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辽宁省沈阳市2020届高考三模文科数学试题(含答案)

1、数学(文科类)模拟测试 第 1 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测(年沈阳市高中三年级教学质量监测(三三) 数数 学学(文科文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答 题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前, 考生务必将自己的姓名、 考号填写在答题卡上, 并将条码粘贴在答题卡指定区域。 2.第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。 第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作 答,在本试题卷上作答

2、无效。 3.考试结束后,考生将答题卡交回。 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 2 |(1)0Mxx, |0Nx x,则 ANM BMN CMN DMN R 2已知a为实数,若复数 2 (1)(1)izaa为纯虚数,则复数z的虚部为 A1 B2i C1 D2 3已知条件p:0ab,条件q: 11 aba ,则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数( ) |3sincos|f xxx(0)的最小正周期为,则 A1 B2 C

3、 1 2 D4 5已知抛物线 2 2xpy上一点( ,1)A m到其焦点的距离为p,则p A2 B2 C4 D4 数学(文科类)模拟测试 第 2 页(共 13 页) 6 九章算术中介绍了一种“更相减损术” ,用于求两个正整数的最大公约数,将该方法 用算法流程图表示如下,若输入15a , 12b ,0i 则输出的结果为 A4a,4i B4a,5i C3a ,4i D3a ,5i 7 函数 2 e1 ( )(1 ln) e1 x x f xx 的图象大致为 A B C D 8被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和 科研实践中得到了非常广泛的应用,0.61

4、8就是黄金分割比 51 2 m 的近似值,黄 金分割比还可以表示为2sin18,则 2 2 4 2cos 271 mm A4 B51 C2 D51 9 设, 为两个不重合的平面,能使成立的是 A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C内有无数个点到的距离相等 D, 垂直于同一平面 10已知O为ABC的外接圆的圆心,且345OAOBOC,则C的值为 A 4 B 2 C 6 D 12 x y O 2 x y O 2 x y O2 x y O2 1ii ?ab 开始 , ,a b i输入 ?abaa b bba , a i输出 结束 否 是 是 否 数学(文科类)模拟测试 第 3 页(共

5、13 页) 11已知双曲线C: 22 22 1 xy ab (,0a b )的离心率为 2 3 3 ,O为坐标原点,过右焦点 F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,M N,且OMN为直角三角形,若 3 3 2 ONM S,则C的方程为 A 22 1 124 xy B 22 1 62 xy C 2 2 1 3 x y D 22 1 26 xy 12已知函数 3 ( )4f xxx,过点( 2,0)A 的直线l与( )f x的图象有三个不同的交点, 则直线l斜率的取值范围为 A( 1,8) B( 1,8)(8,) C( 2,8)(8,) D( 1,) 第卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题

6、和选考题两部分,第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 2223 题为选考题,考生根据要求作答 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13某高校有 10000 名学生,其中女生 3000 名,男生 7000 名为调查爱好体育运动是否与 性别有关,用分层抽样的方法抽取 120 名学生,制成独立性检验的2 2列表如下,则 a b (用数字作答) 男 女 合计 爱好体育运动 a 9 # 不爱好体育运动 28 b # 合计 # # 120 14已知某不规则几何体三视图如图,其中俯视图中的圆弧 为 1 4 圆周,则该几何体的侧面积为 15过点(0, 1)作曲线()ln

7、fxx(0x)的切线,则 切点坐标为 16 在ABC中, 角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, 设ABC 的 面 积 为S, 若 222 4 s i ns i ns3n+2 iABC, 且 2bc,则 S AB AC 数学(文科类)模拟测试 第 4 页(共 13 页) 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (本小题满分 12 分) 已知数列 n a的前n项和 2 n Snpn (1)求数列 n a的通项公式; (2)已知 47

8、12 ,a a a成等比数列,求p值; (3)若 1 2 1 n nn b aa ,求数列 n b的前n项和 n T 18 (本小题满分 12 分) 某快餐连锁店, 每天以每份 5 元的价格从总店购进早餐, 然后以每份 10 元的价格出售, 当天不能出售的早餐立即以 1 元的价格被总店回收进行环保处理 该快餐连锁店记录了 100 天早餐的销售量(单位:份) ,整理得下表: 日销售量 25 30 35 40 45 50 频数 10 16 28 24 14 8 如果这个早餐店每天购入 40 份早餐,完成下列问题: (1)写出每天获得利润y与销售早餐份数x(xN)的函数关系式; (2)估计每天利润不

9、低于 150 元的概率; (3)估计该快餐店每天的平均利润 数学(文科类)模拟测试 第 5 页(共 13 页) 19 (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形, 点E在棱 1 AA上, 1 BEEC (1)证明:平面CBE平面 11 EBC; (2)若 1 AEAE,2AB ,求三棱锥 1 CEBC的体积 20 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ,四点 1(2, 3)P, 2(0, 2) P, 3 6 ( 2,) 3 P, 4 6 (2,) 3 P中恰有三个点在椭圆C上,左、右焦点分别为 1 F、

