1、2020 年北京市西城区高考数学二模试卷年北京市西城区高考数学二模试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1设全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|x1，则集合（UA）B（ ） A（，2） B2，+） C（1，2） D（，1）2，+） 2设复数 z1+i，则 2（ ） A2i B2i C22i D2+2i 3焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（ ） Ax24y By24x Cx28y Dy28x 4在锐角ABC 中，若 a2，b3，A ，则 cosB（ ） A B C D 5函数 f（x）x 是（ ） A奇函数，且值域为（0，+） B奇函数，且值域为 R C偶
2、函数，且值域为（0，+） D偶函数，且值域为 R 6圆 x2+y2+4x2y+10 截 x 轴所得弦的长度等于（ ） A2 B2 C2 D4 7设 a，b，c 为非零实数，且 abc，则（ ） Aabbc B Ca+b2c D以上三个选项都不对 8设向量 ， 满足| | |1， ，则| x |（xR）的最小值为（ ） A B C1 D 9设an为等比数列，则“对于任意的 mN*，am+2am”是“an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功 效，因地方习俗
3、的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图 1 的ABCD 由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香 囊那么在图 2 这个六面体中，棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为（ ） A平行 B相交 C异面且垂直 D异面且不垂直 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11在（1+5x）6的展开式中，x 的系数为 12在等差数列an中，若 a1+a216，a51，则 a1 ；使得数列an前 n 项的和 Sn取到最大值的 n 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 14能说明“若 m（n+2）0，则方程 1 表示的曲线
4、为椭圆或双曲线”是错误 的一组 m，n 的值是 15已知函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+2）2f（x），且当 x（0，2时，f（x） 2x3有以下三个结论： f（1） ； 当 a（ ， 时，方程 f（x）a 在区间4，4上有三个不同的实根； 函数 f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点 bZ 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，ACBC，D 是 A1C1的中点，且 ACBCAA12 （）求证：BC1平面 AB1D； （）求直线 BC 与
5、平面 AB1D 所成角的正弦值 17已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0 ）同时满足下列四个条件中 的三个： 最小正周期为 ； 最大值为 2； f（0）1； f（ ）0 （）给出函数 f（x）的解析式，并说明理由； （）求函数 f（x）的单调递增区间 18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青 睐根据调查统计，小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A，B，C，D，E，F在 实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求 的人群进行抽样调查，统计得到这 6 款软件的下载量 W（单位：人次）与使用量 U（单 位：人次）
6、，数据用柱状图表示如图： 定义软件的使用率 t ，当 t0.9 时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调 查得到的使用率 t 作为实际中该款软件的使用率 （）在这 6 款软件中任取 1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率； （）从这 6 款软件中随机抽取 4 款，记其中“有效下载软件”的数量为 X，求 X 的分 布列与数学期望； （）将（）中概率值记为 x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软 件中大约有 x%的软件为“有效下载软件”？说明理由 19设函数 f（x）axlnx，其中 aR，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线经过点（3， 2） （）求 a 的值； （）求
7、函数 f（x）的极值； （）证明：f（x） 20已知椭圆 E： 1（ab0）经过点 C（0，1），离心率为 O 为坐标原点 （）求椭圆 E 的方程； （）设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上），直 线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且 4，求证：C，B，Q 三点共线 21如图，表 1 是一个由 4020 个非负实数组成的 40 行 20 列的数表，其中 am，n（m1， 2，40；n1，2，20）表示位于第 m 行第 n 列的数将表 1 中每一列的数都按 从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表 2（即
