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【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第25讲还原解题(教师版)

1、第第 25 讲讲 还原解题还原解题 学习了解加、减、乘、除运算的变化规律; 利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题; 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、还原问题一、还原问题 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果,要求原数,这类问题叫做还原问题,还原问题又 叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 二、解题策略二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题,可以借助画图和列表来解决这些问题。 例例 1 1、小刚的奶奶今年年龄减去 7 后,缩小 9 倍,再加上 2 之后,扩大 10 倍,恰好是 100 岁。小刚的奶奶 今年多少

2、岁? 【解析】 从最后一个条件恰好是 100 岁向前推算,扩大 10 倍后是 100 岁,没有扩大 10 倍之前应是 100 10=10 岁;加上 2 之后是 10 岁,没有加 2 之前应是 102=8 岁;没有缩小 9 倍之前应是 89=72 岁;减去 7 之后是 72 岁,没有减去 7 前应是 727=79 岁。所以,小刚的奶奶今年是 79 岁。 例例 2 2、一个数的 3 倍加上 6,再减去 9,最后乘上 2,结果得 60。这个数是多少? 【解析】运用逆推的思想:60 除以 2 得 30,加上 9 得 39,减去 6 得 33,除以 3 得 11. 知识梳理 典例分析 教学目标 例例 3

3、 3、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多 10 台,下午售出剩下的一半多 20 台,还剩 95 台。这个 商场原来有洗衣机多少台? 【解析】从“下午售出剩下的一半还多 20 台”和“还剩 95 台”向前倒推,从图中可以看出,剩下的 95 台 和下午多卖的 20 台合起来,即 9520=115 台正好是上午售后剩下的一半,那么 1152=230 台就是上午售 出后剩下的台数。而 230 台和 10 台合起来,即 23010=240 台又正好是总数的一半。那么,2402=480 台 就是原有洗衣机的台数。 例例 4 4、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多 3 吨,第二次运出剩下的一半多

4、5 吨,还剩下 4 吨。粮 库原有大米多少吨? 【解析】第一次运出后剩下总数的一半为 4+5=9 第一次运出后剩下总数为 9x2=18 粮库原有大米吨数的一半为 18+3=21 粮库原有大米吨数 21x2=42 例例 5 5、小明、小强和小勇三个人共有故事书 60 本。如果小强向小明借 3 本后,又借给小勇 5 本,结果三个 人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本? 【解析】不管这三个人如何借来借去,故事书的总本数是 60 本,根据结果三个人故事书本数相同,可以求 最后三个人每人都有故事书 603=20 本。如果小强不借给小勇 5 本,那么小强有 205=25 本,小勇有 2

5、0 5=15 本;如果小强不向小明借 3 本,那么小强有 253=22 本,小明有 203=23 本。 例例 6 6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡 90 张。如果甲给乙 3 张后,乙又送给丙 5 张,那么三个人的贺年 卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张? 【解析】903=30,甲 30+3=33 乙=30+5-3=32 丙=30-5=25 例例 7 7、甲乙两桶油各有若干千克,如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶,再从乙桶倒出和甲桶同 样多的油放入甲桶,这时两桶油恰好都是 36 千克。问两桶油原来各有多少千克? 【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,甲桶内应有油

6、362=18 千克,乙桶应有油 36 18=54 千克;如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶,乙桶原有油应为 542=27 千克,甲桶 原有油 1827=45 千克。 例例 8 8、王亮和李强各有画片若干张,如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强,李强再拿出和王亮同样多 的画片给王亮,这时两个人都有 24 张。问王亮和李强原来各有画片多少张? 【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前: 王亮=242=12 张 李强=24+12=36 张 原来: 李强=362=18 张 王亮=12+18=30 张 例例 9 9、两只猴子拿 26 个桃,甲猴眼急手快,抢先得到,乙看甲猴拿得太多,就抢去一半;

