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福建省龙岩市2020年6月高三毕业班教学质量检查数学试卷(文科)含答案解析

1、2020 年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(文科)(年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(文科)(6 月份)月份) 一、选择题(共 12 小题). 1复数 ( ) A B C D 2已知全集 UR,集合 Mx|x2|1,则UM( ) A(1,3) B1,3 C(,1)(3,+) D(,13,+) 3已知等比数列an前 n 项和是 Sn,且 a3 ,S3 ,则 a1( ) A B6 C 或 6 D 或6 4已知向量 、 满足 , , ,则向量 , 的夹角为( ) A B C D 5用数字 1,2,3 组成无重复数字的三位数, 那么所有的三位数中是奇数的概率为 ( ) A B C D 6执行如图所示的程序

2、框图,若输入 k,n 的值均是 0,则输出 T 的值为( ) A9 B16 C25 D36 7已知ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,A ,a7,c5,则 sinA: sinB( ) A B C D 8若过直线 3x4y+20 上一点 M 向圆:(x2)2+(y+3)24 作一条切线于切点 T, 则|MT|的最小值为( ) A B4 C D 9已知 为第二象限角, ,则 tan2( ) A B C 或 D 10若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) Ae,+) B ,+) C1,+) D2,十) 11设 A,B 为双曲线: 的左

3、,右顶点,F 为双曲线右焦点,以原点 O 为 圆心,|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为 M,连接 AM,BM,则 tan AMB( ) A4 B C2 D 12已知函数 ,满足不等式 在 R 上恒成立,在 , 上恰好只有一个极值点,则实数 ( ) A B C D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13函数 y(2x2+1)ex在点(0,1)处的切线方程为 14若实数 x、y 满足约束条件 ,则 z2xy 的最大值为 15一条河的两岸平行,河的宽度 d4km,一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸,已知船 的速度|v1|10km/h,水流速度|v2|2k

4、m/h,那么行驶航程最短时,所用时间是 (h)(附: 2.449,精确到 0.01h) 16在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,PA2,AB4,AC3,BAC ,则三棱 锥 PABC 的外接球的半径 R 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn,Sn2n2+bn,(nN*),a311 (1)求数列an的通项公式; (2)若 ,求 之和 18某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况,随机调查 1

5、00 名用户,根据 这 100 名用户对该电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示,其中样本数据分 组为40,50),50,60),90,100 (1)估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的概率,并估计对该电讯企业评分的 中位数; (2)现从评分在40,60)的调查用户中随机抽取 2 人,求 2 人评分都在40,50)的概 率(精确到 0.1) 19如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,在四边形 ABCD 中,ABC ,AB 4,BC3,CD ,AD2 ,PA4 (1)证明:CD平面 PAD; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 20已知椭圆: 的左,右焦点分别为

6、 F1( ,0),F2( ,0), 椭圆的左,右顶点分别为 A,B,已知椭圆上一异于 A,B 的点 P,PA,PB 的斜率分别 为 k1,k2 ,满足 (1)求椭圆的标准方程; (2)若过椭圆左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN,分别交椭圆于 M,N 两 点, 问 x 轴上是否存在一定点 Q, 使得MQANQA 成立, 若存在, 则求出该定点 Q, 否则说明理由 21已知函数 f(x)ln(1+x)ax,(aR) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)1e2x在 x0 时恒成立,求实数 a 的取值范围 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一

7、题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 22在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是曲线 C: (t 为参数)上的动点,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为: (1)求曲线 C1,C2的直角坐标下普通方程; (2)已知点 Q 在曲线 C2上,求|PQ|的最小值以及取得最小值时 P 点坐标 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|ax+1|,aR (1)若关于 x 的不等式 f(x)3 的解集为x|2x1,求实数 a 的值; (2)若 , 时,不等式 f(x)2|2x1|恒成立求实数

