1、 1 / 12 2020 北京各区一模数学试题分类汇编北京各区一模数学试题分类汇编解三角形解三角形 （2020 海淀一模）海淀一模）在ABC中，4 3, 4 ABB ，点 D在边 BC上， 2 , 3 ADC CD=2，则 AD=_； ACD 的面积为_. 【答案】 (1). 4 2 (2). 2 6 【解析】 2 , 3 ADC , 3 ADB 在ABD中由正弦定理得： sinBsin ADAB ADB ， 4 3sin sinB 4 4 2 sin sin 3 AB AD ADB . 在ACD中， 113 sin422 6 222 2 ACD SADDCCDA ， 故答案为：4 2 ;2
2、6. （2020 顺义区顺义区一模）一模）在ABC中，若8ac ，7ac ， 3 B ，则b_. 【答案】5 【解析】因为在ABC中,8ac ,7ac , 3 B , 由余弦定理： 222 2cosbacacB , () 2 2 22cos 3 bacacac p =+-, 22 1 7282825 2 b =-?创= 所以5b. 2 / 12 故答案为：5 （2020 延庆一模）延庆一模）在ABC中，10ABD，是BC边的中点.若660ACA ，则AD的长等于 _；若 456 2CADAC， ，则ABC的面积等于_. 【答案】 (1). 7 (2). 42 【解析】 （1）依题在ABC中，D
3、是AB的中点， 所以 1 () 2 ADABAC所以 1 | 2 ADABAC 又6,60ACA 所以 22 |2ABACABAB ACAC 22 102 10 6cos60619614 所以 1 | 7 2 ADABAC 所以AD的长等于7. （2）在ADC中，由正弦定理有： sinsin AC DAC D A C C D 所以 sin6 2sin456 sinsinsin ACDAC DC ADCADCADC ； 在ADB中，由正弦定理有： sinsin BDAB BADADB 所以 sin10sin sinsin ABBADBAD BD ADBADB 因为D是AB的中点，则ADDB，18
4、0ADBADC, 所以sinsinADBADC， 3 / 12 所以10sin6BAD即 3 sin 5 BAD， 所以 2 4 cos1 sin 5 BADBAD 当 4 cos 5 BAD时， sinsin(45 )sincos45cossin45BACBADBADBAD 22 347 2 (sincos)() 225510 BADBAD 当 4 cos 5 BAD 时， sinsin(45 )BACBAD 2 342 () 25510 不符合题意， 所以ABC的面积为： 117 2 sin10 6 242 2210 ABC SAB ACBAC 故答案为： （1）7； （2）42 （202
5、0 西城一模）西城一模）已知ABC满足 ，且 2 6 3 bA ，求sinC的值及ABC的面积.（从 4 B ， 3a ， 3 2asinB 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 【答案】见解析 【解析】选择时： 4 B , 2 3 A，故 62 sinsinsincoscossin 4 CABABAB . 4 / 12 根据正弦定理： sinsin ab AB ，故3a ，故 193 3 sin 24 SabC . 选择时， 3a ，6b，故BA，A为钝角，故无解. 选择时， 3 2sinaB ，根据正弦定理： sinsin ab AB ，故 6 sin3 2 3 2sin
6、B B ， 解得 2 sin 2 B ， 62 sinsinsincoscossin 4 CABABAB . 根据正弦定理： sinsin ab AB ，故3a ，故 193 3 sin 24 SabC . （2020 东城一模）东城一模） 在 222 2bacac ,cossinaBbA,sin cos2BB 这三个条件中任选 一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c_, 3 A , 2b ,求ABC的面积. 【答案】答案不唯一,具体见解析 【解析】 （1）若选择 222 2bacac , 由余弦定理 222 22 cos 222 acbac
7、 B acac , 因为(0, )B,所以 4 B ; 由正弦定理 sinsin ab AB , 5 / 12 得 2 sin sin 3 3 sin2 2 bA a B , 因为 3 A , 4 B , 所以 5 3412 C , 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C , 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . （2）若选择cossinaBbA, 则sincossinsinABBA, 因为sin0A,所以sincosBB, 因为(0, )B,所以 4 B ; 由正弦定理 sinsin ab AB , 得 2 sin sin
8、3 3 sin2 2 bA a B , 因为 3 A , 4 B , 所以 5 3412 C , 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C , 6 / 12 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . （3）若选择sin cos2BB , 则2sin2 4 B ,所以sin1 4 B , 因为(0, )B,所以 5 , 444 B , 所以 42 B ,所以 4 B ; 由正弦定理 sinsin ab AB , 得 2 sin sin 3 3 sin2 2 bA a B , 因为 3 A , 4 B , 所以 5 3412 C , 所
