1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知复数 z 满足 z ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 ， ，则 AB（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|1x3 Dx|x1 或 x3 3记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S55，a610，则 a8（ ） A15 B16 C19 D20 4已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dcba 5函数 yf（x）在（，）上的图象如图所示，则其解析式可能为（ ） Af（x）xsinx Bf（
2、x）xcosx C D 6如图是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时绘制的“赵爽弦图”，该图是由四个全等 的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国用数形结合的方法 对勾股定理的最早证明记直角三角形中较小的锐角为 ，且 若在大正方 形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（ ） A B C D 7已知 （其中 nN *，且 n2），且 a 0，a1，a2成 等差数列，则 n（ ） A8 B7 C6 D5 8已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A4 B C D 9已知向量 ， 满足 ，且对任意 tR 都有 ，则 与 的夹角 为（ ） A B C D 10已知函数
3、 f（x）sinx+cosx（0），若 f（x）在（，）上有且只有 3 个零点， 则 的取值范围为（ ） A ， B ， C ， D ， 11已知抛物线 x24y 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，点 O 为坐标原 点，则下列命题中正确的个数为（ ） AOB 面积的最小值为 4； 以 AF 为直径的圆与 x 轴相切； 记 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1+k2k3； 过焦点 F 作 y 轴的垂线与直线 OA，OB 分别交于点 M，N，则以 MN 为直径的圆恒过 定点 A1 B2 C3 D4 12在三梭锥 ABCD 中，ABCD2，ADBC1，AC
4、 ，且二面角 BACD 为 120，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积为（ ） A4 B5 C6 D7 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知双曲线 C： ， 的一条渐近线的倾斜角为 60，则 C 的离心 率为 14 已知数列an 中， ， ， 记S n为an的前n项和， 则S2n 15某学生社会实践小组调查发现，某商品的供应量与商品的销售价格有如下关系：当商品 供应的增加量不超过原供应量时，商品的销售价格的降低量与商品供应的增加量的算术 平方根成正比假设商品的原供应量为 1 个单位，当商品供应量增加一倍时，销售价格 降为原来的一半若商品的销售价格不高于原来的 8
5、0%，则供应量至少增加为原来的 倍 16已知函数 ， ， ， 若方程 f（x）+f（x）0 有且只有五个根，分别为 x1， x2，x3，x4，x5（设 x1x2x3x4x5），则下列命题正确的是 （填写所有正确命 题的序号） x1+x2+x3+x4+x50； 存在 k 使得 x1，x2，x3，x4，x5成等差数列； 当 k0 时， ； 当 k0 时，x5tanx5 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，a，b，c 分别是角
6、A，B，C 所对的边，且满足 （）求 A； （）若 ，求 b+2c 的取值范围 18如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，M 为 CD 上的一点，以 AM 为折痕把AMD 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 AMP平面 ABCD连接 PB，PC，点 N 为 PB 的中点，且 CN平面 AMP （）求线段 CM 的长； （）求平面 AMP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值 19 为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求， 坚决防范疫情向校园蔓延， 切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台 等多种方式实施线上教育教学工作某教育机构为
