1、数学（文科类）模拟测试 第 1 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（年沈阳市高中三年级教学质量监测（三三） 数数 学学(文科文科) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前， 考生务必将自己的姓名、 考号填写在答题卡上， 并将条码粘贴在答题卡指定区域。 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用 橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作 答，在本试题卷上作答
2、无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 2 |(1)0Mxx， |0Nx x，则 ANM BMN CMN DMN R 2已知a为实数，若复数 2 (1)(1)izaa为纯虚数，则复数z的虚部为 A1 B2i C1 D2 3已知条件p：0ab，条件q： 11 aba ，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数( ) |3sincos|f xxx（0）的最小正周期为，则 A1 B2 C
3、 1 2 D4 5已知抛物线 2 2xpy上一点( ,1)A m到其焦点的距离为p，则p A2 B2 C4 D4 数学（文科类）模拟测试 第 2 页(共 13 页) 6 九章算术中介绍了一种“更相减损术” ，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法 用算法流程图表示如下，若输入15a ， 12b ，0i 则输出的结果为 A4a，4i B4a，5i C3a ，4i D3a ，5i 7 函数 2 e1 ( )(1 ln) e1 x x f xx 的图象大致为 A B C D 8被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和 科研实践中得到了非常广泛的应用，0.61
4、8就是黄金分割比 51 2 m 的近似值，黄 金分割比还可以表示为2sin18，则 2 2 4 2cos 271 mm A4 B51 C2 D51 9 设, 为两个不重合的平面，能使成立的是 A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C内有无数个点到的距离相等 D, 垂直于同一平面 10已知O为ABC的外接圆的圆心，且345OAOBOC，则C的值为 A 4 B 2 C 6 D 12 x y O 2 x y O 2 x y O2 x y O2 1ii ?ab 开始 , ,a b i输入 ?abaa b bba , a i输出 结束 否 是 是 否 数学（文科类）模拟测试 第 3 页(共
5、13 页) 11已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （,0a b ）的离心率为 2 3 3 ，O为坐标原点，过右焦点 F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,M N，且OMN为直角三角形，若 3 3 2 ONM S，则C的方程为 A 22 1 124 xy B 22 1 62 xy C 2 2 1 3 x y D 22 1 26 xy 12已知函数 3 ( )4f xxx，过点( 2,0)A 的直线l与( )f x的图象有三个不同的交点， 则直线l斜率的取值范围为 A( 1,8) B( 1,8)(8,) C( 2,8)(8,) D( 1,) 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题
6、和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某高校有 10000 名学生，其中女生 3000 名，男生 7000 名为调查爱好体育运动是否与 性别有关，用分层抽样的方法抽取 120 名学生，制成独立性检验的2 2列表如下，则 a b （用数字作答） 男 女 合计 爱好体育运动 a 9 # 不爱好体育运动 28 b # 合计 # # 120 14已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧 为 1 4 圆周，则该几何体的侧面积为 15过点(0, 1)作曲线()ln
7、fxx（0x）的切线，则 切点坐标为 16 在ABC中， 角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 设ABC 的 面 积 为S， 若 222 4 s i ns i ns3n+2 iABC， 且 2bc，则 S AB AC 数学（文科类）模拟测试 第 4 页(共 13 页) 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 n Snpn （1）求数列 n a的通项公式； （2）已知 47
8、12 ,a a a成等比数列，求p值； （3）若 1 2 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （本小题满分 12 分） 某快餐连锁店， 每天以每份 5 元的价格从总店购进早餐， 然后以每份 10 元的价格出售， 当天不能出售的早餐立即以 1 元的价格被总店回收进行环保处理 该快餐连锁店记录了 100 天早餐的销售量（单位：份） ，整理得下表： 日销售量 25 30 35 40 45 50 频数 10 16 28 24 14 8 如果这个早餐店每天购入 40 份早餐，完成下列问题： （1）写出每天获得利润y与销售早餐份数x（xN）的函数关系式； （2）估计每天利润不
9、低于 150 元的概率； （3）估计该快餐店每天的平均利润 数学（文科类）模拟测试 第 5 页(共 13 页) 19 （本小题满分 12 分） 如图， 长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形， 点E在棱 1 AA上， 1 BEEC （1）证明：平面CBE平面 11 EBC； （2）若 1 AEAE，2AB ，求三棱锥 1 CEBC的体积 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，四点 1(2, 3)P， 2(0, 2) P， 3 6 ( 2,) 3 P， 4 6 (2,) 3 P中恰有三个点在椭圆C上，左、右焦点分别为 1 F、
