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江苏省盐城市二校联考2020年6月高三第二次调研考试数学试题及附加题(含答案解析)

1、一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题纸相应的位置上 ) 1已知集合1 20Ax xx,集合BZ,则AB _. 2若i是虚数单位,复数 1 2zaii是纯虚数,则实数a的值为_. 3在某次数学测验中,5位学生的成绩如下:78、85、a、82、69,他们的平均成绩为80,则他们 成绩的方差等于_. 4若 1,0,1,2a ,则方程 2 20xxa有实根的概率为_. 5如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为_ 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45,且过点 3,1,则双曲线的焦距等 于_. 7已知等差数列 n a

2、的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN.若 1 a与 5 a的等差中项为 8,则 pq_. 8如果命题 0px : , 4 957xm x 为真命题,则实数 m 的取值范围是_ 9函数 2sinf x xax在0, 2 上的单调递减,则实数a的取值范围为_. 10边长为 2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状,其中 B,D 分别为 AC,CE 的中点,N 为 GD与 CF 的交点,则AN EG _ 11已知球O的半径为r,则它的外切圆锥体积的最小值为_. 12定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ,若函数 x f xg xe,则满足不等 式 2 33f aa

3、f a 的实数a的取值范围是_ 13在平面直角坐标系xOy中,已知圆 22 :1O xy, 2 2 1: 44Oxy,动点P在直线 30xyb上,过P点分别作圆 1 ,O O的切线,切点分别为,A B,若满足 2PBPA的点P有且只有 两个,则实数b的取值范围是_ 第 2 页 14 已知函数 2222 11 ( )2 (cos)sincos(sin) 22 f, 若集合 ( )aR fm , 则实数m的取值范围为_. 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,

4、PC 平面ABCD,AB/ /CD,CDAC,过CD的平面分别 与,PA PB交于点,E F (1)求证:CD平面PAC; (2)求证:/ /ABEF 16 (本小题满分 14 分) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知2 sincosbCaCcoscA, 2 3 B , 3c . (1)求角C; (2)若点E满足 2AEEC ,求BE的长. 17 (本小题满分 14 分) 第 3 页 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 3 e ,焦距为 2,直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点  (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l过椭

5、圆的右焦点 F,且2AFFB,求直线 l方程 18 (本小题满分 16 分) 如图所示,某区有一块空地OAB,其中4OAkm,4 3OBkm, AOB90 .当地区政府规 划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中,M N都在边AB上,且 30MON,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地 带开设儿童游乐场.为安全起见,需在OAN的周围安装防护网. (1)当2AMkm时,求防护网的总长度; (2) 若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍, 试确定AOM的大小; (3)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方 案,可

6、使OMN的面积最小?最小面积是多少? 19 (本小题满分 16 分) 第 4 页 设函数 12 xx f xxeaee, (1)当0a时,求函数( )f x图象在1x 处的切线方程; (2)求 f x的单调区间; (3)若不等式 0f x 对2,x恒成立,求整数a的最大值. 20 (本小题满分 16 分) 对于 *, nN 若数列 n x满足 1 1, nn xx 则称这个数列为“K数列”. (1)已知数列 1, 2 1,mm是“K数列”,求实数m的取值范围; (2)是否存在首项为1的等差数列 n a为“K数列”,且其前n项和 n S使得 2 1 2 n Snn恒成立?若存 在,求出 n a的

7、通项公式;若不存在,请说明理由; (3)已知各项均为正整数的等比数列 n a是“K数列”,数列 1 2 n a 不是“K数列”,若 1 , 1 n n a b n 试 判断数列 n b是否为“K数列”,并说明理由. 第 5 页 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研考试 数学试题    20206 第 II 卷(附加题,共 40 分) 21【选做题】本题共 2 小题,每小题 10 分共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 A选修 42:矩阵与变换 已知矩阵 10 02 A , 12 06 B ,求矩阵 1 A B . B选修 44:坐标

