1、下列四个数中，是负数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 2 （3 分）据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为 0.0002 米将数 0.0002 用科学记数法表示为（ ） A0.210 3 B0.210 4 C210 3 D210 4 3 （3 分）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2x2y+3xy5x3y2 B （2ab2）36a3b6 C （3a+b）29a2+b2 D （3a+b） （3ab）9a2b2 5 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 且 x1 Bx2 Cx1 D2
2、x1 6 （3 分）如图，BCDE，垂足为点 C，ACBD，B40，则ACE 的度数为（ ） A40 B50 C45 D60 7 （3 分）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动从九年级五个班收集到 的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（ ） A42 件 B45 件 C46 件 D50 件 8 （3 分）如图，一次函数 y1ax+b 和反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，则使 y1 y2成立的 x 取值范围是（ ） 第 2 页（共 25 页） A2x0 或 0x4 Bx2 或 0x4 Cx2 或 x4 D2x0 或 x4 9 （3 分
3、）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，P 为上的一点（点 P 不与点 D 重合） ， 则CPD 的度数为（ ） A30 B36 C60 D72 10 （3 分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积 为 25m2，圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ） A （30+5）m2 B40m2 C （30+5）m2 D55m2 11 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3An在 x 轴上，B1、B2、B3Bn在 直线 yx 上，若 A1（1，0） ，且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， 从左到右的小三
4、角形 （阴影部分） 的面积分别记为 S1、 S2、 S3Sn 则 Sn可表示为 （ ） 第 3 页（共 25 页） A22n B22n 1 C22n 2 D22n 3 12 （3 分）若关于 x 的不等式组恰有三个整数解，则 a 的取值范 围是（ ） A1a B1a C1a Da1 或 a 二、填空题二、填空题 13 （3 分）因式分解：x2y4y3 14（3 分） 若一元二次方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 15 （3 分）若关于 x 的分式方程+2m 有增根，则 m 的值为 16 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当
5、直线 l 沿射 线 BC 方向， 从点 B 开始向右平移时， 直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、 F 设 直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四 边形ABCD的周长 是 三、解答题三、解答题 17计算： （） 1（2019）0+2sin30 18如图，线段 AC、BD 相交于点 E，AEDE，BECE求证：BC 第 4 页（共 25 页） 19化简求值： （1），其中 x2 20 绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额， 绘制了如下折线统计图和扇形统 计图： 设销售员的月销售额为 x（单位：万元） 销售部
6、规定：当 x16 时为“不称职” ，当 16 x20 时为“基本称职” ，当 20x25 时为“称职” ，当 x25 时为“优秀” 根据以 上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图； （2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数； （3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达 到或超过这个标准的销售员将获得奖励如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员 的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理由 21仙桃是遂宁市某地的特色时令水果仙桃一上市，水果店的老板用 2400 元购进一批仙 桃，很快售完；老
7、板又用 3750 元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比 第一批每件多了 5 元 （1）第一批仙桃每件进价是多少元？ （2）老板以每件 225 元的价格销售第二批仙桃，售出 80%后，为了尽快售完，剩下的决 定打折促销要使得第二批仙桃的销售利润不少于 2460 元，剩余的仙桃每件售价至少打 几折？（利润售价进价） 22 水城门位于淀浦河和漕港河三叉口， 是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景 第 5 页（共 25 页） 观在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高他们的操作 方法如下： 如图，先在 D 处测得点 A 的仰角为 20，再往水城门的方向前进 13
8、米至 C 处，测得点 A 的仰角为 31（点 D、C、B 在一直线上） ，求该水城门 AB 的高 （精确到 0.1 米） （参 考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin310.52，cos310.86， tan310.60） 23已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m230 有实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 m2 时，方程的根为 x1，x2，求代数式（x12+2x1） （x22+4x2+2）的值 24如图，CD 是O 的直径，点 B 在O 上，连接 BC、BD，直线 AB 与 CD 的延长线相 交于点 A，AB2ADAC，OEB
