1、2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x（x2）0，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，3 B0，1 C0，1，2 D0，2，3 2若 z1+（1a）i（aR），|z| ，则 a（ ） A0 或 2 B0 C1 或 2 D1 3下列与函数 y 定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay2 Bylog2（ ） x Cylog2 Dyx 4已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 5若单位向量 ， 夹角为 60， 2 ，则| |（
2、 ） A4 B2 C D1 6高中数学课程标准（2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较 甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优），则下面叙 述正确的是 （ ）（注： 雷达图 （RadarChart） ， 又可称为戴布拉图、 蜘蛛网图 （SpiderChart） ， 可用于对研究对象的多维分析） A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7命题 p：存在实数 x0，对任意实数 x，使得 s
3、in（x+x0）sinx 恒成立：q：a0，f（x） ln 为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） Apq B（p）（q） Cp（q） D（p）q 8已知函数 ， ， ，则函数 yf（x）3 的零点个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9已知 为锐角，且 ，则角 （ ） A B C D 10若双曲线 ， 的一条渐近线被圆 x 2+y24y0 截得的弦长为 2， 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12， ，则 Sn（ ） A2n1+1 Bn 2n C3n1 D2n 3n1 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G 分别为棱 A
4、1D1，D1D，A1B1的中点，给出 下列命题：AC1EG；GCED；B1F平面 BGC1；EF 和 BB1成角为 正确 命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13若 x，y 满足约条条件 ，则 zx+y 的最大值为 14曲线 f（x）2sinx 在 处的切线与直线 ax+y10 垂直，则 a 15在半径为 2 的圆上有 A，B 两点，且 AB2，在该圆上任取一点 P，则使得PAB 为锐 角三角形的概率为 16三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD2 ，三棱锥 A BCD 体积的最大值为 ；三棱锥 ABC
5、D 体积最大时，平面 ABC 截球所得的截 面圆的面积为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已知在ABC 的三个内角分别为 A，B，C，sinBsin2A cosA，cosB （）求 A 的大小； （）若 AC2，求 AB 长 182019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰 上体育锻炼现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻 炼成果进行评估打分 （满分为100
6、分） 并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动， 得到如图所示的频率分布直方图： （）求 m 的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 22 列联 表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性 别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计 100 P（K2x） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：K2 ，na+b+c+d 19如图，在直三棱柱 ABC
7、A1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC，AA12AB 4，M，N 分别为 CC1，BB1的中点，G 为棱 AA1上一点，若 A1BNG （）求证：A1BGM； （）求点 A1到平面 MNG 的距离 20已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2，点 P 为椭圆 上异于 A，B 的点，且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 （）求 C 的方程； （）设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M，试证明 为定值，并求出该定值 21已知函数 （）若 x1为 f（x）的极值点，且 f（x1）f（x2）（x1x2），求 2x1+x2的值；
8、（）求证：当 m0 时，f（x）有唯一的零点 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M （M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求 的 最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案参
