1、第第 07 讲讲 填数游戏填数游戏 经历填数游戏活动，初步提高分析推理能力。 在探索、尝试、交流等活动中，体会填数游戏的乐趣，激发学习兴趣。 本讲有两部分主要内容： 1、幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。 大致分为三类：（1）封闭型数阵图 （2）辐射型数阵图 （3）复合型数阵图 幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角 线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种 （1）限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几 个数字； （2）
2、另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方问题主要方法： （1）累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个 “幻和” 累加在一起， 再计算每一个位置上的重数， 从而求出 “幻和” 和关键位置上的数字。 （2）求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数 阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 （3） 比较法： 利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。 注意观察数阵图中相关联的 “幻 和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分 本讲还有一部分内容是数阵图拓展， 也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题
3、的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是 一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 知识梳理 教学目标 例例 1、 在下图中分别填入 19，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？ 【解析】我们可以这样想，把 19 中间的 5 填到中心的内，剩下八个数，一大一小，搭 配成和都是 10 的四组，这样两条直线上五个数的和都是 5102=25。 如果把 1 填在中心 的内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是 11 的四组，这时两条直线上五个数的 和是 1112=23。 想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？ 例例 2、 把数字 18 分别填入下图
4、的小圆圈内，使每个五边形上 5 个数的和都等于 20。 【解析】题目中所给 8 个数字的和是 12345678=36，题中要使每个五边形上五 个数的和等于 20，那么两个五边形上数字的总和是 20 2=40。两个五边形上的数字总和比 8 个数的和多 4036=4，多 4 的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。18 中只有 1 和 3 的和为 4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填 1.一个填 3。20 （13） =16，16 可以分成 268 和 457，所以本题应该这样填： 典例分析 例例 3、在图中填入 29，使每边 3 个数的和等于 15。 【解析】 解这题的关键是填出
5、图中的 4 个顶点，因为求和时这 4 个顶点各算了两次，多算了一 次，所以 4 边数的和是 15 4=60，所给的数的和是 23456789=44，所以 4 个顶 点数的和是 6044=16。我们可选出 3742=16 填入 4 个顶点。 想一想，有没有其他填法？ . 例例 4、 把 18 填入下图内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？ 【解析】要使每边上三个数之和最大，容易想到把 8、7、6、5 填在四角，因为四个角上的数 在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为： （8765） 24321 4=62 4 和不是整数，说明四条边上的总和要减少 2 才行， 这
6、只要将填在角上的 5 换成 3 即可。所以，最大的和为：（622） 4=15 . 例例 5、在下图各圆空余部分填上 3、5、7、8，使每个圆的 4 个数的和都是 21。 【解析】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的 3 个数都是双数，恰好每个圆内 有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的 4 个数的和是 21.21 是单 数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而 3、5、7、8 中 3、5、7 都是单数，要 使和为单数，8 要填入中间部分，如右图。 例例 6、 将 3、 4、 5 三个数分别填在图形的方格种， 使每行每列每条对角线上三个数的和相等。 【解析】可以这样想
7、，如果每行的三个数是 3、4、5，每列的三个数也分别是 3、4、5，那么， 每行、 每列三个数的和是相等的。 如果要满足对角线三个数的和与每行、 每列三个数的和相等， 一组可用 3、4、5，另一组三个数必定都是 4。 例例 7、 把 2、3、4、5 分别填入内，使每条线上三个数的和都等于 10。 【解析】可以这样想，右边一条线上出现了 1 和 6，最上面的圆中可填 10613；左边下 面两个圆中数的和是 1037（7 可以分成 2 和 5）。可下边另两个数的和是 1019（9 可 以分成 4 和 5），那么 5 是左边和下边两条边上的公用数，5 应填在左下角的圆内，2 和 4 分 别填在左边和
