1、第第 1616 讲讲 比较数的大小比较数的大小 小数的大小比较常用方法； 分数的大小比较常用方法； 数的估算时常用方法。 一、小数的大小比较常用方法一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位 数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二二、分分数的大数的大小比较常用方法小比较常用方法 通分母：分子小的分数小. 通分子：分母小的分数大. 比倒数：倒数大的分数小. 与 1 相减比较法：分别与 1 相减，差大的分数小(适用于真分数) 重要结论： 对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大
2、的分数比较大； 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大 放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三三、数的估算时常用方法、数的估算时常用方法 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果 （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式 教学目标 知识梳理 考点一：两个数的大小考点一：两个数的大小比较比较 例例 1 1、如果 a 2005 2006 ，b 2006 2007 ，那么 a，b 中较大的数是 【解析】方法一： 1 2005 2006 1 2006 ；1
3、2006 2007 1 2007 因为 1 2006 1 2007 ，所以 b 较大； 方法二：因为 11 20052006 ，所以 20062007 20052006 ，进而 20052006 20062007 ，即ab； 方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以 b 大。 例例 2 2、如果 A 111111110 222222221 ，B 444444443 888888887 ,A 与 B 中哪个数较大？ 【解析】方法一：观察可以发现 A、B 都很接近 1 2 ，且比它小我们不防与 1 2 比较 1 2 A 1 2222222221 , 1 2
4、B 1 2 888888887 , 1 2 B 1 2 A，即 B 比 A 更接近 1 2 ，换句话说 BA . 方法二： 1111111101111111104444444440444444443 222222221222222221 4888888884888888887 AB ，即AB. 方法三： 11 2111111110 A ， 11 2 444444443B 显然 11 AB ，则AB 例例 3 3、在 a=200320032002 和 b=200220032003 中，较大的数是_ ，比较小的数大_ 。 【解析】b-a=200220032003-200320032002=2002
5、00002003+20032003-200300002002-20032002 =2003(2003-2002)=2003 所以 a 比 b 大 2003。 例例 4 4、试比较: 2962 2222 个 与 1853 3 3 33 个 哪一个大? 【解析】296=378，185=375，因为 82 53 2222256 1 3 3 33243 个 个 所以 2962 2222 个 1853 3 3 33 个 例例 5 5、已知： 258998 369999 A ，那么A与0.1中 比较大，说明原因； 典例分析 【解析】 22 22 31131323 3131 313 nnnn nn nn 3
6、 3 2589981239979989991 36999923499899910001000 A 1 10 A ,即A比0.1大 考点二：多个数的考点二：多个数的比较比较 例例 1 1、（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列： 3 7 ， 5 13 ， 9 16 ， 15 28 （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来： 10 17 ，12 19 ， 15 23 ， 20 33 ， 60 91 【解析】我们可以用通分子的方法，可得： 3 15455 945954515 345 7 1510513 91171658028 384 ， ， ， ，分母大的反而小，所以 53159 137
7、2816 这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦再看分子，60 正好是 10、12、15、20、 60 五个数的公倍数利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是 60 的分数我们称之为“通 分子比大小”的方法 1060 17102 =， 1260 1995 =， 1560 2392 ， 2060 3399 ， 6060 9191 ；可见 60 102 60 99 60 95 60 92 60 91 ； 也就是 10 17 20 33 12 19 15 23 60 91 . 例例 2 2、在下面 9 个算式中: 35 520 ， 36 620 , 37 720 , 38
8、 820 , 39 920 ， 310 1020 ， 311 1120 ， 312 1220 , 313 1320 ,第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 【解析】方法一：-= 353631 -0 5206205620 ,即； -= 363731 0 6207206720 ，即； -= 373831 0 7208207820 ，即； -= 383931 0 8209208 920 ，即； -，-，-，-所得的差依次为 31 10 1120 ， 31 11 1220 , 31 11 1220 均小于 0,所以， ，那么这些算式中最小的为，有为 3831 82040 方法二：注意到每组内两个分数
9、的乘积相等，均为 3 20 因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小其中第 4 个算式中 3 8 、 8 20 最接近，所以第 4 个算 式最小 考点三：数的考点三：数的估算估算 例例 1 1、求数 10 100 a 10 101 10 102 10 110 的整数部分 【解析】这道题显然不宜对分母中的 11 个分数进行通分求和要求 a 的整数部分，只要知道 a 在哪两个连 续整数之间 因为 a 中的 11 个分数都不大于 10 100 ，不小于 10 110 ， 所以 10 110 11 10 100 10 101 10 102 10 110 10 100 11 即 10 100 1
10、0 101 10 102 10 110 1.1 由此可知 a 的整数部分是 1 例例 2 2、求数 1 1111 10111219 的整数部分是几？ 【解析】 111 1 1111111110 101112191010101010 111 1.9 1111111110 101112191919191919 ，即 1原式1.9，所以原式的整数部分是 1. 例例 3 3、已知 1111111 1 5111929411110099 N k k ，求N的整数部分 【解析】 题中已经指明， 式子中每一项的分母都可以表示成11k k ， 对于11k k 不好直接进行处理， 很容易联想到1k k 及1kk，