9、考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1已知集合 Ax|x（x2）0，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，3 B0，1 C0，1，2 D0，2，3 【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|0x2； AB0，1，2 故选：C 2若 z1+（1a）i（aR），|z| ，则 a（ ） A0 或 2 B0 C1 或 2 D1 【分析】根据复数求模公式计算即可 解：因为 z1+（1a）i（aR）， |z| （1a）21a0 或 2； 故选：A 3下列与函数 y 定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay
10、2 Bylog2（ ） x Cylog2 Dyx 【分析】可看出， 在定义域x|x0上单调递减，然后可判断选项 A 的函数在定义 域x|x0上单调递增，而选项 B，D 的函数的定义域都不是x|x0，从而得出选项 A， B，D 都错误，只能选 C 解： 在定义域x|x0上单调递减， 在定义域x|x0上单调递增， 的定义域为 R， 在定义域x|x0上单调递减， 的定义域为 x|x0 故选：C 4已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 解：等差数列an中，3a52a7， 3（a1+4d）2（a1+6
11、d）， 化为：a10 则此数列中一定为 0 的是 a1 故选：A 5若单位向量 ， 夹角为 60， 2 ，则| |（ ） A4 B2 C D1 【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可 解：由 2 ， 得 4 4 41411cos60+13， 所以| | 故选：C 6高中数学课程标准（2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较 甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优），则下面叙 述正确的是 （ ）（注： 雷达图 （RadarChart） ， 又可称为戴布拉图、 蜘蛛网
12、图 （SpiderChart） ， 可用于对研究对象的多维分析） A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 解：对于 A 选项，甲的数据分析为 3 分，乙的数据分析为 5 分，即甲的数据分析素养低 于乙，故选项 A 错误， 对于 B 选项，甲的数学建模素养为 3 分，数学抽象素养为 3 分，即甲的数学建模素养与 数学抽象素养同一水平，故选项 B 错误， 对于 C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故 选项 C 错误
13、， 对于 D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整 体水平优于甲，故选项 D 正确， 故选：D 7命题 p：存在实数 x0，对任意实数 x，使得 sin（x+x0）sinx 恒成立：q：a0，f（x） ln 为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） Apq B（p）（q） Cp（q） D（p）q 【分析】根据题意，由诱导公式分析可得 P 为真命题，分析函数 f（x）ln 在 a0 时的奇偶性，可得 q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案 解：根据题意，命题 p：存在实数 x0，对任意实数 x，使得 sin（x+x0）sinx 恒成立， 当 x0 时，
14、对任意实数 x，使得 sin（x+）sinx 恒成立， 故 P 为真命题； 命题 q：a0，f（x）ln ，有 0，解可得axa，函数的定义域为（a， a），关于原点对称， 有 f（x）ln ln f（x），即函数 f（x）为奇函数， 故其为真命题； 则 pq 为真命题，（p）（q）、P（q）、（p）q 为假命题； 故选：A 8已知函数 ， ， ，则函数 yf（x）3 的零点个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】画出 f（x）的图象，结合图象求出 yf（x）与 y3 的交点个数，即可判断结 论 解：因为函数 ， ， ， 且 x0 时 f（x2x（x+2）2（x+1）2+2； 所以 f（
15、x）的图象如图， 由图可得：yf（x）与 y3 只有两个交点； 即函数 yf（x）3 的零点个数是 2； 故选：B 9已知 为锐角，且 ，则角 （ ） A B C D 【分析】 由题意可得 ， 再将各个选项中的值代入检验， 可得结论 解：由条件已知 为锐角，且 ，可得 ， 将各个选项中的值代入检验，只有 满足， 故选：C 10若双曲线 ， 的一条渐近线被圆 x 2+y24y0 截得的弦长为 2， 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆 x2+y24y 0 截得的弦长为 2，可得圆心到渐近线距离 d ，再利用点到直线距离公式
16、即可求出离心率的值 解：圆 x2+y24y0 化为标准方程为：x2+（y2）24， 圆心为（0，2），半径 r2， 渐近线被圆 x2+y24y0 截得的弦长为 2， 圆心到渐近线距离 d ，又渐近线方程为 bxay0， ，即 离心率 e ， 故选：D 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12， ，则 Sn（ ） A2n1+1 Bn 2n C3n1 D2n 3n1 【分析】根据 an+1Sn+1Sn，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出 Sn 解：法一：排除法：a26，a316，验证知 B 对 法二： ， ，化简得： ， 数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， ， 故
