叠的性质可得：
29、EFAD， EFAB， AMDM， MEAB， EFME+MF+ 故答案为： 【点评】此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股 定理等知识此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用 三、解答压（共三、解答压（共 8 小题，满分小题，满分 0 分）分） 16 （1） （） 1+ 2tan30（1）0 第 19 页（共 30 页） （2）解方程： 3x7（x1）32（x+3） ； x（x7）8（7x） 【分析】 （1）先计算负整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂， 再计算乘法，最后计算加减可得； （2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化
30、为 1 可得答案； 利用因式分解法求解可得 【解答】解： （1）原式2+321 2+31 1+； （2）3x7x+732x6， 3x7x+2x367， 2x10， x5； x（x7）8（x7） ， x（x7）+8（x7）0， （x7） （x+8）0， 则 x70 或 x+80， 解得 x7 或 x8 【点评】本题主要考查实数的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次 方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点 选择合适、简便的方法是解题的关键 17如图，已知菱形中 ABCD，且BAD60，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 BD 和 CE （1
31、）求证：DABCBE； （2）求证：四边形 DBEC 是菱形 第 20 页（共 30 页） 【分析】 （1）由“SAS”可证DABCBE； （2）先证四边形 DBEC 是平行四边形，通过证明ABD 是等边三角形，可得 BDAB BE，可得结论 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC， DABCBE，且 DABC，ABBE， DABCBE（SAS） （2）四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ABCDBE， 四边形 DBEC 是平行四边形， BAD60，且 ABAD， ABD 是等边三角形， BDABBE， 四边形 DBEC 是菱形 【点评】本题考查菱形的判定和性质
32、，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和 性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 18如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象交 于 A（4，2） 、B（2，n）两点，与 x 轴交于点 C （1）求 k2，n 的值； （2）请直接写出不等式 k1x+b的解集； （3）将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折，点 A 落在点 A处，连接 AB，AC，求A BC 的面积 第 21 页（共 30 页） 【分析】 （1）将 A 点坐标代入 y （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）求出对称点坐标，求面积 【解答】解： （1）将 A（4，2）代
33、入 y，得 k28 y 将（2，n）代入 y n4 k28，n4 （2）根据函数图象可知： 2x0 或 x4 （3）将 A（4，2） ，B（2，4）代入 yk1x+b，得 k11，b2 一次函数的关系式为 yx+2 与 x 轴交于点 C（2，0） 图象沿 x 轴翻折后，得 A（4，2） ， SABC（4+2）（4+2）44228 ABC 的面积为 8 【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点 解决不等式问题 19 “一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德2 月 20 日 13 时 25 分，山西第 12 批 支援武汉医疗队整装出发，在抗击新冠病毒战役中，我
34、省支援湖北医疗队共 1500 多人奔 赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排 需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题 第 22 页（共 30 页） （1）小丽被派往急诊科的概率是 ； （2）若正好抽出她们一同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和 小王同时被派往发热门诊的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情 况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）小丽被派往发热门诊的概率是； 故答案为：； （2）小丽、
35、小王和两个同事分别用 A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下： 由上可知；一共出现了 12 种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有 2 种情况， 则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总 情况数之比 20为确保贫困人口到 2020 年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准， 成败之举在于精准” ，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植 第
36、 23 页（共 30 页） 一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量 是亩产约 1000 千克 （1）预计明年这种水果产量要达到亩产 1440 千克，求这种水果亩产量去年到明年平均 每年的增长率为多少？ （2）某水果店从果农处直接以每千克 24 元批发，专营这种水果调查发现，若每千克 的平均销售价为 41 元，则每天可售出 300 千克，若每千克的平均销售价每降低 3 元，每 天可多卖出180千克， 设水果店一天的利润为w元， 当每千克的平均销售价为多少元时 该 水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计） 【分析】 （1）设今年这
