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2020届吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Ax|x(x2)0,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1,0,3 B0,1 C0,1,2 D0,2,3 2若 z1+(1a)i(aR),|z| ,则 a( ) A0 或 2 B0 C1 或 2 D1 3下列与函数 y 定义域和单调性都相同的函数是( ) Ay2 Bylog2( ) x Cylog2 Dyx 4已知等差数列an中,3a52a7,则此数列中一定为 0 的是( ) Aa1 Ba3 Ca8 Da10 5若单位向量 , 夹角为 60, 2 ,则| |(

2、 ) A4 B2 C D1 6高中数学课程标准(2017 版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养,为了比较 甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根 据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为 5 分,分值高者为优),则下面叙 述正确的是 ( )(注: 雷达图 (RadarChart) , 又可称为戴布拉图、 蜘蛛网图 (SpiderChart) , 可用于对研究对象的多维分析) A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7命题 p:存在实数 x0,对任意实数 x,使得 s

3、in(x+x0)sinx 恒成立:q:a0,f(x) ln 为奇函数,则下列命题是真命题的是( ) Apq B(p)(q) Cp(q) D(p)q 8已知函数 , , ,则函数 yf(x)3 的零点个数是( ) A1 B2 C3 D4 9已知 为锐角,且 ,则角 ( ) A B C D 10若双曲线 , 的一条渐近线被圆 x 2+y24y0 截得的弦长为 2, 则双曲线的离心率为( ) A B C D 11已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a12, ,则 Sn( ) A2n1+1 Bn 2n C3n1 D2n 3n1 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 E,F,G 分别为棱 A

4、1D1,D1D,A1B1的中点,给出 下列命题:AC1EG;GCED;B1F平面 BGC1;EF 和 BB1成角为 正确 命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13若 x,y 满足约条条件 ,则 zx+y 的最大值为 14曲线 f(x)2sinx 在 处的切线与直线 ax+y10 垂直,则 a 15在半径为 2 的圆上有 A,B 两点,且 AB2,在该圆上任取一点 P,则使得PAB 为锐 角三角形的概率为 16三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上,满足 BD 过球心 O,且 BD2 ,三棱锥 A BCD 体积的最大值为 ;三棱锥 ABC

5、D 体积最大时,平面 ABC 截球所得的截 面圆的面积为 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17已知在ABC 的三个内角分别为 A,B,C,sinBsin2A cosA,cosB ()求 A 的大小; ()若 AC2,求 AB 长 182019 年入冬时节,长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰 上体育锻炼现从速滑项目中随机选出 100 名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻 炼成果进行评估打分 (满分为100

6、分) 并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动, 得到如图所示的频率分布直方图: ()求 m 的值; ()将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列 22 列联 表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性 别有关系? 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计 100 P(K2x) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据:K2 ,na+b+c+d 19如图,在直三棱柱 ABC

7、A1B1C1中,底面 ABC 为等腰直角三角形,ABBC,AA12AB 4,M,N 分别为 CC1,BB1的中点,G 为棱 AA1上一点,若 A1BNG ()求证:A1BGM; ()求点 A1到平面 MNG 的距离 20已知椭圆 : 的左、右顶点分别为 A,B,焦距为 2,点 P 为椭圆 上异于 A,B 的点,且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 ()求 C 的方程; ()设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q,过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M,试证明 为定值,并求出该定值 21已知函数 ()若 x1为 f(x)的极值点,且 f(x1)f(x2)(x1x2),求 2x1+x2的值;

8、()求证:当 m0 时,f(x)有唯一的零点 (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题 计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),曲线 C2的参数方程为 (t 为参数) ()求 C1和 C2的普通方程; ()过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M (M 异于 O) ,交曲线 C2于点 N,求 的 最小值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|ax+1|+|x1| ()若 a2,解关于 x 的不等式 f(x)9; ()若当 x0 时,f(x)1 恒成立,求实数 a 的取值范围 参考答案参

9、考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1已知集合 Ax|x(x2)0,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1,0,3 B0,1 C0,1,2 D0,2,3 【分析】可解出集合 A,然后进行交集的运算即可 解:Ax|0x2; AB0,1,2 故选:C 2若 z1+(1a)i(aR),|z| ,则 a( ) A0 或 2 B0 C1 或 2 D1 【分析】根据复数求模公式计算即可 解:因为 z1+(1a)i(aR), |z| (1a)21a0 或 2; 故选:A 3下列与函数 y 定义域和单调性都相同的函数是( ) Ay

