1、若反比例函数 y的图象经过点（2，1） ，则 k 的值为（ ） A2 B2 C D 3 （3 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A2020 年的元旦是晴天 B太阳从东边升起 C打开电视正在播放新闻联播 D在一个没有红球的盒子里，摸到红球 4 （3 分）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 Cy 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 5 （3 分）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内O 上的一点，若DAB25，则OCD 的度数是（ ） A4
2、5 B60 C65 D70 6 （3 分）如图，已知ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O，且ABC 的面积等于DEF 面积的，则 AO：AD 的值为（ ） 第 2 页（共 29 页） A2：3 B2：5 C4：9 D4：13 7（3 分） 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则下列结论： c0； 2a+b 0；a+b+c0；b24ac0，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似 的是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60
3、，AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心 角为 60，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45角的直角三角板如图放置，直角顶 点 C 的坐标为（1，0） ，顶点 A 的坐标为（0，2） ，顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上， 第 3 页（共 29 页） 现将直角三角板沿 x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时 点 C 的对应点 C的坐标为（ ） A （，0） B （2，0） C （，0） D （3，0） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）在函
4、数 y中，自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共 40 个，除颜色外其他都相同， 小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.35 左右，则布袋中黄球可能有 个 13 （3 分）如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线 l4、l5相交于点 E， 已知 AEEF1，FB3，则 14 （3 分）如图等边三角形 ABC 内接于O，若O 的半径为 1，则图中阴影部分的面积 等于 15 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， 若点 A 的坐标为（3，4） ，AB2，ADx
5、 轴，则点 C 的坐标为 第 4 页（共 29 页） 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，小题，75 分，请将解答过程写在答题卡对应位置）分，请将解答过程写在答题卡对应位置） 16 （7 分）计算：14|1|（）2 17 （8 分）如图，已知点 D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BDABDC，AB6， AD4 （1）求证：ABDACB； （2）求线段 CD 的长 18 （8 分）如图，反比例函数 y的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示， 根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在第 象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而 ，常数 m 的取值范围是 ； （2）若此反比例函
6、数的图象经过点（2，3） ，求 m 的值 19 （10 分）阅读下列材料： 有这样一个问题：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的且非零的 实数根探究 a，b，c 满足的条件 小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的 探究过程： 第 5 页（共 29 页） 设一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）对应的二次函数为 yax2+bx+c（a0） ； 借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中 a，b，c 满足的条件，列表如下： 方程根的几何意义：请将（2）补充完整 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 a，b，c 满足的条件 方
7、程有两个 不相等的负实根 方程有两个 不相等的正实根 （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整； （2）若一元二次方程 mx2（2m+3）x4m0 有一个负实根，一个正实根，且负实根 大于1，求实数 m 的取值范围 20 （10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点， 连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 21 （10 分）有四张反面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图 形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上 （1）从四张纸牌中
8、随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 第 6 页（共 29 页） （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回再由小 亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称 图形，则小亮获胜，否则小明获胜这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明 理由 （纸牌用 A、B、C、D 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平 22 （11 分） 如图 1， 将三角板放在正方形 ABCD 上， 使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点 G （1）观