7、了了解人们对其数学网课授课方式的 满意度， 从经济不发达的 A 城市和经济发达的 B 城市分别随机调查了 20 个用户， 得到了 一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图： 若评分不低于 80 分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对 此教育机构授课方式“不认可” （）请根据此样本完成下列 22 列联表，并据此列联表分析，能否有 95%的把握认为 城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？ 认可 不认可 合计 A 城市 B 城市 合计 （）以该样本中 A，B 城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为 A， B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”
8、的概率现从 A 城市和 B 城市的所有用户中 分别随机抽取 2 个用户，用 X 表示这 4 个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户 个数，求 x 的分布列 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2K） 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 20已知 ， 为椭圆 ： ， 上的一点，F 为椭圆的右焦点，且 PF 垂直于 x 轴，不过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 OP 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当ABP 的面积最大时，求直线 l 的方程 21已知函数 f（x）ax22lnx（aR） （
9、）当 a1 时，证明：f（x）xlnx （）是否存在不相等的正实数 m，n 满足 mn2，且 f（m）f（n）？若存在，求 a 的 取值范围；若不存在，请说明理由 选考题： 共 10 分请考生在第 22， 23 题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。 选修 4-4；坐标系与参数方程 22 平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 （ 为参数， 且 1） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+12cos+320 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）已知点 P 的极坐标为 ， ，Q 为曲线 C2
10、上的动点，求 PQ 的中点 M 到曲线 C1的距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|5x|x+m|（m0）的最大值为 8 （）求 m 的值； （）若实数 a 满足 f（a1）+f（a）0，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1已知复数 z 满足 z ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 解：z ， 在复平面内 z 对应的点的坐标为（ ， ），位于第
11、一象限 故选：A 2已知集合 ， ，则 AB（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|1x3 Dx|x1 或 x3 【分析】先求出集合 A，B，再求交集 解：Ax|1x3，Bx|x0，或 x1，ABx|1x3， 故选：C 3记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S55，a610，则 a8（ ） A15 B16 C19 D20 【分析】设等差数列an的公差为 d，由 S55，a610，可得：5a1 d5，a1+5d 10，解出即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，S55，a610， 5a1 d5，a1+5d10， 解得：a15，d3， 则 a85+7316 故选：B 4已知 ， ， ，则（
12、 ） Aabc Bbca Ccab Dcba 【分析】利用三角函数的单调性、指数与对数函数的单调性即可得出 解：asin ，1bln2ln ，c1 cba 故选：D 5函数 yf（x）在（，）上的图象如图所示，则其解析式可能为（ ） Af（x）xsinx Bf（x）xcosx C D 【分析】由函数图象，结合选项逐项判断即可得出正确选项 解：对于选项 A，f（x）（x）sin（x）xsinxf（x），函数为偶函数，不合题 意； 对于选项 B，当 x 趋近于 时，xcosx 趋近于，不合题意； 对于选项 C，当 x 趋近于 时， 趋近于+，不合题意 故选：D 6如图是汉代数学家赵爽在注解周髀算经
13、时绘制的“赵爽弦图”，该图是由四个全等 的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国用数形结合的方法 对勾股定理的最早证明记直角三角形中较小的锐角为 ，且 若在大正方 形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（ ） A B C D 【分析】 易知， 四个小直角三角形全等， 根据小角正弦值为 ， 可设小三角形的边长为 3， 4，5，得正方形的边长（即小直角三角形的斜边），套用公式计算概率 解：由 得 ，解得 设小三角形三边长为 3，4，5则大正方形边长为 5，小正方形边长为 1 故所求概率为 P 故选：C 7已知 （其中 nN *，且 n2），且 a 0，a1，a2成 等差数列