9、以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C , 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . （2020 丰台一模）丰台一模）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知4c ， 3 A . （1）当2b时，求 a； （2）求sin3cosBC的取值范围. 7 / 12 【答案】 （1） 2 3a （2） 33 sin3cos, 22 BC 【解析】 （1）由余弦定理 222 2cosabcbcA， 得 222 242 2 4 cos12 3 a . 所以 2 3a . （2）由 3 A 可知， 2 3 BC ，即 2 3
10、BC . 2 sin3cossin3cos 3 BCCC 31 cossin3cos 22 CCC 13 sincos 22 CC sin 3 C . 因为 2 3 BC ，所以 2 0, 3 C .故 , 333 C . 因此 33 sin, 322 C . 于是 33 sin3cos, 22 BC . （2020 朝阳区一模）朝阳区一模）在ABC中，sincos() 6 bAaB . 8 / 12 （1）求B； （2）若5c ，.求a. 从7b， 4 C =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】 （1） 3 （2）7b时，8a ； 4 C =时， 5 35 2 a + =
11、 【解析】 （1）因为sincos() 6 bAaB ， sinsin ab AB ， 所以sinsinsincos() 6 BAAB =-. 又因为sin0A，所以sincos() 6 BB =-，即 31 sincossin 22 BBB=+. 所以sin()0 3 B -=. 又因为 2 333 B ，所以0 3 B -=，所以 3 B . （2）若选7b，则在ABC中，由余弦定理 222 2cosbacacB， 得 2 5240aa ，解得8a 或3a（舍）.所以8a . 若选 4 C =，则 62 sinsin()sincoscossin 34344 ABC + =+=+=， 由正弦
12、定理 sinsin ac AC ， 得 5 622 42 a = + ，解得 5 35 2 a + =. 所以 5 35 2 a + =. （2020 石景山一模）石景山一模）已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个： 9 / 12 3 A 13a 15c 1 sin 3 C （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC的面积. 【答案】 （1）ABC同时满足，理由见解析.（2）30 3 【解析】 （1）ABC同时满足，. 理由如下： 若ABC同时满足，则在锐角ABC中， 11 sin 32 C ，所以0 6 C 又因为 3 A ，所以 32 AC 所以 2 B ，这与ABC是锐角
13、三角形矛盾， 所以ABC不能同时满足， 所以ABC同时满足，. 因为ca所以CA若满足. 则 6 AC ，则 2 B ，这与ABC是锐角三角形矛盾. 故ABC不满足 故ABC满足，. （2）因为 222 2cosabcbcA， 所以 222 1 1315215 2 bb . 10 / 12 解得8b或7b. 当7b时， 222 71315 cos0 2 7 13 C 所以C为钝角，与题意不符合，所以8b. 所以ABC的面积 1 sin30 3 2 SbcA. （2020 怀柔一模）怀柔一模）已知在ABC中，2a， 2b ，同时还可能满足以下某些条件： 4 A ；B A；sinsinBA；4c
14、. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B及c的值. 【答案】 （1），； （2） 6 B ； 31c 【解析】 （1），. （2）由 sinsin ab AB ，可得 22 sin sin 4 B 2 2sin2 1 42 sin 222 B 22 6 abABB 222222 2 2cos2( 2)22 2 abcbcAcc 由 解得31c 或 31c （舍）. （2020 密云一模）密云一模）在ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，并且 222 bcabc . 11 / 12 （1）已知_，计算ABC的面积； 请 7a ，2b，sin2sinCB这三
15、个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意， 只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求coscosBC的最大值. 【答案】 （1）见解析（2）1 【解析】 （1）若选2b，sin2sinCB sin2sinCB， 24cb ， 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc ， 又(0, )A， 3 A ABC的面积 113 sin2 42 3 222 SbcA 若选7a ，2b由 222 bcabc可得3c ， 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc ， 又(0, )A， 12 / 12 3 A ABC的面积 1133 3 sin2 3 2222 SbcA 若选7a ，sin2sinCB sin2sinCB， 2cb ， 又 222 bcabc， 222 472bbb，可得 21 3 b ， 2 21 3 c ABC的面积 11212 2137 3 sin 223326 MBC SbcA （2） 3 A 13 coscoscoscos()coscos()coscossin 3322 BCBBBBBBB 13 cossinsin() 226 BBB 2 0 3 B， 5 366 B 当 3 B 时，sin()coscos 6 BBC 有最大值 1