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【精品】六年级奥数培优教程讲义第21讲 逻辑推理问题(教师版)

1、第第 21 讲讲 逻辑推理逻辑推理问题问题 学会对一个问题进行分析、推理; 利用我们的推理来解决一些较简单的问题; 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、推理问题一、推理问题 解数学题,从已知条件到未知的结论,除了计算外,更重要的一个方面就是推理。通常, 我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。 二、解题策略二、解题策略 解答推理问题常用的方法有:排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑: 1、选准突破口,分析时综合几个条件进行判断; 2、根据题中条件,在推理过程中,不断排除不可能的情况,从而得出要求的结论; 3、对

2、可能出现的情况作出假设,然后再根据条件推理,如果得到的结论和条件不矛盾,说明 假设是正确的; 4、遇到比较复杂的推理问题,可以借助图表进行分析。 例例 1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说:“兰兰做的比静静多。”兰兰说:“冬冬做的比静静多。” 静静说:“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中,谁做的好事最多?谁做的好事最少? 【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系:兰兰静静,冬冬静静,冬冬兰兰 所以,冬冬兰兰静静,冬冬做的好事最多,静静做的最少。 例例 2、卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师,一位是医生,一位是飞行员。现在只知道:卢刚和医生不同岁;医 知识梳理 典例分析 教学目标

3、 生比丁飞年龄小,陈瑜比飞行员年龄大。问:谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员? 【解析】卢刚和医生不同岁,所以卢刚不是医生,医生比丁飞年龄小,丁飞也不是医生,那么只有陈瑜是 医生;由此为突破口,进行推理,找出各自的职业;卢刚和医生不同岁,所以卢刚不是医生;医生比丁飞 年龄小,丁飞也不是医生,那么只有陈瑜是医生;陈瑜比飞行员年龄大,所以卢刚是飞行员; 剩下的丁飞是工程师;所以丁飞是工程师,陈瑜是医生,卢刚是飞行员 例例 3、有一个正方体,每个面分别写上汉字:数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这 个正方体的每个汉字的对面各是什么字? 【解析】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困

4、难,可以换一种思维方式,想想某个汉字的对面不 是什么字。 从图(1)可知,“奥”的对面不是“林”、“匹”,从图(2)可知,“奥”的对面不是“数”、“学”。所以,“奥” 的对面一定是“克”。 从图(2)可知,“数”的对面不是“奥”、“学”;从图(3)可知,“数”的对面不是“克”、“林”,所以“数” 的对面一定是“匹”,剩下“学”的对面一定是“林”。 例例 4、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃,甲说:“是丙打碎的。”乙说:“我没有打碎破璃。”丙说:“是 乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话,到底是谁打碎了玻璃? 【解析】由题意推出结论,必须符合他们中只有一个人说了谎,推理时可先假设,看结论和条件是

5、否矛盾。 如果是甲打碎的,那么甲说谎话,乙说的是真话,丙说的是谎话。这样两人说的是谎话,与他们中只 有一人说谎相矛盾,所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的,那么甲说的是谎话,乙说的是谎话,丙说的是真话,与他们中只有一人说谎相矛盾, 所以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的,那么甲说的是真话,乙说的是真话,而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话,符 合条件中只有一个人说的是谎话,所以玻璃是丙打碎的。 例例 5、已知甲、乙、丙三人中,只有一人会开汽车。甲说:“我会开汽车。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲 不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话,那么谁会开汽车? 【解析】假设甲会开车,那么,甲和乙说的是真

6、话,所以和已知矛盾,所以甲不会开车; 假设乙会开车,那么甲和乙说的是假话,丙说的是真话,符合题意; 假设丙会开车,那么乙和丙说的是真话,也和题意矛盾; 所以,乙会开车。 例例 6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后: 甲说:“丙是第一名,我是第三名。”乙说:“我是第一名,丁是第四名。”丙说:“丁是第一名,我是第三名。” 丁没有说话。成绩揭晓时,大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗? 【解析】推理时,必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析,我们可以借助图表进行分析。 (1)乙说“我是第一名”也是错的,而乙说“丁是第四名”是对的。 (2)由丁是第四名推出丙说

