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【精品】五年级奥数培优教程讲义第02讲-等差数列(教师版)

1、第第 0202 讲讲 等差数列等差数列 掌握等差数列的基本概念,首项、末项、公差等; 掌握等差数列的常用公式,并能灵活运用。 一、数列的概念一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后 一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如:2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大 3 ,递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小 5 ,递减数列 二、等差数列与公差二、等差数列与公差 一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列, 其中相邻两项的差叫做公差。 三、

2、常用公式三、常用公式 等差数列的总和=(首项+末项)项数2 项数=(末项-首项)公差+1 末项=首项+公差(项数-1) 首项=末项-公差(项数-1) 公差=(末项-首项)(项数-1) 等差数列(奇数个数)的总和=中间项项数 中项定理:中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数, 也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数 考点一:等差数列的基本认识考点一:等差数列的基本认识 例例 1 1、下面的数列中,哪些是等差数列?若是,请指明公差,若不是,则说明理由。 教学目标 知识梳理 典例分析 6,10,14,18,22,98; 1,2,1,2,3

3、,4,5,6; 1,2,4,8,16,32,64; 9,8,7,6,5,4,3,2; 3,3,3,3,3,3,3,3; 1,0,1,0,l,0,1,0; 【考点】等差数列的基本认识 【解析】是,公差d=4. 不是,因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项. 不是,因为 4-22-1. 是,公差d=l. 是,公差d=0. 不是,因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项。 例例 2 2、把比 100 大的奇数从小到大排成一列,其中第 21 个是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【解析】该数列为等差数列,首项为 101,公差为 2,第 21 个数的项

4、数为 21.则 101+(21-1) 2=141 例例 3 3、已知一个等差数列第 9 项等于 131,第 10 项等于 137,这个数列的第 1 项是多少?第 19 项是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【解析】把数列列出来:83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191 答案:191 例例 4 4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是 320,求它们 中最小的一个 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中

5、间的数是所有这些自然 数 的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为320564,因相邻偶数相差 2, 故这五个偶数依次是 60、62、64、66、68,其中最小的是 60 答案:60 例例 5 5、5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项?它的第 201 项是多少?65 是其中的第 几项? 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项第n项首项公差1n(),所以,第 201 项53201 1605 (),对于数列 5,8,11,65,一共有:6553121n (),即 65 是 第 21 项 答案:无限多项;第201项是605;65是第21项 考点二:等

6、差数列求和考点二:等差数列求和 例例 1 1、一个等差数列 2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少? 【考点】等差数列的求和 【解析】 根据中项定理, 这个数列一共有 7 项, 各项的和等于中间项乘以项数, 即为:8756 答案:56 例例 2 2、15 个连续奇数的和是 1995,其中最大的奇数是多少? 【考点】等差数列的求和 【解析】由中项定理,中间的数即第 8 个数为:1995 15133,所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是:1332158147() 答案:147 例例 3 3、小马虎计算 1 到 2006 这 2006 个连续整数的平均数。在求这 2006 个数

7、的和时,他少算 了其中的一个数,但他仍按 2006 个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎 求和时漏掉的数是 。 【考点】等差数列的求和 【解析】少的这个数应该给每一个数都补上 1,才能使结果正确,共要补上 2006,因此这个漏 掉的数是 2006。 例例 4 4、下列数阵中有 100 个数,它们的和是多少? 1112131920 1213142021 1314152122 2021222829 【考点】数阵中的等差数列 【解析】方法一:用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的 和相加(比 较慢,这里不再写具体过程) 方法二: 每一行或者每一列的和均构

8、成一个等差数列, 利用等差数列和中间项项数 先看行, 因为是偶数行没有中间项, 首项11 12201120102155(), 末项2021292029102245()或者15510110245()这 100 个数之和1552451022000()按列算同上 方法三:从右上到左下的对角线上的数都是 20,沿此对角线对折,上下重叠的两数之 和都是 40, 所以这 100 个数的平均数是 20, 这 100 个数之和20 1002000 答案:2000 考点三:等差数列的应用考点三:等差数列的应用 例例 1 1、已知数列:2,1,4,3,6,5,8,7,问 2009 是这个数列的第多少项? 【考点】

9、等差数列的公式运用 【解析】偶数项的排列规律是:1、3、5、7, 奇数项的排列规律是:2、4、6、8, 方法一:可以看出两个数列都是等差数列由于 2009 是奇 数,所以在偶数项数列中,它的项数是:2009121005(),所以在整个数列中,2009 的项数是100522010,所以 2009 是这个数列的第 2010 项 方法二:仔细观察能发现,在整个数列中,奇数的项数是该数1,偶数的项数是该数 2,所以 2009 是这个数列的第200912010 项 答案:2010 例例 2 2、在 1145 这 35 个数中,所有不被 3 整除的数的和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【解析】先求被