8、a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1复数 ( ) A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可 解:因为复数 i; 故选:B 2已知全集 UR,集合 Mx|x2|1,则UM( ) A(1,3) B1,3 C(,1)(3,+) D(,13,+) 【分析】先求出 M,再利用补集的定义求出结论 解:因为全集 UR,集合 Mx|x2|1x|1x21x|1x3, UM(,1)(3,+) 故选:C 3已知等比数列an前 n 项和是 Sn,且 a3 ,S3 ,则 a1( ) A B

9、6 C 或 6 D 或6 【分析】 根据题意, 设等比数列an的公比为q, 由等比数列的通项公式可得S3a1+a2+a3 ,变形解可得 q 的值,据此计算可得答案 解:根据题意,设等比数列an的公比为 q, 若 a3 ,S3 ,则有 S3a1+a2+a3 , 变形可得:2q2q10,解可得 q1 或 , 当 q1 时,a1 , 当 q 时,a1 6, 故选:C 4已知向量 、 满足 , , ,则向量 , 的夹角为( ) A B C D 【分析】根据题意,设向量 , 的夹角为 ,由数量积计算公式可得(2 )24 2 4 24+48cos4,变形可得 cos 的值,结合 的范围分析可得答案 解:根

10、据题意,设向量 , 的夹角为 , 又由|2 |2, 则有 (2 ) 24 24 24+48cos4, 变形可得 cos 又由 0,则 ; 故选:B 5用数字 1,2,3 组成无重复数字的三位数, 那么所有的三位数中是奇数的概率为 ( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n ,其中奇数的个数 m 4,由此能求出所有的三 位数中是奇数的概率 解:用数字 1,2,3 组成无重复数字的三位数, 基本事件总数 n , 其中奇数的个数 m 4, 所有的三位数中是奇数的概率为 p 故选:D 6执行如图所示的程序框图,若输入 k,n 的值均是 0,则输出 T 的值为( ) A9 B16 C25 D36

11、【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:模拟程序的运行,可得 k0,n0,T0 满足条件 k4,执行循环体,k1,n1,T0+12021 满足条件 k4,执行循环体,k2,n2,T1+22124 满足条件 k4,执行循环体,k3,n3,T4+32229 满足条件 k4,执行循环体,k4,n4,T9+423216 此时,不满足条件 k4,退出循环,输出 T 的值为 16 故选:B 7已知ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,A ,a7,c5,则 sinA: sinB(

12、 ) A B C D 【分析】由已知结合余弦定理可求 b,然后结合正弦定理即可求解 解:由余弦定理可得,cosA , 解可得,b3, 由正弦定理可得,sinA:sinBa:b7:3 故选:A 8若过直线 3x4y+20 上一点 M 向圆:(x2)2+(y+3)24 作一条切线于切点 T, 则|MT|的最小值为( ) A B4 C D 【分析】要使|MT|最小,则圆心到直线的距离最小,求出圆心到直线的距离,再由勾股 定理求解 解:圆:(x2)2+(y+3)24 的圆心坐标为(2,3),半径为 2 要求|MT|的最小,则圆心到直线 3x4y+20 的距离最小,为 |MT|的最小值为 故选:D 9已

13、知 为第二象限角, ,则 tan2( ) A B C 或 D 【分析】由已知可求范围 ( , ),2(, ),利用同角三角函数基本关系 式,二倍角公式可求 sin2,cos2 的值,即可求解 tan2 的值 解: 为第二象限角, 又 0, ( , ),2(, ), 将等式两边平方可得:1+2sincos ,解得:sin22sincos , cos2 , tan2 故选:A 10若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) Ae,+) B ,+) C1,+) D2,十) 【分析】根据题意得任意 x(0,+),a 恒成立,令 g(x) ,(x 0),只需 ag