8、系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆:2 2cosC和直线:() 4 l R相交于,A B两点, 求线段AB的长. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 22(本小题满分 10 分) 设 2 012 ()n rn rn qxaa xa xa xa x,其中 * ,qR nN. (1)当1q 时,化简: 0 1 n r r a r ; (2)当q n 时,记 01 0 , 2 n nnr r n aa ABa ,试比较 n A与 n B的大小. 第 6 页 23.(本小题满分 10 分) 一种新的验血技术可以提高血液检测

9、效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本,其中只有 1 份呈阳性,并设计了如下混合检测方案:先随机对其中( 3)n 份血液样本分别取样,然后再混合在一起进 行检测,若检测结果为阴性,则对另外 3 份血液逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止;若检测结果呈阳 性,测对这( 3)n 份血液再逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止. (1)若6n,求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率; (2)若8n ,宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X, 求X的概率分布; 求()E X. 第 7 页 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第二次调研考试 数学试题参考答案 第

10、I 卷(必做题,共 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题纸相应的位置上 ) 1已知集合1 20Ax xx,集合BZ,则AB _. 【答案】0,1 【解析】因为120Ax xx12xx ,BZ,所以0,1AB , 2若i是虚数单位,复数 1 2zaii是纯虚数,则实数a的值为_. 【答案】2 【解析】复数1 2zaii 2 22aiaii 221aai 因为z为纯虚数,所以20a,210a ,所以2a. 3在某次数学测验中,5位学生的成绩如下:78、85、a、82、69,他们的平均成绩为80,则他们 成绩的方差等于_. 【答案】38 【

11、解析】5位学生的成绩如下:78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80, 78 8582 695 80a ,解得:86a, 222222 1(78 80)(8580)(8680)(8280)(6980) 38 5 s,则他们成绩的方差等于 38. 4若 1,0,1,2a ,则方程 2 20xxa有实根的概率为_. 【答案】 3 4 【解析】方程 2 20xxa有实根, 2 240a ,解得1a 1,0,1a 时满足要求, 则方程 2 20xxa有实根的概率为 3 4 . 5如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为_ 【答案】10 【解析】第一步:1i ,0 1 1S ; 第一步:2i ,1

12、 23S ; 第一步:3i ,3 36S ; 第一步:4i ,6410S ;故输出的结果为10 第 8 页 6已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为45,且过点 3,1,则双曲线的焦距等 于_. 【答案】8 【解析】双曲线的渐近线方程为 b yx a ,由题意可得1 b a ,ba ,所以,双曲线的标准方程为 22 22 1 xy aa ,将点 3,1的坐标代入双曲线的标准方程得 22 91 1 aa ,得 2 2ab , 因此,双曲线的焦距为 22 22 48ab . 7已知等差数列 n a的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN.若 1

13、a与 5 a的等差中项为 8,则 pq_. 【答案】2 【解析】由等差数列 n a的前n项和为 2* 2, n Spnnq p qR nN , 由等差数列的性质可得0q ,又 1 a与 5 a的等差中项为 8,即 15 16aa, 即 15 5 () 5 40 2 aa S ,即25 1040p ,即2p ,即202pq, 8如果命题 0px : , 4 957xm x 为真命题,则实数 m 的取值范围是_ 【答案】|1m m 【解析】命题 p 为真命题,即当0x时,不等式 4 957xm x 恒成立, 又当0x时, 44 92912xx xx ,当且仅当 4 9x x ,即 2 3 x 时,

14、 4 9x x 取得最小值 12, 故5712m ,解得1.m 9函数 2sinf x xax在0, 2 上的单调递减,则实数a的取值范围为_. 【答案】2,) 【解析】因为 2sinf xxax,0, 2 x ,所以 2cosfxxa , 因为函数 2sinf xxax在0, 2 上的单调递减, 第 9 页 所以 2cos0fxxa 在0, 2 上恒成立,即2cosax在0, 2 x 上恒成立, 因为 2cosg xx在0, 2 x 上单调递减,所以 max 02cos02g xg所以2a,即 2,a 10边长为 2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状,其中 B,D 分别为 AC,CE 的中