9、D 交直线 AB 于点 E，OE 与 BC 相交于点 F （1）求证：直线 AE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，cosA，求 OF 的长 25如图，直线 y2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，把AOB 沿 y 轴对折，点 A 落 到点 C 处，过点 A、B 的抛物线 yx2+bx+c 与直线 BC 交于点 B、D （1）求直线 BD 和抛物线的解析式； （2）在直线 BD 上方的抛物线上求一点 E，使BDE 面积最大，求出点 E 坐标； （3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使 得以 M、O、N 为顶点的三角形与B
10、OC 相似？若存在，求出点 M 的坐标：若不存在， 第 6 页（共 25 页） 请说明理由 第 7 页（共 25 页） 2020 年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）下列四个数中，是负数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 【分析】根据小于 0 的是负数即可求解 【解答】解：|3|3，（3）3， （3）29， 四个数中，负数是 故选：D 【点评】此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比 0 大 还是比 0 小 2 （3 分）据生物学可知，卵细胞
11、是人体细胞中最大的细胞，其直径约为 0.0002 米将数 0.0002 用科学记数法表示为（ ） A0.210 3 B0.210 4 C210 3 D210 4 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将数 0.0002 用科学记数法表示为 210 4， 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键
12、要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2x2y+3xy5x3y2 B （2ab2）36a3b6 C （3a+b
13、）29a2+b2 D （3a+b） （3ab）9a2b2 【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即 可 【解答】解：A.2x2y 和 3xy 不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意； B （2ab2）38a3b6，故选项 B 不合题意； C （3a+b）29a2+6ab+b2，故选项 C 不合题意； D （3a+b） （3ab）9a2b2，故选项 D 符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相 关公式是解答本题的关键 5 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 且 x1 Bx2
14、Cx1 D2x1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可 以求解 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+20 且 x10， 解得：x2 且 x1 故选：A 【点评】 本题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 自 变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：当表达式的分母不含有自变量 时，自变量取全体实数例如 y2x+13 中的 x当表达式的分母中含有自变量时，自 变量取值要使分母不为零例如 y当函数的表达式是偶次根式时，自变量的 第 9 页（共 25 页） 取值范围必须使被开方数不小于零对于实际问
15、题中的函数关系式，自变量的取值除 必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义 6 （3 分）如图，BCDE，垂足为点 C，ACBD，B40，则ACE 的度数为（ ） A40 B50 C45 D60 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可 【解答】解：ACBD，B40， ACB40， BCDE， ACE904050， 故选：B 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出ACB40 7 （3 分）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动从九年级五个班收集到 的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（ ） A42 件 B45 件 C
16、46 件 D50 件 【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可 【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50， 中位数为 46， 故选：C 【点评】本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数， 8 （3 分）如图，一次函数 y1ax+b 和反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，则使 y1 y2成立的 x 取值范围是（ ） 第 10 页（共 25 页） A2x0 或 0x4 Bx2 或 0x4 Cx2 或 x4 D2x0 或 x4 【分析】根据两函数图象的上下位置
17、关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题 得解 【解答】解：观察函数图象可发现：当 x2 或 0x4 时，一次函数图象在反比例函 数图象上方， 使 y1y2成立的 x 取值范围是 x2 或 0x4 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关 系结合交点的横坐标找出不等式的解集是解题的关键 9 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，P 为上的一点（点 P 不与点 D 重合） ， 则CPD 的度数为（ ） A30 B36 C60 D72 【分析】连接 OC，OD求出COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接 OC