14、(x)max,先求导得 g(x) ,令 h(x)lnx+x,(x 0),得 h(x)0,h(x)单调递增,x+时,h(x)+,x0 时,h(x) ,存在 x0(0,+),使得 h(x0)0,即 lnx0+x00,(x0e ),g (x)maxg(x0 ) ,将代入得,g(x)maxg(x0)1,所以 a1, 解:若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立, 即任意 x(0,+),a 恒成立, 令 g(x) ,(x0), g(x) , 令 h(x)lnx+x,(x0), h(x) 0, 所以在(0,+)时,h(x)0,h(x)单调递增, x+时,h(x)+, x0 时,h(x), 所以存

15、在 x0(0,+),使得 h(x0)0,即 lnx0+x00,(x0e ) 所以在(0,x0)时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增, 在(x0,+)时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递减, 所以 g(x)maxg(x0 ) ,将代入得, g(x)maxg(x0)1, 所以 a1, 故选:C 11设 A,B 为双曲线: 的左,右顶点,F 为双曲线右焦点,以原点 O 为 圆心,|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为 M,连接 AM,BM,则 tan AMB( ) A4 B C2 D 【分析】画出图形,利用双曲线的性质,求出 M 坐标,然后转化求解 tanAMB 即可 解:

16、由题意可知双曲线的图形如图:设 A,B 为双曲线: 的左,右顶点, F 为双曲线右焦点,以原点 O 为圆心,|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一 个交点为 M,连接 AM,BM, OM ,OA2,tanMOA , 所以 AM1,M(2,1),AB4, 所以在直角三角形 ABM 中,tanAMB 4 故选:A 12已知函数 ,满足不等式 在 R 上恒成立,在 , 上恰好只有一个极值点,则实数 ( ) A B C D 【分析】由题可知,函数 f(x)在 处取得最小值1,即 , 所以 ,即 ,kZ,由于 f(x)在 , 上恰好只 有一个极值点,结合正弦函数的图象可知, ,即 ,解得 12,由可

17、得 ,所以 k1, 解:不等式 在 R 上恒成立, , ,即 ,kZ, 函数 f(x)在 , 上恰好只有一个极值点, ,即 , 12, ,解得 , kZ,k1, 故选:D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13函数 y(2x2+1)ex在点(0,1)处的切线方程为 xy+10 【分析】求出原函数的导函数,得到函数在 x0 处的导数,再由直线方程的点斜式得答 案 解:由 y(2x2+1)ex,得 y4xex+(2x2+1)ex(2x2+4x+1)ex y|x01, 则函数 y(2x2+1)ex在点(0,1)处的切线方程为 yx+1,即 xy+10 故答案为:xy+10

18、 14若实数 x、y 满足约束条件 ,则 z2xy 的最大值为 6 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,把最优解的坐标代入目标函数得答案 解:由实数 x、y 满足约束条件 ,作出可行域: 联立 ,解得 A(3,0), 化 z2xy 为 y2xz, 由图可知, 当直线 y2xz 过 A 时, 直线在 y 轴上的截距最小, z 有最大值为:6 故答案为:6 15一条河的两岸平行,河的宽度 d4km,一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸,已知船 的速度|v1|10km/h,水流速度|v2|2km/h,那么行驶航程最短时,所用时间是 0.41 (h)(附:

19、 2.449,精确到 0.01h) 【分析】利用河的宽度为 4km,结合船的静水速度船的速度|v1|10km/h,水流速度|v2| 2km/h,利用数列的减法运算求出和速度,即可求解行驶航程最短时所用时间 解:如图:行驶航程最短时,就是船垂直到达对岸, 和速度为:v (km/h)9.796km/h 行驶航程最短时,所用时间是: 0.41h 故答案为:0.41 16在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,PA2,AB4,AC3,BAC ,则三棱 锥 PABC 的外接球的半径 R 【分析】由已知利用余弦定理求出 BC,可得ABC 外接圆的半径,再由勾股定理可求该 三棱锥的外接球的半径 解:AC3

