1、1 江苏省镇江市江苏省镇江市 20202020 届高三第三次模拟考试届高三第三次模拟考试数学试题数学试题 20206 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 A1，2，B1，a2，若 ABa，则实数 a 2若复数 z 满足(13i)z3i，其中 i 是虚数单位，z 3已知，是某个平行四边形的两个内角，命题 P：；命题 Q：sinsin， 则命题 P 是命题 Q 的 条件（在“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不 充分也不必要”中选择一个合适的填空） 4为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的
2、 600 人中，O 型血有 200 人，A 型 血有 150 人，B 型血有 150 人，AB 型血有 100 人在这 600 人中，为抽取一个容量为 60 人的样本，则应从 O 型血中抽取的人数为 5 已知直线 l1： x2y30， l2： 2xkyk0， 且 l1l2， 则直线 l1， l2间的距离为 6一周后的 6 月 25 日为端午节，国家规定调休放假 3 天，甲、乙、丙三人端午节值班，每 人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为 7 中国古诗词中， 有一道“八子分绵”的数学名题： “九百九十六斤绵， 赠分八子作盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言”意思是把 996 斤绵分
3、给 8 个儿子作盘缠，按照年 龄从大到小的顺序依次排列分绵， 每个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵， 那么第 8 个儿子 分到的绵的斤数为 8已知抛物线 y24x 的准线是双曲线 22 2 1 2 xy a (a0)的左准线，则 a 9 算数书竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我们现存最早的成系 统的数学典籍其中记载有求“囷盖”术： “冒如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六 成一” ， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h， 计算其体积 V 的近似公式： V 1 36 2 L h它实际上将圆锥体积公式中的圆周率 取近似值 10已知圆 C1： 22 ()(2)
4、4xay与圆 C2： 22 ()(1)1xby外切，则 ab 的最大 值为 11 九章算术是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的 论述比西方早一千多年其中有这样一个问题： “今有勾 五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角 三角形 ABC，勾（短直角边）BC 长 5 步，股（长直角边） AB 长 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形 DEBF 边长 为多少？在如图所示中，求得正方形 DEBF 的边长后，可 求得 tanACE 12已知在OAB 中，OA2，OB2，AOB135，P 为 第 11 题 2 平面 OAB 上一点，且OP OAOB(R)，当 OP 最小时，向量OP与OB的
5、夹 角为 13已知函数 2 e 1 ( ) 43, 13 x x f x xxx , ，若函数( )( )2g xf xk x有三个零 点，则实数 k 的取值范围是 14在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若(bsinC)cosAsinAcosC， 且 a2，则 tanA tanBtanC 的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 AC 中点，ABBC，A1DAC1求证： （1）B1C平面 A1BD；
6、（2）平面 A1BD平面 AB1C1 16 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，三角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cosA 5 5 ，sinB5cosC （1）求 tanC 的值； （2）若 a2 2，求ABC 的面积 3 17 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)左、右焦点分别为 F1，F2， 离心率为 2 2 ， 两准线间距离为 8， 圆 O 的直径为 F1F2， 直线 l 与圆 O 相切于第四象限点 T， 与 y 轴交于 M 点，与椭圆 C 交于点 N（N 点在 T 点上方） ，且 OMON （1）求
7、椭圆 C 的标准方程； （2）求直线 l 的方程； （3）求直线 l 上满足到 F1，F2距离之和为4 2的所有点的坐标 18 （本小题满分 16 分） 镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图 1） ，塑像总高度为 12 米，塑 像由两部分组成， 上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成 （立柱上凸起部分忽 略不计） ，下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如 图 2 所示设计要求正棱台的水平横柱长度为 4 米，下底面边长为 8 米，设斜柱与地面的所 成的角为 （1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求 sin的取值范围？ （2）若该塑像上半部分立
8、柱的造价为3千元/米（立柱上凸起部分忽略不计） ，下半部 分横柱和斜柱的造价都为 2 千元/米，问当为何值时，塑像总造价最低？ 4 19 （本小题满分 16 分） 各项为正数的数列 n a如果满足：存在实数1k ，对任意正整数 n， 1 1 n n a k ka 恒 成立，且存在正整数 n，使得 1n n a k a 或 1 1 n n a ak 成立，则称数列 n a为“紧密数列”，k 称为“紧密数列” n a的“紧密度” 已知数列 n a的各项为正数， 前 n 项和为 n S， 且对任意正整数 n， 2 ABC nnn Saa （A，B，C 为常数）恒成立 （1） 当 A 1 4 ， B
9、1 2 ， C 1 4 时， 求数列 n a的通项公式； 证明数列 n a是“紧 密度”为 3 的“紧密数列”； （2） 当 A0 时， 已知数列 n a和数列 n S都为“紧密数列”， “紧密度”分别为 1 k， 2 k，且 1 k， 2 k1，2，求实数 B 的取值范围 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )exf xax(aR)，其中 e 是自然对数的底数 （1）当 a1 时，求曲线( )yf x在 x1 处的切线方程； （2）如果对任意 xR，不等式( )0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）讨论函数( )( )e x g xf x 的零点个数 5 6 7 8 9 10