7、“丁是第二名”是错的,根据条件,丙说“我是第三名”是对的。 (3)这样,丙既是第一名,又是第三名,自然是错的。 重新推理: (1)由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的,而丙说的“我是第一名”是对的。 (2)由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的,而乙说的“我是第一名”是对的。 (3)从表中我们可看出:乙是第一名,丁是第二名,甲是第三名,丙是第四名。 例例 7、甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛,赛前名次众说不一。有的说:“甲是第二名,丁是第三名。”有 的说:“甲是第一名,丁是第二名。”有的说:“丙是第二名,丁是第四名。”实际上,上面三种说法各说对了 一半。甲、乙、丙、丁各是

8、第几名? 【解析】第一甲,第二丙,第三丁,第四乙。 (1) 假如甲说丙第一名是对的, 那么甲说: “我是第三名”是对的, 乙说“我是第一名”也是错的, 而乙说的“丁 是第四名”是对的。 (2)由丁是第四名排出丙说丁是第二名是错的,据条件,丙说“我是第三名”是对的。 (3)这样,丙既是第一名,又是第三名,自然是错的。 所以重新推理得:第一甲,第二丙,第三丁,第四乙。 例例 8、A、B、C、D 与小强五个同学一起参加象棋比赛,每两人都赛一盘,比赛一段时间后统计:A 赛了 4 盘,B 赛了 3 盘,C 赛了 2 盘,D 赛了一盘。问小强已经赛了几盘? 【解析】用五个点表示这 5 个人,如果某两个之间

9、已经进行了比赛,就在表示这两个人的点之间画一条线。 现在 A 赛 4 盘,所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B 赛了 3 盘,由于 D 只赛了 1 盘,是和 A 赛的,所以 B 应该与 C 连。(B、A 已连线)C 已连了 2 条线,小强也连了 2 条线,所以小强已赛了 2 盘。 例 9、有 8 个球编号是(1)(8),其中有 6 个球一样重,另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻球, 用天平称了 3 次,结果如下: 第一次:(1)+(2)比(3)+(4)重;第二次:(5)+(6)比(7)+(8)轻; 第三次:(1)+(3)+(5)与(2)+(4)+(8)一样重。那么,两个轻球分别是几号

10、? 【解析】 从第一次看,(3)、(4)两球中有一个轻;从第二次看,(5)、(6)两球中有一个轻;从第 三次看,(1)、(3)、(5)中有一个轻,(2)、(4)、(8)中也有一个轻。 综合上面的分析可以推出,两个轻球的编号分别是(4)和(5)。 例例 10、甲、乙、丙、丁四个人中,乙不是最高,但他比甲和丁高,而甲不比丁高。请说出他们各是几号。 【解析】一共有四人,乙不是最高的,但它比甲、丁高,所以乙的身高在四人中数第二,丙是第一;甲丁 的身高处于后两位,甲不比丁高即丁高,甲矮,所以丁是第二,甲最矮.据此即可解答: 由乙不是最高的,但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中数第二,丙是第一; 由甲不比

11、丁高可知:丁是第三,甲最矮.所以甲是 3 号,乙是 4 号,丙是 2 号,丁是 1 号. 例例 11、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中,每人都获得了其中的一门第一名,一门第 二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名,小明获得了数学第二名。获得英语成绩第 一名的是谁? 【解析】因为小英获得了语文第一名,所以,小明获得的第一名只能是英语或数学,而小明已获得了数学 第二名,不可能再获得数学第一名,因此,获得英语第一名的一定是小明。 例 12、有 6 只盒子,每只盒内放有同一种笔,6 只盒子所装笔的支数分别是 11 支、13 支、17 支、20 支、 28 支、43 支。