14、，则 n（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】将原式写成（2+x）n的形式，然后分别求出展开式中的常数项、一次项和二次 项的系数，根据题意列出关于 n 的方程即可 解：左边（2+x）n，所以 ， ， ， 由 2a1a0+a2，将三式代入化简得 n29n+80，解得 n8 或 1（舍）， 故 n8 故选：A 8已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A4 B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法的应用求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体 ABCD 如图所示： 所以 V 故选：B 9已知向量 ， 满足 ，且对任意 tR
15、都有 ，则 与 的夹角 为（ ） A B C D 【分析】由 ，两边平方，转化为二次函数恒成立问题即可求解 与 的 夹角 解：由 ， 可得（ ）2（ ）2 即 设 与 的夹角为 ，可得 t22cos t2cos10 对任意 tR 都成立， 4cos2+4（2cos+1）0 即 cos1， 可得 故选：D 10已知函数 f（x）sinx+cosx（0），若 f（x）在（，）上有且只有 3 个零点， 则 的取值范围为（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】 利用辅助角公式进行化简， 由 f （x） 0 得到函数零点， 结合函数零点与区间 （ ，）的关系，建立不等式进行求解即可 解：f（x）
16、sinx+cosx sin（x ）， 由 f（x）0 得 x k，kZ， 得 xk ，kZ， 得 x ，kZ， 则 f（x）对应的零点为 ， ， ， ， ， 若 f（x）在（，）上有且只有 3 个零点， 则 ，得 ，得 ， 故选：A 11已知抛物线 x24y 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，点 O 为坐标原 点，则下列命题中正确的个数为（ ） AOB 面积的最小值为 4； 以 AF 为直径的圆与 x 轴相切； 记 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1+k2k3； 过焦点 F 作 y 轴的垂线与直线 OA，OB 分别交于点 M，N，则以 MN 为直径
17、的圆恒过 定点 A1 B2 C3 D4 【分析】对于：联立直线 AB 与抛物线方程，利用根与系数关系表示出面积即可求出 最小值； 对于：如图，证明|EG| |AF|即可； 对于：联立直线与抛物线方程，整理即可得到结论； 对于：表示出以 MN 为直径的方程（x+2k3）2+（y1）24k32+4，令 x0 即可得到 结论 解：对于，由条件可得 F（1，0），设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 ykx+1， 联立 ，整理得 x24kx40，则 x1+x24k，x1x24， 则 SAOB 1|x 1x2 | 2 ，故当 AB 的斜率 k0 时，面积最小，最小为 2，故错；
18、对于，设 AF 的中点为 E，作 EGx 轴交 x 轴与点 G，作 AD准线交准线与点 D，交 x 轴与点 C，则|EG| ， 又因为|OF|CD|1，所以|EG| |AD| |AF|，故正确； 对于，设直线 AB 的方程为 yk3x+1，联立 x24y，整理可得 x24k3x40，则 x1+x2 4k3，x1x24， 所以 k1+k2 k3，所以正确； 对于，直线 OA：y x x，所以 M（ ，1），同理可得 N（ ，1）， 所以以 MN 为直径的圆的方程为x 2+（y1）2 2， 即（x+2k3）2+（y1）24k32+4， 令 x0，得 y1 或 3，故正确 故选：C 12在三梭锥 A
19、BCD 中，ABCD2，ADBC1，AC ，且二面角 BACD 为 120，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】由题意所给的棱长可得 ACBC，ACAD，即ACBCAD90，可以将 三棱锥放置于直三棱柱中，可得外接球的球心 O 在上下底面三角形外心的连线的中点， 由底面三角形的边长及角求出其外接圆的半径，再由勾股定理可得外接球的半径，进而 求出外接球的表面积 解：因为 ABCD2，ADBC1，AC ，可得 ACBC，ACAD，即ACB CAD90，将三棱锥 ABCD 放置于一个直棱柱 ADECFB，如图所示， 由二面角 BACD 为 120， 即三棱柱的
20、外接球即为三棱锥的外接球， 外接球的球心 O 在上下底面三角形外心的连线的中点，在ADE 中，ADAE1，EAD120，可得 DE ， 设外接球的半径为 R，ADE 的外接圆的半径为 r，由正弦定理可得 2r 2， 解得 r1， 由球心到底面 ADE 的距离 d ，所以外接球的半径 R ， 所以外接球的表面积 S4R27 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知双曲线 C： ， 的一条渐近线的倾斜角为 60，则 C 的离心 率为 2 【分析】由双曲线的渐近线方程和其倾斜角之间的关系可知，再结合 和 c 2a2+b2 进行运算化简即可得解 解：由题意可知，
