1、第第 1212 讲讲 长方体和正方体长方体和正方体 1、能够以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一 些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 一、专题简析一、专题简析 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 二、常见问题二、常见问
2、题 在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的 物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体 积。解答上述问题，必须掌握这样几点： 1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变； 2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和； 3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。 解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方 法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体 沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面
3、积等于切面面积的两倍。 考点一：重合或者挖出立体的面积及体积考点一：重合或者挖出立体的面积及体积 例例 1 1、 一个零件形状大小如下图： 算一算， 它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？ （单位：厘米） 教学目标 知识梳理 典例分析 【解析】 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是 1042=80 （立方厘米），右边的长方体的体积是 10（62）2=80（立方厘米），整个零件的体积 是 802=160（立方厘米）； （2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一 个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积
4、相等。因此，此零件的表 面积就是（10610422）2=232（平方厘米）。 例例 2 2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表 面积吗？（单位：厘米） 【解析】（1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体 积减少了 222=8（立方厘米），这个零件的体积是 2408=232（立方厘米）； （2）长方体完整的表面积是（858665）2=236（平方厘米），但由于挖去了一个 孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的 5 个（22）平方 厘米的面，因此，这个零件的表面积是 236224=252（平方
5、厘米）。 例例 3 3、一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方 体的表面积增加了 50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了 4 块正 方形的面积，每块正方形的面积是 504=12.5（平方厘米）。正方体有 6 个这样的面，所以， 原来正方体的表面积是 12.56=75（平方厘米）。 考点二：已知面积求体积或者已知体积求面积考点二：已知面积求体积或者已知体积求面积 例例 1 1、把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是 288 立方厘米，求大 长方体的
6、表面积。 【解析】 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用 a、b、h 分别表示小长 方体的长、 宽、 高， 显然， a=4h， 即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a， 砖的体积是 a*2/3a*1/4a=1/6a 3。 由 1/6a 3=288 可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是 122=24 厘米，宽 12 厘米，高是 83=11 厘米，表面积就不难求了。 例例 2 2、一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为 为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 【解析】 长方体的
7、前面和上面的面积是长宽长高=长 （宽高） ， 由于此长方体的长、 宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有 209=1119=11（172），即长、宽、高分别 为 11、17、2 厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 考点三：体积转换考点三：体积转换 例例 1 1、有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长 40 厘米， 宽 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱长 30 厘米，宽 24 厘米，深 25 厘米。将甲水箱中部分水 倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 【解析】 由于后来两个水箱里的水面的高度一样， 我们可以这样思考： 把两个水箱并
8、靠在一起， 水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）水面的高度。这样，我们只要先求出原来 甲水箱中的体积：403220=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：403230 24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。 例例 2 2、有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分 米。如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 【解析】铁块的体积是 222=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了 8 立方分米的空 间，因此，水上升的体积也就是 8 立方分米，用这个体积除以底面积（54）就能得到水上升 的
9、高度了。 例例 3 3、有一个长方体容器（如下图），长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面的水深 6 厘 米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？ 【解析】首先求出水的体积：30206=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了， 但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是 2010=200 平方厘米的长方体。只要用体积除 以底面积就知道现在水的深度了。 例例 4 4、长方体不同的三个面的面积分别为 10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方厘米。这个长方 体的体积是多少立方厘米？ 【解析】长方体不同的三个面的面积分别是长宽、长高、宽高得来的。因此，1
10、510 6=（长宽高）（长宽高），而 15106=900=3030。所以，这个长方体的体 积是 30 立方厘米。 考点四：分割图形考点四：分割图形 例例 1 1、 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为 2 厘米的正方体若干块，表面 积增加多少厘米？ 【解析】把棱长为 6 厘米的正方体锯成棱长为 2 厘米的正方体，可以按下图中的线共锯 6 次， 每锯一次就增加两个 66=36 平方厘米的面，锯 6 次共增加 3626=432 平方厘米的面积。 因此，锯好后表面积增加 432 平方厘米。 例例 2 2、 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了 24 平方厘米，这个正方
