1、第第 22 讲讲 相遇问题相遇问题 根据“路程和速度和 时间”解决简单的直线上的相遇问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,B 之间这段路 程，如果两人同时出发，那么 相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度 相遇时间+乙的速度 相遇时间 （甲的速度+乙的速度） 相遇时间 速度和 相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和 相遇时间=路程和，即 S=vt 例例 1、 一辆客车与一辆货车同时从甲、 乙两个城市相对开出， 客车每小时行 46 千米， 货车每小时行
2、 48 千米。 3.5 小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为： （46+48） 3.5=94 3.5=329（千米） 例例 2、大头儿子的家距离学校 3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们 同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24 米，50 分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多 少米？ 【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000 50=60 (米/分钟)， 小头爸爸的速度：（60+24） 2 =42(米/分钟)， 大头儿子的速度：60-42=18 (米
3、/分钟) 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 3、甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行 3 小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米 甲车每小时行 48 千米， 乙车每小时行 50 千米 求 A、 B 两地间相距多少千米？ 【解析】题目中写的“还”相距 15 千米指的就是最简单的情况。画线段图如下： 由图中可以看出，甲行驶了 3+5=8 (小时)，行驶距离为：48 8=384 (千米)； 乙行驶了 5 小时，行驶距离为：50 5=250 (千米)，此时两车还相距 15 千米， 所以 A、B 两地间相距：384+250+15=649 (千米) 也可
4、以这样做：两车 5 小时一共行驶：（48+50） 5=490 (千米)， A、B 两地间相距：490+48 3+15=649： (千米)， 所以，A、B 两地间相距 649 千米 例例 4、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行出发 2 小时后，两人相距 54 千米；出发 5 小时后， 两人还相距 27 千米问出发多少小时后两人相遇？ 【解析】 根据 2 小时后相距 54 千米，5 小时后相距 27 千米， 可以求出甲、乙二人 3 小时行的路程和为(54-27)千米， 即可求出两人的速度和：(54-27) （5-2）=9（千米）， 根据相遇问题的解题规律；相隔距离 速度和=相遇时间， 可以
5、求出行 27 千米需要： 5+27 9=8（小时） 例例 5、两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40 千米，另一列城铁每小时走 45 千米，在途中每 列车先后各停车 4 次，每次停车 15 分钟，经过 7 小时两车相遇，求两城的距离？ 【解析】每列车停车时间：15 4=60（分）=1（小时）， 两列车停车时间共2 小时，共同行驶时间：7-6=1 小时，速度和：40+45=85（千米）， 两城距离：85 6=510（千米） 例例 6、南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 s 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分 别往南和往北驶去，二人的速度分别为 50 千米/时，60
6、千米/时，那么北辙先生出发 5 小时他们相距多少千 米? 【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60） 5=550（千米） 例例 7、两地相距 3300 米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行 82 米，乙每分钟行 83 米，已经行 了 15 分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？ 【解析】根据题意列综合算式得到： 3300 （82+83）15=5（分钟）， 所以两个人还需要 5 分钟相遇。 例例 8、甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 40 千米途中甲车 出故障停车修理了 3 小时，结果甲车比乙车迟到 1 小时到达 B
7、地A、B 两地间的路程是多少？ 【解析】由于甲车在途中停车 3 小时，比乙车迟到 1 小时， 说明行这段路程甲车比乙车少用 2 小时 可理解成甲车在途中停车 2 小时，两车同时到达， 也就是乙车比甲车先行 2 小时，两车同时到达 B 地， 所以，也可以用追及问题的数量关系来解答即： 行这段路程甲车比乙车少用的时间是：31=2 (小时)， 乙车 2 小时行的路程是：40 2=80 (千米)， 甲车每小时比乙车多行的路程是：5040=10 (千米)， 甲车所需的时间是：80 10=8 (小时)， A、B 两地间的路程是： 50 8=400 (千米) 例例 9、甲、乙两列火车同时从 A 地开往 B
8、地，甲车 8 小时可以到达，乙车每小时比甲车多行 20 千米，比甲 车提前 2 小时到达求 A、B 两地间的距离 【解析】这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此 路程差是甲车两小时的路程 方法一：如图： 甲车 8 小时可以到达，乙车比甲车提前 2 小时到达，因此，乙车到达时用了：8-2=6 (小时)， 此时路程差为：20 6=120 (千米)，此时路程差就是甲车 2 小时的路程， 所以甲车速度为：120 2=60 (千米/小时)， A、B 两地间的距离：60 8=480 (千米) 例例 10、军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到 A 岛
9、时，“敌”舰已在 10 分钟前逃离，“敌”舰每分 钟行驶 1000 米，“我”海军英雄舰每分钟行驶 1470 米，在距离“敌”舰 600 米处可开炮射击，问“我”海军英雄 舰从 A 岛出发经过多少分钟可射击敌舰？ 【解析】“我”舰追到 A 岛时，“敌”舰已逃离 10 分钟了， 因此，在 A 岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为 10000 米（=1000 10）. 又因为“我”舰在距离“敌”舰 600 米处即可开炮射击， 即“我”舰只要追上“敌”舰 9400（=10000 米-600 米）即可开炮射击. 所以，在这个问题中，不妨把 9400 当作路程差， 根据公式求得追及时间.（1000 10-6
10、00） （1470-1000）=（10000-600） 470=9400 470=20（分 钟）， 经过 20 分钟可开炮射击“敌”舰. 例例 11、甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，4 小时后两车相遇，然后各自继续行驶 3 小时，此时甲车 距 B 地 10 千米，乙车距 A 地 80 千米问：甲车到达 B 地时，乙车还要经过多少时间才能到达 A 地? 【解析】由 4 时两车相遇知，4 时两车共行 A，B 间的一个单程相遇后又行 3 时， 剩下的路程之和 108090（千米）应是两车共行 431（时）的路程 所以 A，B 两地的距离是（1080） （43） 4360（千米）。 因为 7