9、察猜想：线段 EF 与线段 EG 的数量关系是 ； （2）探究证明：如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上， 其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明 理由： （3）拓展延伸：如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD” ，且使三角 板的一边经过点 B，其他条件不变，若 ABa、BCb，求的值 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 B，四边形 OBCD 是矩形，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ，
10、 已知点 E（m，0）是线段 DO 上的动点，过点 E 作 PEx 轴交抛物线于点 P，交 BC 于 点 G，交 BD 于点 H （1）求该抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 BC 上方时，请用含 m 的代数式表示 PG 的长度； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 P，使得以 P、B、G 为顶点的三角形与DEH 相似？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 29 页） 第 8 页（共 29 页） 2020 年河南省许昌市长葛市中考数学一模试卷年河南省许昌市长葛市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题
11、共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题中均有四个结论供选择，分，每小题中均有四个结论供选择， 其中只有一个结论是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置）其中只有一个结论是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置） 1 （3 分）的相反数是（ ） A2019 B C2019 D 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：的相反数是： 故选：D 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）若反比例函数 y的图象经过点（2，1） ，则 k 的值为（ ） A2 B2 C D 【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，
12、只要把已知点的坐标代入解析式就可求 出比例系数 【解答】解：把点（2，1）代入解析式得1， 解得 k2 故选：A 【点评】 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征 把已知点的坐标代入可求出 k 值，即得到反比例函数的解析式 3 （3 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A2020 年的元旦是晴天 B太阳从东边升起 C打开电视正在播放新闻联播 D在一个没有红球的盒子里，摸到红球 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的 事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的在一定条件下，可能发生也 第 9 页（共 29 页） 可能不发生的事件，称为随机事件
13、 【解答】解：A.2020 年的元旦是晴天，属于随机事件，故本选项不合题意； B太阳从东边升起，属于必然事件，故本选项符合题意； C打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故本选项不合题意； D在一个没有红球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查了随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定 事件又分为必然事件和不可能事件 4 （3 分）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 Cy 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质用
14、排除法解答，当系数 k0 时，函数图象在第一、三象 限，当 x0 或 x0 时，y 随 x 的增大而减小，据此可以得到答案 【解答】解：A、把点（2，1）代入反比例函数 y得11，本选项正确； B、k20，图象在第一、三象限，本选项正确； C、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，本选项不正确； D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，本选项正确 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数 y（k0）的性质：当 k0 时，图象分别位于第 一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限当 k0 时，在同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而
15、增大 5 （3 分）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内O 上的一点，若DAB25，则OCD 的度数是（ ） 第 10 页（共 29 页） A45 B60 C65 D70 【分析】根据圆周角定理求出DOB，根据等腰三角形性质求出OCDODC，根据 三角形内角和定理求出即可 【解答】 解：连接 OD， DAB25， BOD2DAB50， COD905040， OCOD， OCDODC（180COD）70， 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考 查学生的推理能力，题目比较典型，难度适
16、中 6 （3 分）如图，已知ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O，且ABC 的面积等于DEF 面积的，则 AO：AD 的值为（ ） A2：3 B2：5 C4：9 D4：13 第 11 页（共 29 页） 【分析】由ABC 经过位似变换得到DEF，点 O 是位似中心，根据位似图形的性质得 到 AB：DO2：3，进而得出答案 【解答】解：ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O，且ABC 的面积等于DEF 面 积的， ，ACDF， ， 故选：B 【点评】此题考查了位似图形的性质注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相 似比，其对应的面积比等于相似比的平方 7（3 分） 已知二次函数 yax2
17、+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则下列结论： c0； 2a+b 0；a+b+c0；b24ac0，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：如图所示，抛物线与 y 轴交于负半轴，则 c0， 故正确； 如图所示，对称轴 x1，则 2a+b0 故正确； 如图所示，当 x1 时，y0，即：a+b+c0 故正确； 第 12 页（共 29 页） 如图所示，抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则
