1、2020 年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（文科）（年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（文科）（6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1复数 （ ） A B C D 2已知全集 UR，集合 Mx|x2|1，则UM（ ） A（1，3） B1，3 C（，1）（3，+） D（，13，+） 3已知等比数列an前 n 项和是 Sn，且 a3 ，S3 ，则 a1（ ） A B6 C 或 6 D 或6 4已知向量 、 满足 ， ， ，则向量 ， 的夹角为（ ） A B C D 5用数字 1，2，3 组成无重复数字的三位数， 那么所有的三位数中是奇数的概率为 （ ） A B C D 6执行如图所示的程序
2、框图，若输入 k，n 的值均是 0，则输出 T 的值为（ ） A9 B16 C25 D36 7已知ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A ，a7，c5，则 sinA： sinB（ ） A B C D 8若过直线 3x4y+20 上一点 M 向圆：（x2）2+（y+3）24 作一条切线于切点 T， 则|MT|的最小值为（ ） A B4 C D 9已知 为第二象限角， ，则 tan2（ ） A B C 或 D 10若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） Ae，+） B ，+） C1，+） D2，十） 11设 A，B 为双曲线： 的左
3、，右顶点，F 为双曲线右焦点，以原点 O 为 圆心，|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为 M，连接 AM，BM，则 tan AMB（ ） A4 B C2 D 12已知函数 ，满足不等式 在 R 上恒成立，在 ， 上恰好只有一个极值点，则实数 （ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13函数 y（2x2+1）ex在点（0，1）处的切线方程为 14若实数 x、y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为 15一条河的两岸平行，河的宽度 d4km，一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸，已知船 的速度|v1|10km/h，水流速度|v2|2k
4、m/h，那么行驶航程最短时，所用时间是 （h）（附： 2.449，精确到 0.01h） 16在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA2，AB4，AC3，BAC ，则三棱 锥 PABC 的外接球的半径 R 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn，Sn2n2+bn，（nN*），a311 （1）求数列an的通项公式； （2）若 ，求 之和 18某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查 1
5、00 名用户，根据 这 100 名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分 组为40，50），50，60），90，100 （1）估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的概率，并估计对该电讯企业评分的 中位数； （2）现从评分在40，60）的调查用户中随机抽取 2 人，求 2 人评分都在40，50）的概 率（精确到 0.1） 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，在四边形 ABCD 中，ABC ，AB 4，BC3，CD ，AD2 ，PA4 （1）证明：CD平面 PAD； （2）求 B 点到平面 PCD 的距离 20已知椭圆： 的左，右焦点分别为
6、 F1（ ，0），F2（ ，0）， 椭圆的左，右顶点分别为 A，B，已知椭圆上一异于 A，B 的点 P，PA，PB 的斜率分别 为 k1，k2 ，满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN，分别交椭圆于 M，N 两 点， 问 x 轴上是否存在一定点 Q， 使得MQANQA 成立， 若存在， 则求出该定点 Q， 否则说明理由 21已知函数 f（x）ln（1+x）ax，（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）1e2x在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一
7、题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是曲线 C： （t 为参数）上的动点，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为： （1）求曲线 C1，C2的直角坐标下普通方程； （2）已知点 Q 在曲线 C2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时 P 点坐标 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|ax+1|，aR （1）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集为x|2x1，求实数 a 的值； （2）若 ， 时，不等式 f（x）2|2x1|恒成立求实数
8、a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1复数 （ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可 解：因为复数 i； 故选：B 2已知全集 UR，集合 Mx|x2|1，则UM（ ） A（1，3） B1，3 C（，1）（3，+） D（，13，+） 【分析】先求出 M，再利用补集的定义求出结论 解：因为全集 UR，集合 Mx|x2|1x|1x21x|1x3， UM（，1）（3，+） 故选：C 3已知等比数列an前 n 项和是 Sn，且 a3 ，S3 ，则 a1（ ） A B
