1、2020 年海口市高考模拟演练数学试卷年海口市高考模拟演练数学试卷 考生注意：考生注意： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目目要
2、求的要求的 1设集合10Ax x ，210Bxx ，则AB R （ ） A 1 , 2 B1, C 1 1, 2 D 1 1, 2 2已知复数 3 11zii，则其共轭复数z （ ） A2i B2i C2i D2i 3已知向量1,2a ，, 21bmm，8a b，则m（ ） A-2 B-1 C1 D2 4 千字文是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取 1000 个不 重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然已知将 1000 个 不同汉字任意排列，大约有 2567 4.02 10种方法，设这个数为 N，则lgN的整数部分为（ ）
3、 A2566 B2567 C2568 D2569 5一个底面边长为 3 的正三棱锥的体积与表面积为 24 的正方体的体积相等， 则该正三棱锥的高为 （ ） A12 3 B 32 3 3 C 32 3 9 D12 6已知直线:210l xya 与圆 22 129xy相交所得弦长为 4，则a （ ） A-9 B1 C1 或-2 D1 或-9 7设 p： “函数 2 25f xxmxm在, 2 上单调递减” ，q： “0x ， 3 3 8 23xm x ” ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 若对任意xR， 都有 5 cos 2si
4、n, 6 xx R， 则满足条件的有序实数对, 的对数为（ ） A0 B1 C2 D3 二、多项选择题二、多项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知正项等比数列 n a满足 1 2a ， 423 2aaa，若设其公比为 q，前 n 项和为 n S，则（ ） A2q B2n n a C 10 2047S D 12nnn aaa 10 已知双曲线 22 22 :1
5、0,0 xy Cab ab 的离心率2e ， C 上的点到其焦点的最短距离为 1， 则 （ ） AC 的焦点坐标为0, 2 BC 的渐近线方程为3yx C点2,3在 C 上 D直线0mxymmR与 C 恒有两个交点 11小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下 表所示： 所需时间（分钟） 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是（ ） A任选一条线路， “所需时间小于 50 分钟”与“所需时间为 60 分钟”是对立事件 B从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
6、 C如果要求在 45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于 100 分钟的概率为 0.04 12如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2 2 3 AAACAB，ABAC，点 D，E 分别是线段 BC， 1 B C上的动点（不含端点） ，且 1 ECDC B CBC 则下列说法正确的是（ ） A/ED平面 1 ACC B该三棱柱的外接球的表面积为68 C异面直线 1 B C与 1 AA所成角的正切值为 3 2 D二面角AECD的余弦值为 4 13 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
7、分分 13第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设 15 个项目，其中包含 5 个冰上 项目和 10 个雪上项目李华计划从中选 1 个冰上项目和 2 个雪上项目去现场观看，则共有_ 种不同的选法 14已知角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，终边上有一点1,2P，则 2 sin 13sincos _ 15 已知抛物线 2 20ypx p的焦点为 F， 点 P 在抛物线上， 点 9 ,0 2 Qp 若2Q FP F， 且P Q F 的面积为8 3，则p _ 16已知函数 3 3f xaxxb的图象关于点0,1对称，则b _，若对于0,1x总有 0f x 成
8、立，则 a 的取值范围是_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在 2 2 cos 3 B ，3c ， 1 cos 3 A ，sin3sinABB，2 2ab ， 1 cos 3 A 三组条 件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC的面积为2，_，求 b 18 （12 分） 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，满足 41 2Sa， 25 216aa
9、 （）求 n a； （）若 1 16 2020 n nn b aa ，求数列 n b的前 n 项和 n T 19 （12 分） 如图， 三棱锥DABC中，ABAC，ABD是正三角形， 且平面ABD 平面 ABC，4ABAC， E，G 分别为 AB，BC 的中点 （）证明：EG 平面 ABD； （）若 F 是线段 DE 的中点，求 AC 与平面 FGC 所成角的正弦值 20 （12 分） 某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度 t（）逐渐升高时，连续测 20 次病毒的活性 指标值 y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第 114 组数据定为 A 组，第 1520 组数据定为 B 组 （
