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【精品】六年级奥数培优教程讲义第18讲 加法、乘法原理(教师版)

1、第第 1818 讲讲 加法、乘法原理加法、乘法原理 理解加法、乘法原理的类型; 会用加法、乘法原理解应用题。 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用一类中 的一种方法就可以完成,并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中,又有几种可能的做法,那么考虑 完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决。 还有这样的一种情况就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方 法,要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决。 加法原理:加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 1 m种不同方法,在第二类方法

2、中有 2 m种 不同方法,在第 n 类方法中有 n m种不同方法,那么完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 乘法原理:乘法原理: 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行, 做第1步有 1 m种方法, 做第2步有 2 m种方法, 做第 n 步有 n m种方法,那么按照这样的步骤完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 例例 1、一个盒子内装有 5 个小球,另一个盒子内装有 9 个小球,所有这些小球颜色各不相同。 问:从两个盒子内任取一个小球,有多少种不同的取法? 从两个盒子内各取一个小球,有多少种不同的取法? 【解析】“从两个盒子内任取一个小球”,则这个小球要么从第一个盒子中取

3、,要么从第二个盒子中取,共 有两类方法,所以应用加法原理。 “从两个盒子内各取一个小球”,可看成先从第一个盒子中取一个,再从第二个盒子中取一个,分 两步完成,所以应用乘法原理。 典例分析 知识梳理 教学目标 从两个盒子中任取一个小球共有: 5+9=14(种) 从两个盒子中各取一个小球共有: 5 9=45(种) 例例 2、从 1 到 399 的所有自然数中,不含有数字 3 的自然数有多少个? 【解析】从 1 到 399 的所有自然数可分成三类。一位数中不含 3 的有 8 个,1、2、4、5、6、7、8、9。两 位数中,不含 3 的可以这样考虑:十位上不含 3 的有 1、2、4、5、6、7、8、9

4、 共八种情况;个位上,不含 3 的有 0、l、2、4、5、6、7、8、9 这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数字,再取个位数字, 应用乘法原理,这时共有 89=72 个数字不含 3。三位数中,小于 400 并且不含数字 3 的可以这样考虑:百 位上不含 3 的有 l、2 这两种情况,十位上和个位上不含 3 的有 0、1、2、4、5、6、7、8、9 这九种情况。 在从 1 到 399 中,不含 3 的一位数有 8 个; 不含 3 的两位数有 8 9=72 个; 不含 3 的三位数有 2 9 9=162 个。 由加法原理,在从 1 到 399 中,共有: 8+72+162=242(个)不含

5、 3 的自然数。 例例 3、用 5 种颜色给图 1 的五个区域染色,相邻的区域染不同的颜色,每个区域染一 种颜色。问:共有多少种不同的染色方法? 【解析】由图 1 可知 A 与 D、B 与 E 不相邻,它们之间有同色和不同色两类变化。 考虑当 A、D 染同色时,根据乘法原理。 当 A、D 染同色时,有: 5 4 3+5 4 3 2=60+120=180(种) 当 A、D 染色不同时,有: 5 4 3 2+5 4 3 2 1=120+120=240(种) 根据加法原理: 180+240=420(种) 答:共有 420 种不同的染色方法。 例例 4、学校羽毛球队有 12 名男队员,10 名女队员。

6、 (l)要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手,有多少种不同的搭配方法? (2)该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名,学校选一名运动员去领奖,有多少种选法? 【解析】(l)组成男、女混合双打选手,先挑选男队员有 12 种方法,再挑选女队员有 10 种方法,根据乘 法原理可求有多少种不同的搭配方法。 (2)选一名运动员去领奖,从男队员中选有 12 种选法,从女队员中选有 10 种方法,根据加法原 理可求有多少种选法。 (1)根据乘法原理,组成男、女混合双打选手有: 12 10=120(种) (2)根据加法原理,选一名运动员去领奖有: 12+10=22(种) 例例 5、找出图 2 中

7、从 A 点出发,经过 C 点和 D 点到 B 点的最短路线,共有多少条? 【解析】要找出从 A 到 B 共有多少条不同的最短路线,只要根据加法原理找出 A 点到图上每个交点的最短 路线,便可得到。 如图 3 所示,从 A 到 、 走最短路线只有 1 种方法,而从 A 到 有 、 两种路线。根据同样的道理可 推算出 A 到图上各点的走法数。先运用加法原理进行推算,AC 有 6 种走法。再用同法得出 CD、DB 的走法数,再用乘法原理可得出从 ACDB 的最短线路。 从 A 到 C 有 6 种走法, 再以 C 为起点, 用相同的办法得出到 D 的走法有 10 种。 从 D 到 B 的走法也有 6