10、 2 F (1)求椭圆C的方程; (2)过左焦点 1 F且不与坐标轴平行的直线l交椭圆于P、Q两点,若线段PQ的垂直 平分线交y轴于点D,求 |PQ |OD| 的最小值 21 (本小题满分 12 分) 已知函数( ) x f xemx (1)讨论( )f x的单调区间与极值; (2) 已知函数( )f x的图象与直线ym 相交于 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy两点 ( 12 xx) , 证明: 12 4xx A C D 1 A 1 B 1 C 1 D E B 数学(文科类)模拟测试 第 6 页(共 13 页) (二) 选考题: 共10 分, 请考生在22、 23 题中任选一题

11、作答, 如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在直角坐标系xOy中, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 1 C的 极坐标方程为sin2 (1)M为曲线 1 C上的动点,点P在线段OM上,且满足4PO OM,求点P的 轨迹 2 C的直角坐标方程; (2)曲线 2 C上两点 1 (,) 3 A 与点 2 (, )B ,求OAB面积的最大值 23 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知, ,a b c均为正数,设函数( )f xxbxca,xR (1)若222abc,求不等式( )3f x 的解集

12、; (2)若函数 ( )f x的最大值为1,证明: 149 36 abc 数学(文科类)模拟测试 第 7 页(共 13 页) 20202020 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)年沈阳市高中三年级教学质量监测(三) 数数 学学(文科)文科) 【答案与评分标准】 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A A D 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A C B 第卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第

13、 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 2223 题为选考题,考生根据要求作答 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 1329 14 75 24 15 ( e,1) 16 7 2 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22-23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (本小题满分 12 分) 解: (1)当2n时, 1n 21 nn aSSnp, 2 分 当1n时, 11 1 aSp,也满足 n 21 anp, 故 n 21 anp 4 分 (2) 4

14、a, 7 a, 12 a成等比数列, 2 4127 a aa, 6 分 2 72313ppp,2p, n 21an 8 分 (2)由(1)可得 1 11 111 21 2 22 32123 n nn b aannnn , 10 分 数学(文科类)模拟测试 第 8 页(共 13 页) 2 1111111611 2123 1 355732369 n nn Tnn nnnn 12 分 18 (本小题满分 12 分) 解: (1) 54(40),40 200,40 xx x y x ,即 9160,40 200,40 xx y x 4 分 (2)根据(1)中函数关系完成统计表如下: 日销售量 25 3

15、0 35 40 45 50 频数 10 16 28 24 14 8 获得利润 65 110 155 200 200 200 所以获利不低于 150 元的概率为 10 16 10.74 100 P 8 分 【如果不写出各销售量所获得的利润不给分】 (3) 10162824148 65110155200 ()159.5 100100100100100100 , 所以快餐店每天平均利润为159.5元 12 分 19 (本小题满分 12 分) 解: (1)在长方体 1111 ABCDABC D中, 因为 11 BC 平面 11 AAB B,BE 平面 11 AAB B, 所以 11 BCBE, 2 分

16、 又 1 BEEC, 1111 BCECC, 且 1 EC 平面 11 EBC, 11 BC 平面 11 EBC, 所以BE 平面 11 EBC; 4 分 又因为BE 平面BCE, 所以平面CBE 平面 11 EBC 6 分 (2)设长方体侧棱长为2a,则 1 AEAEa, 由(1)可得 1 EBBE;所以 222 11 EBBEBB,即 22 1 2BEBB, 又2AB ,所以 222 1 22AEABBB,解得2a 8 分 取 1 BB中点F,连结EF,因为 1 AEAE,则EFAB, 所以EF 平面 11 BBCC, 9 分 A C D 1 A 1 B 1 C 1 D E B F 数学(

17、文科类)模拟测试 第 9 页(共 13 页) 所以四棱锥 11 EBBCC的体积为 111 1 11 1118 2 4 2 33 2323 C EBCE BCCBCC VVSEFBC BB EF 12 分 20 (本小题满分 12 分) 解: (1)易知 3 6 ( 2,) 3 P, 4 6 (2,) 3 P关于y轴对称,一定都在椭圆上 所以 1(2, 3) P一定不在椭圆上根据题意 2(0, 2) P也在椭圆上 2 分 将 2(0, 2) P, 4 6 (2,) 3 P带入椭圆方程,解得椭圆方程为 22 1 62 xy 4 分 (II) 设直线l方程为(2)yk x(0k ) , 11 ,P

18、 x y, 22 ,Q x y,PQ的中点为N 联立 22 1 62 (2) xy yk x ,可得 2222 31121260kxk xk 则 2 12 2 12 31 k xx k , 2 12 2 126 31 k x x k , 6 分 所以 2 12 2 6 231 N xxk x k , 2 22 62 (2) 3131 N kk yk kk , N坐标为 2 22 62 , 31 31 kk kk , 2 2 2 2 61 |1 31 k PQk k 2 2 2 6(1) 31 k k 8 分 PQ垂直平分线方程为: 2 22 216 () 3131 kk yx kkk , 令0

