1、第第 27 讲讲 巧求周长巧求周长 学会利用拆拼、平移等方法，巧妙地运用周长公式来求它们的周长。 基本概念基本概念 周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长 面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积 基本公式：基本公式： 长方形的周长2(长宽)，面积长宽 正方形的周长4边长，正方形的面积边长边长 常用方法：常用方法： 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂 的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算 的公式求解 转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分转
2、化后的图形虽然形 状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面 积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形 本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形 的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学 生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力 例例 1、求图中所有线段的总长(单位：厘米) 213 4 EDCBA 【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长， 典例分析 知识梳理 教学目标 而图中的线段，并不仅仅是、四段， 还包括、等等，因此不能简
3、单地将图中标示的线段长度进行求和 同时应该注意到，；，等等 因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算 AB、BC、CD、DE 这四条线段分别被累加了几次 这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论： 由 1 段组成的线段共有 4 条， 即 AB、BC、CD、DE，而求和过程中 AB、BC、CD、DE 这四条线段各被累加了 1 次 类似地考虑到， 由 2 段组成的线段共有 3 条， 求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次 由 3 段组成的线段共有 2 条，求和过程中 AB、DE 各被累加了 1 次，BC、CD 各被累加了 2 次 由 4 段组成的线
4、段只有 AE，其中 AB、BC、CD、DE 各被计算了 1 次 综上所述，AB、DE 各被计算了 4 次，BC、CD 各被计算了 6 次 因而图中所有线段的总长度为： 例例 2、 下图表示一块地， 四周都用篱笆围起来， 转弯处都是直角 已知西边篱笆长17米， 南边篱笆长23米 四 周篱笆长多少米？ 北北 南南 西西东东 17 23 北北 南南 西西东东 17 23 D C B A 【解析】因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角， 可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD， 将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD， 则折线ACB的长等于折线ADB的长 所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南
5、边的篱笆长相等列式为： 四周篱笆长为：2317280（）(米) 例例 3、一个周长是 20 厘米的正方形，剪下一个周长是 6 厘米的正方形，剩下的图形的周长 是 (写出所有可能的结果) 【解析】周长为 6 厘米的正方形的边长为：641.5(厘米)， 周长为 20 厘米的正方形的边长为2045(厘米)， 在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况： 图图1图图2 对于图 1 的周长，与原来正方形的周长相等，为 20 厘米； 图 2 的周长，观察可以发现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边， 即为：201.5223(厘米) 例例 4、如下图是某校的平面图，已知线段 a120 米，b130 米，c
6、70 米，d60 米，l250 米杨老师 每天早晨绕学校跑 3 圈，问每天跑多少米？ 【解析】平移法转化为长方形再求 【解析】 (120130+60)(70+250) 2 33780(米) 例例 5、(第七届”小机灵杯”竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是 (在横线上填写表示图名的字 母) 第8题 14 14 10 B A 【解析】通过平移比较发现B比A多两小段边，得B的周长较大 例例 6、下图是一面砖墙的平面图，每块砖长 20 厘米，高 8 厘米，像图中那样一层、二层一共摆十层，求 摆好后这十层砖墙的周长是多少？ 【解析】我们仍然可以通过平移转化为长方形来求 长方形的长是 10 块砖的长度，
7、即 20 10=200(厘米)， 宽是 10 块砖的宽度，即 8 10=80(厘米)， 所以十层砖墙的周长是(200+80) 2=560(厘米) 例例 7、右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少 厘米？ 【解析】考虑此类问题我们即可以局部分析，各个突破，也可以纵观全局整体思考 每个正方形的面积为4001625(平方厘米)， 所以每个正方形的边长是5厘米观察右图， 这个图形的周长从上下方向来看是由7214条正方形的边组成， 从左右方向来看是由423420 条正方形的边组成， 所以其周长为5 14520170 厘米 例例 8、 两个大小相同的正
8、方形拼成了一个长方形， 长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米， 原来一个正方形的周长是多少厘米？ 【解析】先想一想，减少的6厘米相当于正方形的几条边的边长呢？ 把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形的8条边减少了2条边 (如图所示) 而这两条边的和正好是减少的6厘米， 所以，正方形的边长是623厘米， 原来一个正方形的周长是3412厘米 所以原来一个正方形的周长是：62412(厘米) 例例 9、如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分 割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙甲的周长为4厘米，乙的边长是甲的周长
9、的1.5倍，丙的周长是 乙的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？ 【解析】乙的周长实际上是正方形AHJE的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移)， 同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长由于4 1.56AE ，6 1.59AD ， 所以丙的周长为9436厘米， 642EFAEAF(厘米) 例例 10、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平 方厘米，求这个大长方形的周长 【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的541.25倍 每个小长方形的面积为4595平方厘米， 所以1.25
10、宽宽5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米 大长方形的周长为(2.5 422.5)229厘米 例例 11、用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形的周 长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_厘米，宽是_ 厘米 【解析】外面大正方形的边长为264466厘米, 里面小正方形的边长为30厘米, 乙乙 丙丙 甲甲 J I F E HG D C B A 从图中可以看出， 长方形的宽为(6630)218厘米， 长方形的长为(66 18)224厘米 例例 12、(第二届希望杯复试)将若干个边长为1的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到