11、所以可以进行放缩 由于1111kkk kk k ，所以 111 1111k kk kkk ，那么 111111111111 1111 233445100 10123341001012101 N ， 111111111111 11 122 1 2233499 1002233499100100 N ，即12N， 那么N的整数部分为 1 小结：从式子中也可以直接看出1N ，所以对于这一点也可以不进行放缩 课堂狙击课堂狙击 1、如果 222221333331 , 222223333334 AB，那么 A 和 B 中较大的数是 . 【解析】 222221666663666662333331 222223
12、666669666668333334 AB，即A大 2、有 8 个数，0.51，2 3 , 5 9 , 0.51, 24 13 , 47 25 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数是0.51， 那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数? 【 解 析 】 2 = 0 . 6 3 , 5 =0.5 9 , 24 0.5106 47 , 13 =0.52 25 ， 显 然 有0.51060.510.510.520.50.6， 即 2 41 352 0 5 1 0 . 5 1 4 72 593 ，8 个数从小到大排列第 4 个是0.51， 所以有 241352 0.510.51
13、 472593 (“”表示未知的那 2 个数).所以，这 8 个数从大到小排列第 4 个数是0.51 3、将 131 250 、 21 40 、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是_. 【解析】 131 0.524 250 ， 21 0.525 40 所以： 13121 0.520.5230.523 25040 ，第三小的数是0.523 实战演练 4、甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪个是平衡的? 【解析】考虑除以 3，所得的余数 因为 478 除以 3 余 1，9763 除以 3 也余 1(只要看 478，9 十 76 十 3 除以 3 的余数)，所以 4789
14、763 除以 3 余 111， 而 4666514 除以 3 余 2(即 4666514 除以 3 余 2)， 因此 47897634666514， 从而天平甲不平衡天平乙是平衡的. 5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是 。 【解析】a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222 所以a的整数部分是 54。 6、有 13 个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是 26.9那么，精确到小数点后两位 数是多少？ 【解析】利用放缩法，13 个自然数之和必然是整数，
15、又有 26.85平均数26.95，则这 13 个自然数的和介 于 1326.85 和 1326.95 之间即在 349.05 和 350.35 之间，所以只能是 350所以 3501326.923， 则精确到小数点后两位数是 26.92 . 课后反击课后反击 1、比较 444443 444445 和 555554 555556 的大小 【解析】因为 4444432 1 444445444445 ， 5555542 1 555556555556 ，显然 22 444445555556 ，根据被减数一定，减数 越大差越小的道理，有： 444443555554 444445555556 。 2、试比
16、较 111 1111 和 1111 11111 的大小 【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的 10 倍多 1对于这样的分数，可以利用它们的 倒数比较大小 111 1111 的倒数是 1 111 1111 1 10111 ， 1111 11111 的倒数是 1111 11111 10 1 1111 ，我们很容易 看出 10 1 111 10 1 1111 ，所以 111 1111 1111 11111 ； 方法二： 111111 101110 11111111 1011110 ，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数 比较大，所以 11101111 , 1
17、111011111 即 1111111 . 111111111 3、在 19981998 19991999 ， 19991999 20002000 ， 20002000 20012001 中，最小的分数是_. 【解析】因为 199819981998 199919991999 ， 199919991999 200020002000 ， 200020002000 200120012001 根据重要结论对于两个真分数， 如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且： 199819992000 199920002001 ，所以，最小的是 19981998 19991999 4、编号为
18、 1、2、3 的三只蚂蚁分别举起重量为 115 127 ， 302 333 ， 439 488 克的重物问：金、银、铜牌应分别发给 几号蚂蚁? 【解析】 1151211 111, 127 12712710.5 12 3023111 111, 333 33333310.7 31 4394911 111 488 4884889.9 49 所以， 302115439. 333127488 5、这里有 5 个分数： 2 5 15 10 12 3 8 23 17 19 ， ， ，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？ 【解析】分子的最小公倍数是 60，给出的 5 个分数依次等于： 60 60 60 6
19、0 60 90 96 92 102 95 ， ， ，比较分母的大小，居中 的分数是 60 95 ，即 12 19 。 6、已知 x0.90.990.9990.9999999999求 x 的整数部分 【解析】方法一：要求 x 的整数部分，必须找到 x 介于哪两个连续整数之间即 axa1，x 的整数部分和 n 相等可以先将原算式放大，把每个加数都看成 1 这样结果是 11010；然后将原算式缩小，把每个加 数都看成 0.9，结果是 0.9109可见原算式的结果介于 10 和 9 之间即 9x10，所以 x 的整数部分是 9 方法二：将原式变型后再估算 x0.90.990.9990.99999999
20、99 (10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001) 10(0.10010.0010.0000000001)100.1111111111 所以 x 的整数部分是 9 7、有一列数，第一个数是 133，第二个数是 57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那 么，第 16 个数的整数部分是_ 【解析】由已知： 第三个数(13357)295， 第四个数(5795)275， 第五个数(7695)285.5 第六个数(85.576)280.75， 第七个数(80.7585.5)283.125， 第八个数(83.12580.75)281.9375， 第九个数(81.