10、2 Bylog2( ) x Cylog2 Dyx 【分析】可看出, 在定义域x|x0上单调递减,然后可判断选项 A 的函数在定义 域x|x0上单调递增,而选项 B,D 的函数的定义域都不是x|x0,从而得出选项 A, B,D 都错误,只能选 C 解: 在定义域x|x0上单调递减, 在定义域x|x0上单调递增, 的定义域为 R, 在定义域x|x0上单调递减, 的定义域为 x|x0 故选:C 4已知等差数列an中,3a52a7,则此数列中一定为 0 的是( ) Aa1 Ba3 Ca8 Da10 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 解:等差数列an中,3a52a7, 3(a1+4d)2(a1+6

11、d), 化为:a10 则此数列中一定为 0 的是 a1 故选:A 5若单位向量 , 夹角为 60, 2 ,则| |( ) A4 B2 C D1 【分析】根据平面向量的数量积,计算模长即可 解:由 2 , 得 4 4 41411cos60+13, 所以| | 故选:C 6高中数学课程标准(2017 版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养,为了比较 甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根 据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为 5 分,分值高者为优),则下面叙 述正确的是 ( )(注: 雷达图 (RadarChart) , 又可称为戴布拉图、 蜘蛛网

12、图 (SpiderChart) , 可用于对研究对象的多维分析) A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 【分析】先对图表数据进行分析,再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 解:对于 A 选项,甲的数据分析为 3 分,乙的数据分析为 5 分,即甲的数据分析素养低 于乙,故选项 A 错误, 对于 B 选项,甲的数学建模素养为 3 分,数学抽象素养为 3 分,即甲的数学建模素养与 数学抽象素养同一水平,故选项 B 错误, 对于 C 选项,由雷达图可知,乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差,故 选项 C 错误

13、, 对于 D 选项,乙的六大素养中只有数学运算比甲差,其余都由于甲,即乙的六大素养整 体水平优于甲,故选项 D 正确, 故选:D 7命题 p:存在实数 x0,对任意实数 x,使得 sin(x+x0)sinx 恒成立:q:a0,f(x) ln 为奇函数,则下列命题是真命题的是( ) Apq B(p)(q) Cp(q) D(p)q 【分析】根据题意,由诱导公式分析可得 P 为真命题,分析函数 f(x)ln 在 a0 时的奇偶性,可得 q 为真命题;由复合命题的真假判断方法分析可得答案 解:根据题意,命题 p:存在实数 x0,对任意实数 x,使得 sin(x+x0)sinx 恒成立, 当 x0 时,

14、对任意实数 x,使得 sin(x+)sinx 恒成立, 故 P 为真命题; 命题 q:a0,f(x)ln ,有 0,解可得axa,函数的定义域为(a, a),关于原点对称, 有 f(x)ln ln f(x),即函数 f(x)为奇函数, 故其为真命题; 则 pq 为真命题,(p)(q)、P(q)、(p)q 为假命题; 故选:A 8已知函数 , , ,则函数 yf(x)3 的零点个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】画出 f(x)的图象,结合图象求出 yf(x)与 y3 的交点个数,即可判断结 论 解:因为函数 , , , 且 x0 时 f(x2x(x+2)2(x+1)2+2; 所以 f(

15、x)的图象如图, 由图可得:yf(x)与 y3 只有两个交点; 即函数 yf(x)3 的零点个数是 2; 故选:B 9已知 为锐角,且 ,则角 ( ) A B C D 【分析】 由题意可得 , 再将各个选项中的值代入检验, 可得结论 解:由条件已知 为锐角,且 ,可得 , 将各个选项中的值代入检验,只有 满足, 故选:C 10若双曲线 , 的一条渐近线被圆 x 2+y24y0 截得的弦长为 2, 则双曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】先把圆的方程化为坐标方程,得到圆心坐标和半径,由渐近线被圆 x2+y24y 0 截得的弦长为 2,可得圆心到渐近线距离 d ,再利用点到直线距离公式

16、即可求出离心率的值 解:圆 x2+y24y0 化为标准方程为:x2+(y2)24, 圆心为(0,2),半径 r2, 渐近线被圆 x2+y24y0 截得的弦长为 2, 圆心到渐近线距离 d ,又渐近线方程为 bxay0, ,即 离心率 e , 故选:D 11已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a12, ,则 Sn( ) A2n1+1 Bn 2n C3n1 D2n 3n1 【分析】根据 an+1Sn+1Sn,化简式子,根据等比数列的通项公式运算,最终求出 Sn 解:法一:排除法:a26,a316,验证知 B 对 法二: , ,化简得: , 数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, , 故