18、b24ac0 故错误 综上所述，正确的结论有 3 个 故选：C 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 8 （3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似 的是（ ） A B C D 【分析】利用ABC 中，ACB135，AC2，BC，然后根据两组对应边的比 相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可 【解答】解：在ABC 中，ACB135，AC2，BC， 在 A、C、D 选项中的三角形都没有 135，而在 B 选项中，三角形的钝角为 13
19、5，它 的两边分别为 1 和， 因为，所以 B 选项中的三角形与ABC 相似 故选：B 【点评】此题考查了相似三角形的判定注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两 个三角形相似 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心 第 13 页（共 29 页） 角为 60，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【分析】根据菱形的性质得出DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 ABGDBH，得出四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，进而求出即可 【解答】解：连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形，A60， ADC120， 126
20、0， DAB 是等边三角形， AB2， ABD 的高为， 扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60， 4+560，3+560， 34， 设 AD、BE 相交于点 G，设 BF、DC 相交于点 H， 在ABG 和DBH 中， ， ABGDBH（ASA） ， 四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积， 图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD2 故选：A 第 14 页（共 29 页） 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已 知得出四边形 EBFD 的面积等于ABD 的面积是解题关键 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45角的直角三
21、角板如图放置，直角顶 点 C 的坐标为（1，0） ，顶点 A 的坐标为（0，2） ，顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上， 现将直角三角板沿 x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时 点 C 的对应点 C的坐标为（ ） A （，0） B （2，0） C （，0） D （3，0） 【分析】 过点 B 作 BDx 轴于点 D， 易证ACOBCD （AAS） ， 从而可求出 B 的坐标， 进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与 A 的坐标即可得知平移的单位长度，从 而求出 C 的对应点 【解答】解：过点 B 作 BDx 轴于点 D， ACO+BCD90， OAC+ACO
22、90， OACBCD， 在ACO 与BCD 中， ACOBCD（AAS） OCBD，OACD， A（0，2） ，C（1，0） OD3，BD1， 第 15 页（共 29 页） B（3，1） ， 设反比例函数的解析式为 y， 将 B（3，1）代入 y， k3， y， 把 y2 代入 y， x， 当顶点 A 恰好落在该双曲线上时， 此时点 A 移动了个单位长度， C 也移动了个单位长度， 此时点 C 的对应点 C的坐标为（，0） 故选：C 【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数 的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型 二、填空题（每小题二、填空题
23、（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x0 且 x3 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案 【解答】解：由题意，得 x0 且 x30， 解得 x0 且 x3， 故答案为：x0 且 x3 第 16 页（共 29 页） 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得 出不等式是解题关键 12 （3 分）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共 40 个，除颜色外其他都相同， 小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.35 左右，则布袋中黄球可能有 14 个 【分析】利用频率估
24、计概率得到摸到黄球的概率为 0.35，然后根据概率公式计算即可 【解答】解：设袋子中黄球有 x 个，根据题意，得： 0.35， 解得：x14， 即布袋中黄球可能有 14 个， 故答案为：14 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定 位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集 中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 13 （3 分）如图，已知 l1l2l3，直线 l4、l5被这组平行线所截，且直线 l4、l5相交于点 E， 已知 AEEF1，FB3，则 【分析】由 l1l2，根据根据平行线分线段成比例定理可得
25、FGAC；由 l2l3，根据根 据平行线分线段成比例定理可得 【解答】解：l1l2，AEEF1， 1， FGAC； l2l3， 第 17 页（共 29 页） ， ， 故答案为 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行于三角形的一边，并且和其他 两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例是解题的关键 14 （3 分）如图等边三角形 ABC 内接于O，若O 的半径为 1，则图中阴影部分的面积 等于 【分析】连接 OC，如图，利用等边三角形的性质得AOC120，SAOBSAOC，然 后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积S扇形AOC进行计算 【
26、解答】解：连接 OC，如图， ABC 为等边三角形， AOC120，SAOBSAOC， 图中阴影部分的面积S扇形AOC 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直 平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质 15 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， 若点 A 的坐标为（3，4） ，AB2，ADx 轴，则点 C 的坐标为 （6，2） 第 18 页（共 29 页） 【分析】根据矩形的性质和 A 点的坐标，即可得出 C 的纵坐标为 2，设 C（x，2） ，根据 反比例函数图象上点的坐标特征