7、甲猴不服,又从 乙猴那儿抢走一半;乙猴不服,甲猴就还给乙猴 5 个,这时乙猴比甲猴多 5 个。问甲猴最初准备拿几个? 【解析】先求出两个猴现在各拿多少,根据“有 26 个桃”和“这时乙猴比甲猴多 2 个”,可知乙猴现在拿 (262)2=14 个,甲猴现在拿 2614=12 个。甲猴从乙猴那儿抢走一半,又还给乙猴 5 个后有 12 个, 如果甲猴不还给乙猴, 那么甲猴有 125=17 个; 如果甲猴不抢乙猴一半, 那么乙猴现在有 (2617) 2=18 个。乙猴看甲猴拿得太多,抢去甲猴的一半后有 18 个,如果不抢,那么甲猴最初准备拿(2618)2=16 个。 例例 1010、学校运来 36 棵

8、树苗,小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵,小萍看到小强拿太多了就 抢了 10 棵,小强不肯,又从小萍那里抢了 6 棵,这时小强拿的棵数是小萍的 2 倍。问最初小强准备拿多少 棵? 【解析】小强又从小明哪儿抢了 6 棵,这时小明的棵数是 36(1+2)=12,小强的棵数是 12x2=24; 小强从小明哪儿抢 6 棵前,小明的棵数是 12+6=18,小强的棵数是 24-6=18; 那么小明抢了 10 棵前小强的棵数是 18+10=28。 例 11、24 千克水被分装在三个瓶子中,第一次把 A 瓶的水倒一部分给 B、c 两瓶,使 B、c 两瓶的水比原来 增加 1 倍;第二次把 B 瓶的水倒

9、一部分给 A、c 两瓶,也使 A、c 两瓶的水比瓶中已有的水增加 1 倍;第三 次把 c 瓶的水倒一部分给 A、B 两瓶,使 A、B 两瓶的水比瓶中已有的水增加 1 倍这样倒了三次后,三瓶 水同样多问三个瓶中原来各装水多少千克? 【解析】我们可以用倒推法来做这个题目,由题意可知,最后一次倒水后,A、B、c 三个瓶中各有 243=8 千克水,由题意可推算出第二次倒水之后 A、B、c 三个瓶中的水分别为 82=4、82=4、82=16 千克,再 用同样的方法推算出最初 A、B、c 三个瓶中的水分别是多少 最后一次倒水后,A、B、c 三个瓶中各有:243=8(千克), 第二次倒水之后 A、B、c 三

10、个瓶中的水分别为 82=4(千克),82=4(千克),82=16(千克), 第一次倒水后 A、B、c 三个瓶中的水分别为 42=2(千克),4+8+2=14(千克),42=8(千克), 最初甲乙丙三个瓶中的水分别:2+4+7=13(千克),142=7(千克),82=4(千克), 答:A 瓶原来装水 13 千克,B 瓶原来装水 7 千克,c 瓶原来装水 4 千克, 例例 1212、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说:“你只要走 过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我 32 个铜板”财迷算了 算挺合算, 就同意了 他走过桥去

11、又走回来, 身上的钱果然增加了一倍, 他很高兴地给了老人 32 个铜板 这 样走完第五个来回, 身上的最后 32 个铜板都给了老人, 一个铜板也没剩下 问: 财迷身上原有多少个铜板? 【解析】此题采用逆推法解决 第 5 次以后,财迷只剩下 32 个铜板,相当于第 5 次过桥前手里有 16 个; 第 4 次过桥后给了老人 32 个,所以第四次结束以后手中有 48 个,相当于第 4 次过桥前手中有 24 个; 第 3 次过桥后给了老人 32 个,所以第 3 次结束以后手中有 56 个,相当于第 3 次过桥前手中有 28 个; 第 2 次过桥后给了老人 32 个,所以第 2 次结束以后手中有 60

12、个,相当于第 2 次过桥前手中有 30 个; 第 1 次过桥后给了老人 32 个,所以第 1 次结束以后手中有 62 个,相当于第 1 次过桥前手中有 31 个 课堂狙击课堂狙击 1、在里填上适当的数:20816=26 【解析】4. 2、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多 1 个,第二天吃了剩下的一半多 1 个,第三天 又吃掉了剩下的一半多 1 个,还剩下 1 个。爸爸买了多少个橘子? 实战演练 【解析】这题是逆序推理法,从后面往前推 :最后只剩下 1 个,因为第三天吃掉了剩下的一半多一个, 所 以第二天剩下的有:(11)2=4 个,第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一