8、种。 运用乘法原理得出,从 A 经 C、D 到 B 的最短不同线路共有 6106=360(种)。 例例 6、现有壹元的人民币 4 张,贰元的人民币 2 张,伍元的人民币 5 张,如果从中至少取一张,至多取 11 张,那么共可以配成多少种不同的钱数? 【解析】33(种) 例例 7 7、由数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 可组成多少个三位数?三位偶数?没有重复数字的三位偶 数?百位为 9 的没有重复数字的三位数?百位为 9 的没有重复数字的三位偶数? 【解析】要组成三位数,需一位一位地确定各个数位上的数字,即分三步完成,如,组成三位数可先从百 位上考虑起,百位有 9 种选择方法,依次十位和

9、个位也各有 9 种选择方法,根据乘法原理可求。若要排成 偶数,则要考虑到尾数的排法只有 4 种,即只能排 2、4、6、8。若要排成无重复数字的数,则须考虑到确 定一个数位的选法之后,下一个数位的选法会减少。 组成三位数,百位、十位、个位各有 9 种选法,由乘法原理可知有: 9 9 9=729(种)。 组成三位偶数,个位有 4 种选法,百位、十位各有 9 种选法,那么有: 4 9 9=324 种)。 无重复数字三位偶数,个位有 4 种选法,十位有(9-l)种选法,百位有(9-1-l)种选法,那么共有: 4 8 7=224(种)。 百位为 9 的无重复数字的三位数,百位有 1 种选法,十位有 8

10、种选法,个位有 7 种选法,那么共有: 1 8 7=56 种)。 百位为 9 的无重复数字的三位偶数,百位有一种选法,个位有 4 种选法,十位有(9-2)种选法。那 么共有: l 4 7=28(种)。 例例 8 8、有 A、B、C、D、E 五人排成一队,A 不许站排头,B 不许站排尾,共有多少种不同排法? 1 2 3 4 5 【解析】我们从排头到排尾依次编号为 1、2、3、4、5。由于 A 不能站排头,所以我们可考虑 A 的站位, 再由 B 不能站排尾,考虑 B 的站位,然后再考虑 C、D、E 的站位;同时,我们也可以换个角度:从所有可 能的站位情况,扣去 A 站排头或 B 站排尾的情况,从而

11、得到所有不同排法。 解法一:解法一:先讨论 A 的站位: (1)A 站在 5 号位置上,则 A 只有一种站法,B 有 4 个不同位置可站,C 有 3 个不同位置可站,D 有 两个不同位置可站,E 只有 1 个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有 1 4 3 2 1=24(种)不同的排队方法。 (2)A 站在 2、3、4 号 3 个位置之一。此时 A 有 3 个位置可站,B 不能站在 5 号位,也只有 3 个位置 可站,C 有 3 个位置可站,D 有 2 个位置可站,E 有 1 个位置可站,由乘法原理,在这种站位方式下有: 3 3 3 2 1=54(种)不同的排队方法。 最后,由加法原理,共

12、有 24+54=78(种)不同的排队方法。 解法二解法二:五个人任意排队,共有 5 4 3 2 1=120(种)不同的方法。A 站排头有 4 3 2 1=24(种)不 同的排法;B 站排尾有 4 3 2 1=24(种)不同的排法;但这两种方法有重复,即 A 站排头且 B 站排尾;有 3 2 1=6(种)不同的排法。因此,由容斥原理,A 站排头且 B 不站排尾的排队方法总数是: 120-42=78(种)。 答:符合要求的排队方法共有 78 种。 课堂狙击 1、书架上有 6 本不同的画报、10 本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有种不 同的取法? 【解析】第一步:取一本画报

13、,有 6 种方法; 第二步:取一本科技书,有 10 种方法。 根据乘法原理: 一共有 6 10=60(种) 2、用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字,能够组成个没有重复数字的三位数? 【解析】第一步:排百位数字,有 9 种方法(0 不能作首位); 第二步:排十位数字,有 9 种方法; 第三步:排个位数字,有 8 种方法。 根据乘法原理:一共有 9 9 8=648(个)没有重复数字的三位数。 3、书架上有不同的数学书 20 本,不同的语文书 10 本,现从书架上取书,试问: (1)取出一本书,有_种不同的取法。 (2)取出数学书和语文书各一本,有_种不同的取法。 实战演练 【解析

14、】(1)取出一本书,若是数学书有 20 种取法,若是语文书,有 10 种取法,总共有: 20+10=30(种)取法。 (2)取出数学书和语文书各一本,可以分两步完成: 先取出数学书,有 20 种取法; 再取出语文书,又有 10 种取法。 由乘法原理,总共有 20 10=200(种)取法。 4、从 19 这 9 个数字中每次取出 2 个不同的自然数相加,和大于 10 的选法共有多少种? 【解析】要使和大于 10,加数不能取 1。我们可以采取枚举法。 一个加数为 2 时,2+9=11, 一个加数为 3 时,3+9=12,3+8=11 一个加数为 4 时,4+9=13,4+8=12,4+7=11 一

