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【精品】五年级奥数培优教程讲义第01讲-平均数(教师版)

1、 第第 0101 讲讲 平均数平均数 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题,并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用 题 一、基本公式一、基本公式 平均数总份数平均数总份数= =总数量总数量 总数量总份数总数量总份数= =平均数平均数 总数量平均数总数量平均数= =总份数总份数 二、平均数问题二、平均数问题 日常生活中我们会遇到这样的问题:几个杯子中的水有多有少,为了使每个杯子中的水一样 多,就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里,反复几次,直到几个杯子里的水一样多。这就 是我们所讲的“移多补少”,通常称之为平均数问题。 求平均数问题的基本数量关系是

2、:总数量总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求 出总数量和总份数的,然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法,即找一 个基数,用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求平均数。 考考点一:用基本关系式求平均数点一:用基本关系式求平均数 例例 1 1、用 4 个同样的杯子装水,水面的高度分别是 8 厘米、5 厘米、4 厘米、3 厘米。这 4 个杯 子里水面的平均高度是多少厘米? 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是:总数量总份数=平均数。根据已知条件,求出 4 个杯子里水的总高度,然后除以杯子的个数,即可求出平均数。 (8+5+4+3)4=

3、5(厘米) 答:这 4 个杯子里水面的平均高度是 5 厘米。 解:(800+150)19=50(秒) 答:全车通过长 800 米的大桥,需要 50 秒。 例例 2 2、数学测试中,一组学生中的最高分为 98 分,最低分为 86 分,其余 5 名学生的平均分为 92 分。这一组学生的平均分是多少分? 【解析】利用平均数问题的基本数量关系是:总数量总份数=平均数。总数量=98+86+92 5=644(分),总份数=1+5+1=7(人),平均数=6447=92(分),故这一组学生的平均分是 92 分。 例例 3 3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是 91 分,英语成绩公布后,他的平均分提 高

4、了 2 分。明明英语考了多少分? 【解析】利用基本式:三门课总分数=913=273,四门课总分数=(91+2)4=372。英语分数 =372-273=99(分)。 另一种思维方式:平均分提高了 2 分,也就是说,英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了 4 个 2 分,即 24=8 分,那么英语成绩=91+8=99(分) 考点二:利用基数法求平均数考点二:利用基数法求平均数 例例 1 1、求下列 20 个数的平均数:401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399, 396,398,398,405,401,400,402,403,400。 【解析】 解法一:先

5、求出这 20 个数的和,即总数量,再用 20 个数的和除以总份数 20,求出 平均数。 因为这 20 个数据比较大,这种解法计算量很大,容易出错。 解法二:仔细观察这 20 个数据都接近 400,有的比 400 大,有的比 400 小,我们可以借鉴移 多补少的思想,以 400 作为基准,把这 20 个数都看作 400,求出它们比 400 多出或不足的部 分,多出 1 记作“+1”,不足 2 记作“-2”,计算时多出和不足的部分让它们互相抵消,可得 这 20 个数据共多出: +1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1 -4-2-2+5+1+0+2+3+0=10,再把多出 10 平均分给这 20

6、 个数据,所以这 20 个数的平均数是: 400+1020=400.5。对于求多个比较接 近的大数的平均数,直接计算很麻烦,我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数,运用上 面的方法解答,计算就简单多了。 例例 2 2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米,一个同学身高 152 厘米,有两个同学身高 149 厘米,还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的 平均身高。 【解析】这道题可以按照一般思路解,即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方 法,容易发现身高都在 150 厘米左右,可以假设平均身高为 150 厘米,把它当做基数,用“基 数+

7、各数与基数的差之和份数=平均数” 公式求解。 即有150+ (32+2-12-32) (2+1+2+2) =150(厘米) 考点二:航行中的平均数问题考点二:航行中的平均数问题 例例 1 1、两地相距 360 千米,一艘汽艇顺水行驶完全程需要 10 小时,已知这条河的水流速度为 每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米? 【解析】航行中的速度关系:顺水速度=船的静水速度+水流速度 逆水速度=船的静水速度- 水流速度,速度=路程时间 用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。 显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度=360 10=3