13、个,所以第一天 剩下的:(41)2=10 个,第一天剩下 10 个是因为吃了这些橘子的一半多一个 ,所以这些橘子:(10 1)2=22 个。 3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽 13 张,小丽给小敏 23 张,小敏给小红 3 张,那么他们每人各有 40 张。原来三个人各有年历片多少张? 【解析】小敏原有:40+3-23=20(张); 小丽原有:40+23-13=50(张); 小红原有:403-20-50=120-70=50(张) 4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个,如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙,再按丙现有的个数给丙 之后,乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后

14、,丙也按同样的方法给甲、乙,这时,他们三个人都 有 32 个玻璃球。原来每人各有多少个? 【解析】三人一共 323=96 个。 丙给甲乙之前:甲:322=16 个,乙:322=16 个,丙:96-16-16=64 个。 乙给甲丙之前:甲:162=8 个,丙:642=32 个,乙:96-8-32=56 个。 甲给乙丙之前,即原来:乙:562=28 个 丙:322=16 个 甲:96-28-16=52 个。 5、将某数的 3 倍减 5,计算出答案,将答案再 3 倍后减 5,计算出答案,这样反复经过 4 次,最后计算的结果为 691,那么原数是_. 【解析】第四次计算后的结果为 691,第三次计算后

15、的结果为:(691+5)3=232, 第二次计算后的结果为:(232+5)3=79,第一次计算后的结果为(79+5)3=28; 原数为:(28+5)311 6、一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天 它吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六 天它吃了余下桃子的二分之一,这时还剩 12 只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_. 【解析】第 6 天吃了 12 个,共 24 个; 第 5 天吃了 12 个,共 36 个; 第 4 天吃了 12 个,共 48 个; 第 3 天吃了 12

16、 个,共 60 个; 第 2 天吃了 12 个,共 72 个; 第 1 天吃了 12 个,总共 84 个 7、 一个车间计划用 5 天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的 51 多 120 个,第二天加工了剩 下的 41 少 150 个,第三天加工了剩下的 31 多 80 个,第四天加工了剩下的 21 少 20 个,第五天加工了最后的 1800 个.这批零件总数有多少个? 【解析】第四天:(1800-20)(1-1/2)=3560 个 第三天:(3560+80)(1-1/3)=5460 个 第二天:(5460-150)(1-1/4)=7080 个 第一天:(70800+120)(1-

17、1/5)=9600 个 课后反击 1、小红问王老师今年多大年纪,王老师说:“把我的年纪加上 9,除以 4,减去 2,再乘上 3,恰好是 30 岁。”王老师今年多少岁? 【解析】(303+2)4-9=(10+2)4-9=124-9=48-9=39(岁) 2、某水果店卖菠萝,第一次卖掉总数的一半多 2 个,第二次卖掉了剩下的一半多 1 个,第三次卖掉第二次 卖后剩下的一半多 1 个,这时只剩下一外菠萝。三次共卖得 48 元,求每个菠萝多少元? 【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多 1 个, 这时只剩下 1 个菠萝, 那么第二次卖后剩下: (1+1) 2=4 (个) ; 第二次卖掉剩下的一半多

18、1 个,那么第一次卖后剩下:(4+1) 2=10(个); 第一次卖掉总数的一半多 2 个,剩下 10 个,则总数为(10+2) 2=24(个),三次共卖了 24-1=23 个, 再根据总价 数量=单价解答即可得单价 2 元。 3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子 10 颗,甲给乙 13 颗,乙给丙 18 颗,丙给丁 16 颗,四人的 个数相等。他们原来各有弹子多少颗? 【解析】甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2 即:甲-11=乙-5=丙+2=丁+14 即:甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12 另外.甲+乙+丙+丁=100 所以,丁=11 所以,甲=36,乙=3