17、选：B 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G 分别为棱 A1D1，D1D，A1B1的中点，给出 下列命题：AC1EG；GCED；B1F平面 BGC1；EF 和 BB1成角为 正确 命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】如图 对于，连接 A1C，B1D1，可得 EGD1B1，又 CA1平面 EFG，即可判断出正误 对于，取 B1C1的中点 M，连接 CM，EM，可得四边形 CDEM 为平行四边形，进而判 断出正误； 由于 B1F 与 B1C1不垂直，B1C1BC，可得 B1F 与 BC 不垂直，即可判断出正误 由于 D1DB1B，EF 和 DD1所角为 即可判断
18、出正误 解：如图 对于，连接 A1C，B1D1，则 EGD1B1，而 CA1平面 EFG，所以 AC1EG；故正 确； 对于，取 B1C1的中点 M，连接 CM，EM，可得四边形 CDEM 为平行四边形，CM ED，因此 GCED 不正确； 由于 B1F 与 B1C1不垂直，B1C1BC，B1F 与 BC 不垂直，因此 B1F平面 BGC1不 成立 D1DB1B，EF 和 DD1所角为 EF 和 BB1 成角为 正确 正确命题的个数是 2 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13若 x，y 满足约条条件 ，则 zx+y 的最大值为 4 【分析】由约束条件作出可行域，数形结
19、合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标 函数得答案 解：由 x，y 满足约条条件 作出可行域如图： 化目标函数 zx+y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 A 时，z 取得最大值， 由 ，解得 A（2，2）时， 目标函数有最大值为 z4 故答案为：4 14曲线 f（x）2sinx 在 处的切线与直线 ax+y10 垂直，则 a 1 【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出 a 的值 解：f（x）2cosx， ， 切线与直线 ax+y10 垂直， 所以a1 a1 故答案为：1 15在半径为 2 的圆上有 A，B 两点，且 AB2，在该圆上任取一点 P，则使得PAB 为
20、锐 角三角形的概率为 【分析】先找到等于 90的分界点，进而求得结论 解：由ABQ90，BAP90， 延长 BO 到 P，AO 到 Q； 当点 P 位于劣弧 PQ 之间时，ABP 为锐角三角形， 因为 AOOBAB； 所以：AOBPOQ60； 所以其概率为：P 故答案为： 16三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD2 ，三棱锥 A BCD 体积的最大值为 ；三棱锥 ABCD 体积最大时，平面 ABC 截球所得的截 面圆的面积为 【分析】由于 BD 过球心，所以可得BADBCD90，AO面 BCD，所以当 BC CD 时体积最大，这时三角形 ABC 为等边三角
21、形，故求出外接圆的半径，进而求出面 积 解：当 BD 过球心，所以BADBCD90， 所以 AO面 BCD，VABCD ，当 BCCD 时体积最大， 因为 BD2 ，OA ，所以 BCCD2， 所以最大体积为： ； 三棱锥 ABCD 体积最大时，三角形 ABC 中，ABAC 2BC， 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r ，所以 r ， 所以外接圆的面积为 Sr2 ， 故答案分别为： ， 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17已
22、知在ABC 的三个内角分别为 A，B，C，sinBsin2A cosA，cosB （）求 A 的大小； （）若 AC2，求 AB 长 【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求 cosA，进而可求 A； （2）由已知结合和差角公式可求 sinC，然后结合正弦定理可求 解：（1） 中， ， 2sin2A3cosA，即 2（1cos2A）3cosA， 解得 ， （2） 由正弦定理得 ， 182019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰 上体育锻炼现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻 炼成果进行评估打分 （满分为100分）
23、并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动， 得到如图所示的频率分布直方图： （）求 m 的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 22 列联 表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性 别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计 100 P（K2x） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：K2 ，na+b+c+d 【分析】（）由小矩形面积之和为 1
24、 即可求出 m； （）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公 式求出 K2并与 6.635 比较，从而得出答案 解：（）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m+0.030+0.005）101， 解得 m0.025； （） 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 4.7626.635， 故不能在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC，AA12AB 4，M，N 分别为 CC1，BB1的中