11、 时甲车比乙车共多行 801070（千米）， 所以甲车每时比乙车多行 70 710（千米）， 又因为两车每时共行 90 千米， 所以每时甲车行 50 千米，乙车行 40 千米 行一个单程，乙车比甲车多用 360 40360 5097.21.8（时）1 时 48 分 课堂狙击课堂狙击 1、甲、乙两列火车从相距 366 千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 37 千米，乙列火车每小时行 36 千米，甲列火车先开出 2 小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？ 【解析】（366-37 2） （37+36）=4(小时) 2、甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A、B 两城同时
12、出发，相对而行，已知甲车到达 B 城需 4 小时，乙车 到达 A 城需 12 小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 实战演练 【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度， 甲车的速度是 360 4=90（千米时）， 乙车的速度是 360 12=30（千米时）， 则相遇时间是 360 (90+30)=3（小时） 3、甲、乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 41 千米，乙车 先出发 2 小时后，甲车才出发甲车行几小时后与乙车相遇？ 【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶， 那么乙车这 2 小时所行的路
13、程不是甲、乙两车同时相对而行的路程， 所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和， 才是甲、乙两车同时相对而行的时间 乙车先行驶路程：41 2= 82(千米)， 甲、乙两车同时相对而行路程：770-82=698 (千米)， 甲、乙两车速度和：45+41=86 (千米时)， 甲车行的时间：688 86= 8(小时) 4、甲、乙两辆汽车从 A、B 两地同时相向开出，出发后 2 小时，两车相距 141 千米；出发后 5 小时，两车 相遇A、B 两地相距多少千米？ 【解析】 公式“相遇时间=路程和 速度和”中， 对于速度不变的两车， “相遇时间”与“路程和”是一一对应的 如 图所示 5 小
14、时的相遇时间与 A、B 两地的距离相对应， (5-2)小时的相遇时间与 141 千米相对应. 两车的速度之和是：141 （5-2）=47 (千米/时). A、B 两地相距：47 5= 235 (千米) 5、甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米。两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，相遇后 3 时，甲车到达 B 地。求 A，B 两地的距离。 【解析】相遇后甲行驶了 40 3=120 千米，即相遇前乙行驶了 120 千米， 说明甲乙二人的相遇时间是 120 60=2 小时， 则两地相距（40+60） 2=200 千米 课后反击课后反击 1、妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟
15、走 75 米妈妈走了 3 分钟后，小红从学校出发，小红每分 钟走 60 米再经过 20 分钟妈妈和小红相遇从小红家到学校有多少米？ 【解析】妈妈先走了 3 分钟，就是先走了 75 3=225（米） 20 分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了 20 分钟， 这一段的路程为：（75+60） 20=2700（米）， 这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程， 就是小红家到学校的距离即 75 3+（75+60） 20= 2925（米） 2、小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走 52 米，小强每分钟走 70 米，二人在途中的 A 处相 遇。若小红提前 4 分钟出发
16、，但速度不变，小强每分钟走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强的家相 距多远? 【解析】因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同， 推知小强第二次比第一次少走 4 分。 由（70 4） （90-70）=14（分）， 推知小强第二次走了 14 分，第一次走了 18 分， 两人的家相距（52+70） 18=2196（米） 3、小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则 4 时相遇；若两人各自 都比原定速度多 1 千米时，则 3 时相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 【解析】每时多走 1 千米，两人 3 时共多走 6 千米， 这 6 千米相当于两人
17、按原定速度 1 时走的距离。 所以甲、乙两地相距 6 424（千米）。 4、孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面， 孙悟空的速度是 200 千米小时猪八戒的速度是 150 千米小时，他们同时出发 2 小时后还相距 500 千 米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？ 【解析】注意：“还相距”与“相距”的区别建议画线段图 可以先求出 2 小时孙悟空和猪八戒走的路程：（200+150） 2700(千米)， 又因为还差 500 米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200 (千米) 5、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千
18、米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车 每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90 千米？ 【解析】两车在相距 450 千米的两地相向而行，距离逐渐缩短， 在相遇前某一时刻两车相距 90 千米， 这时两车共行的路程应为（450-90）千米 即（450-90） （40+50）=4(小时) 需要注意的是当两车相遇后继续行驶时， 两车之间的距离又从零逐渐增大， 到某一时刻，两车再一次相距 90 千米 这时两车共行的路程为 450+90 千米， 即（450+90） （40+50）6（小时) 1、如图，A、B 是一条道路的两端点，亮亮在 A 点，明明在 B 点，两人同时出发，相向而行
19、他们在离 A 点 100 米的 C 点第一次相遇亮亮到达 B 点后返回 A 点，明明到达 A 点后返回 B 点，两人在离 B 点 80 米 的 D 点第二次相遇整个过程中，两人各自的速度都保持不变求 A、B 间的距离要求写出关键的推理 过程 【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了 100 米，从开始到第二次相遇，两人共走了三 个全程，则亮亮走了 100 2= 200(米)亮亮共走的路程为一个全程多 80 米，所以道路长 300-80=220（米） 1、基本关系：路程速度*时间； 2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)； 关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程； 本节课我学到了本节课我学到了 直击赛场 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是我需要努力的地方是