9、6 C 或 6 D 或6 【分析】 根据题意， 设等比数列an的公比为q， 由等比数列的通项公式可得S3a1+a2+a3 ，变形解可得 q 的值，据此计算可得答案 解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 a3 ，S3 ，则有 S3a1+a2+a3 ， 变形可得：2q2q10，解可得 q1 或 ， 当 q1 时，a1 ， 当 q 时，a1 6， 故选：C 4已知向量 、 满足 ， ， ，则向量 ， 的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据题意，设向量 ， 的夹角为 ，由数量积计算公式可得（2 ）24 2 4 24+48cos4，变形可得 cos 的值，结合 的范围分析可得答案 解：根
10、据题意，设向量 ， 的夹角为 ， 又由|2 |2， 则有 （2 ） 24 24 24+48cos4， 变形可得 cos 又由 0，则 ； 故选：B 5用数字 1，2，3 组成无重复数字的三位数， 那么所有的三位数中是奇数的概率为 （ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n ，其中奇数的个数 m 4，由此能求出所有的三 位数中是奇数的概率 解：用数字 1，2，3 组成无重复数字的三位数， 基本事件总数 n ， 其中奇数的个数 m 4， 所有的三位数中是奇数的概率为 p 故选：D 6执行如图所示的程序框图，若输入 k，n 的值均是 0，则输出 T 的值为（ ） A9 B16 C25 D36
11、【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 k0，n0，T0 满足条件 k4，执行循环体，k1，n1，T0+12021 满足条件 k4，执行循环体，k2，n2，T1+22124 满足条件 k4，执行循环体，k3，n3，T4+32229 满足条件 k4，执行循环体，k4，n4，T9+423216 此时，不满足条件 k4，退出循环，输出 T 的值为 16 故选：B 7已知ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A ，a7，c5，则 sinA： sinB（
12、 ） A B C D 【分析】由已知结合余弦定理可求 b，然后结合正弦定理即可求解 解：由余弦定理可得，cosA ， 解可得，b3， 由正弦定理可得，sinA：sinBa：b7：3 故选：A 8若过直线 3x4y+20 上一点 M 向圆：（x2）2+（y+3）24 作一条切线于切点 T， 则|MT|的最小值为（ ） A B4 C D 【分析】要使|MT|最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股 定理求解 解：圆：（x2）2+（y+3）24 的圆心坐标为（2，3），半径为 2 要求|MT|的最小，则圆心到直线 3x4y+20 的距离最小，为 |MT|的最小值为 故选：D 9已
13、知 为第二象限角， ，则 tan2（ ） A B C 或 D 【分析】由已知可求范围 （ ， ），2（， ），利用同角三角函数基本关系 式，二倍角公式可求 sin2，cos2 的值，即可求解 tan2 的值 解： 为第二象限角， 又 0， （ ， ），2（， ）， 将等式两边平方可得：1+2sincos ，解得：sin22sincos ， cos2 ， tan2 故选：A 10若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） Ae，+） B ，+） C1，+） D2，十） 【分析】根据题意得任意 x（0，+），a 恒成立，令 g（x） ，（x 0），只需 ag
14、（x）max，先求导得 g（x） ，令 h（x）lnx+x，（x 0），得 h（x）0，h（x）单调递增，x+时，h（x）+，x0 时，h（x） ，存在 x0（0，+），使得 h（x0）0，即 lnx0+x00，（x0e ），g （x）maxg（x0 ） ，将代入得，g（x）maxg（x0）1，所以 a1， 解：若关于 x 的不等式 axex1lnx+x 恒成立， 即任意 x（0，+），a 恒成立， 令 g（x） ，（x0）， g（x） ， 令 h（x）lnx+x，（x0）， h（x） 0， 所以在（0，+）时，h（x）0，h（x）单调递增， x+时，h（x）+， x0 时，h（x）， 所以存
15、在 x0（0，+），使得 h（x0）0，即 lnx0+x00，（x0e ） 所以在（0，x0）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增， 在（x0，+）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）maxg（x0 ） ，将代入得， g（x）maxg（x0）1， 所以 a1， 故选：C 11设 A，B 为双曲线： 的左，右顶点，F 为双曲线右焦点，以原点 O 为 圆心，|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一个交点为 M，连接 AM，BM，则 tan AMB（ ） A4 B C2 D 【分析】画出图形，利用双曲线的性质，求出 M 坐标，然后转化求解 tanAMB 即可 解：
16、由题意可知双曲线的图形如图：设 A，B 为双曲线： 的左，右顶点， F 为双曲线右焦点，以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆与双曲线的一条渐近线的一 个交点为 M，连接 AM，BM， OM ，OA2，tanMOA ， 所以 AM1，M（2，1），AB4， 所以在直角三角形 ABM 中，tanAMB 4 故选：A 12已知函数 ，满足不等式 在 R 上恒成立，在 ， 上恰好只有一个极值点，则实数 （ ） A B C D 【分析】由题可知，函数 f（x）在 处取得最小值1，即 ， 所以 ，即 ，kZ，由于 f（x）在 ， 上恰好只 有一个极值点，结合正弦函数的图象可知， ，即 ，解得 12，由可