20、,AB4,BAC , 由余弦定理可得 BC , ABC 外接圆的半径 r , 设球心到平面 ABC 的距离为 d,则 d 由勾股定理可得 R , 故答案为: 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn,Sn2n2+bn,(nN*),a311 (1)求数列an的通项公式; (2)若 ,求 之和 【分析】(1)先由 a3S3S211 求得 b,进而求得 Sn,然后利用 anSnSn1求得通 项公式; (2)先由(1

21、)中结论求得 bn,进而求得 ,然后利用裂项相消法求 Tn 解:(1) , , , ,解得 b1, , , 当 n2 时,anSnSn14n1; 又当 n1 是,a1S13 也适合 an4n1, an4n1; (2) , , , 2n+1, ( ), 故 ( )+( )+( ) ( ) 18某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况,随机调查 100 名用户,根据 这 100 名用户对该电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示,其中样本数据分 组为40,50),50,60),90,100 (1)估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的概率,并估计对该电讯企业评分的 中位数;

22、(2)现从评分在40,60)的调查用户中随机抽取 2 人,求 2 人评分都在40,50)的概 率(精确到 0.1) 【分析】(1)利用频率分布直方图即可求出评分不低于 70 分的概率,再利用中位数左 侧频率为 0.5 即可求出中位数的估计值; (2)求出受调查用户评分在40,50)和在40,60)的人数,再利用古典概型的概率公 式即可算出结果 解:(1)该地区用户对电讯企业评分的分布 评分 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频率 0.04 0.06 0.20 0.28 0.24 0.18 因此评分不低于 70 分的概率为 p0.28+0.24+

23、0.180.70, 对该电讯企业评分的中位数设为 x,则 , ; (2)受调查用户评分在40,50)的有 1000.004104 人,若编号依次为 1,2,3, 4从中选 2 人的事件有12,13,14,23,24,34共有 3+2+16 种 受调查用户评分在40,60)的有 1000.011010 人,若编号依次为 1,2,3,9, 10从中选 2 人的事件,同理可求有 9+8+7+2+145 种, 因此 2 人评分都在40,50)的概率 19如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,在四边形 ABCD 中,ABC ,AB 4,BC3,CD ,AD2 ,PA4 (1)证明:CD平面

24、 PAD; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 【分析】(1)证明 ADCD,PACD,然后证明 CD平面 PAD (2)通过 VPBCMVBPCM,转化求解 P 点到平面 PCD 的距离 【解答】(1) 证明: 在平面 ABCD 中, , , , , , , ,即 ADCD, 又 PA平面 ABCD,则 PACD,ADPAA, CD平面 PAD (2)解:在平面 ABCD 中,过 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 M, , , , , , 又 ,则 由 VPBCMVBPCM可知:SBCM PASPCM hBPCM, , , 则 , 因此 P 点到平面 PCD 的距离为 20已知

25、椭圆: 的左,右焦点分别为 F1( ,0),F2( ,0), 椭圆的左,右顶点分别为 A,B,已知椭圆上一异于 A,B 的点 P,PA,PB 的斜率分别 为 k1,k2 ,满足 (1)求椭圆的标准方程; (2)若过椭圆左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN,分别交椭圆于 M,N 两 点, 问 x 轴上是否存在一定点 Q, 使得MQANQA 成立, 若存在, 则求出该定点 Q, 否则说明理由 【分析】(1)设 P(x0,y0),利用直线的斜率关系,结合 ,求解 a,b,然后求 解椭圆方程 (2)设直线 AM 和 AN 的方程分别为 yk(x+2)和 , 设 M(xM,yM),N(xN,

26、yN),联立直线方程与椭圆方程,求出 M、N 的坐标,设 x 轴 上存在一定点 Q(t,0),使得MQANQA 成立,kQM+kQN0,转化求解即可 解:(1)设 P(x0,y0),则 y02b2(1 ), , , 则 , , 椭圆的标准方程为 (2)由(1)知 A(2,0),且直线 AM 和 AN 的斜率存在, 设直线 AM 和 AN 的方程分别为 yk(x+2)和 , 设 M(xM,yM),N(xN,yN), 联立 , 直线 AM 和椭圆交于 A,M 两点 , , , , , , 同理 , , 设 x 轴上存在一定点 Q(t,0),使得MQANQA 成立,kQM+kQN0, , 则 yM

