1、第第 21 讲讲 逻辑推理逻辑推理问题问题 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、推理问题一、推理问题 解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常， 我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。 二、解题策略二、解题策略 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断； 2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论； 3、对
2、可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明 假设是正确的； 4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。 例例 1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。” 静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？ 【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系：兰兰静静，冬冬静静，冬冬兰兰 所以，冬冬兰兰静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 例例 2、卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：卢刚和医生不同岁；医 知识梳理 典例分析 教学目标
3、 生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？ 【解析】卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生，医生比丁飞年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是 医生；由此为突破口，进行推理，找出各自的职业；卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生；医生比丁飞 年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是医生；陈瑜比飞行员年龄大，所以卢刚是飞行员； 剩下的丁飞是工程师；所以丁飞是工程师，陈瑜是医生，卢刚是飞行员 例例 3、有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这 个正方体的每个汉字的对面各是什么字？ 【解析】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困
4、难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不 是什么字。 从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥” 的对面一定是“克”。 从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数” 的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。 例例 4、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是 乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？ 【解析】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是
5、否矛盾。 如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只 有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾， 所以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符 合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。 例例 5、已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲 不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？ 【解析】假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真
6、话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车； 假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符合题意； 假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾； 所以，乙会开车。 例例 6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后： 甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。” 丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？ 【解析】推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。 （1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。 （2）由丁是第四名推出丙说
7、“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 重新推理： （1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。 （2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。 （3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 例例 7、甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有 的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了 一半。甲、乙、丙、丁各是
8、第几名？ 【解析】第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。 （1） 假如甲说丙第一名是对的， 那么甲说： “我是第三名”是对的， 乙说“我是第一名”也是错的， 而乙说的“丁 是第四名”是对的。 （2）由丁是第四名排出丙说丁是第二名是错的，据条件，丙说“我是第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 所以重新推理得：第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。 例例 8、A、B、C、D 与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了一盘。问小强已经赛了几盘？ 【解析】用五个点表示这 5 个人，如果某两个之间