17、选:B 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 E,F,G 分别为棱 A1D1,D1D,A1B1的中点,给出 下列命题:AC1EG;GCED;B1F平面 BGC1;EF 和 BB1成角为 正确 命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】如图 对于,连接 A1C,B1D1,可得 EGD1B1,又 CA1平面 EFG,即可判断出正误 对于,取 B1C1的中点 M,连接 CM,EM,可得四边形 CDEM 为平行四边形,进而判 断出正误; 由于 B1F 与 B1C1不垂直,B1C1BC,可得 B1F 与 BC 不垂直,即可判断出正误 由于 D1DB1B,EF 和 DD1所角为 即可判断

18、出正误 解:如图 对于,连接 A1C,B1D1,则 EGD1B1,而 CA1平面 EFG,所以 AC1EG;故正 确; 对于,取 B1C1的中点 M,连接 CM,EM,可得四边形 CDEM 为平行四边形,CM ED,因此 GCED 不正确; 由于 B1F 与 B1C1不垂直,B1C1BC,B1F 与 BC 不垂直,因此 B1F平面 BGC1不 成立 D1DB1B,EF 和 DD1所角为 EF 和 BB1 成角为 正确 正确命题的个数是 2 故选:C 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13若 x,y 满足约条条件 ,则 zx+y 的最大值为 4 【分析】由约束条件作出可行域,数形结

19、合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标 函数得答案 解:由 x,y 满足约条条件 作出可行域如图: 化目标函数 zx+y 为 yx+z, 由图可知,当直线 yx+z 过 A 时,z 取得最大值, 由 ,解得 A(2,2)时, 目标函数有最大值为 z4 故答案为:4 14曲线 f(x)2sinx 在 处的切线与直线 ax+y10 垂直,则 a 1 【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程,即可求出 a 的值 解:f(x)2cosx, , 切线与直线 ax+y10 垂直, 所以a1 a1 故答案为:1 15在半径为 2 的圆上有 A,B 两点,且 AB2,在该圆上任取一点 P,则使得PAB 为

20、锐 角三角形的概率为 【分析】先找到等于 90的分界点,进而求得结论 解:由ABQ90,BAP90, 延长 BO 到 P,AO 到 Q; 当点 P 位于劣弧 PQ 之间时,ABP 为锐角三角形, 因为 AOOBAB; 所以:AOBPOQ60; 所以其概率为:P 故答案为: 16三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上,满足 BD 过球心 O,且 BD2 ,三棱锥 A BCD 体积的最大值为 ;三棱锥 ABCD 体积最大时,平面 ABC 截球所得的截 面圆的面积为 【分析】由于 BD 过球心,所以可得BADBCD90,AO面 BCD,所以当 BC CD 时体积最大,这时三角形 ABC 为等边三角

21、形,故求出外接圆的半径,进而求出面 积 解:当 BD 过球心,所以BADBCD90, 所以 AO面 BCD,VABCD ,当 BCCD 时体积最大, 因为 BD2 ,OA ,所以 BCCD2, 所以最大体积为: ; 三棱锥 ABCD 体积最大时,三角形 ABC 中,ABAC 2BC, 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r,则 2r ,所以 r , 所以外接圆的面积为 Sr2 , 故答案分别为: , 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17已

22、知在ABC 的三个内角分别为 A,B,C,sinBsin2A cosA,cosB ()求 A 的大小; ()若 AC2,求 AB 长 【分析】(1)由已知结合同角平方关系可求 cosA,进而可求 A; (2)由已知结合和差角公式可求 sinC,然后结合正弦定理可求 解:(1) 中, , 2sin2A3cosA,即 2(1cos2A)3cosA, 解得 , (2) 由正弦定理得 , 182019 年入冬时节,长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰 上体育锻炼现从速滑项目中随机选出 100 名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻 炼成果进行评估打分 (满分为100分)

23、并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动, 得到如图所示的频率分布直方图: ()求 m 的值; ()将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列 22 列联 表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性 别有关系? 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计 100 P(K2x) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据:K2 ,na+b+c+d 【分析】()由小矩形面积之和为 1

24、 即可求出 m; ()根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数,再计算其余人数,然后根据公 式求出 K2并与 6.635 比较,从而得出答案 解:()由图可知,(0.005+0.015+0.020+m+0.030+0.005)101, 解得 m0.025; () 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 4.7626.635, 故不能在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 19如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面 ABC 为等腰直角三角形,ABBC,AA12AB 4,M,N 分别为 CC1,BB1的中

25、点,G 为棱 AA1上一点,若 A1BNG ()求证:A1BGM; ()求点 A1到平面 MNG 的距离 【分析】(1)运用线面垂直的判断和性质,可得线线垂直; () 设 A1B 与 GN 交于点 E, 易得 A1B平面 MNG, 即 A1到平面 MNG 的距离为 A1E, 由解三角形的知识求得所求距离 解:(1)证明:ABBC,BCBB1,可得 CB平面 ABB1A1, M,N 分别为 CC1,BB1的中点,可得 MNBC, 可得 MN平面 ABB1A1,又 A1BNG, 由三垂线定理可得 A1BGM; ()设 A1B 与 GN 交于点 E,由()可得 A1B平面 MNG, 在BNE 中,A

