1、第第 28 讲讲 盈亏问题盈亏问题 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型 掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法 熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题 一、基本方法一、基本方法 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称 之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每 人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题 叫做“盈亏问题”。 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏) 两次分得之差=人数或单位数 (盈盈
2、) 两次分得之差=人数或单位数 (亏亏) 两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两 个数的差求未知数的“盈亏问题”。 二、方法技巧二、方法技巧 注意 1.条件转换 2.关系互换 考点一：直接计算型盈亏问题考点一：直接计算型盈亏问题 知识梳理 典例分析 教学目标 例 1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬 4 块砖，还剩 7 块；如果每人搬 5 块，则 少 2 块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬 4 块，还剩 7 块砖；每人搬 5 块，就少 2
3、 块这两 次 搬砖，每人相差 5-4=1（块）。第一种余 7 块，第二种少 2 块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9 （块），每人相差 1 块，结果总数就相差 9 块，所以有少先队员 9 1=9（人）共有砖：4 9+7=43（块） 例 2、 明明过生日， 同学们去给他买蛋糕， 如果每人出 8 元， 就多出了 8 元； 每人出 7 元， 就多出了 4 元 那 么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【解析】“多 8 元”与“多 4 元”两者相差 8-4=4（元），每个人要多出 8-7=1（元），因此就知道，共有 4 1=4 （人），蛋糕价钱是 8 4-8=24（元） 例 3、老
4、猴子给小猴子分桃，每只小猴分 10 个桃，就多出 9 个桃，每只小猴分 11 个桃则多出 2 个桃， 那 么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 【解析】老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案盈 2 个，所以盈亏总和是 9-2=7（个），两次分配 之 差是 11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7 1=7=（只），老猴子有 7 10+9=79（个）桃子 例 4、猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分 5 个，小猴分 3 个，猴王可留 10 个若大、小猴都分 4 个，猴王能留下 20 个在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？ 【解析】当大猴分 5
5、 个，小猴分 3 个时，猴王可留 10 个若大、小猴都分 4 个，猴王能留下 20 个也就 是盈亏问题说在大猴分 5 个，小猴分 3 个后，每只大猴都拿出 1 个，分给每只小猴 1 个后，还剩下 20-10=10 个，所以大猴比小猴多 10 只 考点二：条件关系转换型盈亏问题 例 1、一位老师给学生分糖果，如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分 5 粒正好分完，问：有多少位 学生？ 共多少粒糖果？ 【解析】 第一种分配方案盈 9 粒糖， 第二种方案不盈不亏， 所以盈亏总和是 9 粒， 两次分配之差是 5-4=1 （粒） ， 由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9 1=9（人），有糖果 9
6、5=45（粒） 例 2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分 10 条鱼，就多出 8 条鱼，每只小猫分 11 条鱼则正好分完，那 么一 共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？ 【解析】 猫妈妈的第一种方案盈 8 条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是 8 条，两次分配之差是 11-10=1（条） ，由盈亏问题公式得，有小猫：8 1=8（只），猫妈妈有 8 10+8=88（条）鱼 例 3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人， 恰好 多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？ 【解析】每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65
7、 人，则多出一辆车，也就是差 65 人。此车辆数 目为：（65+15） 5=80 5=16（辆）。学生人数为：60 （16-1）+15=60 15+15=900+15=915（人） 考点三：复杂的盈亏问题考点三：复杂的盈亏问题 例例 1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆如果每人摆 5 盆花，还有 3 盆没人摆；如果其中 2 人各摆 4 盆，其余的人各摆 6 盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？ 【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中 2 人各摆 4 盆，其 余的人各摆 6 盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花
8、盆的情况2 人各摆 4 盆，其余的人各 摆 6 盆如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆 6 盆，那么，就么还差 6 2-2 4=4(盆)因此，原问题 就转化为：如果每人各摆 5 盆花，还有 3 盆没人摆；如果每人 摆 6 盆花，还缺 4 盆问有多少少先队员， 一共摆多少花盆？ 人数： （3+4） （6-5）=7 (人)， 盆数：5 7+3=38(盆)或 6 7-4=38(盆) 例例 2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人每人分 2 个，则多出 4 个；如果 其中 一人分 6 个，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人? 【解析】由“