15、点,N 为 GD与 CF 的交点,则AN EG _ 【答案】 7 2 【解析】由已知得 1 22 2 ANABCNABAH, 3EGDEDGABCHABAHACABAH ,所以 22 111 2( 3)6| 222 AN EGABAHABAHABAB AHAH 因为等边三角形的边长 为 2,所以 22 1117 6 11 22 2222 AN EG 11已知球O的半径为r,则它的外切圆锥体积的最小值为_. 【答案】 3 8 3 r 【解析】 设圆锥的高为h, 底面半径为R, 在截面图中,SCh,OCODr,BCR, 根据圆锥与球相切可知,D、C均为球O与外切圆锥的切点,则 2 SCBSDO 又

16、OSDBSC,SODSBC, BCSC ODSD ,即 22 () Rh r hrr , 222 ()2 hrhr R hrrhhr , 圆锥体积为 22 2 1 ( ) 33(2 ) r h V hR h hr , 2 2 (4 ) ( ) 3(2 ) r h hr V h hr ,令( )0V h 可得4hr,则 04hr时, ( )0V h ;4hr时,( )0V h , ( )V h 在(0,4 ) r单调递减,在(4 ,)r 单调递增,  则 3 min 8 ( )(4 ) 3 V hVrr. 第 10 页 12 定义符号函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ,

17、若函数 x f xg xe, 则满足不等式 2 33f aaf a 的实数a的取值范围是_ 【答案】3,1 【解析】由函数 1,0 0,0 1,0 x g xx x ,得 ,0 0,0 ,0 x x ex f xx ex , 根据指数的性质可得函数 f x在R上是增函数, 又由 2 33f aaf a ,则 2 33aaa,解得31a 点睛:本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题,其中解答中函数的函数的单调性,转化为不等 式 2 33aaa是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,对于解函数不等式:首先根据 函数的单调性和奇偶性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),即可求解 13

18、在平面直角坐标系xOy中,已知圆 22 :1O xy, 2 2 1: 44Oxy,动点P在直线 30xyb上,过P点分别作圆 1 ,O O的切线,切点分别为,A B,若满足 2PBPA的点P有且只有 两个,则实数b的取值范围是_ 【答案】 20 (,4) 3 . 【解析】由题意 O(0,0),O1(4,0).设 P(x,y),则PB=2PA, 2 222 4421xyxy , (x4)2+y2=4(x2+y2),x2+y2+ 816 33 x=0,圆心坐标为 4 ,0 3 ,半径为 8 3 , 动点 P 在直线 x+ 3yb=0上, 满足 PB=2PA的点 P有且只有两个, 直线与圆 x 2+

19、y2+8 16 33 x=0 相交, 圆心到直线的距离 4 83 31 3 b d , 416416 3333 b ,即实数b的取值范围是 20 ,4 3 . 14 已知函数 2222 11 ( )2 (cos)sincos(sin) 22 f, 若集合 ( )aR fm , 则实数m的取值范围为_. 【答案】 17 2 m 第 11 页 【解析】 2 222 1 2 (cos)sin54coscos2sin 2 , 设cos ,sinP,2,0Q , 1 0, 2 S 则 2 222 1 ( )cos2sincos(sin) 2 fPQPB,如图, PQPBQB,当且仅当,P Q B三点共线

20、且B在,P Q之间时等号成立, 又 117 4 42 QB ,故 f的最大值为 17 2 . 因为集合( )aR fm ,故 max 17 2 mf,故 17 2 m . 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,PC 平面ABCD,AB/ /CD,CDAC,过CD的平面分别 与,PA PB交于点,E F (1)求证:CD平面PAC; (2)求证:/ /ABEF 【解析】 (1)证明:在四棱锥PABCD中,PC 平面ABCD,CD 平面ABCD, CDPC,C