10、）某研究员准备直接根据全部 20 组数据用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，你认为是否合理？请从 统计学的角度简要说明理由 （）若根据 A 组数据得到回归模型2.1 0.8yt，根据 B 组数据得到回归模型90.6 1.3yt，以 活性指标值大于 5 为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到 0.1） （）根据实验数据计算可得：A 组中活性指标值的平均数 14 1 1 18 14 i i yy ，方差 14 2 1 1 14 A i s 14 2 2 2 1 1 1485 14 iiAA i yyyy ；B 组中活性指标值的平均数 20 15 1 23 6 iB i yy ，方差
11、 2020 2 2 22 1515 11 645 66 BiiBB ii syyyy 请根据以上数据计算全部 20 组活性指标值的平 均数y和方差 2 s 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左顶点为 A，O 为坐标原点，3OA ，C 的离心率为 6 3 （）求椭圆 C 的方程； （）已知不经过点 A 的直线:0,l ykxm kmR交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的中点为 B，若2MNAB，求证：直线 l 过定点 22 （12 分） 已知函数 1 ex k x f x ，其中0k （）求 f x的单调区间； （）若0k ，讨论关于 x 的方程 l
12、nxf x在区间0,2上实根的个数 2020 年海口市高考模拟演练年海口市高考模拟演练 数学答案数学答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1 【答案】D 【命题意图】本题考查集合的表示及运算 【解析】依题意1,A ， 1 , 2 B ， 所以 1 , 2 B R ，所以 1 1, 2 AB R 2 【答案】B 【命题意图】本题考查复数的基本运算和共轭复数的概念 【解析】因为 3 11112ziiiii，所以2zi 3 【答案】A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算 【解析】因为1,2a ，, 21bmm， 所以221
13、52a bmmm ， 因为8a b，所以528m，解得2m 4 【答案】B 【命题意图】本题考查对数的有关运算 【解析】由题可知， 2567 lglg 4.02 102567lg4.02N 因为14.0210，所以0lg4.021，所以lgN的整数部分为 2567 5 【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的有关运算 【解析】因为正方体的表面积为 24，所以棱长为 2，其体积为 3 28 因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等， 设正三棱锥的高为 h，所以 113 3 38 322 h ，解得 32 3 9 h 6 【答案】D 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系 【解析】由条件得圆的半径
14、为 3，圆心坐标为1, 2， 直线:210l xya 与圆 22 129xy相交所得弦长为 4， 所以 2 2 411411 9 2 5 a ，所以 2 890aa， 解得1a 或9a 7 【答案】B 【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断 【解析】因为函数 2 25f xxmxm在, 2 上单调递减，所以2 4 m ，即8m 因为0x 时， 33 33 88 22 28xx xx ， 所以“0x ， 3 3 8 23xm x ”等价于38m，即5m ， 因为集合5,8, ，所以 p 是 q 的必要不充分条件 8 【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的性质 【解析】 5 cos 2c
15、os 2sin 2 6323 xxx ， 由条件知2若2， 由 2 3 kk Z且，得 3 ； 若2，sin2sin 2xx， 则 2 3 kk Z，所以 4 2 3 kk Z， 又，则 2 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9 【答案】ABD 【命题意图】本题考查等比数列的有关计算 【解析】由题意 32 242qqq，得 2 20qq，解得2q （负值舍去） ，选项 A 正确； 1 2 22 nn n a ，选项 B 正确； 1 221 22 2 1 n n n S ，所以 10 2046S，选项 C 错误； 1 3
16、 nnn aaa ，而 2 43 nnn aaa ，选项 D 正确 10 【答案】BC 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质 【解析】由已知得 1, 2, ca c e a 所以 1, 2, a c 所以 2 3b ，所以双曲线 C 的方程为 2 2 1 3 y x 所以 C 的焦点为2,0，A 错误 C 的渐近线方程为3 b yxx a ，所以 B 正确 因为 2 2 3 21 3 ，所以点2,3在 C 上，选项 C 正确 直线0mxym即1ym x，恒过点1,0， 当3m 时，直线与双曲线 C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点 11 【答案】B 【命题意图】本题考查事件