10、 3 整除的数的和;1145 中能被 3 整除的数有 12,15,45,和为: 121542451245122342();于是,满足要求的数的和为: 1145342980342638() 答案:638 例例 3 3、如图 2,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5 时,按这种方式 摆下去,当N=5 时,共需要火柴棍 根。 【考点】找规律计算 【解析】找规律 3,3+6,3+6+9,N=5 时,需要火柴棍 3+6+9+12+15=45 答案:45 例例 4 4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放:第 1 个图形中有 6 个小圈,第 2 个图形 中有 10 个小圈,第 3

11、个图形中有 16 个小圈,第 4 个图形中有 24 个小圈,依此规律,第 6 个图形有_个小圈。 【考点】找规律计算 2010 年,第 8 届,希望杯,4 年级,1 试 【解析】除周围 4 个小圆外,中间小圆的规律是 12,23,34, 第 6 个图有 67446 个小圆。 答案:46 实战演练 课堂狙击课堂狙击 1、在数列 3、6、9,201 中,共有多少数?如果继续写下去,第 201 个数是多少? 【解析】(1)因为在这个等差数列中,首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式: 项数=(末项-首项)公差+1,便可求出。 (2)根据公式:末项=首项+公差(项数-1) 解:项数=(201-

12、3)3+1=67 末项=3+3(201-1)=603 答:共有 67 个数,第 201 个数是 603 2、全部三位数的和是多少? 【解析】所有的三位数就是从 100999 共 900 个数,观察 100、101、102、998、999 这 一数列,发现这是一个公差为 1 的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解:(100+999)9002 =10999002 =494550 答:全部三位数的和是 494550。 3、求下列方阵中所有各数的和: 1、2、3、4、49、50; 2、3、4、5、50、51; 3、4、5、6、51、52; 49、50、51、52、97、98; 50、5

13、1、52、53、98、99。 【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列,可先分别求出每一横行(或竖 行)数列之和,再求出这个方阵的和。 解:每一横行数列之和: 第一行:(1+50)502=1275 第二行:(2+51)502=1325 第三行:(3+51)502=1375 第四十九行:(49+98)502=3675 第五十行:(50+99)502=3725 方阵所有数之和: 1275+1325+1375+3675+3725 =(1275+3725)502 =125000 4、若干人围成 16 圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少 6 人,如果共有 912 人,问最外圈 有多少人?

14、最内圈有多少人? 【解析】从已知条件 912 人围成 16 圈,一圈套一圈,从外到内各圈依次减少 6 人,也就是告 诉我们这个等差数列的和是 912, 项数是 16, 公差是 6。 题目要求是的等差数列末项 1=d (n-1)=6 (16-1)=90(人) 解:a n+a1=S2n=912216=114(人) 外圈人数=(90+114)2=102(人) 内圈人数=(114-90)2=12(人) 答: 最外圈有 102 人,最内圈有 12 人。 5、有一串数,已知第一个数是 6,而后面的每一个数都比它前面的数大 4,这串数中第 2003 个数是 。 【解析】6+4(2003-1) =6+4200

15、2 =8014 6、一个剧院共有 25 排座位,从第一排起,以后每排都比前一排多 2 个座位,第 25 排有 70 个 座位,这个剧院共有 个座位。 【解析】末项=2+(100+1)2=200 和=(2+200)1002=10100 7、一个五层书架共放了 600 本书,已知下面一层都比上面一层多 10 本书。最上面一层放 本书,最下面一层放 本书。 【解析】100、140 中间一层本数:6005=120(本) 最上面一层:12-102=100(本) 最下面一层:120+12=140(本 8、有 10 只盒子,54 个乒乓球,能不能把 54 个乒乓球放进盒子中去,使各盒子的乒乓球数不 相等?

16、【解析】题中要求办不到。 9、 有一堆粗细均匀的圆木, 堆成如下图的形状, 最上面一层有 7 根园木, 每面下层增加 1 根, 最下面一层有 95 根,问:这堆圆木一共有多少根? 【解析】 7+95=102(根) 95-7+1=89(层) 102892=4539(根) 答:这堆圆木一共有 4539 根。 10、有一个六边形点阵,如下图,它的中心是一个点,算做第一层,第二层每边有两个点,第 三层每边有三个点这个六边形点阵共 100 层,问,这个点阵共有多少个点? 【解析】第 100 层有点:6+(99-1)6 =6+986 =699 =594(个) 点阵只有点: 1+(6+594)992 =1+