21、DAC,PCACC,CD平面PAC. (2)/ABCD, 过CD的平面分别与,PA PB交于点,E F,故平面CDEF平面PABEF 又CD平面PAB,AB平面PAB, /CD平面PAB,而CD 平面CDEF, /CDEF/ /ABEF  16 (本小题满分 14 分) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知2 sincosbCaCcoscA, 2 3 B , 3c . (1)求角C; (2)若点E满足 2AEEC ,求BE的长. 【解析】 (1) 【解法一】由题设及正弦定理得2sin sinsin cossin cosBCACCA, 又sin cossin cossi

22、nsinsinACCAA CBB,所以2sin sinsinBCB. 第 12 页 由于 3 sin0 2 B ,则 1 sin 2 C .又因为0 3 C ,所以 6 C . 【解法二】由题设及余弦定理可得 222222 2 sin 22 abcbca bCac abbc ,化简得2 sinbCb. 因为0b,所以 1 sin 2 C .又因为0 3 C ,所以 6 C . 【解法三】由题设2 sincoscosbCaCcA,结合射影定理coscosbaCcA,化简可得2 sinbCb. 因为0b.所以 1 sin 2 C .又因为0 3 C ,所以 6 C . (2) 【解法 1】由正弦定

23、理易知2 3 sinsin bc BC ,解得3b. 又因为 2AEEC ,所以 22 33 AEACb,即2AE . 在ABC中,因为 2 3 B, 6 C ,所以 6 A , 所以在ABE中, 6 A , 3AB ,2AE 由余弦定理得 22 3 2cos342321 62 BEABAEAB AE ,所以1BE . 【解法 2】在ABC中,因为 2 3 B, 6 C ,所以 6 A , 3ac . 由余弦定理得 22 2 33233 cos3 3 b .因为2AEEC,所以 1 1 3 ECAC. 在BCE中, 6 C , 3BC ,1CE 由余弦定理得 22 3 2cos3 1 23 1

24、1 62 BEBCECBC EC 所以1BE . 【解法 3】在ABC中,因为 2 3 B, 6 C ,所以 6 A , 3ac . 因为 2AEEC ,所以 12 33 BEBABC. 则 2 222 1111 |2|44|34334 31 9992 BEBABCBABA BCBC 所以1BE . 17 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 3 e ,焦距为 2,直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点  (1)求椭圆 C 的标准方程; 第 13 页 (2)若直线 l过椭圆的右焦点 F,且2AFFB,求直线 l方程 【解析】 (

25、1)设椭圆的焦距为2c,则由221cc ,则 1 32 3 c ab a , 22 :1 32 xy C; (2)当直线 l为0y 时,31,3 1AFacBFac,不满足2AFFB; 所以设直线 l:1xty,联立 22 22 1 23440 236 xty tyty xy , 设 1122 ,A x yB xy,则 1212 22 44 , 2323 t yyyy tt , 又 2 2 2 12 112 22112 2 4 5123 2 4 22 23 t yyyyy t yyyy y t , 2 11 22 tt ,故直线 l: 1 1 2 xy ,即220xy 18 (本小题满分 16

26、 分) 如图所示,某区有一块空地OAB,其中4OAkm,4 3OBkm, AOB90 .当地区政府规 划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中,M N都在边AB上,且 30MON,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地 带开设儿童游乐场.为安全起见,需在OAN的周围安装防护网. (1)当2AMkm时,求防护网的总长度; (2) 若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍, 试确定AOM的大小; (3)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方 案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少? 【解析】(1) 在OAB中,4O

27、A,4 3OB ,90AOB,60OAB 在AOM中,4,2,60OAAMOAM,由余弦定理,得2 3OM , 222 OMAMOA,即OMAN,30AOM, OAN为正三角形,所以OAN的周长为12,即防护网的总长度为12km. 第 14 页 (2)设(060 )AOM,3 OMNOAM SS , 11 sin303sin 22 ON OMOA OM ,即 8 3sinON , 在OAN中,由 0 4 sin60cossin 1806030 ONOA ,得 2 3 cos ON , 从而 2 3 8 3sin cos ,即 1 sin2 2 ,由02120, 得230,15 ,即AOM15.