8、6 千米/小时,船的静水速度=36-6=30 千米/小时。所以船的逆水速度=30-6=24 千米/小 时。逆水行全程时所用的时间=36024=15(小时) 解:逆水速度 36010-6-6=24(千米/小时) 逆水走完全程的时间 36024=15(小时) 平均速度=总路程总时间=(360+360)(10+15)=28.8 千米/小时 答:往返两地的平均速度是每小时 28.8 千米。 例例 2 2、张师傅开汽车从 A 到 B 为平地(见下图),车速是 36 千米时;从 B 到 C 为上山路, 车速是 28 千米时;从 C 到 D 为下山路,车速是 42 千米时.已知下山路是上山路的 2 倍, 从

9、 A 到 D 全程为 72 千米,张师傅开车从 A 到 D 共需要多少时间? 【解析】本题给出 BC 段与 CD 段的路程关系,因此可以先求出 BD 段的平均速度,设 BC 段的路 程为 84 份, CD 段则为 168 份, 则 BD 段的平均速度= (84+168) ( 8 4 1 6 8 2 84 2 ) =36 (千米/时) , 与平路的平均速度恰好相同,所以共需时间 7236=2(小时) 考点四:改动中的平均数考点四:改动中的平均数 例例 1 1、有五个数,平均数是 9。如果把其中一个数改为 1,那么这五个数的平均数为 8,这个改 动的数原来是多少? 【解析】 改动前五个数的和为:9

10、5=45; 改动后五个数的和为:85=40; 改动后总和比改动前减少了:45-40=5; 所以被改动的数减少了 5,这个数原来是:1+5=6 例例 2 2、五一班同学数学考试平均成绩 91.5 分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的 98 分误 作 89 分计算了。经重新计算,全班的平均成绩是 91.7 分,五一班有多少名同学? 【解析】 98分比89 分多9 分。 多算 9分就能使全班平均每人的成绩上升 91.791.5=0.2 (分) 。 9 里面包含有 45 个 0.2、五一班就有 45 名同学。 例例 3 3、有 4 个数,这 4 个数的平均数是 21,其中前 2 个数的平均数是 15

11、,后 3 个数的平均数 是 26.那么第二个数是多少? 【解析】根据“4 个数的平均数是 21”,可以得出 4 个数的总和就是 214=84,又根据“前 2 个数的平均数是 15,后 3 个数的平均数是 26”,可以得出他们的总和为 152+263=108, 其中第二个数被重复算了一次,所以总和多出来的了 108-84=24,就是第二个数。 课堂狙击课堂狙击 1、有 4 箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个,梨、橘子、桃平均每箱 36 个,苹果和 桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个? 【解析】(1)1 箱苹果1 箱梨1 箱橘子=423=126(个); (2)1 箱桃1 箱梨1 箱橘子

12、=363=108(个) (3)1 箱苹果1 箱桃=372=72(个) 由(1)(2)两个等式可知: 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18(个),再根据等式(3) 就可以算出:1 箱桃有(7418)2=28(个),1 箱苹果有 2818=46(个)。 解:1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个:372=74(个) 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个:42336=18(个) 1 箱苹果有多少个:2818=46(个) 2、小英 4 次数学测验的平均成绩是 92 分,5 次数学测验的平均成绩比 4 次数学测验的平均成 绩提高了 1 分。小英第 5 次数学测验得了多少分? 【解析】5 次比 4 次测验的平

13、均分提高了 1,那么第五次测验的成绩比 4 次测验的平均数多出 了 5 个 1 分,所以第五次测验的成绩=92+15=97(分) 3、一辆小轿车,装有 4 个轮胎,还有 2 只备用轮胎,司机适当地轮换这 6 只轮胎,使每只轮 胎行程相同。小车共行驶了 360 千米,每只轮胎平均行驶了多少千米? 【解析】小轿车在任何时候都是 4 个轮胎同时行驶,小车行驶 360 千米,即所有 6 只轮胎共行 驶 4 个 360 千米: 3604=1440 (千米) 。 平均每只轮胎的行驶路程为: 14406=240 (千米) 。 4、A、B、C、D 四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了