27、得出 k2x34， 解得 x6， 从而得出 C 的坐标为 （6， 2） 【解答】解：点 A 的坐标为（3，4） ，AB2， B（3，2） ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， ADx 轴， BCx 轴， C 点的纵坐标为 2， 设 C（x，2） ， 矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， k2x34， x6， C（6，2） ， 故答案为（6，2） 【点评】本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得 C 的纵坐标 为 2 是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，小题，75 分，请将解答过程写在答题卡对应位置）分，请将解答过程写
28、在答题卡对应位置） 16 （7 分）计算：14|1|（）2 【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：14|1|（）2 1+1 第 19 页（共 29 页） 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行 实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外， 有理数的运算律在实数范围内仍然适用 17 （8 分）如图，已知点 D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BDABDC，AB6， AD4 （1）求证：ABDACB；
29、 （2）求线段 CD 的长 【分析】 （1）根据ABDC，AA，即可证得ABDACB； （2）由（1）知：ABDACB，根据相似三角形的性质得到，代入数据即 可得到结果 【解答】解： （1）ABDC，AA（公共角） ， ABDACB； （2）由（1）知：ABDACB， ， 即， CD5 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解 题的关键 18 （8 分）如图，反比例函数 y的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示， 根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在第 四 象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而 增大 ，常数 m 第 20 页（共 29 页）
30、 的取值范围是 m2 ； （2）若此反比例函数的图象经过点（2，3） ，求 m 的值 【分析】 （1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点（2，3）代入函数关系式，求出 m 的值即可 【解答】解： （1）根据反比例函数的对称性可知，一个分支再第二象限，则另一个分支 在第四象限， 根据反比例函数的图象和性质，可得，在第二、四象限的每个象限内，y 随 x 的增大而增 大； 由 m20，得 m2， 故答案为：四，增大，m2； （2）把（2，3）代入得到：m2xy236，则 m4 答：m 的值为4 【点评】考查反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法 19 （10 分）阅读
31、下列材料： 有这样一个问题：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个不相等的且非零的 实数根探究 a，b，c 满足的条件 小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的 探究过程： 设一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）对应的二次函数为 yax2+bx+c（a0） ； 借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中 a，b，c 满足的条件，列表如下： 方程根的几何意义：请将（2）补充完整 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 a，b，c 满足的条件 第 21 页（共 29 页） 方程有两个 不相等的负实根 方程有一个负实根， 一个正实根 方程
32、有两个 不相等的正实根 （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整； （2）若一元二次方程 mx2（2m+3）x4m0 有一个负实根，一个正实根，且负实根 大于1，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答 案； （2）根据题意得出关于 m 的不等式组，解不等式组即可 【解答】解： （1）补全表格如下： 方程两根的情况 二次函数的大致图象 得出的结论 方程有一个负实根， 一个 正实根 第 22 页（共 29 页） 故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，； （2） 解： 设一元二次方程 mx2 （2m+3） x4m0 对应的二次函数为
33、： ymx2 （2m+3） x4m， 一元二次方程 mx2（2m+3）x4m0 有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于1， 当 m0 时，x1 时，y0，解得 m3， 0m3 当 m0 时，x1 时，y0，解得 m3（舍弃） m 的取值范围是 0m3 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函 数与系数的关系等知识；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数 的关系是解决问题的关键 20 （10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点， 连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC
34、 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 【分析】（1） 连接 AE， 求出EAD+AFE90， 推出BCEBFC， EADACE， 求出BCE+ACE90，根据切线的判定推出即可 第 23 页（共 29 页） （2）根据 AC4，cosB求出 BC3，AB5，BF3，AF2，根据EAD ACE，EE 证AEFCEA，推出 EC2EA，设 EAx，EC2x，由勾股定 理得出 x2+4x216，求出即可 【解答】 （1）答：BC 与O 相切 证明：连接 AE， AC 是O 的直径 E90， EAD+AFE90， BFBC， BCEBFC， E 为弧 AD 中点， EA
35、DACE， BCE+ACE90， ACBC， AC 为直径， BC 是O 的切线 （2）解：O 的半为 2， AC4， cosB， BC3，AB5， BF3，AF532， EADACE，EE， AEFCEA， ， EC2EA， 设 EAx，EC2x， 由勾股定理得：x2+4x216， 第 24 页（共 29 页） x（负数舍去） ， 即 CE 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和 判定的应用，主要考查学生的推理能力 21 （10 分）有四张反面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图 形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上 （1）