8、bi，j b i+1，j，其中 i1，2，39；j1，2，20） 表 1 a1，1 a1，2 a1，20 a2，1 a2，2 a2，20 a40，1 a40，2 a40，20 表 2 b1，1 b1，2 b1，20 b2，1 b2，2 b2，20 b40，1 b40，2 b40，20 （）判断是否存在表 1，使得表 2 中的 bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等 于 100ij？等于 i+2j呢？（结论不需要证明） （）如果 b40，201，且对于任意的 i1，2，39；j1，2，20，都有 bi，jbi+1， j1 成立，对于任意的 m1，2，40；n1，2，19，都有 bm，nbm
9、，n+12 成 立，证明：b1，178； （）若 ai，1+ai，2+ai，2019（i1，2，40），求最小的正整数 k，使得任给 i k，都有 bi，1+bi，2+bi，2019 成立 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1设全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|x1，则集合（UA）B（ ） A（，2） B2，+） C（1，2） D（，1）2，+） 【分析】进行补集和并集的运算即可 解：UR，Ax|x2，Bx|x1， UAx|x2，（UA）B（，1）2，+） 故选：D 2设复数 z1+i，则 2（ ）
10、 A2i B2i C22i D2+2i 【分析】由 z 求得 ，利用两数和的平方公式展开即可得出 解：z1+i， 2（1i）22i 故选：A 3焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（ ） Ax24y By24x Cx28y Dy28x 【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为 y22px，结合抛物线的几何性质可得 p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案 解：根据题意，要求抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，设其标准方程为 y22px， 又由焦点到准线的距离为 4，即 p4， 故要求抛物线的标准方程为 y28x， 故选：D 4在锐角ABC 中，若 a2，b3
11、，A ，则 cosB（ ） A B C D 【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB 的值，结合 B 为锐角，利用同角三角函数基本关 系式即可求解 cosB 的值 解：在锐角ABC 中，若 a2，b3，A ， 由正弦定理 ，可得 sinB ， 由 B 为锐角，可得 cosB 故选：C 5函数 f（x）x 是（ ） A奇函数，且值域为（0，+） B奇函数，且值域为 R C偶函数，且值域为（0，+） D偶函数，且值域为 R 【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得 f（x）f（x），即函数 f（x）为 奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（，0）和（0，+）上都 是增函数，且 f
12、（1）f（1）0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案 解：根据题意，函数 f（x）x ，其定义域为x|x0，有 f（x）（x）（ ） （x ）f（x）， 即函数 f（x）为奇函数， 其导数 f（x）1 ，在区间（，0）和（0，+）上都是增函数，且 f（1）f （1）0； 其图象大致如图： 其值域为 R； 故选：B 6圆 x2+y2+4x2y+10 截 x 轴所得弦的长度等于（ ） A2 B2 C2 D4 【分析】首先令 y0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长 解：令 y0，则圆的方程转换为 x2+4x+10， 所以 x1+x24，x1x21， 所以 故选：B 7设 a，b，c 为非零实
13、数，且 abc，则（ ） Aabbc B Ca+b2c D以上三个选项都不对 【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果 解：设 a，b，c 为非零实数，且 abc， 所以对于选项 A：当 a3，b2，c1 时，abbc1，故错误 对于选项 B：当 a0，b1，c2 时， 无意义，故错误 对于选项 C：由于 ac，bc，所以 a+b2c，故正确 对于选项 D：由于 C 正确，所以选项 D 错误 故选：C 8设向量 ， 满足| | |1， ，则| x |（xR）的最小值为（ ） A B C1 D 【分析】两边平方，得出| x |2 关于 x 的二次函数，从而得出最小值 解：| x |2 2x x
14、 2 x 2+x+1（x ） 2 ， 当 x 时，| x |取得最小值 故选：B 9设an为等比数列，则“对于任意的 mN*，am+2am”是“an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 对于任意的 mN*， am+2am， 即 am（q21） 0 可得： ， ， 任 意的 mN*，解出即可判断出结论 解：对于任意的 mN*，am+2am，即 am（q21）0 ， ，任意的 mN*， ，或 “an为递增数列”，反之也成立 “对于任意的 mN*，am+2am”是“an为递增数列”的充要条件 故选：C 10佩香囊是端午节传统习