26、A12AB4,tanEBN ,则 cosEBN , 可得 ,由 BA12 ,则 , 可知 A1到平面 MNG 的距离为 A1E 20已知椭圆 : 的左、右顶点分别为 A,B,焦距为 2,点 P 为椭圆 上异于 A,B 的点,且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 ()求 C 的方程; ()设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q,过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M,试证明 为定值,并求出该定值 【分析】(1)由直线 PA 和 PB 的斜率之积为 可得 ,又 c1,再结合 a 2 b2+c2从而求出椭圆 C 的方程; (2)设直线 AP 的方程为:yk(x+2),则直线 OM 的方程为 yk

27、x,分别于椭圆方程 联 立 , 求 出 点 P , 点 M 的 坐 标 , 代 入 化 简 得 解:(1)已知点 P 在椭圆上,设 P(x0,y0),即有 , 又 ,且 2c2, 可得椭圆的方程为 ; (2)设直线 AP 的方程为:yk(x+2),则直线 OM 的方程为 ykx, 联立直线 AP 与椭圆的方程可得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2120, 由 xA 2,可得 , 联立直线 OM 与椭圆的方程可得:(3+4k2)x2120,即 , 所以 即 为定值,且定值为 2 21已知函数 ()若 x1为 f(x)的极值点,且 f(x1)f(x2)(x1x2),求 2x1+x2的值;

28、()求证:当 m0 时,f(x)有唯一的零点 【分析】(1)由题可知 f(x1)f(x2),且 f(x1)0,又 f(x)x2+2x+m,即得 ,化简并分解因式可得 (2)令 ,可得 ,令 ,h(x)x2+2x,利用单调性可得: 有且只有一个交点,即 有唯一的零点 解:(1)由题可知 f(x1)f(x2),且 f(x1)0,又 f(x)x2+2x+m, 即得 , 化简并分解因式可得(2x1+x2+3)(x1x2)0 2x1+x23(6) (2)证明:令 ,则 , 令 ,h(x)x2+2x,可知 h(x)在(,2)和(0,+)上单调 递增,在2,0上单调递减, 又 ,h(0)0;m(x+1)为过

29、点(1,0)的直线,又 m0,则m0, 因此 有且只有一个交点,即 有唯一的 零点 (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题 计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),曲线 C2的参数方程为 (t 为参数) ()求 C1和 C2的普通方程; ()过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M (M 异于 O) ,交曲线 C2于点 N,求 的 最小值 【分析】()由 ( 为参数),消去参数 ,可得 C1的参数方程;化 为 ,消去参数 t,可得 C2的普通方程; ()分别写出圆 C1的极坐标方程与直线 C2的

30、极坐标方程,设过坐标原点且与两曲线 相交的直线方程为 ( ),可得 ,整理后利用三角函 数求最值 解:()由 ( 为参数),消去参数 ,可得 C1的参数方程为(x2) 2+y24; 由 (t 为参数),得 ,消去参数 t,可得 C2的普通方程为 x+y8; () 如图, 圆 C1的极坐标方程为 4cos, 直线 C2的极坐标方程为 cos+sin8, 即 , 设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为 ( ), 则 , 2 , , 则 的最小值为 一、选择题 23已知函数 f(x)|ax+1|+|x1| ()若 a2,解关于 x 的不等式 f(x)9; ()若当 x0 时,f(x)1 恒成立,求实

31、数 a 的取值范围 【分析】()当 a2 时,f(x)|2x+1|+|x1|,由绝对值的意义,去绝对值符号,解 不等式,求并集,可得所求解集; ()由题意可得 1f(x)min,(x0),讨论 a0,a0,a0,结合绝对值不等式 的性质,可得所求范围 解:()当 a2 时,f(x)|2x+1|+|x1| , , , , 则 f(x)9 等价为 或 或 , 解得 1x3 或 x1 或3x , 综上可得原不等式的解集为(3,3); ()当 x0 时,f(x)1 恒成立, 即为 1f(x)min, 当 a0 时,f(x)|x1|,其最小值为 f(1)0,不符题意; 当 a0,即a0 时,f(x)|ax+1|+|x1|a|x |+|x1|(a1)|x |+(|x 1|+|x |), 当a10,f(x)有最小值,且为|1 |,又|1 |1 不恒成立; 当 a0,x0 时,f(x)ax+1+|x1 的最小值为 f(1)a+1|1 恒成立, 综上可得,a 的范围是(0,+)