18、，OD ABCDE 是正五边形， 第 11 页（共 25 页） COD72， CPDCOD36， 故选：B 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 10 （3 分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积 为 25m2，圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ） A （30+5）m2 B40m2 C （30+5）m2 D55m2 【分析】利用圆的面积得到底面圆的半径为 5，再利用勾股定理计算出母线长，接着根据 圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它们
19、 的和即可 【解答】解：设底面圆的半径为 R， 则 R225，解得 R5， 圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积255； 圆柱的侧面积25330， 所以需要毛毡的面积（30+5）m2 故选：A 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 11 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3An在 x 轴上，B1、B2、B3Bn在 直线 yx 上，若 A1（1，0） ，且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， 从左到右的小三角形 （阴影部分） 的面积分别记为 S1、 S2、 S3Sn 则 Sn可
20、表示为 （ ） 第 12 页（共 25 页） A22n B22n 1 C22n 2 D22n 3 【分析】 直线 yx 与 x 轴的成角B1OA130， 可得OB2A230， ， OBnAn 30，OB1A290，OBnAn+190；根据等腰三角形的性质可知 A1B11， B2A2OA22， B3A34， ， BnAn2n 1； 根据勾股定理可得 B 1B2 ， B2B32， ， BnBn+12n 1 ，再由面积公式即可求解； 【解答】解：A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， A1B1A2B2A3B3AnBn， B1A2B2A3B3A4BnAn+1， A1B1A2、 A2
21、B2A3 AnBnAn+1都是等边三角形， 直线 yx 与 x 轴的成角B1OA130，OA1B1120， OB1A130， OA1A1B1， A1（1，0） ， A1B11， 同理OB2A230，OBnAn30， B2A2OA22，B3A34，BnAn2n 1， 易得OB1A290，OBnAn+190， B1B2，B2B32，BnBn+12n 1 ， S11，S2222，Sn2n 12n1 ； 故选：D 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断 阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键 第 13 页（共 25 页） 12 （
22、3 分）若关于 x 的不等式组恰有三个整数解，则 a 的取值范 围是（ ） A1a B1a C1a Da1 或 a 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数 a 的 取值范围 【解答】解：解不等式+0，得：x， 解不等式 3x+5a+44（x+1）+3a，得：x2a， 不等式组恰有三个整数解， 这三个整数解为 0、1、2， 22a3， 解得 1a， 故选：B 【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以 下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 二、填空题二、填空题 13 （3 分）因式分解：x2y4y3 y
23、（x2y） （x+2y） 【分析】首先提公因式 y，再利用平方差进行分解即可 【解答】解：原式y（x24y2）y（x2y） （x+2y） 故答案为：y（x2y） （x+2y） 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项 式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公 式法分解 14（3分） 若一元二次方程x22x+k0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 k1 【分析】直接利用根的判别式得出b24ac44k0 进而求出答案 【解答】解：一元二次方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根， b24ac44k0， 解得：k1， 则
24、 k 的取值范围是：k1 第 14 页（共 25 页） 故答案为：k1 【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出符号是解题关键 15 （3 分）若关于 x 的分式方程+2m 有增根，则 m 的值为 1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母 x20，得到 x2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值 【解答】解：方程两边都乘 x2，得 x2m2m（x2） 原方程有增根， 最简公分母 x20， 解得 x2， 当 x2 时，m1 故 m 的值是 1， 故答案为 1 【点评】本题考查了分式方程的增根增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为 0
25、 确定增根； 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 16 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当直线 l 沿射 线 BC 方向， 从点 B 开始向右平移时， 直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、 F 设 直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四 边形ABCD的周长是 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到 AB、BC、AD 的长，再根据平行线的 性质和图形中的数据可以得到 CD 的长，从而可以求得四边形 ABCD 的周长 【解答】解：B30，直线