28、 (3)设(060 )AOM,由(2)知 2 3 cos ON , 又在AOM中,由 sin60sin60 OMOA ,得 2 3 sin60 OM , 1 sin30 2sin60cos 3 OMN SOM ON 133 sin2cos2 22 6 2 6 3 sin 260 2 , 当且仅当2 6090,即15时, OMN的面积取最小值为24 12 3 2 km. 19 (本小题满分 16 分) 设函数 12 xx f xxeaee , (1)当0a时,求函数( )f x图象在1x 处的切线方程; (2)求 f x的单调区间; (3)若不等式 0f x 对2,x恒成立,求整数a的最大值.

29、【解析】 (1)当0a时, 1 x f xxe, x fxxe,所以 10f, 1fe 所以所求切线方程为(1)ye x (2) xxx fxxeaexa e.令 0fx,则xa.当,xa 时, 0fx; 当,xa时, 0fx ;所以 f x的单调递增区间是, a ,单调递减区间是,a. (3)当2,x时,120 xx xeaee 恒成立,等价于当2,x时, 1 2 x x xe a ee 恒成 第 15 页 立; 即 min 1 2 x x xe a ee 对2,x恒成立.令 1 2 x x xe g x ee ,2,x ,   2 2 2 xx x eeex gx ee , 令

30、2 x h xeex,2,x, 20 x h xee, 所以 2 x h xeex在2,上单调递增. 又因为 2 240hee, 3 360hee, 所以 g x 在2,3上有唯一零点 0 x,且 0 0 2 x eex, 0 2,3x , 所以 g x在 0 2,x.上单调递减,在 0, x 上单调递增, 所以 0 0 000 00 min 0 11 2 2,3 222 x x xexex g xg xx eeexe ,所以 0 2,3ax, 故整数a的最大值为2. 20 (本小题满分 16 分) 对于 *, nN 若数列 n x满足 1 1, nn xx 则称这个数列为“K数列”. (1)

31、已知数列 1, 2 1,mm是“K数列”,求实数m的取值范围; (2)是否存在首项为1的等差数列 n a为“K数列”,且其前n项和 n S使得 2 1 2 n Snn恒成立?若存 在,求出 n a的通项公式;若不存在,请说明理由; (3)已知各项均为正整数的等比数列 n a是“K数列”,数列 1 2 n a 不是“K数列”,若 1 , 1 n n a b n 试 判断数列 n b是否为“K数列”,并说明理由. 【解析】 (1)由题意得11 1,m 2 11,mm解得2,m 所以实数m的取值范围是2.m (2)假设存在等差数列 n a符合要求,设公差为,d则1,d 由 1 1,a 得 1 , 2

32、 n n n Snd 由题意,得 2 11 22 n n ndnn 对 * nN均成立,即 1.ndn 当1n 时,;dR 第 16 页 当1n 时, 1 n d n 因为 1 11, 11 n nn 所以1,d 与1d 矛盾, 所以这样的等差数列不存在. (3)设数列 n a的公比为 , q 则 1 1 , n n aa q 因为 n a的每一项均为正整数,且 1 110, nnnnn aaa qaaq 所以在 1nn aa 中,“ 21 aa”为最小项.同理, 1 11 22 nn aa 中,“ 21 11 22 aa”为最小项. 由 n a为“K数列”,只需 21 1,aa即 1 11,

33、a q 又因为 1 2 n a 不是“K数列”,且 21 11 22 aa为最小项, 所以 21 11 1, 22 aa即 1 12a q, 由数列 n a的每一项均为正整数,可得 1 12,a q 所以 1 1,3aq或 1 2,2.aq 当 1 1,3aq时, 1 3, n n a 则 3 , 1 n n b n 令 * 1 , nnn cbbnN 则 1 3321 3, 2112 nn n n n c nnnn 又 1 2321 33 2312 nn nn nnnn 2 3486 0, 213 n nn nnn 所以 n c为递增数列,即 121,nnn cccc 所以 21 33 31