9、已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。 现在 A 赛 4 盘，所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B 赛了 3 盘，由于 D 只赛了 1 盘，是和 A 赛的，所以 B 应该与 C 连。（B、A 已连线）C 已连了 2 条线，小强也连了 2 条线，所以小强已赛了 2 盘。 例 9、有 8 个球编号是（1）（8），其中有 6 个球一样重，另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻球， 用天平称了 3 次，结果如下： 第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻； 第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。那么，两个轻球分别是几号
10、？ 【解析】 从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球中有一个轻；从第 三次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8）中也有一个轻。 综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。 例例 10、甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。请说出他们各是几号。 【解析】一共有四人，乙不是最高的，但它比甲、丁高，所以乙的身高在四人中数第二，丙是第一；甲丁 的身高处于后两位，甲不比丁高即丁高，甲矮，所以丁是第二，甲最矮.据此即可解答： 由乙不是最高的，但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中数第二，丙是第一; 由甲不比
11、丁高可知:丁是第三，甲最矮.所以甲是 3 号，乙是 4 号，丙是 2 号，丁是 1 号. 例例 11、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门第 二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第 一名的是谁？ 【解析】因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，而小明已获得了数学 第二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。 例 12、有 6 只盒子，每只盒内放有同一种笔，6 只盒子所装笔的支数分别是 11 支、13 支、17 支、20 支、 28 支、43 支。
12、在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的 2 倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其中有一只盒子放 的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？ 【解析】因为水彩笔是圆珠笔的 2 倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔的 2 倍，所以，水彩笔、 圆珠笔和铅笔的总支数一定是 4 的倍数。11+13+17+20+28+43=132 支，132 正好是 4 的倍数，说明那一盒钢 笔也正好是 4 的倍数，而满足条件的只有 20 和 28。 （1）当钢笔是 20 支时：（13220） 4=28 支，17+11=28 支，43+13=56 支符合条件； （2）当钢笔是 28 支时：（132-28） 4=26 支，题中没有一盒或
13、2 盒的和是 26，不符合条件。 所以， 盒钢笔有 20 支。 例例 13、小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7 天正好看完。已知这本书一共 96 页，他 第几天看到了 12 页？ 【解析】 由于他每天看过的页数比前一天增加一倍，7 天正好看完，也就是说第 7 天能看到 96 页。由此往 前推：第 6 天看到了 96 2=48 页，第 5 天看到了 48 2=24 页，第 4 天看到了 24 2=12 页。 课堂狙击课堂狙击 1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师：小张年龄比工程师大；小李和 数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁
14、是工程师？ 实战演练 【解析】（1）小张年龄比工程师大：小张不是工程师，（2）小李和数学家不同岁：小李不是数学家，（3） 数学家比小徐年龄小：小徐也不是数学家.由（2）、（3）得：小张是数学家.进一步推出小徐是教师，小李 是工程师.因此，小徐是教师，小张是数学家，小李是工程师. 2、一个正方体，六个面分别写上 A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出 A、B、C 相对的面的字母是什么吗？ 【解析】根据中间图和右边的图可以看出，与 C 相邻的有面 A、B、D 和 E，由此可知，C 的对面一定是 F； 根据左图和右图可以看出，与 A 相邻的有 B、E、C，由于 C 的对面是 F，
15、因此，F 也与 A 相邻，所以，A 的对面一定是 D；由左图和中图可知，与 B 相邻的有 A、D、C，由于 C 的对面是 F，因此，F 也与 B 相邻， 所以，B 的对面一定是 E。根据分析：A 的对面是 D； B 的对面是 E；C 的对面是 F 3、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A、B、C 三个学生。A 说：“是 B 做的。”B 说：“不是我 做的。”C 说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？ 【解析】此题有 A、B 说的话入手，而人说的话相互矛盾，因此必有一人说了真话，根据这三个学生中只有 一人说了实话，那么 C 说的话比为假话，因此，这件好事是
16、C 做的 4、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜 各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜：“第 三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每 个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 【解析】甲 3 黄 乙 2 蓝 丙 1 红 丁 4 白 戌 5 紫 这些是正确的。 假设甲说第二包是紫是正确的，那么看戌，则戌说第二包是黄是错误的，同时他说第五包紫也是错误的（因 为第 2 包是紫），从而戌没有说对任何一个，不合题意。 所以甲说的
17、第二包是紫是错误的，第三包是黄是正确的。 后面的丁说第三包是蓝肯定错了，所以他说的第四包是白是正确的。 依次可以推出其他的说法。 5、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了 5 次手，冬冬握了 4 次手，兰兰握了 5 次手，静静握了 2 次，思思握了 1 次手。问毛毛握了几次手？ 【解析】毛毛一共握了 3 次手，分别是跟明明、冬冬和兰兰握的。思路：首先，明明五次，思思只有一次， 也就是说思思这一次只是与明明握得，明明与五人各握一次，而思思已经有了一次，那么冬冬与除了思思 以外的四人都握过手，所以静静的另外一次就是与冬冬握的，此时静静和思思已经