15、个加数为 5 时,5+9=14,5+8=13,5+7=12,5+6=11 一个加数为 6 时,6+9=16,6+8=14,6+7=13 一个加数为 7 时,7+9=16,7+8=15 一个加数为 8 时,8+9=17 于是符合条件的选法共有 1+2+3+4+3+2+1=16(种)。 5、现有长度为 1、2、3、4、5、6、7、8、9 单位长度的铁丝各一条,从中选出若干条来组成正方形,问有 多少种不同的选法? 【解析】这些铁丝总的长度为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以所组成的正方形最长边为 11。 (1)边长为 11 时,由于 19+2=8+3=7+4=6+5 因此可取长度为 2

16、、3、4、5、6、7、8、9 的铁丝,按(9,2),(8,3),(7,4),(6,5) 分组, 可得边长为 11 的正方形一个,显然,这只能有一种选择。 (2)边长为 10 时,由于 10=9+1=8+2=7+3=6+4 取长度为 1、2、3、4、6、7、8、9 可得到 1 个边长为 10 的正方形。 (3)边长为 9 时,由于 9=8+1=7+2=6+3=5+4 从而可以取下列四组数构成一正方形:9,(8,1),(7,2),(6,3);9,(8,1),(7,2), (5,4); 9,(8,1),(5,4),(6,3);9,(8,1),(7,2),(6,3),(5,4) 共有 5 种不同选择。

17、 (4)边长为 8 时,由于 8=7+1=6+2=5+3 可得到一个正方形。 (5)边长为 7 时,由于 7=6+1=5+2=3+4 可是得到一个正方形。 当边长小于 7 时,无法组成正方形。 从而满足题意的有 1+1+5+1+1=9(种)不同选法。 6、将 1、2、3、4 这 4 个数字从小到大排成一行,在 4 个数中间任意插入乘号,可以得到_个不同的 乘积(要求最少有一个乘号)。 【解析】显然,乘号只能放在 1 和 2、2 和 3、3 和 4 之间。在 1 和 2 之间,有放与不放两种可能,在 2 和 3 之间,有放与不放两种可能,同样在 3 和 4 之间也有放与不放两种可能, 所以总共有

18、: 2 2 2=8(种)放法, 但必须排除其中三个位置均不放乘号的可能性,所以共有 7 种放法。 7、用红、绿、黄、蓝四种颜色分别去涂图中的 A、B、C、D 四个区域,要求相邻区域不可同色,共有_ 种不同涂法。 【解析】因为 A、C、D 相互隔开,而 B 与它们均相连,故选择先涂 B,有四种涂法,而 A、C、D 均各有 三种涂法,所以总共有: 4 3 3 3=108(种)不同涂法。 8、如图所示,在 10 10 个边长为 1 的小正方形拼成的棋盘中,求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数 目。 【解析】由小方块所拼成的正方形边长可以取 1,2,10。这样有十类不同的方式拼出正方形。下面再 计算

19、出每类方式有多少种方法拼出正方形。边长为 1 的正方形显然有 10 10 个;边长为 2 的正方形,横边 有 9 种选择:AC,BD,CE,DF,IK。类似的,纵边也有 9 种选择,横边和纵边都选定后正方形就确 定了。因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务,由乘法原理可知拼出边长为 2 的小正方形有 9 9 个。边长为其他数时可以类似推出。 由乘法原理可得: 边长为 1 的小正方形有 10 10 个; 边长为 2 的小正方形有 9 9 个; 边长为 3 的小正方形有 8 8 个; 边长为 9 的小正方形有 2 2 个; 边长为 10 的小正方形有 1 1 个。 由加法原理,共有 1010

20、+99+22+11=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385(个) 答:共有 385 个正方形。 课后反击 1、书店里有 12 种不同的外语书,8 种不同的数学书,从中任选外语书和数学书各一本,有多少种不同的选 法? 【解析】先取外语书有 12 种选法,再取一本数学书,则有 8 种选法。 用乘法原理得: 12 8=96(种) 答:总共有 96 种不同的选法。 2、某人出差要从甲地途经丙地、丁地到乙地,现在知道从甲地到丙地有 3 条路可以走,从丙地到丁地有 5 条路可以走,从丁地到乙地有 4 条路可以走。问,此人共有多少种从甲地到乙地的方法。 【解析】某人的出差路线: 甲地