17、得 ，所以 k1， 解：不等式 在 R 上恒成立， ， ，即 ，kZ， 函数 f（x）在 ， 上恰好只有一个极值点， ，即 ， 12， ，解得 ， kZ，k1， 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13函数 y（2x2+1）ex在点（0，1）处的切线方程为 xy+10 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x0 处的导数，再由直线方程的点斜式得答 案 解：由 y（2x2+1）ex，得 y4xex+（2x2+1）ex（2x2+4x+1）ex y|x01， 则函数 y（2x2+1）ex在点（0，1）处的切线方程为 yx+1，即 xy+10 故答案为：xy+10
18、 14若实数 x、y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：由实数 x、y 满足约束条件 ，作出可行域： 联立 ，解得 A（3，0）， 化 z2xy 为 y2xz， 由图可知， 当直线 y2xz 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为：6 故答案为：6 15一条河的两岸平行，河的宽度 d4km，一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸，已知船 的速度|v1|10km/h，水流速度|v2|2km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是 0.41 （h）（附：
19、 2.449，精确到 0.01h） 【分析】利用河的宽度为 4km，结合船的静水速度船的速度|v1|10km/h，水流速度|v2| 2km/h，利用数列的减法运算求出和速度，即可求解行驶航程最短时所用时间 解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸， 和速度为：v （km/h）9.796km/h 行驶航程最短时，所用时间是： 0.41h 故答案为：0.41 16在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA2，AB4，AC3，BAC ，则三棱 锥 PABC 的外接球的半径 R 【分析】由已知利用余弦定理求出 BC，可得ABC 外接圆的半径，再由勾股定理可求该 三棱锥的外接球的半径 解：AC3
20、，AB4，BAC ， 由余弦定理可得 BC ， ABC 外接圆的半径 r ， 设球心到平面 ABC 的距离为 d，则 d 由勾股定理可得 R ， 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn，Sn2n2+bn，（nN*），a311 （1）求数列an的通项公式； （2）若 ，求 之和 【分析】（1）先由 a3S3S211 求得 b，进而求得 Sn，然后利用 anSnSn1求得通 项公式； （2）先由（1
21、）中结论求得 bn，进而求得 ，然后利用裂项相消法求 Tn 解：（1） ， ， ， ，解得 b1， ， ， 当 n2 时，anSnSn14n1； 又当 n1 是，a1S13 也适合 an4n1， an4n1； （2） ， ， ， 2n+1， （ ）， 故 （ ）+（ ）+（ ） （ ） 18某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查 100 名用户，根据 这 100 名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分 组为40，50），50，60），90，100 （1）估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的概率，并估计对该电讯企业评分的 中位数；
22、（2）现从评分在40，60）的调查用户中随机抽取 2 人，求 2 人评分都在40，50）的概 率（精确到 0.1） 【分析】（1）利用频率分布直方图即可求出评分不低于 70 分的概率，再利用中位数左 侧频率为 0.5 即可求出中位数的估计值； （2）求出受调查用户评分在40，50）和在40，60）的人数，再利用古典概型的概率公 式即可算出结果 解：（1）该地区用户对电讯企业评分的分布 评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频率 0.04 0.06 0.20 0.28 0.24 0.18 因此评分不低于 70 分的概率为 p0.28+0.24+
23、0.180.70， 对该电讯企业评分的中位数设为 x，则 ， ； （2）受调查用户评分在40，50）的有 1000.004104 人，若编号依次为 1，2，3， 4从中选 2 人的事件有12，13，14，23，24，34共有 3+2+16 种 受调查用户评分在40，60）的有 1000.011010 人，若编号依次为 1，2，3，9， 10从中选 2 人的事件，同理可求有 9+8+7+2+145 种， 因此 2 人评分都在40，50）的概率 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，在四边形 ABCD 中，ABC ，AB 4，BC3，CD ，AD2 ，PA4 （1）证明：CD平面
24、 PAD； （2）求 B 点到平面 PCD 的距离 【分析】（1）证明 ADCD，PACD，然后证明 CD平面 PAD （2）通过 VPBCMVBPCM，转化求解 P 点到平面 PCD 的距离 【解答】（1） 证明： 在平面 ABCD 中， ， ， ， ， ， ， ，即 ADCD， 又 PA平面 ABCD，则 PACD，ADPAA， CD平面 PAD （2）解：在平面 ABCD 中，过 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 M， ， ， ， ， ， 又 ，则 由 VPBCMVBPCM可知：SBCM PASPCM hBPCM， ， ， 则 ， 因此 P 点到平面 PCD 的距离为 20已知