37、种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 x，由题意得关于 x 的一元二次方程，解得 x 的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每千克的平均销售价为 m 元，由题意得关于 m 的二次函数，将其配方，写成顶 点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 x， 由题意，得：1000（1+x）21400， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：平均每年的增长率为 20% （2）设每千克的平均销售价为 m 元，由题意得： w（m24） （300+180） 60（m35）2+7260， 600， 当 m35 时，w 取得最
38、大值为 7260 答：当每千克平均销售价为 35 元时，一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出 函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键 21在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现： “如图 1，在 RtABC 中，C 90，可探究得到” （1）请你利用图 1 探究说明小亮的说法是否正确； （2）小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一 第 24 页（共 30 页） 定的关系 “在图 2 的钝角ABC 中， B 是钝角， 请你利用图 2 帮小丽探究与 之间的关系，并写出探究
39、过程 （3）在锐角ABC 中，之间存在什么关系，请你探究并直接写出 结论 【分析】 （1）利用A，B 的正弦函数表示出 c，即可解决问题 （2）作 BDAC 于 D利用A，C 的正弦函数表示出 BD，即可解决问题 （3）利用（2）中结论即可判断 【解答】解： （1）如图 1 中， 在 RtABC 中，sinA， c， 又sinB， c， ， 小亮说法正确 （2）解：作 BDAC 于 D 第 25 页（共 30 页） 在 RtABD 中，sinA， BDcsinA 在 RtBDC 中，sinC， BDasinC， csinaAasinC， （3）在锐角ABC 中，同法证明：， 【点评】本题属于三
40、角形综合题，考查了正弦函数的定义，解直角三角形等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 22阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作 垂线，即可得三垂直模型”如图：在ABC 中，ACB90，ACBC，分别过 A、 B 向经过点 C 直线作垂线，垂足分别为 D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB （1） 探究问题： 如果 ACBC， 其他条件不变， 如图， 可得到结论； ADCCEB 请 你说明理由 （2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线 yx 与直线 CD 交于点 M（2， 1） ，且两直线夹角
41、为 ，且 tan，请你求出直线 CD 的解析式 （3）拓展应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 E 为 BC 边上一个动点， 连接 BE，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90，点 A 落在点 P 处，当点 P 在矩形 ABCD 外部时，连接 PC，PD若DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出 BE 的长 第 26 页（共 30 页） 【分析】 （1）由同角的余角相等可得BCEDAC，且ADCBEC90，可得 结论； （2） 过点 O 作 ONOM 交直线 CD 于点 N， 分别过 M、 N 作 MEx 轴 NFx 轴， 由 （1） 的结论可得：NFOOEM，可得，可求点
42、 N 坐标，利用待定系数法可 求解析式； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解 【解答】解： （1）理由：ACB90， ACDBCE90， 又ADC90， ACD+DAC90， BCEDAC，且ADCBEC90， ADCCEB； （2） 如图， 过点 O 作 ONOM 交直线 CD 于点 N， 分别过 M、 N 作 MEx 轴 NFx 轴， 由（1）可得：NFOOEM， ， 点 M（2，1） ， OE2，ME1， tan， ， 第 27 页（共 30 页） NF3，OF， 点 N（，3） ， 设直线 CD 表达式：ykx+b， 直线 CD 的解析式为：yx+； （3
43、）当CDP90时，如图，过点 P 作 PHBC，交 BC 延长线于点 H， ADC+CDP180， 点 A，点 D，点 P 三点共线， BAPBH90， 四边形 ABHP 是矩形， ABPH3， 将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90， AEEP，AEP90， AEBPEH90，且BAE+AEB90， BAEPEH，且BH90，AEEP， ABEEHP（AAS） ， BEPH3， 当CPD90时，如图，过点 P 作 PHBC，交 BC 延长线于点 H，延长 HP 交 AD 的 延长线于 N，则四边形 CDNH 是矩形， 第 28 页（共 30 页） CDNH3，DNCH， 设 BEx，则 E
44、C5x， 将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90， AEEP，AEP90， AEBPEH90，且BAE+AEB90， BAEPEH，且BEHP90，AEEP， ABEEHP（AAS） ， PHBEx，ABEH3， PN3x，CH3（5x）x2DN， DPC90， DPN+CPH90，且CPH+PCH90， PCHDPN，且NCHP90， CPHPDH， ， x 点 P 在矩形 ABCD 外部， x， BE， 综上所述：当 BE 的长为 3 或时，DPC 为直角三角形 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性 质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三 角形是本题的关键 23如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（1，0） ，C（0，2） ，对称轴为直线 x 第 29 页（共 30 页） （1）求该抛物线和直线 BC 的解析式； （2）点 G 是直线 BC 上方抛物线上的动点，设 G 点的横坐标为 m，试用含 m 的代数式 表示GBC 的面积，并求出GBC 面积的最大值； （3）设 R 点是直线 x1 上一动点，M 为抛物线上的点，是否