26、lAB， BE2EF， 由图可得， 第 15 页（共 25 页） AB4cos3042， BC5， AD743， 由图象可得， AN541，NDCM752，DM2， B30，EFAB， M60， 又DMMC2， DMC 是等边三角形， DCDM2， 四边形 ABCD 的周长是：AB+BC+AD+CD2+5+3+210+2， 故答案为：10+2 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的 思想解答 三、解答题三、解答题 17计算： （） 1（2019）0+2sin30 【分析】根据实数的混合计算解答即可 【解答】解：原式， 21+1， 2 【点评】此题考查实数的
27、运算，关键是根据实数的混合计算解答 18如图，线段 AC、BD 相交于点 E，AEDE，BECE求证：BC 第 16 页（共 25 页） 【分析】根据 AEDE，AEBDEC，BECE，证出AEBDEC，即可得出B C 【解答】证明：在AEB 和DEC 中， AEBDEC， BC 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题 难度不大，要求学生应熟练掌握 19化简求值： （1），其中 x2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式x（x+1） x（x+1） ， 当 x2 时， 原式2 【点评】本题主要考查分
28、式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 20 绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额， 绘制了如下折线统计图和扇形统 第 17 页（共 25 页） 计图： 设销售员的月销售额为 x（单位：万元） 销售部规定：当 x16 时为“不称职” ，当 16 x20 时为“基本称职” ，当 20x25 时为“称职” ，当 x25 时为“优秀” 根据以 上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图； （2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数； （3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达 到或超过这个标准的销
29、售员将获得奖励如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员 的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理由 【分析】 （1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职 和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出 26 万元的人数，据此即可补全图形 （2）根据中位数和众数的定义求解可得； （3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据 【解答】解： （1）被调查的总人数为40 人， 不称职的百分比为100%10%，基本称职的百分比为100%25%， 优秀的百分比为 1（10%+25%+50%）15%， 则优秀的人数为 15%4
30、06， 得 26 分的人数为 6（2+1+1）2， 补全图形如下： 第 18 页（共 25 页） （2）由折线图知称职与优秀的销售员职工人数分布如下： 20 万 4 人、21 万 5 人、22 万 4 人、23 万 3 人、24 万 4 人、25 万 2 人、26 万 2 人、27 万 1 人、28 万 1 人， 则称职与优秀的销售员月销售额的中位数为22.5 万、众数为 21 万； （3）月销售额奖励标准应定为 23 万元 称职和优秀的销售员月销售额的中位数为 22.5 万元， 要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定 为 23 万元 【点评】本题考查频数分
31、布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 21仙桃是遂宁市某地的特色时令水果仙桃一上市，水果店的老板用 2400 元购进一批仙 桃，很快售完；老板又用 3750 元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比 第一批每件多了 5 元 （1）第一批仙桃每件进价是多少元？ （2）老板以每件 225 元的价格销售第二批仙桃，售出 80%后，为了尽快售完，剩下的决 定打折促销要使得第二批仙桃的销售利润不少于 2460 元，剩余的仙桃每件售价至少打 几折？（利润售价进价） 【分析】 （1）设第一批仙桃每件进价是 x 元，则第二批每件进价是（x+
32、5）元，再根据等 量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的倍，列方程解答； （2）设剩余的仙桃每件售价 y 元，由利润售价进价，根据第二批的销售利润不低于 2460 元，可列不等式求解 第 19 页（共 25 页） 【解答】解： （1）设第一批仙桃每件进价 x 元，则， 解得 x120 经检验，x120 是原方程的根 答：第一批仙桃每件进价为 120 元； （2）设剩余的仙桃每件售价打 y 折 则：22580%+225（180%）0.1y37502460， 解得 y6 答：剩余的仙桃每件售价至少打 6 折 【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列 出方程，根据利
33、润作为不等关系列出不等式求解 22 水城门位于淀浦河和漕港河三叉口， 是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景 观在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高他们的操作 方法如下： 如图，先在 D 处测得点 A 的仰角为 20，再往水城门的方向前进 13 米至 C 处，测得点 A 的仰角为 31（点 D、C、B 在一直线上） ，求该水城门 AB 的高 （精确到 0.1 米） （参 考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin310.52，cos310.86， tan310.60） 【分析】在 RtABD 中可得出 BD，在 RtABC 中，可得