15、俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功 效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图 1 的ABCD 由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香 囊那么在图 2 这个六面体中，棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为（ ） A平行 B相交 C异面且垂直 D异面且不垂直 【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底 面，即可判断 AB，CD 的位置关系 解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面， 且 AB 与 CD 相交，且 B，C 两点重合， 故选：B 二、填
16、空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11在（1+5x）6的展开式中，x 的系数为 30 【分析】 先写出二项式的展开式的通项， 要求 x 的系数， 只要使得展开式中 x 的指数是 1， 求得 r，代入数值求出 x 的系数 解：展开式的通项公式为：Tr+1 16r （5x）r5r xr； 令 x 的指数为 1，即 r1； x2的系数为：5C6130； 故答案为：30 12在等差数列an中，若 a1+a216，a51，则 a1 9 ；使得数列an前 n 项的和 Sn 取到最大值的 n 5 【分析】设等差数列an的公差为 d，由 a1+a216，a51，可得 2a1+d16，a
17、1+4d1， 解得：a1，d可得 an令 an0，解得 n 即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，a1+a216，a51， 2a1+d16，a1+4d1， 解得：a19，d2 an92（n1）112n 令 an112n0，解得 n 5 使得数列an前 n 项的和 Sn取到最大值的 n5 故答案为：9，5 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 4+4 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积 解：根据几何体的三视图转换为直观图为： 该几何体为底面为边长为 2，高为 2 的正四棱锥体 如图所示： 所以 4+4 故答案为：4+4 14能说明“若 m（n+2）0，则
18、方程 1 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误 的一组 m，n 的值是 答案不唯一，m4，n2 【分析】由题意可得满足 mn+20 或者 m0，n+20 即可，任意取满足 m，n 的值 即可 解：则方程 1 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m，n 的值为：满 足 mn+20 即可，可取 m4，n2， 故答案为：m4，n2 15已知函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+2）2f（x），且当 x（0，2时，f（x） 2x3有以下三个结论： f（1） ； 当 a（ ， 时，方程 f（x）a 在区间4，4上有三个不同的实根； 函数 f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点 bZ 其中，所有正确
19、结论的序号是 【分析】由题意可得函数 f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假 解：因为函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+2）2f（x），x（0，2时，f（x） 2x3，所以 f（1） f（1+2） f（1） （2 13） ； 所以正确； f（x）的大致图象如图所示可得当 a（ ， 时，方程 f（x）a 在区间4，4上有三 个不同的实根；所以正确 因为 x（0，2时，f（x）2x30 时， xlog23，又因为 f（x+2）2f（x）， 所以函数 f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、
20、证明过程或演算步骤. 16如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，ACBC，D 是 A1C1的中点，且 ACBCAA12 （）求证：BC1平面 AB1D； （）求直线 BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值 【分析】（）连接 A1B，设 A1BAB1E，连接 DE，可得 BC1DE，再由直线与平面 平行的判定得到 BC1平面 AB1D； （）由 CC1底面 ABC，ACBC，得 CA，CB，CC1 两两互相垂直，分别以 CA，CB， CC1 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 求出平面 AB1D 的一个法向量与 的 坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线 BC