34、, 22 bb 所以对于任意的 *, nN都有 1 1, nn bb 即数列 n b为“K数列”. 当 1 2,2aq时,2 , n n a 则 1 2 . 1 n n b n 因为 21 2 1, 3 bb所以数列 n b不是“K数列”. 综上:当 1 1,3aq时,数列 n b为“K数列”, 第 17 页 当 1 2,2aq时,2 , n n a 数列 n b不是“K数列”. 第 II 卷(附加题,共 40 分) 21【选做题】本题共 2 小题,每小题 10 分共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 A选修 42:矩阵与变换 已知矩阵 10 02 A , 12 06 B

35、 ,求矩阵 1 A B . 【解析】设矩阵A的逆矩阵为 ab A cd .则 1010 0201 ab cd .即 1010 220101 ab cd . 故 a1,b0,c0,d 1 2 .从而A的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A . 所以 1 10 1212 1 06030 2 A B . B选修 44:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆:2 2cosC和直线:() 4 l R相交于,A B两点, 求线段AB的长. 【答案】2 【解析】圆C:2 2cos直角坐标方程为 22 2 20xyx,即 2 2 22xy 直线l: 4 R 的直角坐标方程为y x 圆心C到直线l的距离 20

36、1 2 d 所以AB 2 2212 , 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 22(本小题满分 10 分) 设 2 012 ()n rn rn qxaa xa xa xa x,其中 * ,qR nN. (1)当1q 时,化简: 0 1 n r r a r ; (2)当q n 时,记 01 0 , 2 n nnr r n aa ABa ,试比较 n A与 n B的大小. 【解析】 (1)当1q 时, r rn aC 第 18 页 1! 11!()!(1)!() r n Cnn rrr nrrnr 1 1 1(1)!1 1

37、 (1)!()!1 r n n C nrnrn ,其中0,1,2,rn,  原式 1 1231 1111 121 11 n n nnnn CCCC nn (2)当q n 时, rn r rn aC n 01 , nn anan, 1n n An 令1x ,得(1)n n Bn 当1,2n 时, 1 (1) nn nn ; 当3n时, 1 (1) nn nn , 即(1) nn n nn,可得: (1)11 1+ nn n n nn n nnn 下面用数学归纳法证明:当3n时, 1 1+ n n n () 当3n时, 3 164 31 327 , ()成立 假设3nk时,()式成立,即

38、 1 1 k k k 则1nk时, ()式右边 1 111 111 111 kk kkk 111 1111 111 k k kkk kkkk 故当1nk时,()式也成立 综上知,当3n时, 1 1+ n n n 当1,2n 时, nn AB;当3n时, nn AB. 23.(本小题满分 10 分) 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本,其中只有 1 份呈阳性,并设计了如下混合检测方案:先随机对其中( 3)n 份血液样本分别取样,然后再混合在一起进 第 19 页 行检测,若检测结果为阴性,则对另外 3 份血液逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止;若检

39、测结果呈阳 性,测对这( 3)n 份血液再逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止. (1)若6n,求恰好经过 3 次检测而确定呈阳性的血液的事件概率; (2)若8n ,宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X, 求X的概率分布; 求()E X. 【解析】 (1)在6n时,恰好在第三次时检测出呈阳性血液,说明其中三份血液中的其中一份呈阳性, 并且对含阳性血液的一组进行检测时,前两次检测出血液为阴性,或第一次为阴性第二次为阳性. 32111 52121 32111 63132 2 2 3 CC CC C P CC CC C (2)在8n时, 3311 1111 3131 33 2 (2) n nn n nnn CCCC P X CCCCn 213111111 111412121 31111311 323234 3 (3) nnn nnnn CCCCCC CC C P X CC CC CCCCn 321 141 321 35 1 (4) nn nnn CCC P X CCCn 同理,当44kn时, 321 141 321 3(3) (2) 1 () k nn k nnnk CCC P Xk CCCn 341 141 341 31 2 (3)2 n nn n nn CCC P Xk CCC