9、其中两人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个”转化为全家每人都分 2 个，这分 4 个的两 人 每人都拿出 2 个，共拿出 4 个，结果就多了 4+4=8 个；由“一人分 6 个，其余每人分 4 个，则缺少 12 个”转 化为全家每人都分 4 个，分 6 个的人拿出 2 个，结果就缺 12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一般类型，则： 全家的人数：(8+10) (4-2)= 9(人), 橘子的个数：2 9+8=26 (个) 例例 3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉 20 千克，则 多 2 元. 已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角.问牛肉
10、、猪肉各多少钱一千克？ 【解析】 这里有两种肉， 思考起来比较困难， 能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件， 买牛肉 18 千克差 4 元，而买猪肉 20 千克还多 2 元，说明牛肉贵一些.每千克贵 8 角，如果 18 千克牛肉换成 18 千克猪 肉， 就要少花 8 18=144 （角） =14 元 4 角.这样就会多出 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角。 因此问题就可变为： “小 李买猪肉 18 千克多余 10 元 4 角，买 20 千克多余 2 元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏 问题，不过猪肉单价=两次钱的差 两次千克量差。 解： 由已知条件知牛肉比猪肉
11、贵，每千克贵 8 角.18 千克牛肉比 18 千克猪肉贵 8 18=144（角）=14 元 4 角. 因此小李若买 18 千克猪肉就会多余 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角。由已知小李买 20 干克猪肉多余 2 元， 所以猪肉每千克价格为 （104-20） （20-18）=84 2=42（角）=4 元 2 角. 所以牛肉每千克价格为：4 元 2 角+8 角=5 元. 小李带的钱为：4.2 20+2=86（元） 例例 4、四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果如果买芒果 13 千克，还差 4 元； 如 果买奶糖 15 千克，则还剩 2 元已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，
12、那么，辅导员老师带了 多少元钱？ 【解析】 这笔钱买 13 千克芒果还差 4 元，若把这 13 千克芒果换成奶糖就会多出 13 2=26 元，所以这笔钱 买 13 千克奶糖会多出 26-4=22 元。而这笔钱买 15 千克奶糖会多出 2 元，所以每千克奶糖的价格为： (22-2) (15-13)=10（元）辅导老师共带了 10 15+2=152 元 课堂狙击课堂狙击 1、有一批练习本发给学生，如果每人 5 本，则多 70 本，如果每人 7 本，则多 10 本，那么这个班 有多少 学生，多少练习本呢？ 实战演练 【解析】 由题意知：第一种方案：每人发 5 本多出 70 本；第二种方案：每人发 7
13、 本多出 10 本；两种方案 分配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），相差 60 本的学 生有：60 2=30（人）。练习本有：30 5+70=220（本）或（30 7+10=220） 2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把，则所带的钱还多 30 元，问 儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？ 【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买 7 把差 110 元，第二个方案：买 5 把还多 30 元，从买 7 把 变成买 5 把，少买了 7-5=2（把），而钱的差额为：110+30=140（元）
14、，即 140 元可以买 2 把小提琴，可见 小提琴的单价是每把 70 元，王老师一共带了 70 7-110=380（元） 3、工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运到目的地一个给运费 20 元，损坏一个倒赔 100 元运完这 批花瓶 后，工人共得 4400 元，则损坏了多少个？ 【解析】本题中“损坏一个倒赔 100 元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏 1 个花瓶相差 100+20=120（元）， 即损 1 个花瓶不但得不到 20 元的运费，而且要付出 120 元本例可假设 250 个花瓶都完好，这样可得运费 20 250=5000 元）。这样比实际多得 5000-4400=600（元），就是因
15、为有损坏的瓶子，损坏 1 个花瓶相差 120 元现共相差 600 元，从而求出共损坏多少个花瓶。根据以上分析，可得损坏了（20 250-4400） （100+20） =5（个） 4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分 5 个，则余下 10 个。如全 部分给 小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹果共有多少个？ 【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少 3 人，则苹果又收回 3 5=15 个苹果，人数一样， 根据盈亏问题公式，小班人数为：(15+10+2) (8-5)=9 人，苹果总数是 8 9-2=70 个。 5、
16、有一些糖，每人分 5 块则多 10 块，如果现有人数增加到原有人数的 1.5 倍，那么每人 4 块就少两 块， 这些糖共有多少块？ 【解析】 第一次每人分 5 块，第二次每人分 4 块，可以认为原有的人每人拿出 5-4=1 块糖分给新增加的人， 而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到 2 块糖果，这些人每人还差 4-2=2 块，一共差 了 10+2=12 块，所以新增加了 12 2=6 人，原有 6 2=12 人糖果数为：12 5+10=70 (块) 6、卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分 5 个还多余 10 棵竹子，如 果大熊 猫数增加到 3 倍还少
