1、第第 1515 讲讲 抓抓“不变量不变量”解题解题 掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并 能用不变量思想解决现实生活中的问题。 一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如“某班转走某班转走 3 3 名女生名女生”，女生人数变，女生人数变 了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了只有注意到只有注意到 这些变化，才能防止出错。但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。这些变化，才能防止出错。但在这些数量变化时，与它们相
2、关的另外一些数量却没有改变。 在分析数量关系时在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考，可以顺，这种不变量常常会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考，可以顺 利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可以将利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可以将“量不变量不变” 应用题分为三种类型：应用题分为三种类型：“总量不变总量不变”应用题、应用题、“相差量不变相差量不变”应用题和应用题和“部分量不变部分量不变”应用应用 题。题。 考点一：总量不变考点一：总量不变 题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加
3、的和减少的同样多，所以题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以 两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”“1”或者把其中一个量看作或者把其中一个量看作 是是 1 1 倍的量。倍的量。 例例 1 1、有一个书架,上层与下层书的数量比是 7:8,现从上层拿 10 本给下层,这时上层与下层的 数量比是 8:7,求原来上、下层各有多少本? 【解析】 这道题上下层都发生了变化,但总数量不变,可把总数量看作单位“1”,抓住总数量不抓住总数量不 变变,根据上层与下层的数量比是 7:8 知上层占
4、总数的 7/15,又根据上层与下层的数量比是 8:7， 知上层占总数的 8/15,列式:10(8/15-7/15)=150 （本） ,150 本为总数量,150(7+8)=10 （本） 710=70（本）810=80（本）。 教学目标 典例分析 知识梳理 例例 2 2、小丽有故事书 108 本，小芳有故事书 140 本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的 故事书的本数是小芳的 3 倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？ 【解析】小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但 两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的 本
5、数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) (3+1)=62 本，所以小芳借给小丽 故事书的本数是 140-62=78（本）。可以验证一下：(108+78)(140-78)=18662=3，答案正 确。 例例 3 3、有一个书架，上层与下层书的数量比是 2：3，现从上层拿 15 本书给下层，这时上层与 下层书的数量比是 3：7，求原来上、下层各有多少本书？ 【解析】根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可 把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是 2:3,知道上层书占 总数的 2/5；又根据上层与下层书的数量比是
6、3:7,知道上层书占总数的 3/10，两人故事书的 总本数是：15（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书 1502/5=60（本），下层原有书 150-60=90（本）。 考点二：相差量不变考点二：相差量不变 题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。根据这个不题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。根据这个不 变的差量，就可以解决问题了。变的差量，就可以解决问题了。 例例 1 1、有一个书架,上层与下层的数量比是 7:8,上、下层同时都拿走 10 本后,剩下上层与下层 本数的比是 13:15,求原来上、下层各有多少本? 【解析】