21、与平面 AB1D 所成角的正弦值 【解答】（）证明：连接 A1B，设 A1BAB1E，连接 DE， 由 ABCA1B1C1为三棱柱，得 A1EBE 又D 是 A1C1 的中点，BC1DE BC1平面 AB1D，DE平面 AB1D， BC1平面 AB1D； （）解：CC1底面 ABC，ACBC，CA，CB，CC1 两两互相垂直， 故分别以 CA，CB，CC1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 AB1D 的法向量为 ， ， ， 由 ，取 y1，得
22、， ， ； 设直线 BC 与平面 AB1D 所成角为 则 sin|cos ， | 直线 BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 17已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0 ）同时满足下列四个条件中 的三个： 最小正周期为 ； 最大值为 2； f（0）1； f（ ）0 （）给出函数 f（x）的解析式，并说明理由； （）求函数 f（x）的单调递增区间 【分析】（）若函数 f（x）满足条件，则由 f（0）Asin1，推出与 A0，0 矛盾，可得函数 f（x）不能满足条件，由条件，利用周期公式可求 2， 由条件，可得 A2，由条件，可得 f（ ）0，结合范围 0 ，可求 ， 可得函数解析式
23、 （）利用正弦函数的单调性即可求解 解：（）若函数 f（x）满足条件，则 f（0）Asin1， 这与 A0，0 矛盾，故函数 f（x）不能满足条件， 所以函数 f（x）只能满足条件， 由条件，可得 ， 又因为 0，可得 2， 由条件，可得 A2， 由条件，可得 f（ ）2sin（ ）0， 又因为 0 ， 所以 ， 所以 f（x）2sin（2x ） （）由 2k 2x 2k ，kZ，可得： kx k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间为 k， k，kZ 18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青 睐根据调查统计，小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A，
24、B，C，D，E，F在 实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求 的人群进行抽样调查，统计得到这 6 款软件的下载量 W（单位：人次）与使用量 U（单 位：人次），数据用柱状图表示如图： 定义软件的使用率 t ，当 t0.9 时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调 查得到的使用率 t 作为实际中该款软件的使用率 （）在这 6 款软件中任取 1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率； （）从这 6 款软件中随机抽取 4 款，记其中“有效下载软件”的数量为 X，求 X 的分 布列与数学期望； （）将（）中概率值记为 x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认
25、为这些软 件中大约有 x%的软件为“有效下载软件”？说明理由 【分析】（I）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率； （II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望； （III）根据样本是否具有普遍性进行判断 解：（I） tA 0.9， tB 0.9， tC 0.9， tD 0.9， tE 0.9， tF 0.9 6 款软件中有 4 款有效下载软件， 这 6 款软件中任取 1 款，该款软件是“有效下载软件”的概率为 （II）X 的可能取值有 2，3，4， 且 P（X2） ，P（X3） ，P（X4） ， X 的分布列为： X 2 3 4 P E（X）2 3
26、 4 （III）不能认为这些软件中大约有 x%的软件为“有效下载软件” 理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取， 此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查， 且只选取下载量排名前6名的软件， 不是对所有软件进行的随机抽取 6 件的样本 19设函数 f（x）axlnx，其中 a一、选择题，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切 线经过点（3，2） （）求 a 的值； （）求函数 f（x）的极值； （）证明：f（x） 【分析】（I）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入 已知点的坐标可求 a； （II）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；
27、（III）由于 f（x） 等价于 xlnx 0，结合（II）可得 f（x）xlnx ， 故只要证明 即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证 解：（I）f（x）alnx+a， 则 f（1）0，f（1）a， 故取消 yf（x）在（1，f（1）处的切线方程 ya（x1）， 把点（3，2）代入切线方程可得，a1， （II）由（I）可得 f（x）lnx+1，x0， 易得，当 0 时，f（x）0，函数单调递减，当 x 时，f（x）0，函数单 调递增， 故当 x 时，函数取得极小值 f（ ） ，没有极大值， 证明：（III）f（x） 等价于 xlnx 0， 由（II）可得 f（x）xlnx （当且仅当