21、937583.125)282.53125 第十个数(81.937582.53125)282.234375， 从第十一个数开始，以后任何一个数都 82.53125 与 82.234375 之间，所以，这些数的整数部分都 是 82，那么第 16 个数的整数部分也 82 1、（第五届华杯赛口试）图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位： 厘米 2)黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由 直击赛场 19972 19962 1992219932 【解析】此题利用到平方差公式： 22 () ()ababab 1997 2 1996 2 (19971996
22、)(19971996)199719963993 1993 2 1992 2 199319923985 所以 1997 2 1996 2 1993 2 1992 2 即 1997 2 1992 2 1996 2 1993 2，两个白色正方形的面积大 2、（第十五届华杯赛初赛）从 1 1 1 1 1 , , , 2 3 4 5 6 中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 6 7 接近，去掉的两个数 是( ). （A） 1 1 , 2 5 （B） 1 1 , 2 6 （C） 1 1 , 3 5 （D） 1 1 , 3 4 【解析】 111945 3461260 11120151247 3456060
23、1111155 2461260 11152 25660 本题不是计算最大，而是计算哪个与 6 7 接近，再找分母的最小公倍数比较大小，7,60420， 则以上分式分别可以写成： 305 420 ， 329 420 ， 385 420 ， 364 420 ， 6 7 可以写成 360 420 ，显然 364 420 最接近。 3、（第七届希望杯赛一试）已知 111111 1 245678 A ，则 A 的整数部分是_ 【解析】 11111111111114 112 23456784488888 A ； 11111111111111141 11()23 2345678241245555512 A
24、所以A的整数部分是 2。 4、（清华附中入学测试）已知：S 1 1111 . 1980198119822006 ,则 S 的整数部分是 . 【解析】如果全是 1 1980 ，那么结果是 1 73 3 ，如果全是 1 2006 ，那么结果是 8 74 27 ，所以 1 73 3 S 8 74 27 ，不 能确定 S 的整数部分.我们不妨采用分段估值，有： 10107111110107 . 1989199920061980198119822006198019902000 则 111 10107111110107 . 1989199920061980198119822006198019902000
25、大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的 庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！ 下面先让我们来看看两个例子： 11111 19801981198219831984 111981 1983198219822 198119831981 19831982 19821982 1119801984198219822 198019841980 19841982 19821982 那么也就有： 111111 5 198019811982198319841982 （2） 1111 1980198119821983 11
26、198019831981 198211 198019831980 19831981 198219811982 那么也就有： 111111 ()24 198019811982198319811982 聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！ 27111127 . 199319801981198220061980 则 221993119801 7373 1111 2727273 . 1980198119822006 ，由此可以确定整数部分是 73 重点回顾 一、小数的大小比较常用方法一、小数的大小比较常用方法; ; 二二、分分数的大小比较常用方法数的大小比较常用
27、方法; ; 三三、数的估算时常用方法、数的估算时常用方法。 一、小数的大小比较常用方法一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位 数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)。 二二、分分数的大小比较常用方法数的大小比较常用方法 通分母：分子小的分数小. 通分子：分母小的分数大. 比倒数：倒数大的分数小. 与 1 相减比较法：分别与 1 相减，差大的分数小(适用于真分数) 重要结论： 对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大 放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三三、数的估算时常用方法、数的估算时常用方法 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果 （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式 本节课我学到 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是