1、乌鲁木齐地区乌鲁木齐地区 20202020 年高三年级第三次质量监测年高三年级第三次质量监测 理理科数学科数学（问卷问卷） （卷面分值：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1. 本试卷分为问卷（4 页）和答卷（4 页） ，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2. 答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的. 1. 计算复数 4 1 i i 得（ ） A . 22i B. 2 2i C. 2 2i D. 2 2i 2.
2、已知集合|220Axxx，2, 1,0,1,2,3B ，则AB （ ） A. B. 0,1,2 C. 1,0,1 D. 2, 1,0,1,2 3. 设命题p：xR ， 2 11x ，则p为（ ） A. xR ， 2 11x B. xR ， 2 11x C. 0 xR， 2 0 11x D. 0 xR， 2 0 11x 4. 已知等差数列 n a满足 135 18aaa， 357 30aaa，则 246 aaa（ ） A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 5. 若角的终边过点3, 4P，则sin2的值为（ ） A. 12 25 B. 12 25 C. 24 25 D. 24 25 6.
3、 某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有 40 人，乙班有 50 人.现分析两个班的一次考试成绩，算得 甲班的平均成绩是 90 分， 乙班的平均成绩是 81 分， 则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是 （ ） A. 85 B. 85.5 C. 86 D. 86.5 7. 如图，正方体ABCDA B C D中，AB的中点为M，DD的中点为N，则异面直线B M与CN 所成角的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 8. 在RtABC中，1ABAC，点D满足2BDCD，则AB AD（ ） A. -1 B. 1 3 C. 1 3 D. 1 9. 直线2yx与抛物线 2
4、20ypx p交于A，B两点，若OAOB，则p的值为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 10. 在四面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 （ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 11. M是双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 上位于第二象限的一点， 1 F， 2 F分别是左、右焦点， 112 MFFF.x轴上的一点N使得 2 90NMF，A，B两点满足MAAN， 1 2MBBF， 且A，B， 2 F三点共线，则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 1 B. 31 C. 22 D. 32 12. 定 义 在R上
5、的 函 数 yf x， 当0 , 2x时 ， 21 44 x f x ， 且 对 任 意 实 数 1 22,22 (,2) kk xkN k ，都有 1 ( )1 22 x f xf ，若( )( )logag xf xx有且仅有 5 个零 点，则实数a的取值范围是（ ） A. 3310, 22 B. 33 22, 100 C. 33 10, 484 D. 33 100, 484 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考 题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.
6、 已知定义在R上的奇函数 f x满足：当0x时， 3 log 1f xx，则 8f_. 14. 如图， 在边长为 1 的正方形OABC内随机取一点， 则此点恰好取自曲线yx下方与正方形OABC所 围成阴影部分的概率为_. 15. 若函数 2sin01f xx在0, 3 上的最大值为2，则的值为_. 16. 黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于 1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领 域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为： “各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则 潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数 1 111 ( ) 123 ss n s s
7、sn ，我们经常从无穷 级数的部分和 1111 123 ssss n 入手.已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且满足 11 2 nn n Sa a ， 则 12100 111 SSS _（其中 x表示不超过x的最大整数）. 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，7a ，1c，3sincos0AA. （）求b； （）若D为BC边上一点，且ADAB，求ACD的面积. 18. 在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进 行了摸底
8、考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关 关系，对在校高三学生随机抽取 45 名进行调查.知道其中有 25 人每天在线学习数学的时长是不超过 1 小时 的，得到了如下的等高条形图： （）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关” ； （）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过 120 分的学生中随机抽取 10 人，求抽取的 10 人中每天在线学习时长超过 1 小时的人数的数学期望和方差. 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n adbc