21、， 离心率 ， 故答案为：2 14已知数列an中， ， ，记 Sn为an的前 n 项和，则 S2n 3 （2n1） 【分析】先由题设条件得出 2，再对数列an的前 2n 项中的奇数项、偶数项分别 求和，然后相加即可 解： ， ， 当 n1 时可得 a22，又 an+1an+22n+1， 由可得：出 2 所以数列an的奇数项是以 a1为首项，2 为公比的等比数列，偶数项是以 a2为首项，2 为公比的等比数列 故 S2n 3（2 n1） 故填：3（2n1） 15某学生社会实践小组调查发现，某商品的供应量与商品的销售价格有如下关系：当商品 供应的增加量不超过原供应量时，商品的销售价格的降低量与商品供
22、应的增加量的算术 平方根成正比假设商品的原供应量为 1 个单位，当商品供应量增加一倍时，销售价格 降为原来的一半若商品的销售价格不高于原来的 80%，则供应量至少增加为原来的 1.16 倍 【分析】设商品供应的增加量为 x，销售价格为 a，销售价格的降低量为 k ，由题意可 求出 k ，再令 ，则 x0.16，所以供应量至少增加为原来的 1.16 倍 解：设商品供应的增加量为 x，销售价格为 a，销售价格的降低量为 k ， 由题意可得，当 x1 时，ak （0x1）， 所以 k ， 令 ，则 x0.16， 所以供应量至少增加为原来的 1.16 倍， 故答案为：1.16 16已知函数 ， ， ，
23、 若方程 f（x）+f（x）0 有且只有五个根，分别为 x1， x2，x3，x4，x5（设 x1x2x3x4x5），则下列命题正确的是 （填写所有正确 命题的序号） x1+x2+x3+x4+x50； 存在 k 使得 x1，x2，x3，x4，x5成等差数列； 当 k0 时， ； 当 k0 时，x5tanx5 【分析】通过函数的零点以及函数的对称轴判断；函数的图象与根的范围判断；通 过 x0 时，函数的图象判断；利用函数的切线判断的正误 解：由题意可知 x30，x1+x50，x2+x40，x1+x2+x3+x4+x50，所以正确；原题化为 ykx 与 ysinx 在（0，+）上有且只有 2 个公共
24、点，如图：当 k0 时， ， ，显然 2x4x3+x5， 当 k0 时，x42，x52，显然 2x4x3+x5，所以不正确； 当 k0 时，结合图象可知不正确； 当 k0 时，ykx 与 ysinx 在 x3处相切，所以 kcox 又 kx5sinx5，所以 x5tanx5，所 以 正 确 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且满足 （）求 A； （）若 ，求 b+2
25、c 的取值范围 【分析】（）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出， （）先根据正弦定理可得 b2sinB，c2sinC，再根据角的范围即可求出 b+2c 的取值 范围 解：（）sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 又 acosBbsinA c， sinAcosBsinBsinA sinCsinBsinA sinAcosB cosAsinB， sinBsinA cosAsinB0， sinB0， tanA ， A（0，）， A ； （）由正弦定理可得 2， b2sinB，c2sinC， B+C ， b+2c2（sinB+2sinC）2sinB+2sin（ B）2 cos
26、B， 在ABC 中，B（0， ）， cosB（ ，1）， b+2c 的取值范围是（ ，2 ） 18如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，M 为 CD 上的一点，以 AM 为折痕把AMD 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 AMP平面 ABCD连接 PB，PC，点 N 为 PB 的中点，且 CN平面 AMP （）求线段 CM 的长； （）求平面 AMP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值 【分析】（I）设平面 CMN 与 PA 的交点为 E，连接 NE，利用线面平行的判定定理和性 质定理证明出四边形 MCNE 为平行四边形，又 DNAB，N 为中点，得到 E 为 PA 的中 点，
27、求出 CM 的长即可； （II）由 BM平面 AMP，以 M 为原点，以 MA，MB 分别为 x，y 轴，过 M 垂直于底面 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图，求出平面 AMP 和平面 BCP 的法向量，利用向 量的夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论 解：（I）设平面 CMN 与 PA 的交点为 E，连接 NE， 由 CN平面 AMP，且平面 AMP平面 CNEMME，故 CNME， 又由 CMAB，AB平面 PAB，CM平面 PAB，故 CM平面 PAB， 由平面 CMEN平面 PABNE，故 CMNE， 故四边形 MCNE 为平行四边形，又 DNAB，N 为中点，故 E 为 PA
28、的中点， 所以 CMNE ； （II）由 ADBC1，DMMC1，故 AMBM ， 所以 AB2AM2+BM2，故 AMBM， 又平面 AMP平面 ABCD平面 AMP平面 ABCDAM，故 BM平面 AMP， 以 M 为原点，以 MA，MB 分别为 x，y 轴，过 M 垂直于底面的直线为 z 轴建立空间直角 坐标系如图， 则 M（0，0，0），B（0， ，0）， ， ， ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， ， 设平面 PBC 的法向量为 ， ， ， 由 ，得 ，得 ， ， ， 平面 AMP 的法向量为 ， ， ， 由 ， ， 故平面 AMP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值为 19