27、xN+yN xM(yM+yN) t, , , 可得 t6, 因此 x 轴上存在一定点 Q(6,0),使得MQANQA 成立 21已知函数 f(x)ln(1+x)ax,(a一、选择题) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)1e2x在 x0 时恒成立,求实数 a 的取值范围 【分析】(1)f(x)定义域为x|x1,求导数得: ,分两种情况若 a 0 时,若 a0 时,分析单调性 (2)设 g(x)ln(1+x)ax+e2x1,所以问题可转化为:任意 x0,g(x)0 恒 成立,求函数导数得 g(x)2a,分两大类讨论在 a2 时,在 a2 时,单调性, 函数值取值范围;当 a2

28、 时,再分两种情况当 2a3 时,当 a3 时,分析单调 性,函数值取值范围,进而得出答案 解:(1)f(x)ln(1+x)ax,定义域x|x1, 求导数得: , 若 a0 时, , 因此 f(x)在(1,+)上单调递增; 若 a0 时, , 因此 f(x)在( ,+)上单调递减区间,在(1, )上单调递增 (2)设 g(x)ln(1+x)ax+e2x1, 所以问题可转化为:任意 x0,g(x)0 恒成立, 求函数导数得: 2+4x a4 (x+1) 2a2 2a2a, 在 a2 时,g(x)0,g(x)在 x0 为增函数,则 g(x)g(0)0,符合题意, 在 a2 时,由 ,(x0) 令

29、h(x)2e2x a,(x0) h(x)4e2x 0, 所以 h(x)在(0,+)上单调递增, 所以 h(x)h(0)3a, 当 2a3 时,在(0,+)上,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增,g(x) g(0)0,符合题意, 当 a3 时, 存在 x0,使得 x(0,x0)时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递减, x(x0,+)时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增, 所以 g(x)g(x0),g(x0)g(0)0,不符合题意, 综合以上可知:实数 a 的取值范围为 a3 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分

30、.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 22在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是曲线 C: (t 为参数)上的动点,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为: (1)求曲线 C1,C2的直角坐标下普通方程; (2)已知点 Q 在曲线 C2上,求|PQ|的最小值以及取得最小值时 P 点坐标 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果 解:(1)由 C1: 消去参数 t 得到 , 所以曲线 C1的直角坐标方程为: 由曲线 C2:

31、sin3cos2, 根据 , 整理得直角坐标方程为: y3x+2 (2)设 , , 则 P 到直线 C2:y3x+2 的距离为 , 当 t0 时, ,当 t0 时, , 所以当 t0,且 t 时,整理得 , 此时 , , 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|ax+1|,aR (1)若关于 x 的不等式 f(x)3 的解集为x|2x1,求实数 a 的值; (2)若 , 时,不等式 f(x)2|2x1|恒成立求实数 a 的取值范围 【分析】(1)由绝对值不等式的解法和已知解集,讨论 a0,a0,结合方程解法,可 得 a 的值; (2)由题意可得|ax+1|+|2x1|2 在 恒成立,所以|ax+1|2x+1,转化为2x2 ax2x,再由参数分离和恒成立思想,可得 a 的范围 解:(1)由|ax+1|3 得4ax2,又 f(x)3 的解集为x|2x1, 所以当 a0 时,不合题意; 当 a0 时, x ,有 ,则 a,不合题意; 当 a0 时, x , 即有 , 解得 a2; (2)因为|ax+1|+|2x1|2 在 恒成立, 所以|ax+1|2x+1,即(2x+1)ax+12x+1, 即2x2ax2x, 所以 , 由,得 a2; 由,得 在 恒成立,所以 因为 ,所以 a6 综上可知,实数 a 的取值范围为6a2