17、 5 只，那么每只大熊猫分 2 棵竹子还缺少 8 棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？ 【解析】使同学们感到困难的是条件“3 倍还少 5 只大熊猫”。先要转化这一条件，假设还有 10 棵竹子， 10 2=5，就可以多有 5 个大熊猫，把“少 5 只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑 3 倍大熊猫数，也相 当于按原大熊猫数每只大熊猫给 2 3=6(棵)竹子，每只大熊猫给 5 棵与给 6 棵，总数相差 10+10+8=28(棵)， 所以原有大熊猫数 28 (6-5)=28 (只)，竹子总数是 5 28+10=150 (棵) 7、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买 10 千克牛肉则还差 6 元，若买
18、 12 千克猪肉则还剩 4 元已 知每千 克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？ 【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵 3 元”，所以同样买 10 千克猪肉的话，就剩了 3 10624（元）， 这 样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（244） （1210）10（元），所以小明妈妈带的钱数是： 12 104124（元） 8、小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，就可以比 上课 时间提前 2 分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【解析】迟到 3 分钟转化成米数：50 3=150（米），提前 2 分钟到校转化成米数：60 2=120（
19、米），距离 上课时间为：(150+120) (60-50)=27（分钟），家到学校的路程为：50 (27+3)=1500（米） 课后反击课后反击 1、某校安排学生宿舍，如果每间住 5 人则有 14 人没有床位；如果每间住 7 人，则多出 4 个床位，问宿舍 几间?住宿生几人? 【解析】 由已知条件每间 5 人,少 14 个床位,每间 7 人,多 4 个床位。比较两次分配的方案，可以看出，由于 第二种方案比第一种每间多 7-5=2 人，一共要多出 14+4=18 个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床 位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数。 解：(4+14) (7-5)=9
20、(间)， 5 9+14=59(人)或 7 9-4=59（人) 2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4 个，要多出 48 个萝 卜；如果每天吃 6 个，则又少 8 个萝卜那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？ 【解析】 题中告诉我们每天吃 4 个， 多出 48 个萝卜； 每天吃 6 个， 少 8 个萝卜 观察每天吃的个数与萝 卜 剩余个数的变化就能看出，由每天吃 4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2 个时，萝卜从多出 48 个到少 8 个，也就是所需的萝卜总数要相差 48856（个）从这个对应的变化中可以看出，只要求 56 里面含 有多少个
21、2， 就是所求的计划吃的天数； 有了计划吃的天数， 就不难求出共有多少个萝卜了 吃的天数： （48 8） （64）56 228（天），萝卜数：6 288160（个）或 4 2848160（个） 3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张 信纸， 一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买 了多少张信纸？ 【解析】 由题意， 如果乙用完所有的信封， 那么缺 30 张信纸 这是盈亏问题， 盈亏总额为(2030)张信 纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(2030) (32)50
22、(个)，有信纸 2 5020=120(张） 4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个， 少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【解析】 因为桔子每人分 3 个多 4 个， 而苹果是桔子的 2 倍， 因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果 每 人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5） （6-5）=13（人）。苹果个数为 13 7-5=86（个）， 桔子数为 13 3+4=43 （个） 答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子 5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8 元和 10
23、元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买 碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩余的钱问：李妈妈带了多少钱？ 【解析】 “李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋”，这三袋洗衣粉多花 8 324 （元）， 又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元，所以 要买碧浪洗衣粉袋数 24 212（件）。这样李妈妈带的钱数是 10 12120（元）。 6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车 500 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟骑车 600 米， 就可 以比上课时间提前 2 分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？ 【解析】迟到 3 分钟转化成
24、米数：500 3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600 21200（米） 王老师家到学校需要（15001200） （60-50）=270（分钟）， 王老师家到学校的路程：500 （270+3）136500（米） 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时， 称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果 每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用 题叫做“盈亏问题”。 1.条件转换 2.关系互换 以上这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。 本节课我学到 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨 重点回顾