29、为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求， 坚决防范疫情向校园蔓延， 切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台 等多种方式实施线上教育教学工作某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的 满意度， 从经济不发达的 A 城市和经济发达的 B 城市分别随机调查了 20 个用户， 得到了 一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图： 若评分不低于 80 分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对 此教育机构授课方式“不认可” （）请根据此样本完成下列 22 列联表，并据此列联表分析，能否有 95%的把握认为 城市经济状况与该市的用
30、户认可该教育机构授课方式有关？ 认可 不认可 合计 A 城市 5 15 20 B 城市 10 10 20 合计 15 25 40 （）以该样本中 A，B 城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为 A， B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率现从 A 城市和 B 城市的所有用户中 分别随机抽取 2 个用户，用 X 表示这 4 个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户 个数，求 x 的分布列 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2K） 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024 【分析】（）根据茎叶图可完成列联表，再根据公式求出
31、 K2，再与 3.841 比较大小即 可求出结论； （）由题意可得，X 的取值可能为 0，1，2，3，4，再根据相互独立事件与互斥事件的 概率公式即可求出分布列 解：（）有茎叶图可得列联表如下： 认可 不认可 合计 A 城市 5 15 20 B 城市 10 10 20 合计 15 25 40 ， 没有 95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关； （）由题意知，A 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为 ， B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为 ， X 的可能结果为 0，1，2，3，4， P（X0） ， P（X1） ， P （X2） ， P（X3） ，
32、 P（X4） ， X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 20已知 ， 为椭圆 ： ， 上的一点，F 为椭圆的右焦点，且 PF 垂直于 x 轴，不过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 OP 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当ABP 的面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】（）由题设条件列出 a，b，c 的方程组，求出 a24，b23 即可解决问题 （）先设出直线 AB 的方程，再与椭圆方程求出弦长|AB|及点 P 到直线 AB 的距离 d， 把ABP 的面积表示出来，再利用导数法求最值即可 解：（）设椭圆的半焦距为 c，由题知 ，解得 a2
33、4，b23 所以椭圆 C 的标准方程为 （）不过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 OP 上， 直线 l 的斜率存在且不为 0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 M（ ， ） 设直线 AB：ykx+t（kt0），代入椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4（t23） 0 则 x1+x2 ， x 1x2 ， y1+y2k （x1+x2） +2t ， 故 M （ ， ） 又 kOMkOP ，所以 k 将 k 的值代入可得 x2tx+t230，故 x1+x2t，x1x2t23，且t24（t23） 0，解得2t0 或 0t2 |AB| ，点
34、 P 到直线 AB 的距离 d ， SABP |AB| d 令 f（t）（4t2）（t2）2，2t0 或 0t2，求导得 f（t）4（t+1）（t 2）2，令 f（t）0t1 f（t）在 t（2，1）单增，t（1，0）单减，t（0，2）单减， 当 t1 时，ABP 的面积最大为 综上，当ABP 的面积最大时，直线 l 的方程为 y x1 21已知函数 f（x）ax22lnx（a一、选择题） （）当 a1 时，证明：f（x）xlnx （）是否存在不相等的正实数 m，n 满足 mn2，且 f（m）f（n）？若存在，求 a 的 取值范围；若不存在，请说明理由 【分析】（）构造函数 g（x）x2xln