19、x ,求得 2 4 31 k y k ,则 2 4| | 31 k OD k , 10 分 所以 |PQ OD 2 2 2 4| 31 2 6(1) 31 k k k k 2 6(1)61 (|)6 2|2| k k kk 数学(文科类)模拟测试 第 10 页(共 13 页) 因此,当 1 | | k k ,即1k时, |PQ OD 最小值为6 12 分 21 (本小题满分 12 分) 解: (1)( ) x fxem, 1 分 当0m时,( )0fx ,此时( )f x在R上单调递增,无极值; 当0m时,由( )0fx ,得lnxm 所以(,ln)xm 时,( )0fx ,( )f x单调递

20、减; (ln,)xm时,( )0fx ,( )f x单调递增 3 分 此时函数有极小值为(ln)lnfmmmm,无极大值 4 分 (2)方法一: 由题设可得 12 ( )()f xf xm ,所以 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x , 5 分 且由(1)可知 1 lnxm, 2 lnxm, 2 em 由 1 1 (1) x em x,可知 1 10x ,所以 12 01 11xx 设 21 1(1)xxt (0t ) ,由 2 1 2 1 1 1 x x xe ex ,得 1 1 (1) e 1 t xt x , 所以 1 1 e1 t t x , 即 1 1 e1

21、t t x , 所以 2 e 1 e1 t t t x , 6 分 12 4xx e 2 e1e1 t tt tt e2e2 tt tt2ee20 tt tt 设( )2ee2 tt h ttt (0t ) , 8 分 则( )ee1 tt h tt, 设( )( )ee1 tt g th tt,则( )etg tt ,所以( )0g t 所以( )h t在(0,)单调递减,( )(0)1 0 10h th 10 分 数学(文科类)模拟测试 第 11 页(共 13 页) 所以( )h t在(0,)单调递减,( )(0)20020h tg 11 分 所以 12 4xx 12 分 方法二: 由题设

22、可得 12 ( )()f xf xm ,所以 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x , 5 分 且由(1)可知 1 lnxm, 2 lnxm, 2 em 由 1 1 (1) x em x,可知 1 10x ,所以 12 01 11xx 由 1 2 1 2 (1) (1) x x em x em x ,得 11 22 lnln(1) lnln(1) xmx xmx , 6 分 作差得 2 21 1 1 ln 1 x xx x 设 21 1(1)xt x (1t ) ,由 2 21 1 1 ln 1 x xx x ,得 1 ln(1)(1)ttx, 所以 1 ln 1 1 t

23、 x t ,即 1 ln 1 1 t x t , 所以 2 ln 1 1 tt x t , 8 分 12 4xx lnln 2 11 ttt tt (1)ln 2 1 tt t 4 ln20 1 t t 设 4 ( )ln2 1 h tt t (1t ) , 9 分 则 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t 所以( )h t在(0,)单调递增,( )(1)0220h th 11 分 所以 12 4xx 12 分 (二) 选考题: 共10 分, 请考生在22、 23 题中任选一题作答, 如果多做则按所做的第一题计分 22 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分

24、) 解: (1)设P的极坐标为( , ) (0) ,M的极坐标为 0 (, ) ( 0 0) 数学(文科类)模拟测试 第 12 页(共 13 页) 1 分 由题设知|PO, 0 2 | sin OM 由PO OM|cosPO OM|PO OM 4 , 3 分 得 2 4 sin , 所以 2 C的极坐标方程2sin(0) , 因此 2 C的直角坐标方程为 22 (1)1xy(0y ) 5 分 (2)依题意: 1 |2sin3 3 OA , 2 |2sinOB 6 分 于是OAB面积:S 1 |sin 2 OA OBAOB3sin|sin()| 3 31 |sin(2)| 262 分 当 2 3

25、 时,S取得最大值 3 3 4 9 分 所以OAB面积的最大值为 3 3 4 10 分 23 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 解: (1)当222abc时,不等式 3f x 化为111xx ,1 分 当1x时,原不等式化为1+1+1xx,解集为; 当11x 时,原不等式化为11 1xx ,解得 1 1 2 x; 当1x时,原不等式化为11 1xx ,解得1x 4 分 不等式 3f x 的解集为 1 ,+ 2 5 分 (2)因为 f xxbxca xcxbabca, 又因为, ,0a b c ,所以 max2f xabc 6 分 方法一: 149 ()abc abc 4949 14()()() bacacb abacbc 4949 14222 bacacb abacbc 36, 9 分 数学(文科类)模拟测试 第 13 页(共 13 页) 当且仅当 4949 2 bacacb abacbc abc 且且 ,即 2323 2 bacacb abc 且且 即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分 方法二: 149 ()abc abc 222 123 abc 222 abc 2 123 abc abc 36, 9 分 当且仅当 123 2 abc abc ,即 12 ,1 33 abc等号成立 10 分