7、这道题上下层都发生了变化,但它们的差不变,可把它们的差看作单位“1”,抓住相差抓住相差 量不变量不变, ,根据上层与下层的数量比是 7:8，知上层占差的 7/1,又根据上层与下层的数量比是 13:15，知上层占差的 13/2,列式:10(7/1-13/2)=20 本,20(8-7)=20 本,208=160 （本）,207=140（本）。 例例 2 2、今年琪琪 5 岁，妈妈 32 岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的 4 倍？ 【解析】不论经过多少年，琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为 32-5=27（岁）,等于妈妈的岁数是琪琪岁数的 4 倍时的年龄差，所以 27 岁对应
8、的是那一年琪 琪岁数的（4-1）倍。那一年琪琪的岁数是（32-5）（4-1）=9（岁），经过的年限是：9-5=4 （年）。 例例 3 3、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进 6 杯水，连瓶共重 680 克，如果倒进 9 杯水，连瓶 共重 920 克，求空瓶的重量。 【解析】随着倒进的杯数不同，瓶里水的重量和总重量都在变化，但是不管倒进几杯水，每一 杯水的重量都是不变的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。对应相除就能求 出 1 杯水的重量， （920-680）（9-6）=80（克）从而就可以求出空瓶的重量。920-809=200 （克）。 考点三：部分量不变考点三：部分量不变
9、 这类应用题的特点是：两个量中的一个量发生了变化，而另一个量不变。解题时可以把这 个不变的量作为解题突破口，寻找解题方法。 例例 1 1、有一个书架,上层与下层书的数量比是 7:8,现又拿来 10 本书放到上层,这时上层与下层 的比是 15:16,求原来上、下层各有多少本? 【解析】这道题中,由于从外面拿 10 本书放到上层,上层的数量发生了变化,而下层本数不变, 可把下层本数看成单位“1”,抓住部分量不变抓住部分量不变,根据原来上层与下层书的数量比是 7:8,知上 层本数占下层的 7/8,放入 10 本后,上层本数占下层的 15/16,也就是下层的(15/16-7/8)是 10 本,列式:1
10、0(15/16-7/8)=160 本,160 本为原下层的本数,上层为 160/87=140 本。 例例 2 2、 小军原有的钱数是小明的 3/4， 小军用去 100 元后， 这时小军的钱数是两人总钱数的 5/17。 小军原来有多少元钱？ 【解析】题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把 小明的钱数看作单位“1”。 这时“小军用去 100 元后， 这时小军的钱数是两人总钱数的 5/17” 就转化为“小军用去 100 后，这时小军的钱数是小明的 5/(17-5),即 5/12”，再根据题中前两 个条件可知， 100 元相当于小明的钱数的 3/4-5/12=1/3
11、。 因此小明的钱数是 1001/3=300(元)， 小军原有钱数是 3003/4=400（元）。 例例 3 3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的 9/16，后来又转走了 4 名男生，这时男生 人数占班级总人数的 8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ 【解析】从男生转走了 4 名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。 因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的 9/16,女生人 数就占班级总人数的 1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的 9/167/16=9/7；现在男生人 数占总人数的 8/15，女生人数就占班级总人数的 1
12、-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的 8/157/15=8/7,男生人数减少了 4 名，分率减少了 9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为 41/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是 287/16=64(名)。 课堂狙击课堂狙击 1、育才小学六（1）班原有学生 56 人，其中女生人数占全班人数的 3/7，现又转入若干名女 生，这时，女生人数占全班的 13/29。问又转入多少名女生？ 【解析】这道题中,据六（1）班原有学生 56 人，其中女生人数占全班人数的 3/7，知女生有 563/7=24（人），由于女生后来人数发生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住不变量男 生人数，男生
13、人数为 56-24=32（人），据又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的 13/29， 知男生人数占后来全班人数的 （1-13/29） =16/39， 后来全班人数为 32 （1-13/29） =58 （人） ， 58-56=2 （人） ， 得出又转入女生 2 人。 列式： 563/7=24 （人） ， 56-24=32 （人） ， 1-13/29=16/39， 32（1-13/29）=58（人），58-56=2（人）。 实战演练 2、某工程，由甲先做了 12 天，再由甲、乙两人合做，完成任务时，甲做了这项工程的 5/8 ， 甲每天的工作量是乙的 2/3 ，假如这项工程由甲单独做，几天完工？
