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【精品】五年级奥数培优教程讲义第04讲-长方形、正方形的周长(教师版)

1、第第 0404 讲讲 长方形、正方形的周长长方形、正方形的周长 熟悉掌握基本图形周长的求法 熟悉运用分解、 平移、 合并等技巧成基本图形, 利用长方形、 正方形周长计算的公式求解。 能够分析图形的特点,提高几何图形的思维能力 一、基本概念及公式一、基本概念及公式 周长:封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。 长方形周长=(长+宽)2 正方形周长=边长4 二、方法技巧二、方法技巧 对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则 的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图 形,利用长方形、正方形周长计算的公式求解。 考点一:

2、平移法考点一:平移法 例例 1 1、有两个形同的长方形,长 7 厘米,宽 5 厘米,把他们按下图的样子重叠在一起,这个图 形的周长是多少厘米? 5 厘米 7 厘米 教学目标 知识梳理 典例分析 7 厘 米 7 厘 米 【解析】 这是一个不规则的图形, 我们可以利用平移线段的方法, 将这个图形转化为正方形 (如 下图所示),原来长方形的长就是转化后正方形的边长,要求原来图形的周长,只要求得边长 是 7 厘米的正方形的周长即可。 周长=74=28(厘米) 例例 2 2、下面是一个楼梯的侧面,如果在楼梯上铺地毯,求地毯的长度 【解析】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方,把每层台阶的

3、高度向右 移到和最下层的台阶长度一致的地方(如下图),这样楼梯侧面图就转化为一个长方形,然后 我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。 周长=42=8(米),故地毯的长度为 8 米。 例例 3 3、下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成.求这个图形的周长 50 【解析】将其图形左边的边长往左平移,图形右边的边长往右平移,与矩形长平行的边长向上 方的平移可得到右图矩形,长方形的周长就是不规则图形的周长=(50+20+9+15)2=188cm 例例 4 4、求下面这个图形(每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心,且边相互平行)的 周长? 20 9 15 【解析】如下图,把原图形外周围凹进

4、行的线段平移出来,围成了一个正方形,原图形周长就 等于转换图围成的正方形的周长。 从图中可以看出这个围成的大正方形的边长就等于 1 个小正 方形的边长加上小正方形边长一半的 7 倍。这个大正方形的边长为:2+227=9(厘米) 所以原图形的周长就等于:94=36(厘米) 2、有 5 张同样大小的纸如下图(a)重叠着,每张纸都是边长 6 厘米的正方形,重叠的部分为 边长的一半,求重叠后图形的周长。 思路与导航 根据题意,我们可以把每个正方形的边长 的一半同时向左、右、上、下平移(如图 b),转化成一个大正方形,这个大正方形的周长和 原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此,所求周长是 1

5、84=72 厘米。 考点二:合并法考点二:合并法 例例 1 1、如下图所示,长方形长 4 厘米,宽 2 厘米.现沿其对角线 BD 对折得到一几何图形,试求图 形阴影部分周长。 【解析】阴影部分周长=三角形 DEF 的周长+三角形 BFC 的周长=(DE+DF+EF)+(BF+CF+BC),观察 一下, 可以利用合并, 得阴影部分周长= (DF+FC) +(EF+BF)+(DE+BC)=CD+BE+DE+BC=4+4+3+3=14 厘米 例例 2 2、 用一个长 8 厘米、 宽 4 厘米的长方形与 7 个边长为 4 厘米的正方形, 拼成一个大正方形。 拼成的大正方形的周长是多少? 【解析】将长方

6、形和小正方形面积合并起来,先由大正方形的面积,求出其边长,再求出这个 大正方形周长。大正方形的面积就是拼成大正方形的 8 个图形的面积之和:84+447=144 (平方厘米),对 144 分解因数:144=1212,即正方形的边长为 12。所以正方形的周长为: 124=48(厘米) 考点三:分解法考点三:分解法 例例 1 1、如图,在长方形 ABCD 中,EFGH 是正方形.如果 AF=10 厘米,HC=7 厘米,那么长方形 ABCD 的 周长是多少厘米? 【解析】长方形 ABCD 的周长=(AB+BC) 2。既然不能直接求 AB、CD 长度,那就转化分解为题 目已知的长度。AB=AF+BF,

7、在长方形 BFGC 中 BC=FG,BF=CG。在正方形 EFGH 中 FG=HG,故 BF=CG,BC=HG。AB+BC=AF+CG+HG=AF+CH=10+7=17 厘米,所以长方形 ABCD 周长=172=34 厘米 例例 2 2、下图是由 4 个一样的长方形和 1 个周长是 4 分米的小正方形拼成的一个边长是 11 分米 的大正方形,每个长方形的长与宽各是多少分米?周长是多少分米? 【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形的长与宽之和,也可以分解为 2 倍的小长方形宽 与小正方形的边长。 所以小长方形的宽是 (11-4) 2=3.5 (分米) , 小长方形的长=11-3.5=7.5 (

8、分米)。周长=112=22(分米) 课堂狙击课堂狙击 实战演练 1、如图一,一个正方形分成甲、乙两部分,比较甲、乙两部分周长的长短,求出乙的周长。 【解析】如下图二,把原图中,乙图凹进去的四条线段平移出来,正好与外围四条线段围成了 一个正方形与原正方形重合,乙图的周长就等于原正方形的周长:54=20。 如上图三,把原图中,甲图凹进去的两条线段平移出来,正好与外围四条线段围成了一个 长方形,甲图的周长就等于这个长方形的周长。通过对比,这个长方形的每条边长都小于 5, 所以甲图的周长比乙图的周长要短。 2、一个正方形被分成 6 个大小、形状完全一样的长方形,每个长方形的周长是 14 厘米。原正 方