17、600992 =29701(个) 答:这个点阵共有点 29701 个。 课堂课堂反反击击 1、观察右面的五个数:19、37、55、a 、91 排列的规律,推知a =_ 。 【解析】19+18=37,37+18=55,所以a=55+18=73 答案:73 2、2,5,8,11,14是按照规律排列的一串数,第 21 项是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【解析】此数列为一个等差数列,将第 21 项看做末项。末项=2+(21-1)3=62 答案:62 3、在等差数列 6,13,20,27,中,从左向右数,第 _个数是 1994 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】 每个数比前一个数大 7, 根

18、据求通项 1 (1) n aand的公式得 1 ()1 n naad, 列式得: (19946)7284 2841285 即第 285 个数是 1994 答案:285 4、有 20 个数,第 1 个数是 9,以后每个数都比前一个数大 3这 20 个数相加,和是多少? 【考点】等差数列的求和 【解析】末项是:9201366(),和是:966202750() 答案:750 5、把 210 拆成 7 个自然数的和,使这 7 个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是 5, 那么,第 1 个数与第 6 个数分别是多少? 【考点】等差数列的求和 【解析】由题可知:由 210 拆成的 7 个数一定构成等差

19、数列,则中间一个数为210730,所 以,这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15,第 6 个数是 40. 答案:40 6、已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、,问:这个数列中第 2000 个数是多少?第 2003 个 数是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【解析】奇数项的排列规律是:2、4、6、8, 偶数项的排列规律是:3、6、9、12, 可以看出奇数项与偶数项都成等差数列,先求出要求的两个数各自在等差数列中的项 数:第 2000 个数在偶数项等差数列中是第200021000个数,第 2003 个数在奇数项 等差数列中是第20031210

20、02()个数 ,所以第 2000 个数是31000133000(),第 2003 个数是21002122004() 答案:2004 7、把 248 分成 8 个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【解析】平均数:2488=31,第 4 个数:31-1=30。第 1 个数:30-6=24,末项:24+(8-1) 2=38。即:最大的数为 38。 答案:38 8、观察下列四个算式:20 1 =20,20 2 =10,10 4 =5 2 , 5 2 8 = 5 16 。从中找出规律,写出第五个算 式: 。 【考点】找规律计算,2009 年,希望杯,第七届,六年级,二试

21、 【解析】发现规律,第 5 个算式为 5 16 16= 5 256 。 答案: 5 256 9、若干个硬币排成左下图,每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差(大 数减小数),如对于a,差为 7-5=2,所有差的总和为 。 【考点】数阵中的等差数列 【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为 0,和为 0 第二行第一个圈为 1,第二个圈为 0,和为 1 第三行第一个圈为 2,第二个圈为 1,第三个圈为 0 和为123 第四行第一个圈为 3,第二个圈为 2,第三个圈为 1,第四个圈为 0,和为1+2+3=6 所以这些差有 7 个 1,6 个 2,5 个 3,4 个 4,3 个

22、 5,2 个 6,1 个 7 和为7 1+62+5 3+44+3 5+26+1 7 =7+12+15+16+15+12+7 =84 答案:84 1、从 1 开始的奇数:1,3,5,7,其中第 100 个奇数是_。 【考点】等差数列的基本认识 【解析】199 2、(2006 年,第 4 届,希望杯,4 年级,1 试)观察下列算式: 24623, 2461234 24682045 然后计算:246100 。 【考点】找规律计算 【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数,100 以内的偶数有 50 个,所以 24 610050512550 答案:2550 3、(2005 年,第 3 届,走美

23、杯,5 年级,决赛)从正整数 1N中去掉一个数,剩下的(N一 1)个数的平均值是 15.9,去掉的数是_。 【考点】等差数列的公式运用 【解析】 因为“剩下的(N-1)个数的平均值是 15 9”, 所以(N-1)是 10 的倍数, 且N在 15 92 318 左右,推知N=31.去掉的数是 (1+2+3+31)-15.930496-47719。 答案:19 一、等差数列的定义一、等差数列的定义 定义:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列 我们称它为等差数列 首项:一个数列的第一项,通常用 1 a表示 直击赛场 重点回顾 末项:一个数列的最后一项,通常用 n

24、 a表示,它也可表示数列的第n项。 项数:一个数列全部项的个数,通常用n来表示; 公差:等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d来表示; 和 :一个数列的前n项的和,常用 n S来表示 二、等差数列的相关公式二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 通项公式:递增数列:末项首项(项数1)公差, 1 1 n aand() 递减数列:末项首项(项数1)公差, 1 1 n aand() 项数公式:项数(末项首项)公差+1 求和公式:和=(首项末项)项数2 (2) 中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平 均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验