17、与概率的概念，及概率的应用 【解析】 “所需时间小于 50 分钟”与“所需时间为 60 分钟”是互斥而不对立事件，A 错误； 线路一所需的平均时间为30 0.5 40 0.2 50 0.2 69 0.1 39分钟， 线路二所需的平均时间为30 0.3 40 0.5 50 0.1 60 0.140分钟， 所以线路一比线路二更节省时间，B 正确； 线路一所需时间小于 45 分钟的概率为 0.7，线路二所需时间小于 45 分钟的概率为 0.8，小张应 该选线路二，C 错误； 所需时间之和大于 100 分钟， 则线路一、 线路二的时间可以为50,60，60,50和60,60三 种情况，概率为0.2 0
18、.1 0.1 0.1 0.1 0.10.04，D 正确 12 【答案】AD 【命题意图】本题考查立体几何中的关系和计算 【解析】在直三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 BCC B是矩形， 因为 1 ECDC BCBC ，所以 11 /ED BBAA，所以/ED平面 1 ACC，A 项正确 因为 1 2 2 3 AAACAB，所以3AB， 因为ABAC，所以 22 2313BC ，所以 1 13 417BC ， 易知 1 BC是三棱柱外接球的直径， 所以三棱柱外接球的表面积为 2 1717，所以 B 项错误 因为 11 /AA BB，所以异面直线 1 BC与 1 AA所成角为 1 BB
19、C 在 1 Rt B BC中， 1 2BB ，13BC ， 所以 1 1 13 tan 2 BC BBC BB ，所以 C 项错误 二面角AECD即二面角 1 ABCB， 以 A 为坐标原点， 以AB，AC， 1 AA的方向分别为 x， y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 可得平面 1 ABC的一个法向量为2,0, 3，平面 1 BBC的一个法向量为2,3,0， 故二面角AECD的余弦值为 2 24 131313 ，所以 D 项正确 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 【答案】225 【命题意图】本题考查排列组合的应用 【
20、解析】不同的选法有 12 510 C C225种 14 【答案】-4 【命题意图】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换 【解析】因为角的终边上有一点1,2P，所以tan2 所以 22 22 sinsin 1 3sincossincos3sincos 22 22 tan2 4 tan1 3tan21 3 2 15 【答案】2 【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质 【解析】由条件知,0 2 p F ，所以4QFp，所以 1 2 2 PFQFp， 由抛物线的准线为 2 p x ，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为 3 2 22 p pp， 不妨设点 P 在 x 轴上方，则 P 的纵坐标为3p
21、， 所以 1 438 3 2 PQF Spp，解得2p 16 【答案】1；4, 【命题意图】本题考查函数的性质与图象、导数的应用 【解析】由条件知 yf x的图象可由奇函数 3 3yaxx的图象上下平移得到， 所以 yf x的图象关于点0,b对称，所以1b所以 3 31f xaxx 当0x时， 10f x 恒成立 当01x时， 3 310f xaxx 等价于 23 31 a xx 设 23 31 g x xx ，则 4 3 1 2x gx x ， 所以 g x在 1 0, 2 上单调递增，在 1 ,1 2 上单调递减， 所以 1 4 2 ag 四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文
22、字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用 【解析】 （方法一）选： 2 2 cos 3 B ，3c 因为 2 2 cos 3 B ，0B， 所以 1 sin 3 B 由 111 sin32 223 ABC SacBa ，解得2 2a 由余弦定理得 222 2 2 2cos892 2 231 3 bacacB ， 所以1b （方法二）选： 1 cos 3 A ，sin3sinABB 因为 1 cos 3 A ，0A，所以 2 2 sin 3 A 因为ABC，所以sinsinABC 所以sin3sinCB，由正
23、弦定理可得3cb 所以 112 2 sin32 223 ABC SbcAbb ，所以1b （方法三）选：2 2ab， 1 cos 3 A 因为 11 sin2 2sin2 22 ABC SabCC，得sin1C 又因为0C，所以 2 C 因为 1 cos 3 A ，0A， 所以 2 2 sin 3 A ，且 1 sinsincos 23 BAA 根据正弦定理 sinsin ab AB ，可得2 2ab 所以 2 2 22 2abb，解得1b 18 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算以及数列求和 【解析】 （）设等差数列 n a的公差为 d 由题意得 11 11 462 , 2416. ad