9、形的周长是多少厘米? 【解析】解题的关键是充分利用图形中隐藏的条件:正方形四边相等,正方形的边长既等于被 分成的长方形的长,又等于这个长方形的宽的 6 倍。所以被分成的长方形的长是宽的 6 倍。 如果把长方形宽的长度看着 1 份,长就是 6 份,周长就是 14 份,则小长方形的宽为:14(1 +6+1+6)=1(厘米);长为:16=6(厘米)所以原正方形的周长:64=24(厘米) 3、由 16 个同样大小的正方形组成的一个“5”字形,如果这个图形的面积是 400 平方厘米, 它的周长是多少厘米? 【解析】每个小正方形的面积为:40016=25(平方厘米),把 25 分解因数:25=55,即每

10、个小正方形的边长为 5 厘米 如果把小正方形的边长看着 1 个单位长度。通过平移,题中图形的周长就相当于一个长为 7 个 单位长度,宽为 4 个单位长度的长方形周长,再加上 4 条长为 3 个单位长度的线段的长度。原 图形的周长为:(4+7)2+34=34(份);345=170(厘米) 另:也可以直接数出题中图形的周长是由 34 个小正方形边长围成。 4、 下图是一个零件的平面图, 图中每一条最短线段均长 5 厘米, 零件长 45 厘米, 高 30 厘米。 这个零件的周长是多少厘米? 【解析】将不规则图形平移到右图,得到一个大长方形与 10 条最短线段。周长=(30+45) 2+105=200

11、 厘米 5、用同样的长方形瓷砖,在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框,边框的周长是 264cm,里面 小正方形的面积是 900 平方厘米。求每块瓷砖的周长。 【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形宽与 2 倍的小长方形长之和,也可以分解为小正 方形边长与 2 倍的小长方形宽之和。小正方形的面积是 900 平分厘米,分解质因数 900=30 30, 所以小正方形的边长是 30 厘米。 大正方形的边长=2644=66 厘米。 故小长方形宽= (66-30) 2=18 厘米。小长方形的长=(66-18)2=24 厘米。所以小长方形的周长为(18+24)2=84 厘米 6、 一块长方形木板, 沿着它的

12、长度不同的两条边各截去 4 厘米, 截掉的面积为 192 平方厘米。 现在这块木板的周长是多少厘米? 【解析】 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块(如图),其中 AB 的面积是 19244=176 (平方厘米)。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板 剩下部分的周长的一半。1764=44(厘米),现在这块木板的周长是 442=88(厘米) 课课后反后反击击 1、有 5 张同样大小的纸如下图(a)重叠着,每张纸都是边长 6 厘米的正方形,重叠的部分为 边长的一半,求重叠后图形的周长。 【解析】 根据题意, 我们可以把每个正方形的边长的一半同

13、时向左、 右、 上、 下平移 (如图 b) , 转化成一个大正方形,这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因 此,所求周长是 184=72 厘米。 2、求下列图形的周长。(单位:厘米) 【解析】从图中可以看出,整个图形的周长由八条线段围成,其中四条横着,四条竖着。其中 上面三条横着的线段和是 10 厘米,那么这样四条横着的线段和是 10+10=20(厘米),四条竖 着的线段和是 82+22=20(厘米)所以,整个图形的周长是 20+20=40(厘米) 3、已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的周长是多少? 【解析】从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围成,

14、其中三条横着,三条竖着。三条 横着的线段和是(ab)2、三条竖着的线段和是 b2。所以,整个图形的周长是(ab) 2b2、即 2a4b。 4、如图 8 所示,在正方形中 ABCD,BC=4BM若梯形 AMCD 的周长比三角形 ABM 的周长大 12, 求正方形的边长。 【解析】因为 AB=CD,AM 是梯形 AMCD 与三角形 ABM 共有的边, 所以梯形 AMCD 的周长-三角形 AB 的周长=CM+AD-BM =12。又因为 MC=4BM, 则 CM=3BM, AD=BC=4BM, 于是 6BM=12, 解得 BM=2, 所以 AB=8。 1、从长方形纸片上裁掉两个正方形 ABCD 和正方

15、形 CEFG,其中正方形 ABCD 的面积是 49 平方 厘米,求余下的长方形纸片 DGFH 的周长 直击赛场 【解析】 长方形纸片 DGFH 的周长 =2 (DG+GF) =2CD, 恰好是正方形 ABCD 的边长的 2 倍 因 为正方形 ABCD 的面积是 49 平方厘米, 所以正方形 ABCD 的边长是 7 厘米, 27=14(厘 米) 故长方形纸片 DGFH 的周长是 14 厘米 2、求下图的周长(单位厘米) 【解析】 平移图中的部分线段后, 可得到如图上长方形, 长方形的周长就是所求图形的周长 则 图可得, 长方形的宽是 19 厘米, 长是 10+12=22 (厘米) 故所求图形的周长是 2 (19+22) =82(厘米) 对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则 的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图 形,利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解。 我们可以采用转化的数学思想方法通过分解、平移、合并等技巧,将一些较复杂图形的周长问 题转化为简单的长方形、正方形周长问题求解。 重点回顾 名师点拨 10+12=22 19 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验