36、从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回再由小 亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称 图形，则小亮获胜，否则小明获胜这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明 理由 （纸牌用 A、B、C、D 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平 【分析】 （1）直接根据概率公式计算即可 （2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形 的结果有 2 种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可 【解答】解： （1）
37、共有 4 张牌，正面是中心对称图形的情况有 3 种， 从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 故答案为：； （2）游戏不公平，理由如下： 列表得： 第 25 页（共 29 页） A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是 中心对称图形的结果有 2 种，即（A，C） （C，A） P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）， 游戏不公平 修改规则：若抽到
38、的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴 对称图形） ，则小明获胜，否则小亮获胜 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结 果是关键，区分中心对称图形是要点用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数 之比 22 （11 分） 如图 1， 将三角板放在正方形 ABCD 上， 使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点
39、 G （1）观察猜想：线段 EF 与线段 EG 的数量关系是 EFEG ； （2）探究证明：如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上， 其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明 理由： （3）拓展延伸：如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD” ，且使三角 第 26 页（共 29 页） 板的一边经过点 B，其他条件不变，若 ABa、BCb，求的值 【分析】 （1）由GEB+BEF90，DEF+BEF90，可得DEFGEB，又 由正方形的性质，利用 ASA 得到FEDGEB，得出 EFEG； （2）过
40、点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、P，然后利用 ASA 证明FEI GEH，根据全等三角形的性质证明结论； （3）过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，得到 EMAB，ENAD，证明CENCAD， CEMCAB， 得到， 证得GMEFNE， 根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， GAFBAD， GAFBAFBADBAF，即GABFAD， 在GAB 和FAD 中， ， GABFAD（ASA） ， AGAF，即 EFEG， 故答案为：EFEG； （2）成立， 证明如下：如图 2，过点 E 分别作 B
41、C、CD 的垂线，垂足分别为 H、I， 则 EHEI，HEI90， GEH+HEF90，IEF+HEF90， IEFGEH， 在FEI 和GEH 中， ， FEIGEH（ASA） ， EFEG； （3）如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N， 第 27 页（共 29 页） 则MEN90， EMAB，ENAD， CENCAD，CEMCAB， ， ，即， NEF+FEMGEM+FEM90， GEMFEN，又GMEFNE90， GMEFNE， 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的 性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 2
42、3 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 B，四边形 OBCD 是矩形，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ， 已知点 E（m，0）是线段 DO 上的动点，过点 E 作 PEx 轴交抛物线于点 P，交 BC 于 点 G，交 BD 于点 H （1）求该抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 BC 上方时，请用含 m 的代数式表示 PG 的长度； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 P，使得以 P、B、G 为顶点的三角形与DEH 相似？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 第 28
43、页（共 29 页） 【分析】 （1）将 D（4，0） ，B（0，4）代入 yx2+bx+c，运用待定系数法即可求出 抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与直线 BC 的交点为（2，4） （0，4） ，得出点 P 在直线 BC 上方时， m 的取值范围，再根据 P（m，m23m+4） ，G（m，4） ，求出 PGm2m； （3）先由 DOBC，得到，表示出 BGGHm，HEDE4+m，从而判断 出只有PGBDEH，得到比例式求解即可 【解答】解： （1）四边形 OBCD 是正方形，点 B 坐标为（0，4） ， D 点的坐标是（4，0） ， 点 B 和点 D 在抛物线上 ， ， 该抛物线的解析式为
44、：yx23x+4； （2）4m23m+4，解得 m3 或 0， 抛物线与直线 BC 的交点为（3，4） （0，4） ， 点 P 在直线 BC 上方时，m 的取值范围是：3m0， E（m，0） ，B（0，4） ， PEx 轴交抛物线于点 P，交 BC 于点 G， P（m，m23m+4） ，G（m，4） ， PGm23m+44m23m， （3）抛物线的解析式为：yx23x+4； 设点 P（m，m23m+4） ， BGm，DEm+4， 第 29 页（共 29 页） DOBC， ， GH4， BGGHm，HEDE4+m， 以 P、B、G 为顶点的三角形与DEH 相似且PGBDEH90， PGBDEH， ， GBPG， mm23m， m2 或 m0（舍） 即：m2 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合，其中涉及到运用待定系 数法求二次函数、线段的表示、正方形的性质等知识，综合性较强，运用数形结合、方 程思想是解题的关键