25、椭圆： 的左，右焦点分别为 F1（ ，0），F2（ ，0）， 椭圆的左，右顶点分别为 A，B，已知椭圆上一异于 A，B 的点 P，PA，PB 的斜率分别 为 k1，k2 ，满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN，分别交椭圆于 M，N 两 点， 问 x 轴上是否存在一定点 Q， 使得MQANQA 成立， 若存在， 则求出该定点 Q， 否则说明理由 【分析】（1）设 P（x0，y0），利用直线的斜率关系，结合 ，求解 a，b，然后求 解椭圆方程 （2）设直线 AM 和 AN 的方程分别为 yk（x+2）和 ， 设 M（xM，yM），N（xN，
26、yN），联立直线方程与椭圆方程，求出 M、N 的坐标，设 x 轴 上存在一定点 Q（t，0），使得MQANQA 成立，kQM+kQN0，转化求解即可 解：（1）设 P（x0，y0），则 y02b2（1 ）， ， ， 则 ， ， 椭圆的标准方程为 （2）由（1）知 A（2，0），且直线 AM 和 AN 的斜率存在， 设直线 AM 和 AN 的方程分别为 yk（x+2）和 ， 设 M（xM，yM），N（xN，yN）， 联立 ， 直线 AM 和椭圆交于 A，M 两点 ， ， ， ， ， ， 同理 ， ， 设 x 轴上存在一定点 Q（t，0），使得MQANQA 成立，kQM+kQN0， ， 则 yM
27、xN+yN xM（yM+yN） t， ， ， 可得 t6， 因此 x 轴上存在一定点 Q（6，0），使得MQANQA 成立 21已知函数 f（x）ln（1+x）ax，（a一、选择题） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）1e2x在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）f（x）定义域为x|x1，求导数得： ，分两种情况若 a 0 时，若 a0 时，分析单调性 （2）设 g（x）ln（1+x）ax+e2x1，所以问题可转化为：任意 x0，g（x）0 恒 成立，求函数导数得 g（x）2a，分两大类讨论在 a2 时，在 a2 时，单调性， 函数值取值范围；当 a2
28、 时，再分两种情况当 2a3 时，当 a3 时，分析单调 性，函数值取值范围，进而得出答案 解：（1）f（x）ln（1+x）ax，定义域x|x1， 求导数得： ， 若 a0 时， ， 因此 f（x）在（1，+）上单调递增； 若 a0 时， ， 因此 f（x）在（ ，+）上单调递减区间，在（1， ）上单调递增 （2）设 g（x）ln（1+x）ax+e2x1， 所以问题可转化为：任意 x0，g（x）0 恒成立， 求函数导数得： 2+4x a4 （x+1） 2a2 2a2a， 在 a2 时，g（x）0，g（x）在 x0 为增函数，则 g（x）g（0）0，符合题意， 在 a2 时，由 ，（x0） 令
29、h（x）2e2x a，（x0） h（x）4e2x 0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递增， 所以 h（x）h（0）3a， 当 2a3 时，在（0，+）上，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增，g（x） g（0）0，符合题意， 当 a3 时， 存在 x0，使得 x（0，x0）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递减， x（x0，+）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）g（x0），g（x0）g（0）0，不符合题意， 综合以上可知：实数 a 的取值范围为 a3 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分
30、.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是曲线 C： （t 为参数）上的动点，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为： （1）求曲线 C1，C2的直角坐标下普通方程； （2）已知点 Q 在曲线 C2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时 P 点坐标 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果 解：（1）由 C1： 消去参数 t 得到 ， 所以曲线 C1的直角坐标方程为： 由曲线 C2：
31、sin3cos2， 根据 ， 整理得直角坐标方程为： y3x+2 （2）设 ， ， 则 P 到直线 C2：y3x+2 的距离为 ， 当 t0 时， ，当 t0 时， ， 所以当 t0，且 t 时，整理得 ， 此时 ， ， 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|ax+1|，aR （1）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集为x|2x1，求实数 a 的值； （2）若 ， 时，不等式 f（x）2|2x1|恒成立求实数 a 的取值范围 【分析】（1）由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论 a0，a0，结合方程解法，可 得 a 的值； （2）由题意可得|ax+1|+|2x1|2 在 恒成立，所以|ax+1|2x+1，转化为2x2 ax2x，再由参数分离和恒成立思想，可得 a 的范围 解：（1）由|ax+1|3 得4ax2，又 f（x）3 的解集为x|2x1， 所以当 a0 时，不合题意； 当 a0 时， x ，有 ，则 a，不合题意； 当 a0 时， x ， 即有 ， 解得 a2； （2）因为|ax+1|+|2x1|2 在 恒成立， 所以|ax+1|2x+1，即（2x+1）ax+12x+1， 即2x2ax2x， 所以 ， 由，得 a2； 由，得 在 恒成立，所以 因为 ，所以 a6 综上可知，实数 a 的取值范围为6a2