34、 BC，则可得 BDBC13，求出 AB 即可 【解答】解：由题意得，ABD90，D20，ACB31，CD13， 在 RtABD 中，tanD， BD， 第 20 页（共 25 页） 在 RtABC 中，tanACB， BC， CDBDBC， 13， 解得 AB11.7 米 答：水城门 AB 的高为 11.7 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于理论结合实际的问题，解答此类题目的关 键是构造直角三角形，然后利用三角函数值求出未知线段的长度 23已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m230 有实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 m2 时，方程的根为 x1，x2
35、，求代数式（x12+2x1） （x22+4x2+2）的值 【分析】 （1）根据0，解不等式即可； （2）将 m2 代入原方程可得：x2+3x+10，计算两根和与两根积，化简所求式子，可 得结论 【解答】解： （1）由题意0， （2m1）24（m23）0， m （2）当 m2 时，方程为 x2+3x+10， x1+x23，x1x21， 方程的根为 x1，x2， x12+3x1+10，x22+3x2+10， （x12+2x1） （x22+4x2+2） （x12+2x1+x1x1） （x22+3x2+x2+2） （1x1） （1+x2+2） （1x1） （x2+1） x2x1x21x1 x2x12
36、第 21 页（共 25 页） 32 1 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记 “两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键 24如图，CD 是O 的直径，点 B 在O 上，连接 BC、BD，直线 AB 与 CD 的延长线相 交于点 A，AB2ADAC，OEBD 交直线 AB 于点 E，OE 与 BC 相交于点 F （1）求证：直线 AE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，cosA，求 OF 的长 【分析】 （1）连接 OB 根据已知条件得到ABDACB，根据相似三角形的性质得到 ABDACB， 由等腰三角形的性质得到OBCACB， 等量代换得到OB
37、CABD， 于是得到结论； （2）设 AB4x，OA5x，根据勾股定理得到 AB4，OA5，求得 AD2，根据平行 线分相等成比例定理得到 BE6，由勾股定理得到 OE3，根据三角 形的面积公式得到 BF，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解： （1）连接 OB，AB2ADAC， ， AA， ABDACB，ABDACB， OBOC， OBCACB， OBCABD， CD 是O 的直径， CBD90， 第 22 页（共 25 页） OBC+OBD90，OBD+ABD90， 即OBA90， 直线 AE 是O 的切线； （2）OB3，cosA， 设 AB4x，OA5x， OA2AB2+OB2，
38、 （5x）2（4x）2+32， x1， AB4，OA5， AD2， OEBD， ， BE6， OE3， CBD90，BDOE， EFB90， sOBEOBBEOEBF， OBBEOEBF， BF， tanE， EF， OFOEEF 第 23 页（共 25 页） 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，三角形的 面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键 25如图，直线 y2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，把AOB 沿 y 轴对折，点 A 落 到点 C 处，过点 A、B 的抛物线 yx2+bx+c 与直线 BC 交于点 B、D （1）求直线 BD 和抛
39、物线的解析式； （2）在直线 BD 上方的抛物线上求一点 E，使BDE 面积最大，求出点 E 坐标； （3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使 得以 M、O、N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标：若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）由直线 y2x+2 可以求出 A，B 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的 解析式和直线 BD 的解析式； （ 2 ） 设 E （ x ， x2+x+2 ） ， F （ x ， 2x+2 ） ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 得 ，再利用二次函数性质即可求得答案； （3）分类讨
40、论，当BOCMON 或BOCONM 时，由相似三角形的性质就可以 求出结论 【解答】解： （1）令 y0，则 x1，令 x0，则 y2， 点 A、B 的坐标分别是：A（1，0） ，B（0，2） ， 根据对折的性质：点 C 的坐标是： （1，0） ， 设直线 BD 解析式为 ykx+b， 把 B（0，2） ，C（1，0）代入 ykx+b，得， 解得：k2，b2， 第 24 页（共 25 页） 直线 BD 解析式为 y2x+2， 把 A（1，0） ，B（0，2）代入 yx2+bx+c 得， 解得：b1，c2， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）解方程组得：和， 点 D 坐标为（3，4） ，
41、 作 EFy 轴交直线 BD 于 F 设 E（x，x2+x+2） ，F（x，2x+2） EF（x2+x+2）（2x+2）x2+3x， BDE 面积 SEFxD（x2+3x）（x）2+， 当 x时，三角形面积最大， 此时，点 E 的坐标为：； （3）存在 点 B、C 的坐标分别是 B （0，2） 、C （1，0） ， BO2，CO1， 如图 1 所示， 当MONBCO 时， ，即， MN2ON， 第 25 页（共 25 页） 设 ONa，则 M（a，2a） ， 将 M（a，2a）代入抛物线的解析式 yx2+x+2 得：a2+a+22a， 解得：a12（不合题意，舍去） ，a21， 点 M 的坐标为（1，2） ； 当MONCBO 时， 同理可得：，即， MNON， 设 ONb，则 M（b，b） ， 将 M（b，b）代入抛物线的解析式 yx2+x+2 得： ， 解得：（不合题意，舍去） ， 点 M 的坐标为（，） ， 存在这样的点 M（1，2）或 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似 三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键