10、 2 F （1）求椭圆C的方程； （2）过左焦点 1 F且不与坐标轴平行的直线l交椭圆于P、Q两点，若线段PQ的垂直 平分线交y轴于点D，求 |PQ |OD| 的最小值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( ) x f xemx （1）讨论( )f x的单调区间与极值； （2） 已知函数( )f x的图象与直线ym 相交于 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy两点 （ 12 xx） ， 证明： 12 4xx A C D 1 A 1 B 1 C 1 D E B 数学（文科类）模拟测试 第 6 页(共 13 页) （二） 选考题： 共10 分， 请考生在22、 23 题中任选一题
11、作答， 如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1 C的 极坐标方程为sin2 （1）M为曲线 1 C上的动点，点P在线段OM上，且满足4PO OM，求点P的 轨迹 2 C的直角坐标方程； （2）曲线 2 C上两点 1 (,) 3 A 与点 2 (, )B ，求OAB面积的最大值 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知, ,a b c均为正数，设函数( )f xxbxca，xR （1）若222abc，求不等式( )3f x 的解集
12、； （2）若函数 ( )f x的最大值为1，证明： 149 36 abc 数学（文科类）模拟测试 第 7 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数数 学学（文科）文科） 【答案与评分标准】 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A A D 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A C B 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第
13、 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1329 14 75 24 15 ( e,1) 16 7 2 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）当2n时， 1n 21 nn aSSnp， 2 分 当1n时， 11 1 aSp，也满足 n 21 anp， 故 n 21 anp 4 分 （2） 4
14、a， 7 a， 12 a成等比数列， 2 4127 a aa， 6 分 2 72313ppp，2p， n 21an 8 分 （2）由（1）可得 1 11 111 21 2 22 32123 n nn b aannnn ， 10 分 数学（文科类）模拟测试 第 8 页(共 13 页) 2 1111111611 2123 1 355732369 n nn Tnn nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1） 54(40),40 200,40 xx x y x ，即 9160,40 200,40 xx y x 4 分 （2）根据（1）中函数关系完成统计表如下： 日销售量 25 3
15、0 35 40 45 50 频数 10 16 28 24 14 8 获得利润 65 110 155 200 200 200 所以获利不低于 150 元的概率为 10 16 10.74 100 P 8 分 【如果不写出各销售量所获得的利润不给分】 （3） 10162824148 65110155200 ()159.5 100100100100100100 ， 所以快餐店每天平均利润为159.5元 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）在长方体 1111 ABCDABC D中， 因为 11 BC 平面 11 AAB B，BE 平面 11 AAB B， 所以 11 BCBE， 2 分
16、 又 1 BEEC， 1111 BCECC， 且 1 EC 平面 11 EBC， 11 BC 平面 11 EBC， 所以BE 平面 11 EBC； 4 分 又因为BE 平面BCE， 所以平面CBE 平面 11 EBC 6 分 （2）设长方体侧棱长为2a，则 1 AEAEa， 由（1）可得 1 EBBE；所以 222 11 EBBEBB，即 22 1 2BEBB， 又2AB ，所以 222 1 22AEABBB，解得2a 8 分 取 1 BB中点F，连结EF，因为 1 AEAE，则EFAB， 所以EF 平面 11 BBCC， 9 分 A C D 1 A 1 B 1 C 1 D E B F 数学（
17、文科类）模拟测试 第 9 页(共 13 页) 所以四棱锥 11 EBBCC的体积为 111 1 11 1118 2 4 2 33 2323 C EBCE BCCBCC VVSEFBC BB EF 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）易知 3 6 ( 2,) 3 P， 4 6 (2,) 3 P关于y轴对称，一定都在椭圆上 所以 1(2, 3) P一定不在椭圆上根据题意 2(0, 2) P也在椭圆上 2 分 将 2(0, 2) P， 4 6 (2,) 3 P带入椭圆方程，解得椭圆方程为 22 1 62 xy 4 分 （II） 设直线l方程为(2)yk x（0k ） ， 11 ,P
18、 x y， 22 ,Q x y，PQ的中点为N 联立 22 1 62 (2) xy yk x ，可得 2222 31121260kxk xk 则 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k x x k ， 6 分 所以 2 12 2 6 231 N xxk x k ， 2 22 62 (2) 3131 N kk yk kk ， N坐标为 2 22 62 , 31 31 kk kk ， 2 2 2 2 61 |1 31 k PQk k 2 2 2 6(1) 31 k k 8 分 PQ垂直平分线方程为： 2 22 216 () 3131 kk yx kkk ， 令0