24、a adad 解得 1 12, 4. a d 所以416 n an （）由题意得 1 1616 20204162041220 n nn b aann 111 1212nnnn ， 11111111 2334122224 n n T nnnn 19 【命题意图】本题考查线面垂直的证明及空间角的计算、空间向量的应用 【解析】 （）因为 E，G 分别为 AB，BC 的中点，所以/EG AC 因为ABAC，平面ABD 平面 ABC， 平面ABD平面ABCAB， 所以AC 平面 ABD 所以EG平面 ABD （）因为ABD是正三角形，所以DEAB 又由（）知EG平面 ABD，即 EG，AB，DE 两两垂
25、直， 则以 E 为坐标原点，分别以EB，EG，ED的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz 因为4ABAC，ABD是正三角形， 所以0,0,0E，2,0,0A ，2,0,0B， 0,2,0G，0,0,2 3D，2,4,0C 因为 F 是 DE 的中点，所以 0,0, 3F 0,4,0AC ，0,2,3FG ，2,2,0GC 设平面 FGC 的一个法向量为, ,mx y z， 所以 , ,0,2,3230, , ,2,2,0220. m FGx y zyz m GCx y zxy 令1x ，则1y ， 2 3 3 z ，所以 2 3 1,1, 3 m 设 AC
26、 与平面 FGC 所成的角为， 则 430 sincos 104 41 1 3 m AC m AC m AC 20 【命题意图】本题考查线性回归分析的基本思想和应用，以及平均数与方差的计算公式 【解析】 （）不合理 从散点图上看：A 组数据呈正相关，B 组数据呈负相关， 两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合 20 个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势， 故不适合用线性回归模型来拟合 （以上给出了 2 种理由，答出任意一种或其他合理理由均可得分） （）令2.1 0.85t，得3.6t ；令90.6 1.35t，得65.8t 由散点图可知，这种病毒的活性指标值先
27、随温度升高而升高， 到达一定温度后，开始随温度升高而降低， 所以这种病毒适宜生存的温度范围是3.6,65.8 （）全部 20 组活性指标值的平均数为 20 1 11 14 186 2319.5 2020 i i yy 因为 14 22 1 85 14 14 185726 i i y ， 20 22 15 45 66 233444 i i y ， 所以全部 20 组活性指标值的方差为 20 2 222 1 11 205726344419.578.25 2020 i i syy 21 【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质 【解析】 （）由已知3OA ，所以3a ， 设椭圆 C 的半焦距为 c
28、因为 6 3 c e a ，所以2c ，所以 2 321b ， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y （）由题意知 3,0A 联立 2 2 , 1, 3 ykxm x y 得 222 316330kxkmxm 由题意知， 2 2222 64 31 3312 36120kmkmkm （*） 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则 12 2 6 31 km xx k ， 2 12 2 33 31 m x x k 因为2MNAB，B 为线段 MN 的中点， 所以AMAN， 所以 1212 330AM ANxxy y 又 11 ykxm， 22 ykxm， 22 121 212
29、y yk x xmkm xx， 所以 22 1212 1330kx xkmxxm， 所以 22 2 22 63 331 30 3131 km km mk m kk 整理得 22 33 320kkmm， 得 3 3 km或 2 3 3 km 当 3 3 km时，l 的方程为 3 3 3 ym x， 过定点 3,0A ，不符合题意； 当 2 3 3 km时，l 的方程为 2 33 32 ym x ， 过定点 3 ,0 2 ，经检验，符合（*）式 综上所述，直线 l 过定点 3 ,0 2 22 【命题意图】本题考查导数在研究函数中的应用 【解析】 （）由条件，得 2 ee12 ee xx xx kk
30、xkx fx 令 0fx，得2x 当0h时，由 0fx，得2x， 由 0fx，得2x 所以 f x的单调增区间是,2，单调减区间是2, 当0k 时，由 0fx，得2x， 由 0fx，得2x 所以 f x的单调增区间是2,，单调减区间是,2 （）因为 ln110f， 所以1x 是方程 lnxf x的实根 当01x时，由（）知 f x单调递增， 所以 10f xf 而lnln0xx， 所以方程 lnxf x在区间0,1上无实根 当12x时，lnlnxx 设 1 ln ex k x F xx ， 则 2 e2 e 1 e 2 x xx kxkkkx Fx xx x 设 2 e2 x ku xxkx，
31、 当12x时， e220 x u xkxk， 所以 u x在1,2上单调递增 当 1e0uk ，即ek 时，在区间1,2上， 总有 10u xu，从而 0Fx， 所以 F x在1,2上单调递增， 10F xF， 即原方程在1,2上无实根 当 1e0uk ，即ek 时， 因为 2 2e0u， 所以存在 0 1,2x ，满足 0 0u x 所以在 0 1,x上， 0u x ， F x单调递减， 在 0,2 x上， 0u x ， F x单调递增 又因为 10F， 2 2ln2 e k F， 所以当 20F，即 2 ee ln2k时， 原方程在1,2上有唯一实根， 当 20F，即 2 e ln2k 时，原方程在1,2上无实根； 综上所述，当0ke或 2 e ln2k 时， 原方程在0,2上仅有一个实根； 当 2 ee ln2k时，原方程在0,2上有两个实根