19、0,丙=23 所以,甲分得了 36 颗,乙分得了 30 颗,丙分得了 23 颗,丁分得了 11 颗 4、书架上分上、中、下三层,共放 192 本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下 层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层,这时三书架所放的书本数相 等。这个书架上中下各层原来各放多少本书? 【解析】既然上中下都相同,那么就是 1923=64(本) 逆推来计算:最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层,这是三层本数相同了, 那么说明,下给上层 642=32(本),下未给上时有:64+32=96(本),下原有:962=48(本) 中未给下时有:19

20、2-32-48=112(本)那中原来有:1122=56(本) 上原有:192-48-56=88(本) 5、有甲、乙、丙三个数,从甲数中拿出 15 加到乙数,再从乙数中拿出 18 加到丙数,最后从丙数拿出 12 这时三个数都是 180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少? 【解析】如果不从丙数中拿出 12 加到甲数,那么甲应为 180-12168,丙是 180+12192;如果不从乙数 中拿出 18 加到丙数,那么丙数是 192-18174,乙数应是 180+18198; 如果不从甲数中拿出 15 加到乙 数,那么甲是 168+15183,乙数是 198-15183。综全算式:甲数:180-12+1

21、5183 乙数:180+18-15 183 丙数:180+12-18174 6、 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说:“把我的年龄加上 17 后用 4 除,再减去 15 后用 10 乘,恰好 是 100 岁”那么,这位老爷爷今年_岁. 【解析】(10010+15)4-17=(10+15)4-17=100-17=83(岁) 7、李老师拿着一批书送给 36 位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还 她一本,最后李老师还剩下 2 本书,那么李教师原来拿了_本书. 【解析】 本道题目是逆推题目:最后李老师还剩 2 本书, 从这两本书入手, 他到第 36 位同学家之前应有

22、 (2-1) 2=2 本书可知同样到每一位同学家之前都是 2 本书因此开始时候老师手中拿着 2 本书 8、从某天起,池塘水面的浮草,每天增加一倍,50 天后整个池塘长满了草,第几天浮萍所占面积是池塘的 1 4 . 【解析】第 50 天后整个池塘长满了浮草,增加一倍的意思是指后一天是前一天的 2 倍,即前一天是后一天 的一半,因此,第 49 天时浮萍所占面积是池塘的 1 2 ,第 48 天时浮萍所占面积是池塘的 1 4 9、有甲、乙两箱糖果,如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩 下的同样多块糖果放入甲箱,这样拿 4 次后,甲、乙两箱糖果都是 16 块.甲、乙

23、两箱各有糖果_块. 【解析】最后:甲 16 块,乙 16 块,共有:16+16=32(块); 第四次拿之前:甲:162=8(块),乙:32-8=24(块); 第三次拿之前:乙:242=12(块),甲:32-12=20(块); 第二次拿之前:甲:202=10(块),乙:32-10=22(块); 原有:乙:222=11(块),甲:32-11=21(块) 1、如果 5(2)42006,那么_。 【解析】 5(2+)-4=2006 5(2+)=2010 2+=402 =400, 所以=20 直击赛场 2、 有一个培养某种微生物的容器, 这个容器的特点是: 往里面放人微生物, 再把容器封住, 每过一个夜

24、晚 容 器里的微生物就会增加一倍,但是若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减少 16 个。小丽在实验 的当天往容器里放入一些微生物心急的她在第二、三、四天都开封看了看,到第五天,当她又启封查看 时,惊讶地发现微生物都没了。请问:小丽开始往容器里放丁多少个微生物? 【解析】第五天揭开后 0 个,揭开前 16 个; 第四天揭开后 8 个,揭开前 24 个; 第三天揭开后 12 个,揭开前 28 个; 第二天揭开后 14 个,揭开前 30 个; 第一天 15 个。 (1)学习了解加、减、乘、除运算的变化规律; (2)利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题; (3)掌握重点题型。 重点和难点突破:重点和难点突破: (1)学会画图,列表; (2)学会逆运算。 本节课我学到了 学霸经验 名师点拨 重点回顾 我需要努力的地方是