18、握完，不再考虑，那么 兰兰的三次就是与明明、冬冬和毛毛握的，再加上冬冬与毛毛握的和明明与毛毛握的，毛毛一共握了三次！ 6、某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874，756，123，364，925，其中每一个数与商品编号恰 好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少？ 【解析】应该是这么表述：其中每一个数中的一个数字和位置与编号的同位置数字相同；先寻找个位数相 同的,是 364 和 874,在剩下的里面找十位数相同的为 123 和 925,则百位数上只剩一个 756；则此数个位是 4、 十位是 2,百位是 7。 7、赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。
19、赵只能教语文或自然，钱只能 教数学或体育，孙能教数学、语文或自然，李只能教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？ 【解析】根据题意，只能是钱老师或孙老师去教数学。由于只有钱老师一人能教体育，所以孙老师只能派 去教数学。 8、有一种水草，水草生长的面积每天扩大 2 倍，10 天后，这片水草的面积是 42 平方米。问：当水草长到 第 7 天时，面积是多大？ 【解析】第九天面积是 21，第八天 10.5，第七天面积是 5.25 平方米。 课后反击 1、江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和语文老师是邻 居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三个
20、老师分别教什么科目？ 【解析】吴是英语老师，江是数学老师，刘是语文老师。 2、五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字 16，把木块叠成下图，那么，4 的对面是几？1 的对面是几？5 的对面是几？ 【解析】五个正方体木块有 3 个露出了 4，并且 4 和 1，6，5，3 相邻，所以 4 的对面是 2；1 与 4，5，6 相 邻，因为 4 与 2 相对，故 1 与 2 也相邻，所以 1 的对面是 3；剩下的 5 与 6 相对 3、A、B、C、D 四个孩子踢球打碎了玻璃。A 说：“是 C 或 D 打碎的。”B 说：“是 D 打碎的。”C 说：“我 没有打碎玻璃。”D 说：“不是我打碎的。”
21、他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃？ 【解析】假设 A 说的是实话，“是 C 或 D 打碎的”，则 C、D 中有一个说了实话，一个说了谎话，所以 B 说 的就是实话，打碎玻璃的是 D，C 说的也是实话，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设 B 说的是实话，则 D 说的也就是谎话，A、C 说的也是实话，所以打碎玻璃的是 D，与他们中只有一 个人说了谎话符合；假设 C 说的是实话，则 A、B、D 中有一人撒谎，若 D 说的是实话，则 A、B 两人都撒 谎，所以不符合只有一人说谎，所以 D 说谎，故打碎玻璃的是 D；假设 D 说的是实话，则 B 说谎，所以 C 也说了实话，所以打碎玻璃的应
22、是 A 或 B，所以 A 也说谎，与只有一个人说了谎话矛盾，所以 D 说谎故打 碎玻璃的是 D 4、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。 问丁胜了几场？ 【解析】四人比赛乒乓球，每两人要赛一场，则每人都要和其他三人赛一场，每人要赛三场，共比赛 6 场， 由于没有平局，则每场都有一队胜，一队负.由干甲，乙，丙三人胜的场数相同，若甲，乙，丙各胜 1 场， 则丁胜 3 场，即丁全胜，不台题意(甲胜了丁).若甲，乙，丙各胜 2 场，则丁胜 0 场，即丁全输，符台题意. 5、小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知
23、道：小李比战士 年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。他们三人中，谁是工人？谁是战士？谁是大学生？ 【解析】很据小李比战士年龄大，所以:小李是大学生或工人；因为小王和大学生不同岁，所以：王是工人 或战士；因为:大学生比小张年龄小，所以:张是工人或战士；又因小张年龄比战士大，所以张是工人。所以 三人:小张是工人，小李是大学生，小王是战士。 6、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯，第二天宿舍 管理员查问谁回来最晚。 （1）甲说：我回来时，丙还没回来； （2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了； （3）丙说：我进门时，乙正在床上； （4）丁说
24、：我回来就睡了，别的没注意。 他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？ 【解析】回来最晚的是甲。 根据题意，甲说的话意思是丙在甲前面回来，所以肯定不是丙最晚，乙说的话意思是丁在乙前面回来，所 以肯定不是丁，丙说的话意思乙在丙前面，所以肯定不是乙，综上所述，回来最晚的是甲。 7、图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了 7 叠，其中只有一叠是连环画，其余都是故事书 和科技书，且故事书是科技书的 6 倍。已知这 7 叠书分别有 3、4、5、16、21、25 和 38 本。问：连环画有 多少本？ 【解析】科技书有 4+5=9 本， 故事书有 16+38=54 本， 连环画有 3+21+25=4
25、9 本。 8、有一条毛毛早由幼虫长到成虫，每天长一倍，30 天能长到 20 厘米。问：长到 5 厘米时要用多少天？ 【解析】28 天， 29 天 10 厘米， 28 天就是 5 厘米啊。 1、下边是一个六位数乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中 的 六位数是_ 。 （第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试） 【解析】 小学希望杯赛 赛=999999 ，考察个位数字 赛 赛的个位数字是 9,所以赛等于 7 或 3； 当赛=3 时,小学希望杯赛=333333,但这六个不同的字应该表示不同的数字,舍去. 直击赛场 当赛=7 时,小学希望杯赛=14
26、2857,符合题意. 综上所述,答案为 142857。 2、甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开。”三人 的话只有一句是真话。会开车的是_ 。（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试） 【解析】假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车； 假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符台题意； 假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾， 所以，乙会开车. （1）学会对一个问题进行分析、推理； （2）利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题； 重点重点和难点突破：和难点突破： （1）理解每一个题的逻辑关系； （2）掌握推理的一般方法。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨 重点回顾