21、丙地丁地乙地,甲地丙地 3 条路线,丙地丁地 5 条路线,丁地乙地 4 条路线; 由乘法原理: 3 5 460(种) 答:此人从甲地到乙地共有 60 种走法。 3、由数字 0、l、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数? 【解析】组成四位数,则需一位一位地确定各个数位上的数字,分四步完成。 由于要求组成的数是奇数,故个位上只能取 1,3,5,7 中的一个,故有 4 种取法; 千位上不能放“0”,则首先考虑,有(8-2)种取法; 百位上有(82)种取法;十位上有 5 种取法。由乘法原理: 4 6 6 5=720(种) 答:共可组成 720 种没有重复数字的四位奇数。 4、如

22、图 4 有 A、B、C、D、E 五个区域,分别用五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色, 共有多少种不同的染色方法? 【解析】由于有 5 个区域,则分为依次给 A,B,C,D,E 染色五步。先给 A 染色,因为有 5 种颜色,故 有 5 种不同的染色方法;再给 B 染色,因不能与 A 同色,还剩下 4 种颜色可选择,故有 4 种染色方法;再 给 C 染色,因为不能与 A、B 同色,故有 3 种不同的染色方法;再给 D 染色,同样不能与 A、B、C 同色, 故有 2 种不同的染色方法;最后给 E 染色,由于 E 只与 A、D 相邻则只须与 A、D 不同色即可,那么它有 (52)种染色

23、方法。 由乘法原理: 5 4 3 2 3=360(种) 答:共有 360 种不同的染色方法。 5、如图 5,从甲地到乙地有两条路,从乙地到丙地有三条路;从甲地到丁地有四条路,从丁地到丙地有四 条路,问从甲地到丙地共有多少种走法? 【解析】从甲地到丙地,可以有两种走法,一种是经丁地到丙地,一种是经乙地到丙地。 甲乙丙:甲乙有两种选择,乙丙有三种选择,根据乘法原理:2 3=6(种) 甲丁丙:甲丁有四种选择,丁丙有四种选择,根据乘法原理:4 4=16(种) 再由加法原理:6+16=22(种) 答:从甲地到丙地共有 22 种不同的走法。 6、一把钥匙可以开一个门,现在有 20 把钥匙和 20 个门,可

24、是不知道哪把钥匙开哪把锁,问最多试开多少 次,可以把所有的门都打开? 【解析】假设每次都是试到最后一把钥匙才打开一个门。那么打开第一个门需要试 20 次,然后剩下 19 个 门和 19 把钥匙;再打开剩下门中的一个,至多需要试 19 次;打开最后一个门时,正如剩下一把钥 匙,试五次即可,根据加法原理: 20+19+18+l=20(20+l) 2 210(次) 答:要把所有的门都打开,至多需要试 210 次。 7、有男生 5 人,女生 2 人,排成一行照相,女生不站两头,而且 2 个女生要站在一起,那么有多少种不同 的站法? 【解析】因为女生不站两头,那么首尾的位置排男生,又因为两个女生站一起,

25、则先将两个女生看成一人。 7 个人站排, 共有 7 个位置, 那么排在第一个位置的男生有 5 种方法, 排在最后一个位置的男生有 4 种方法, 剩下的位置排 3 个男生和看成一人的两个女生,有 4 3 2=24(种)排法。最后两个女生的位置可以互换则 有 2 种方法。根据乘法原理: 5 4 24 2=960(种) 答:总共有 960 种不同站法。 8、“MATHS”是英文单词数学的意思,把这 5 个字母写成 5 种不同的颜色。现在有 8 种不同颜色的笔,按上 述要求能写出多少种不同颜色搭配的“MATHS”? 【解析】对于字母“M”可有 8 种颜色,对于字母“A”,可有 7 种颜色,“T”有 6

26、 种颜色,“H”有 5 种颜色,“S” 有 4 种颜色。根据乘法原理: 8 7 6 5 4=6720(种) 答:可以写出 6720 种不同颜色搭配的“MATHS”。 1、有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币,用这些硬币不能构成 1 分到 1 元之间的币值有多少种? 【解析】共有人民币:230+58=100(分)=1(元)按如下方法分组,使每组中的币值和为 1 元: (0,100),(1,99),(2,98),(3,97),(49,51),(50,50); 因为 0,2,4,6,50 这 26 个数能用所给硬币构成,所以对应的 100,98,96,94,50 也能用 所给硬币构成下面讨论奇数:

27、1,3,5,7,99。 因为 4,6,8,10,50 均可由贰分硬币构成,所以将其中两个贰分币换成一个伍分币,得到 5,7, 9,11,51,可用所给硬币构成 只有 1、3 不能构成,对应的 99、97 也不能构成,所以共有 4 种不能构成的币值 加法原理:加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 1 m种不同方法,在第二类方法中有 2 m种 不同方法,在第 n 类方法中有 n m种不同方法,那么完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 乘法原理:乘法原理: 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行, 做第1步有 1 m种方法, 做第2步有 2 m种方法, 做第 n 步有 n m种方法,那么按照这样的步骤完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 本节课我学到了 直击赛场 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是