11、体 木块原来的表面积是多少平方厘米？ 【解析】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是 242=12 平方厘米， 而正方体有 6 个这样的面。所以原正方体的表面积是 126=72 平方厘米。 例例 3 3、 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开 的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）二个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？ 【解析】 按题中的要求切，切成的小正方体一共有 333=27 个。 （1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8 个； （2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，
12、共有 112=12 个； （3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有 16=6 个； （4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有 27（8126）=1 个。 例例 4 4、 一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等 的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？ 【解析】这个长方体原来的表面积是（656454）2=148 平方厘米，每切割一刀， 增加 2 个面。切成三个体积相等的小长方体要切 2 刀，一共增加 22=4 个面。要求表面积和 最大，应该增加 4 个 65=30 平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是
13、14865 4=268 平方厘米。 实战演练 课堂狙击课堂狙击 1、一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面 积和体积各是多少？ 【解析】表面积与原来相等。体积比原来少了一个长、宽、高都是 1 厘米的一块。原来表面积 =剩下部分的表面积=（51+13+35）2=46（平方厘米），原来体积=513=15（立方 厘米），剩下部分的体积=15-111=14（立方厘米）。 2、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 【解析】表面积就是正方体与长方体表面积之和减去 2 个正方体的底面面积。体积就是长方体 与正方体体积之和。表面积=2
14、（26+24+46）+2223=112（平方厘米），体积=2 64+222=56（立方厘米） 3、有一个棱长是 4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的正方体后，剩 下物体的体积和表面积各是多少 【解析】表面积没有发生变化，体积就是大正方体减去挖去的小正方体。表面积=446=48 （平方厘米），体积=444-111=63（立方厘米） 4、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方 体的表面积的和减少了 46 平方厘米，而长是原来长方体的 2 倍。如果拼成的长方体的长是 24 厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 【解析】由图可以看出，减少的
15、表面积就是原来 2 倍的长方体的宽高。所以大长方体侧面表 面积是 23 平方厘米。所以大长方体的体积=2324=552 立方厘米。 5、一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由 1000 个这样的小正方体所组成的大正方体 的表面积是多少平方厘米？ 【解析】小正方体的表面积是 6 平方厘米，其长就是 1 厘米。1000 个这样的小正方体所组成 的大正方体的长是 1001=100（厘米），其表面积=1001006=6 立方米 6、有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这 个长方体的体积是多少？ 【解析】前面和上面的面积和是 88 平方厘米。即长（宽
16、+高）=88=11（3+5），所以长方 体的体积=1135=165 立方厘米。 7、将表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大 正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 【解析】因为正方体的六个面都相等，而 54=69=6（33），所以这个正方体的棱是 3 厘 米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6（44），棱长是 4 厘米；150=6（5 5），棱长是 5 厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于 它们的体积和。 课课后反后反击击 1、有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右
17、两角各切掉一个正方体 （如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 【解析】表面积减少了 4 个 11，面积=2（81+83+13）-4=66 平方厘米。体积=81 3-2111=22 立方厘米 2、一根长 80 厘米，宽和高都是 12 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体 后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 【解析】减少了 4 个正方体的底面面积即 41212=576 平方厘米。 3、有一个小金鱼缸，长 4 分米、宽 3 分米、水深 2 分米。把一块假山石浸入水中后，水面上 升 0.8 分米。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【解析】假山石的体积=430.8=9.6 立方分
18、米 4、 一个长方体， 不同的三个面的面积分别是 35 平方厘米、 21 平方厘米和 15 平方厘米， 且长、 宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【解析】35=35,21=37，15=35。所以体积=357=105 立方厘米 5、一个长方体的体积是 48 立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面 积是多少平方厘米？ 【解析】48=246。表面积=2（24+46+26）=88 平方厘米 6、把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成 4 个同样的小长方体，没有涂颜 色的面积是 60 平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？ 【解析】没有涂颜色的面的
19、对面合起来就是正方体的表面积。所以涂上红色面积是 60 平方厘 米 在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的 物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体 积。解答上述问题，必须掌握这样几点： 1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变； 2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和； 3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。 解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方 法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体 沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。 重点回顾 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验