28、x 时等号成立）， 所以 xlnx ， 故只要证明 即可，（需验证等号不同时成立） 设 g（x） ，x0 则 ， 当 0x1 时，g（x）0，函数单调递减，当 x1 时，g（x）0，函数单调递增， 所以 g（x）g（1）0，当且仅当 x1 时等号成立， 因为等号不同时成立， 所以当 x0 时，f（x） 20已知椭圆 E： 1（ab0）经过点 C（0，1），离心率为 O 为坐标原点 （）求椭圆 E 的方程； （）设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上），直 线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且 4，求证：C，B，Q 三点共线 【分析】
29、（）由 b1， ，a2b2+c2，解得 a，c，进而得出椭圆的方程 （） 设D （x0， y0） （x0y00） ， 则 1， 直线CD的方程为y ， 令y0， 得点 P 的坐标，设 Q（xQ，yQ），由 4，得 xQ （显然 xQ2），写出 直线 AD 的方程为 y ，得 Q（ ， ），kBQ 所 以 kBCkBQ，即 C，B，Q 三点共线 解：（）由题意，得 b1， ， 又因为 a2b2+c2， 所以 a2，c ， 故椭圆 E 的方程为 （）A（2，0），B（2，0）， 设 D（x0，y0） （x0y00），则 1， 所以直线 CD 的方程为 y ， 令 y0，得点 P 的坐标为（ ，0）
30、， 设 Q（xQ，yQ），由 4，得 xQ （显然 xQ2）， 直线 AD 的方程为 y ， 将 xQ代入，得 yQ ，即 Q（ ， ）， 故直线 BQ 的斜率存在， 且 kBQ 又因为直线 BC 的斜率 kBC ， 所以 kBCkBQ，即 C，B，Q 三点共线 21如图，表 1 是一个由 4020 个非负实数组成的 40 行 20 列的数表，其中 am，n（m1， 2，40；n1，2，20）表示位于第 m 行第 n 列的数将表 1 中每一列的数都按 从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表 2（即 bi，j b i+1，j，其中 i1，2，39；j1，2，20） 表
31、 1 a1，1 a1，2 a1，20 a2，1 a2，2 a2，20 a40，1 a40，2 a40，20 表 2 b1，1 b1，2 b1，20 b2，1 b2，2 b2，20 b40，1 b40，2 b40，20 （）判断是否存在表 1，使得表 2 中的 bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等 于 100ij？等于 i+2j呢？（结论不需要证明） （）如果 b40，201，且对于任意的 i1，2，39；j1，2，20，都有 bi，jbi+1， j1 成立，对于任意的 m1，2，40；n1，2，19，都有 bm，nbm，n+12 成 立，证明：b1，178； （）若 ai，1+ai，2
32、+ai，2019（i1，2，40），求最小的正整数 k，使得任给 i k，都有 bi，1+bi，2+bi，2019 成立 【分析】（）直接利用表格求出结果 （）利用行列式的变换的应用求出结果 （）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论 【解答】解（）存在表 1，使得 bi，j100ij，不存在表 1，使得 ， 证明：（）因为对于任意的 i1，2，3，39，j1，2，20，都有 bi，jbi1，j1 所以 b1，20b2，201，b2，20b3，201，b39，20b40，201 所以（b1，20b2，20）+（b2，20b3，20）+（b39，20b40，20）39， 即 b1，20b2
33、0，40+3940 0 1 1 1 1 由于 m1，2，40，n1，2，3，19，都有 bm，nnm，n+12 所以 b1，1b1，22，b1，2b1，32，b1，19b1，202 所以（b1，1b1，2）+（b1，2b1，3）+（b1，19b1，20）38， 即 b1，178 解：（）当表 1 如下图时， 其中，每行恰有 1 个 0 和 19 个 1，每列恰有 2 个 0 和 38 个 1因此每行的和均为 19，符 合题意 重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20，后两行各数均 为 0，因此 k39 以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 中的前
34、39 行中，至少包含原表 1 中某一行 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 （设为第 r 行）的全部实数（即包含 ar，1，ar，2，ar20）， 假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数、 则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的 4019760 个数 这与表 2 中前 39 行中共有 3920780 个数相矛盾 所以：表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行），的全部实数 其次，在表 2 中，根据重拍规则得：当 i39 时，bi，jb39，jai，j， （j1，2，20） 所以 bi，1+bi，2+bi，20ar，1+ar，2+ar，2019， 所以 k39 综上所述 k39