11、一个拼接图形，如 图： 周长周长=14 周长周长=12周长周长=10周长周长=6 那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形 【解析】先从变化中观察，寻找规律细心观察四个图形，可以发现：在拼接图形时，每增加一个单位六 边形，拼接图形的周长要么不增加，要么增加2或4，如图 周长增加周长增加4 周长增加周长增加2 周长不增加周长不增加 因为两个单位六边形拼接的图形的周长只能是10，因为18 108，8444222222， 所以当拼接图形的周长等于18时，所拼接的单位六边形有4个、5个、6个或7个如图： 4个： 5个： 6个： 7个： 课堂狙击课堂狙击 1、如图，
12、正方形的边长为 4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和 【解析】4445256 2、(希望杯培训题)右图的周长是 分米 6分米分米 7 分分 米米 【解析】把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来，恰好与底边一致； 把竖直方向的小线段都依次”贴到”左边，恰好贴满左边， 因此多有的短横线的长的和为6分米，所有的短竖线的长的和为7分米， 图形的周长为67226（）(分米) 3、是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长 【解析】平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于 24 厘米 ， 所以这个零件的周长是 24 2=48(厘
13、米) 实战演练 4、是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长？ 【解析】平移法(3+5) 3+3+5 2+6 (5-3)2=76(厘米) 5、求右图所示图形的周长(单位：分米) 50 10 50 【解析】这道题最简单的方法也是用平移法来解下面我们来看一个基本解法 这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长。 仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得完整 所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的2倍 即：50102502220（）(分米) 6、
14、下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“土”字图形试求出其周长 【解析】周长是由 24 条 1 厘米的边长组成，所以周长=1 24=24(厘米) 课后反击课后反击 1、如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形已知10cmAF ，7cmHC ，求长方形ABCD的周长 HG FE DC BA 【解析】通过观察发现AFHG是长方形的长与宽，所以长方形ABCD的周长是107234（）(cm) 2、用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形， 已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？ 【解析】大平行四边形上、下两边的长为(236
15、22)2116 厘米， 观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，116 6192 ， 所以有三角形19 238 个，小平行四边形38 139 个 3、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘 米，求这个大长方形的周长 【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的541.25倍 每个小长方形的面积为45 95 平方厘米， 所以1.25宽宽 5 ， 所以宽为2厘米， 长为2.5厘米 大长方形的周长为(2.5 4 22.5)229 厘米 4、右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长
16、与宽 【解析】大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍， 所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍， 大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25 倍， 所以小正方形面积为120 (2.25 23)16 平方厘米， 所以小正方形的边长为4厘米， 大正方形的边长为6厘米， 原长方形的长为4 312 厘米， 宽为4 610 厘米 5、如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是 52 个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少 个长度单位？ 4 8 【解析】两块边长4分米的正方形纸可以拼成一个长8分米，宽4分米的长方形纸板， 与原有的一块8分米，宽4分米的长方形纸板的面积一样大， 而且
17、这两个长方形两条宽的和正好等于一条长所以， 拼法如图所示然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长 拼成的正方形的周长是：8432(分米) 1、如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。 这9个小长方形的周长之和是多少厘米？ A B C D 【解析】从总体考虑，在求这 9 个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、DA这四条边被用了1次， 其余四条虚线被用了2次，所以 9 个小长方形的周长之和是：6 462472 （厘米）。 寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此，我们在解决数学问 题时，思考的着重点就是要把所
18、需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说，在直接求解不容 直击赛场 名师点拨 易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它 转化成一个或若干个能解决的问题 这种解决问题的思想在数学中叫“化归”， 它是数学思维中重要的思想 和方法 在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称为不规则图形不规 则图形的面积往往无法直接应用公式计算那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这 几种几何变换就是解决这类面积问题的手段 平移：平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算其中，将图形 沿一
19、个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变 的利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意 割补：割补：割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在九章算术注中就明 确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成 的新图形，它的面积不变 旋转：旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图 形在转动过程中形状大小不发生改变利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题 对称：对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重 合也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积熟悉轴对称图形这个性质， 对面积计算会有很大帮助 代换：代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧 本节课我学到了本节课我学到了 原有图形结构原有图形结构 学霸经验 对称对称 旋转旋转 平移平移 新的图形结构新的图形结构 在原有图形结构中在原有图形结构中 解决问题较困难解决问题较困难 在新的图形结构中在新的图形结构中 解决问题较容易解决问题较容易 我需要努力的地方是我需要努力的地方是