14、 【解析】从题中条件可知，这项工程在由甲先做了 12 天后，剩下的工程是由甲、乙两人合做， 才完成剩下的工程，甲、乙两人做的时间是相等的，这是一个不变的量。另外由题意明白，甲 每天的工作量是乙的 2/3 ， 因为这项工程， 甲做了其中的 5/8 ， 乙则做了其中的： 15/8 3/8 ，在乙完成这项工程的 3/8 这段时间里，甲只能完成这项工程的：3/8 2/3 1/4 ，即可得，在甲先做的 12 天的这段时间里，完成了工程的：5/81/4 ，因此可得，甲 单独完成这项工程用的时间是：12（5/8 1/4 ）= 32（天）。 3、王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比 1 大)。
15、王进把甲数的个位数字 看错了，计算结果为 91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为 175。两个数的积究 竟是多少? 【解析】91=713 =191 ，所以 175 和 91 的公约数是 1 或 7，因为乙数比 1 大，所以乙数 一定是 7。 抓住：一个因数(乙数)没有变 ，乙是 91 和 175 的公约数；917=13王进看错了的甲 数。 1757=25张明看错了的甲数。157=105。 4、如果给分数的分子加上一个数，又从它的分母中减去同一个数，原分数就变为 45 19 ，求所加 (减)的这个数。 【解析】变化前后分子分母的和不变，原分数分子分母比为 1945，分子分母子的和的总份
16、 数为 19+45=64 份；新分数分子分母比为 35，分子分母的和的总份数为 3+5=8 份。原来总份 数 64 份和现在总份数 8 份所表示的量应该是相同的，把 35 改为 2440，这样分子多了 24 19=5，分母少了 4540=5，因而所加(减)的这个数是 5。 5、有浓度为 95%的酒精溶液 600 克，现要加水稀释成浓度为 75%的酒精，求加水后酒精溶液的 重量。 【解析】加水稀释，说明纯酒精不变，原来纯酒精与溶液的比是 95100 即 1920，纯酒精 份数为 19 份；加水后纯酒精与溶液的比是 75100 即 34，纯酒精份数为 3 份。原来纯酒精 份数为 19 份和现在纯酒
17、精份数为 3 份所表示的量应该是相同的，把原来 1920 改为 5760， 把 34 改为 5776，这样原来酒精溶液所表示的份数为 60 份，因而原来酒精溶液 600 克对 应的份数是 60 份, 而加水后溶液份数为 76 份.加水后酒精溶液的重量 6006076=760。 课后反击课后反击 1、育才小学六（1）班原有女生 26 人，其中女生人数占全班人数的 13/29，现又转出若干名 女生，这时，女生人数占全班的 3/7。问又转出多少名女生？ 【解析】这道题中,据六（1）班原有女生 26 人，其中女生人数占全班人数的 13/29，知全班 人数为 2613/29=58（人）由于女生后来人数发
18、生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住 不变量男生人数，男生人数为 58-26=32（人），据又转出若干名女生，这时，女生人数占全 班的 3/7，知男生人数占后来全班人数的（1-3/7）=4/7，后来全班人数为 32（1-3/7）=56 （人），58-56=2（人），得出又转出女生 2 人。列式：2613/29=58（人），58-26=32（人）， 1-3/7=4/7，32（1-3/7）=56（人），58-56=2（人）。 2、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是 43。 相遇后，两车继续前进，乙车每小时比本来多行 35 千米。结果两车同时达到目标地，
19、求甲车 每小时行多少千米？ 【解析】甲、乙两车同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是 43，到相遇时 用的时间相等，因此可得，这时两车行的路程比也是 43，两车相遇后，两车达到目标地的 行程比则变为 34，如设乙车的速度为“1” ，则甲车的速度为 4/3，设乙 车本来的速度 为 X，乙车现如今的速度则为：X+35，甲车的速度则为 4/3X，因为两车在相遇后，又继续前进， 并且两车同时达到目标地，这时两车行的时间又是相等的，时间一定，路程和速度成正比例， 因此可得：4（X+35）=34/3X，解得，X=45，即乙车本来的速度为每小时行 45 千米，甲车 的速度则为：454/3 = 60
20、（千米）。 3、把一个长 25 厘米，宽 10 厘米，高 4 厘米的长方体木块锯成若干个小正方体，接着拼成一 个大正方体，求这个大正方体的表面积。 【解析】因为将这个长方体锯成若干个小正方体，接着再拼成一个大正方体，这个大正方体的 体积和本来长方体的体积是相等的。因此，我们可抓住大正方体的体积和本来长方体的体积相 等这个关键进行解答。本来长方体的体积为：251041000（立方厘米），因此可得，将 这个长方体锯成若干个小正方体接着再拼成一个大正方体的体积也为 1000 立方厘米。而 1000 10101010 3，因此可得，这个大正方体的棱长为 10 厘米，这个大正方体的表面积则 为：1010