14、4 次,得到下 面 4 个数 23, 26, 30, 33。 A、B、C、D 4 个数的平均数是多少? 实战演练 【解析】A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3(23+26+30+33) 3(A+B+C+D)=3(23+26+30+33) A+B+C+D=112 A、B、C、D 4 个数的平均数是 28 5、五个数排一排,平均数是 9。如果前四个数的平均数是七,后四个数的平均数是 10,那么 第一个数和第五个数的平均数是多少? 【解析】前四个数平均数是 7,前四个数的和是 74=28,第五个数是 45-28=17;后四个数平 均数是 10,后四个数的和是 104=40,第一个数是

15、45-40=5;第一个数和第五个数的平均数 是(17+5)2=11 6、王华的期末考试成绩单被弄污了,有两个字看不清楚,请你想办法把语文、数学成绩算出 来 【解析】根据六门成绩的平均成绩为 83 分,则能求出总成绩为 836=498 分,减去另外四门 的成绩就是数学语文的总成绩, 然后根据数学成绩的个位数字, 推出语文成绩, 即可得出结论。 解:语文与数学成绩之和 836-(80+75+90+85)=168(分) 因为数学成绩的个位数为 5,则语文成绩的个位数一定是 8-5=3,故语文成绩是 83,数学成绩 是 85 分 答:王华的语文数学成绩分别是 83 分,85 分。 课堂课堂反反击击 1

16、、小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分,这次要考到 100 分,才能把平均成绩提高到 86 分。问这是他第几次测验? 【解析】100 分比 86 分多 14 分,这 14 分必须填补到前几次的平均分 84 分中去,使其平均分 成为 86 分。每次填补 86-84=2(分),14 分里面有 7 个 2,所以前面已经测验了 7 次,这是 第 8 次测验。 2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为 75 千米,顺水每小时航行 25 千米,逆水每小时航行 20 千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米? 【解析】求总时间,然后求出平均速度 解: 逆水走完全程的时间 7520=3.75 小时 顺水

17、走完全程的时间=7525=3 小时 平均速度=总路程总时间=(75+75)(3.75+3)22.22 千米/小时 答:往返两地的平均速度是每小时 22.22 千米。 3、甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均分是 90 分。可是,甲在抄分数时,把 自己的分错抄成了 87 分,因此,算得四人的平均分是 88 分。求甲在这次考试中得了多少分? 【解析】 算错平均分为 88 分, 比 90 分少 2 分, 故甲的分数算少了 4 个 2 分, 所以甲的分数=87+4 2=95(分) 4 、 第 三 小 队 11 位 少 先 队 员 参 加 跳 绳 比 赛 , 他 们 每 分 钟 跳 绳 的 个

18、 数 分 别 是 92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89,求每个人平均每分钟跳绳多少个? 【解析】 可以采用假设平均数的方法, 容易发现个数都在 90 左右, 可以假设平均个数为 90 个, 把它当做基数,用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求解。即有 90+ (2-4+2-3+4+1-2-1+2-1)(2+1+2+2)=90(个) 1、赵伯伯为了锻炼身体,每天步行 3 小时,他先走平路,然后上山,最 后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米,上山每小时行 3 千米,下山每小时行 6 千米,在每天锻炼中,他共行走多少千米? 【解析】 因为上山和下山是同一段路程, 所以可以很快求出上山与下山的平均数度 (千米/时) , 这两段路程的 平均速度与平路上的平均速度相同,所以,三段路的平均速度为 4(千米/时),而赵爷爷每 天行走 3 小时,所 以共 34=12 千米 【答案】12 千米 直击赛场 重点回顾 1、用基本关系式求平均数 2、利用基数法求平均数 3、航行中的平均数问题 4、改动中的平均数 1、求平均数问题的基本数量关系是:总数量总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求 出总数量和总份数的,然后根据基本总量关系式来解答。 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验