8、下边的中间圆内。 例例 8、 将 2、4、5、7 分别填入下列图中，使每条线上三个数的和等于 13。 【解析】要使每条线上的三个数相加的和等于 13，可以从有两个数的那一边入手，左下角可 填 13832；在上边 8 和 1 的中间可填 13814；右下角可以填 13265；右边 1 和 5 的中间应填 13157。 例例 9、将 1、2、3、4、5、6、7 分别填入图中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都等 于 15。 【解析】先从中间横行入手，15951，8 的下面填 1；第一竖行 15816，最下一格 填 6；两个对角分别填 15852 和 15654；第一横行和第三横行中间数应填 1
9、58 43，15627。 课堂狙击课堂狙击 1.将 6、8、9、10、11、12 六个数分别填在小圆圈里，使每个大圆圈上五个数的和等于 40。 实战演练 【解析】从图中可以看出，在 512 八个数中，7 和 5 是两个大圆中的公用数。那么大圆中另 三个数的和应是 407528。可以推导出左边大圆中的另三个数可以为 12、10 和 6；右边 大圆中另三个数可以为 11、9 和 8，反之亦可。 2. 把2、 3、 4、 6四个数分别填在灯笼里， 使每个圆圈上四个灯笼里的数加起来， 和都等于14。 【解析】上方圆圈里已有两个灯笼填好 5 和 1，要使四个灯笼内的数加起来和是 14，另外两个 灯笼里的
10、数加起来的和应是 8。在 2、3、4、6 这四个数中，只有 268，所以把 2 和 6 分别 填入这两个灯笼里，再把剩下的 3 和 4 填在另外两个相应的灯笼里。 4.将 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈内，使每条线上的三个数的和都相 等。 【解析】 “4”这个数是中间数，先填入图形中央，再将其余六个数分成三组，因为 12 356724，2438，所以有 178，268，3+5=8,分别把这六个数填入圆圈 内就行了。 5.将 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈内，使每条线上三个数的和都是 10。 【解析】关键是要确定中间的圆圈里填几。可以这样想：先分别求出七个数的
11、和与三条线上的 九个数的和，并作比较，30282，这多出的 2，是由于中间圆圈内的数重复计算了 2 次， 所以中间圆圈里应填 221，然后将其余的六个数分成三组，每一组的和为 9：279，3 69，459，同一组的数，填到同一条线上。 6. 将 1、2、3、4、5、6 填入图中的小圆圈内，使每个大圆上 4 个数的和都是 16。 【解析】所给的六个数之和是 12345621，题中要求每个大圆上数之和为 16，那 么 两个大圆上数的总和是 16232。两个大圆上数总和比六个数的和多 322111，怎么 多了？因为图中间两圆圈里的数算了两次，多算了一次就多了 11。16 中只有 5 和 6 合起 来
12、是 11，所以先确定中间的两个圆圈中一个填 5、一个填 6，确定了这两个关键的数，其余圆 圈里的数就不难确定了。用 16（56）5，54132，两个大圆中另外两个小圆里 分别填 4、1 和 2、3 课后反击课后反击 1、如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于 15。 【解析】 2、 下图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上 17 七个自然数，在一些部分中，自 然数 3，5，7 三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是 15。 6 4 2 【解析】 3、用数字 1，2 来填数，使正方形每条边的和为 5，四条边的和为 13。 【解析】1 2 2 2
13、1 2 1 2 4将 2，3，5 填入右图六个圆圈里，使每个三角形三个顶点上的数的和相等。 【解析】 先把 2、3、5 写在一个上面三角形的三个顶点上，然后再根据组成其它三角形的各 个顶点都是用 2、3、5 这三个数进行求解即可（答案不唯一） 5将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个 数的和是 17。 5 7 3 【解析】 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，而每条边上四个数字之和是 17，则有三条边总和是 173=51，而不是 45。这是因为每个角的数字同属于两条边，故被重复计算了一次，由此可 见三个角上的三个数字之和是 51-45=
14、6，九个数字中只有 1+2+3=6，所以三个角上的数字应是 1、2、3。 解答：答案不惟一，如 6把 3，6，9，12，15 五个数填在下面的 O 里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四 个数的和相等。 【解析】因为三条边的总和为：173=51，而 19 这九个数的和为 45，那么三个顶点上的数 字和为 51-45=6，只有 1+2+3=6， 所以三个顶点数字为 1、2、3，其他圆圈内数字再通过四个数字之和是 17 进行调整。 每条线上的三个数字的和是： 3+15+12=30 6+15+9=30 3+6+9+12=30 正方形四个角上四个数字的和是： 答案如图： 幻方问题主要方法： （1）
15、累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个 “幻和” 累加在一起， 再计算每一个位置上的重数， 从而求出 “幻和” 和关键位置上的数字。 （2）求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数 阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 （3） 比较法： 利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。 注意观察数阵图中相关联的 “幻 和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分 本讲还有一部分内容是数阵图拓展， 也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题 的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是 一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验