35、x，利用导数和函数最值的关系即可证明； （）问题转化为关于 x 的方程 ax2axlnx0 有不等于 1 的正实根，令 h（x）ax2 axlnx，再求导，分类讨论函数的单调性，再根据导数和函数最值的关系，以及函数 零点的关系即即可求出 a 范围 【解答】证明：（）当 a1 时，f（x）x22lnxxlnx， 即 x2xlnx0， 令 g（x）x2xlnx，x0， g（x）2x1 ， 令 g（x）0，解得 x1 或 x （舍去）， 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递增， g（x）g（1）0， f（x）xlnx 解：（）由 mn2，
36、且 f（m）f（n）可得 am22lnmamlnm，即 am2amlnm 0， 由于 m，n 为不相等的正实数， 问题转化为关于 x 的方程 ax2axlnx0 有不等于 1 的正实根， 令 h（x）ax2axlnx， 当 a0 时，若 x（0，1），则 h（x）ax（x1）lnx0， 当 x（1，+）时，则 h（x）ax（x1）lnx0， 当 a0 时，方程没有不等于 1 的正实根， 当 a0 时，令 h（x）2axa 0，解得 x0 ， 当 x（0，x0）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 当 x（x0，+）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， h（x）minh（x0）， 又 h
37、（1）0， 当 x01 时，即 a1 时，x1 是函数 h（x）的唯一零点，不符合题意， 当 x01，即 a1 时，h（x0）h（1）0，h（ ） 1+lna， 令 （a） 1+lna， （a） ， 当 a（0，1）时，（a）0，（a）单调递减， 当 a（1，+）时，（a）0，（a）单调递增， 因此 h（ ） 1+lna（1）0， 显然 x0， h（x）在（ ，x 0）上存在零点， 当 x01，即 0a1 时，h（x0）h（1）0， 类似可得 h（ ） 1+lna0， x0， h（x）在（x0， ）上存在零点， 综上所述 a 的取值范围是a|a0 且 a1 选考题： 共 10 分请考生在第 2
38、2， 23 题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。 选修 4-4；坐标系与参数方程 22 平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 （ 为参数， 且 1） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+12cos+320 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）已知点 P 的极坐标为 ， ，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到曲线 C1的距离的最大值 【分析】（）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间 进行转换 （）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等
39、变换及正弦型函数的性 质的应用求出结果 解：（）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数，且 1）转换为直角坐 标方程为 3x+4y10（x3） 曲线 C2的极坐标方程为 2+12cos+320 转换为直角坐标方程为 x2+y2+12x+320 （）P 的极坐标为 ， ，转换为直角坐标为（2，2）， 设点 M（x0，y0）由于点 M 为 PQ 的中点，所以 Q（2x02，2y02）， 将 Q 代入 C2的方程为 ，即点 M 在圆心（2，1）半径为 1 的 圆 所以点 M 到曲线 C1的距离 d ， 由于 C1的图象不过点 N（3，2），且 ， 所以直线 MN 与 C1不垂直 故点 M 到曲线 C1的
40、距离的最大值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|5x|x+m|（m0）的最大值为 8 （）求 m 的值； （）若实数 a 满足 f（a1）+f（a）0，求 a 的取值范围 【分析】（）由 m0，写出分段函数解析式 f（x） ， ， ， ， 可得 f（x）maxm+58，由此解得 m 值； （）由（）知，f（x） ， ， ， ，然后对 a 分类讨论求解绝对值的 不等式 f（a1）+f（a）0，取并集得答案 解：（）m0，f（x） ， ， ， 可得 f（x）maxm+58，即 m3； （）由（）知，f（x） ， ， ， 当 a3 时，不等式 f（a1）+f（a）0 化为 8+80，显然成立； 当 a13 且3a5，即3a2 时， 不等式 f（a1）+f（a）0 可化为 82a+20，解得 a5， 3a2； 当3a1a5，即2a5 时， 不等式 f（a1）+f（a）0 可化为2（a1）+22a+20，解得 a ， 2a ； 当3a15 且 a5，即 5a6 时， 不等式 f（a1）+f（a）0 可化为2（a1）+280，解得 a2，无解； 当 a15，即 a6 时，不等式化为880，无解 综上，a