21、6600（平方厘米）。 4、甲、乙两个书架放图书册数的比是 75，从甲书架上拿 78 册到乙书架，甲、乙书架上的 图书册数的比变为 34。甲书架原有图书多少册？ 【解析】从甲书架上拿 78 册到乙书架，甲、乙两个书架图书总数不变，原来甲、乙两个书架 放图书册数的比是 75，总份数为 7+5=12 份；后来甲、乙书架上的图书册数的比变为 34， 总份数为 3+4=7 份。原来总份数 12 份和现在总份数 7 份所表示的量应该是相同的，把 75 改 为 4935，把 34 改为 3648，这样甲少了 4936=13 份，乙多了 4835=13 份，因而从甲 书架上拿 78 册到乙书架这个 78 册
22、对应的份数是 13 份。 甲书架原有图书 781349=294 本。 5、某班男生人数是女生人数的 4 5 ，最近又转来一名女生，结果女生人数成了男生人数的 6 5 ， 求现在全班有多少人？ 【解析】最近又转来一名女生，男生人数不变，原来男生人数是女生人数的 4 5 ，即原来男生人 数与女生人数的比是 54，男生人数份数为 5 份；后来女生人数成了男生人数的，即男生人 数与女生人数的比是 65，男生人数份数为 6 份。原来男生人数份数为 5 份和现在男生人数 份数为 6 份所表示的量应该是相同的，把 54 改为 3024，把 65 改为 3025，这样女生 人数增加了 2524=1 份， 因而
23、又转来一名女生对应的份数是 1 份。 现在全班有 （30+25） 1 =55 人。 6、甲乙两种商品价格比为 73，它们的价格都上涨 70 元后价格比变为 74，两种商品原来 价格各是多少元？ 【解析】甲乙两种商品价格上涨 70 元前后价格差不变，原来价格比为 73，差 73=4 份； 上涨 70 元后价格比变为 74，差 74=3 份。原来差 4 份和现在差 3 份所表示的量应该是相 同的，把 73 改为 219，把 74 改为 2816，这样甲价格上涨 2821=7 份，乙价格上涨 169=7 份。因而它们的价格都上涨 70 元对应的份数是 7 份。原来甲价格 70721=210 元； 原
24、来乙价格 7079=90 元 。 1、（华杯赛）第一桶柴油的重量是第二桶的 6 倍，从第一桶取出 12 千克柴油加入第二桶，这 时第一桶柴油的重量是第二桶的 4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？ 【解析】两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位一的量。则“取前”第一桶占两桶 总量的 1（16）17，“取后”第一桶占两桶总量的 1(14)15，第一桶取前取 后差 12 千克占两桶总量的 1517235，故两桶总量为：12(235)=210（千克）。 原来第一桶：2107=30（千克）。 2、（走美赛）有甲乙两个粮仓，原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是 3：5，从两个仓库 都运走后 50 吨的
25、粮食后，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的 5/9。问原来甲乙两个粮仓各存粮多 少吨？ 【解析】根据题意，甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化，而且它们的总存粮的吨数也发 生了变化，但是我们可以发现，由于两个粮仓的存粮数都减少了 50 吨，所以现在两个粮仓存 粮的吨数差不变。我们可以把吨数差作为单位“1”。“原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数 比是 3：5”，可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的 3(5-3)=3/2，都运走后 50 吨后，甲仓库存 粮的吨数占吨数差的 5(9-5)= 5/4。由此可以求出甲乙两个粮仓存粮的吨数差是 50 （3/2-5/4）=200（吨），甲仓库存粮的吨数是 2003/2=30
26、0（吨），乙仓库存粮的吨数是 300+200=500（吨）。 3、（希望杯）两个工程队，原来甲队人员比乙队少 14，后来甲队增加 21 人，这时乙队人 员是甲队的 89，现在甲队有多少人？ 【解析】题目中乙队人数不变量未知，又不易直接求出，所以必须以乙队人员为单位“1”的 量。第一句分率句以乙队人员为单位“1”的量不必变，第二句分率句是：“甲队增加 21 人以 直击赛场 后乙队是甲队的89”是以甲队为单位“1”的量是变量。 因此要转化不变量乙队为单位“1” 的量，即“甲队人数是乙队的 98”。找出对应：甲队增加 21 人，相当于乙队的 98（1 14）38。故现在甲队人数为：21（38）（98
27、）63（人）。 考点一：总量不变；考点一：总量不变； 考点二：相差量不变；考点二：相差量不变； 考点三：部分量不变。考点三：部分量不变。 抓抓“ “不变量不变量“ “策略的程序策略的程序: : （1 1）分析，题目中的几个分数的单位）分析，题目中的几个分数的单位 1 1 是否相同，分析题目中变化的量；是否相同，分析题目中变化的量； （2 2）找出题中不变的量，并根据不变量作单位）找出题中不变的量，并根据不变量作单位 1 1，用分数表示其他变化的量；，用分数表示其他变化的量； （3 3）找出量率的对应关系，用分数应用题的方法进行解答。）找出量率的对应关系，用分数应用题的方法进行解答。 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验