9、K abcdacbd 19. 如图， 将等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD翻折， 使二面角BAD C的大小为 3 ， 翻折后BC 的中点为M. （）证明BC 平面ADM； （）求二面角DAB C的余弦值. 20. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 右焦点为2,0F，P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且 PAB面积的最大值为3 5. （）求椭圆C的标准方程； （）若直线AP与直线xa交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分PFB. 21. 已知函数 2 2 x fxaxxa e， ln1g xbx. （）当0a时，求 f x的单调区间； （）当0a时， f xg x在0
10、,x上恒成立，求实数b的取值范围. 选考题：共 10 分，请考生在 22. 23 两题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时用 28 鉛笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. 已知曲线 1 C的参数方程为 25cos 35sin xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin. （）求曲线 1 C的极坐标方程； （）设 1 C与 2 C交点为A，B，求A
11、OB的面积. 23. 设a，b均为正数，且 22 2ab，证明： （） 33 ()4abab； （）2ab. 乌鲁木齐地区 2020 年高三年级第三次质量监测 理科数学（答案） 一、选择题：每小题 5 分. 1-5：ADCBD 6-10：ADABB 11-12：AC 二、填空题：每小题 5 分 13. -2 14. 2 3 15. 3 4 16. 18 三、解答题： . 17.（）由3sincos0AA，得 3 tan 3 A ，150A，又7a ，1c， 又 222 2cosabcbcA，即 2 360bb，解得3b ； （）由（）得 73 sinsinBACB ， 21 sin 14 B
12、， 3 tan 5 B ， 3 5 AD ， 13 3 sin60 220 ACD SAD AC . 18.（）依题意，得2 2列联表 数学成绩 在线学习时长 120分 120分 合计 1小时 15 10 25 1小时 5 15 20 合计 20 25 45 2 2 45(15 155 10)441 5.51256.635 20 25 25 2080 K ， 没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关” ； （）从上述2 2列联表中可以看出，这次数学成绩超过 120 分的学生中每天在线学习时长超过 1 小时的 频率为 15 0.6 25 ，则10,0.6XB，6E X ，
13、2.4D X . 19.（）折叠前ABAC，AD是斜边上的高，D是BC的中点，BDCD，又因为折叠后M是 BC的中点， DMBC， 折叠后ABAC， AMBC，AMDMM， BC 平面ADM； （）建立如图空间直角坐标系，不妨设1AD ，易知二面角BAD C的平面角是BDC，则 1BDBCCDAD，0,0,1A， 3 1 ,0 22 B ，0,1,0C，0,0,0D， 设平面ABD的法向量为 1111 ,nx y z，得 1 1 0 0 nAD n BD ，即 0 31 0 22 z xy ， 得 1 1,3,0n ，同理得平面ABC的法向量 2 3 ,1,1 3 n ， 12 12 3 3
14、3 7 721 2 3 cos n n n n . 20.（）由题意得 222 3 5 2 ab ab ，解得 2 9a ， 2 5b ， 椭圆C的标准方程为 22 1 95 xy ； （）设直线AP的方程为3xmy，代入 22 1 95 xy ，得 22 59300mymy， 解得0y 或 2 30 59 m y m ， 22 22 301527 3 5959 P mm x mm ， 2 22 152730 , 5959 mm P mm ， 易知直线AP与3x 的交点 6 3,Q m ，线段BQ的中点 3 3,M m ， 设MFB，则 3 3 tan 1 m m ， 2 2 3 2 6 ta
15、n2 9 9 1 m m m m ， 2 222 2 30 306 59 tan 15275459 2 59 PF m mm m PFBk mmm m ， 20,，0,PFB，tan2tanPFB，2PFB， 即直线FM平分PFB. 21.（） 2 ( )(21)2 xx fxaeaxxa e 2 21 2 x eaxaxxa ， 令 0fx ，即 2 (21)1 20axaxa ， 2 41a ， 0a，当 1 0 2 a时，0 ， 2 1 1 21 4 2 aa x a ， 2 2 1 21 4 2 aa x a ， f x在 2 1 21 4 , 2 aa a ， 2 1 21 4 ,
16、2 aa a 上单调递减， 在 22 1 21 41 21 4 , 22 aaaa aa 上单调递增， 当 1 2 a 时，0， f x在R上单调递减； （）当0a时，ln(1) x xebx 在0,上恒成立， 即ln(1)0 x xebx 在0,上恒成立， 令( )ln(1) x h xxebx ，则 2 1 ( ) 11 x xx exb b h xexe xx ， 当0b时，在0,上，都有0 x xe ，ln10bx， 即ln(1) x xebx 恒成立，与题意矛盾； 当0b时，令 2 ( )1 x m xexb ， 2 ( )21 x m xexx ， 当1,x时， 0m x 恒成立，
17、 当0,1x时， 0m x ， m x在0,1上单调递减， 01mb ， 若 010mb ，即1b，0,1x时， 00m xm， 0h x ， h x在0,上单调递减， 00h xh成立， 当 010mb ，即01b， 10mb ， 存在 0 0,1x 使得 0 0m x， 0 0,xx， 0m x ， 0,1 xx， 0m x ， h x在 0 0,x单调递增，存在 0 0,kx使得 0h k 与题意矛盾， 综上所述1b. 22.（）由题意得，曲线 1 C： 2 4 cos6 sin80； （）联立方程 2 4 cos6 sin80 2sin ，得2 2 ，4 2 ， 0,2A，1,1B， 1 2 11 2 AOB S . 23.（） 22 2ab，要证 33 ()4abab，只需要证明 2 443322 ababbaab， 也就是要证明 44334422 20ababbaaba b，即证 2 0ab ab， a，b均为正数， 2 0ab ab， 33 ()4abab； （）a，b均为正数，2abab， 2 2()abab， 22 2()2 2ababab，又 22 2ab，2ab.