25、点，G 为棱 AA1上一点，若 A1BNG （）求证：A1BGM； （）求点 A1到平面 MNG 的距离 【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直； （） 设 A1B 与 GN 交于点 E， 易得 A1B平面 MNG， 即 A1到平面 MNG 的距离为 A1E， 由解三角形的知识求得所求距离 解：（1）证明：ABBC，BCBB1，可得 CB平面 ABB1A1， M，N 分别为 CC1，BB1的中点，可得 MNBC， 可得 MN平面 ABB1A1，又 A1BNG， 由三垂线定理可得 A1BGM； （）设 A1B 与 GN 交于点 E，由（）可得 A1B平面 MNG， 在BNE 中，A
26、A12AB4，tanEBN ，则 cosEBN ， 可得 ，由 BA12 ，则 ， 可知 A1到平面 MNG 的距离为 A1E 20已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2，点 P 为椭圆 上异于 A，B 的点，且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 （）求 C 的方程； （）设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M，试证明 为定值，并求出该定值 【分析】（1）由直线 PA 和 PB 的斜率之积为 可得 ，又 c1，再结合 a 2 b2+c2从而求出椭圆 C 的方程； （2）设直线 AP 的方程为：yk（x+2），则直线 OM 的方程为 yk
27、x，分别于椭圆方程 联 立 ， 求 出 点 P ， 点 M 的 坐 标 ， 代 入 化 简 得 解：（1）已知点 P 在椭圆上，设 P（x0，y0），即有 ， 又 ，且 2c2， 可得椭圆的方程为 ； （2）设直线 AP 的方程为：yk（x+2），则直线 OM 的方程为 ykx， 联立直线 AP 与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2120， 由 xA 2，可得 ， 联立直线 OM 与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2120，即 ， 所以 即 为定值，且定值为 2 21已知函数 （）若 x1为 f（x）的极值点，且 f（x1）f（x2）（x1x2），求 2x1+x2的值；
28、（）求证：当 m0 时，f（x）有唯一的零点 【分析】（1）由题可知 f（x1）f（x2），且 f（x1）0，又 f（x）x2+2x+m，即得 ，化简并分解因式可得 （2）令 ，可得 ，令 ，h（x）x2+2x，利用单调性可得： 有且只有一个交点，即 有唯一的零点 解：（1）由题可知 f（x1）f（x2），且 f（x1）0，又 f（x）x2+2x+m， 即得 ， 化简并分解因式可得（2x1+x2+3）（x1x2）0 2x1+x23（6） （2）证明：令 ，则 ， 令 ，h（x）x2+2x，可知 h（x）在（，2）和（0，+）上单调 递增，在2，0上单调递减， 又 ，h（0）0；m（x+1）为过
29、点（1，0）的直线，又 m0，则m0， 因此 有且只有一个交点，即 有唯一的 零点 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M （M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求 的 最小值 【分析】（）由 （ 为参数），消去参数 ，可得 C1的参数方程；化 为 ，消去参数 t，可得 C2的普通方程； （）分别写出圆 C1的极坐标方程与直线 C2的
30、极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线 相交的直线方程为 （ ），可得 ，整理后利用三角函 数求最值 解：（）由 （ 为参数），消去参数 ，可得 C1的参数方程为（x2） 2+y24； 由 （t 为参数），得 ，消去参数 t，可得 C2的普通方程为 x+y8； （） 如图， 圆 C1的极坐标方程为 4cos， 直线 C2的极坐标方程为 cos+sin8， 即 ， 设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为 （ ）， 则 ， 2 ， ， 则 的最小值为 一、选择题 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实
31、数 a 的取值范围 【分析】（）当 a2 时，f（x）|2x+1|+|x1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解 不等式，求并集，可得所求解集； （）由题意可得 1f（x）min，（x0），讨论 a0，a0，a0，结合绝对值不等式 的性质，可得所求范围 解：（）当 a2 时，f（x）|2x+1|+|x1| ， ， ， ， 则 f（x）9 等价为 或 或 ， 解得 1x3 或 x1 或3x ， 综上可得原不等式的解集为（3，3）； （）当 x0 时，f（x）1 恒成立， 即为 1f（x）min， 当 a0 时，f（x）|x1|，其最小值为 f（1）0，不符题意； 当 a0，即a0 时，f（x）|ax+1|+|x1|a|x |+|x1|（a1）|x |+（|x 1|+|x |）， 当a10，f（x）有最小值，且为|1 |，又|1 |1 不恒成立； 当 a0，x0 时，f（x）ax+1+|x1 的最小值为 f（1）a+1|1 恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+）