19、x ，求得 2 4 31 k y k ，则 2 4| | 31 k OD k ， 10 分 所以 |PQ OD 2 2 2 4| 31 2 6(1) 31 k k k k 2 6(1)61 (|)6 2|2| k k kk 数学（文科类）模拟测试 第 10 页(共 13 页) 因此，当 1 | | k k ，即1k时， |PQ OD 最小值为6 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）( ) x fxem， 1 分 当0m时，( )0fx ，此时( )f x在R上单调递增，无极值； 当0m时，由( )0fx ，得lnxm 所以(,ln)xm 时，( )0fx ，( )f x单调递
20、减； (ln,)xm时，( )0fx ，( )f x单调递增 3 分 此时函数有极小值为(ln)lnfmmmm，无极大值 4 分 （2）方法一： 由题设可得 12 ( )()f xf xm ，所以 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x ， 5 分 且由（1）可知 1 lnxm， 2 lnxm， 2 em 由 1 1 (1) x em x，可知 1 10x ，所以 12 01 11xx 设 21 1(1)xxt （0t ） ，由 2 1 2 1 1 1 x x xe ex ，得 1 1 (1) e 1 t xt x ， 所以 1 1 e1 t t x ， 即 1 1 e1
21、t t x ， 所以 2 e 1 e1 t t t x ， 6 分 12 4xx e 2 e1e1 t tt tt e2e2 tt tt2ee20 tt tt 设( )2ee2 tt h ttt （0t ） ， 8 分 则( )ee1 tt h tt， 设( )( )ee1 tt g th tt，则( )etg tt ，所以( )0g t 所以( )h t在(0,)单调递减，( )(0)1 0 10h th 10 分 数学（文科类）模拟测试 第 11 页(共 13 页) 所以( )h t在(0,)单调递减，( )(0)20020h tg 11 分 所以 12 4xx 12 分 方法二： 由题设
22、可得 12 ( )()f xf xm ，所以 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x ， 5 分 且由（1）可知 1 lnxm， 2 lnxm， 2 em 由 1 1 (1) x em x，可知 1 10x ，所以 12 01 11xx 由 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x ，得 11 22 lnln(1) lnln(1) xmx xmx ， 6 分 作差得 2 21 1 1 ln 1 x xx x 设 21 1(1)xt x （1t ） ，由 2 21 1 1 ln 1 x xx x ，得 1 ln(1)(1)ttx， 所以 1 ln 1 1 t
23、 x t ，即 1 ln 1 1 t x t ， 所以 2 ln 1 1 tt x t ， 8 分 12 4xx lnln 2 11 ttt tt (1)ln 2 1 tt t 4 ln20 1 t t 设 4 ( )ln2 1 h tt t （1t ） ， 9 分 则 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t 所以( )h t在(0,)单调递增，( )(1)0220h th 11 分 所以 12 4xx 12 分 （二） 选考题： 共10 分， 请考生在22、 23 题中任选一题作答， 如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分
24、） 解： （1）设P的极坐标为( , ) （0） ，M的极坐标为 0 (, ) （ 0 0） 数学（文科类）模拟测试 第 12 页(共 13 页) 1 分 由题设知|PO， 0 2 | sin OM 由PO OM|cosPO OM|PO OM 4 ， 3 分 得 2 4 sin ， 所以 2 C的极坐标方程2sin（0） ， 因此 2 C的直角坐标方程为 22 (1)1xy（0y ） 5 分 （2）依题意： 1 |2sin3 3 OA ， 2 |2sinOB 6 分 于是OAB面积：S 1 |sin 2 OA OBAOB3sin|sin()| 3 31 |sin(2)| 262 分 当 2 3
25、 时，S取得最大值 3 3 4 9 分 所以OAB面积的最大值为 3 3 4 10 分 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 解： （1）当222abc时，不等式 3f x 化为111xx ，1 分 当1x时，原不等式化为1+1+1xx，解集为； 当11x 时，原不等式化为11 1xx ，解得 1 1 2 x； 当1x时，原不等式化为11 1xx ，解得1x 4 分 不等式 3f x 的解集为 1 ,+ 2 5 分 （2）因为 f xxbxca xcxbabca， 又因为, ,0a b c ，所以 max2f xabc 6 分 方法一： 149 ()abc abc 4949 14()()() bacacb abacbc 4949 14222 bacacb abacbc 36， 9 分 数学（文科类）模拟测试 第 13 页(共 13 页) 当且仅当 4949 2 bacacb abacbc abc 且且 ，即 2323 2 bacacb abc 且且 即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分 方法二： 149 ()abc abc 222 123 abc 222 abc 2 123 abc abc 36， 9 分 当且仅当 123 2 abc abc ，即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分