12、在这些笔中,水彩笔支数是圆珠笔的 2 倍,铅笔的支数是水彩笔的一半,其中有一只盒子放 的是钢笔。这盒钢笔共有多少支? 【解析】因为水彩笔是圆珠笔的 2 倍,而铅笔是水彩笔的一半,即水彩笔也是铅笔的 2 倍,所以,水彩笔、 圆珠笔和铅笔的总支数一定是 4 的倍数。11+13+17+20+28+43=132 支,132 正好是 4 的倍数,说明那一盒钢 笔也正好是 4 的倍数,而满足条件的只有 20 和 28。 (1)当钢笔是 20 支时:(13220) 4=28 支,17+11=28 支,43+13=56 支符合条件; (2)当钢笔是 28 支时:(132-28) 4=26 支,题中没有一盒或

13、2 盒的和是 26,不符合条件。 所以, 盒钢笔有 20 支。 例例 13、小明看一本书,如果看过的页数每天比前一天增加一倍,7 天正好看完。已知这本书一共 96 页,他 第几天看到了 12 页? 【解析】 由于他每天看过的页数比前一天增加一倍,7 天正好看完,也就是说第 7 天能看到 96 页。由此往 前推:第 6 天看到了 96 2=48 页,第 5 天看到了 48 2=24 页,第 4 天看到了 24 2=12 页。 课堂狙击课堂狙击 1、小李、小徐和小张是同学,大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师:小张年龄比工程师大;小李和 数学家不同岁;数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁

14、是工程师? 实战演练 【解析】(1)小张年龄比工程师大:小张不是工程师,(2)小李和数学家不同岁:小李不是数学家,(3) 数学家比小徐年龄小:小徐也不是数学家.由(2)、(3)得:小张是数学家.进一步推出小徐是教师,小李 是工程师.因此,小徐是教师,小张是数学家,小李是工程师. 2、一个正方体,六个面分别写上 A、B、C、D、E、F,你能根据这个正方体不同的摆法,求出 A、B、C 相对的面的字母是什么吗? 【解析】根据中间图和右边的图可以看出,与 C 相邻的有面 A、B、D 和 E,由此可知,C 的对面一定是 F; 根据左图和右图可以看出,与 A 相邻的有 B、E、C,由于 C 的对面是 F,

15、因此,F 也与 A 相邻,所以,A 的对面一定是 D;由左图和中图可知,与 B 相邻的有 A、D、C,由于 C 的对面是 F,因此,F 也与 B 相邻, 所以,B 的对面一定是 E。根据分析:A 的对面是 D; B 的对面是 E;C 的对面是 F 3、某学校为表扬好人好事核实一件事,老师找了 A、B、C 三个学生。A 说:“是 B 做的。”B 说:“不是我 做的。”C 说:“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话,这件好事是谁做的? 【解析】此题有 A、B 说的话入手,而人说的话相互矛盾,因此必有一人说了真话,根据这三个学生中只有 一人说了实话,那么 C 说的话比为假话,因此,这件好事是

16、C 做的 4、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗,用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜 各包里的珠子的颜色。甲猜:“第二包紫色,第三包黄色。”乙猜:“第二名蓝色,第四包红色。”丙猜:“第 三包蓝色,第五包白色。”丁猜:“第三包蓝色,第五包白色。”戌猜:“第二包黄色,第五包紫色。”结果每 个人都猜对了一半,他们各猜对了哪种颜色的珠子? 【解析】甲 3 黄 乙 2 蓝 丙 1 红 丁 4 白 戌 5 紫 这些是正确的。 假设甲说第二包是紫是正确的,那么看戌,则戌说第二包是黄是错误的,同时他说第五包紫也是错误的(因 为第 2 包是紫),从而戌没有说对任何一个,不合题意。 所以甲说的

17、第二包是紫是错误的,第三包是黄是正确的。 后面的丁说第三包是蓝肯定错了,所以他说的第四包是白是正确的。 依次可以推出其他的说法。 5、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议,见面时每两个人都要握一次手。明明已握了 5 次手,冬冬握了 4 次手,兰兰握了 5 次手,静静握了 2 次,思思握了 1 次手。问毛毛握了几次手? 【解析】毛毛一共握了 3 次手,分别是跟明明、冬冬和兰兰握的。思路:首先,明明五次,思思只有一次, 也就是说思思这一次只是与明明握得,明明与五人各握一次,而思思已经有了一次,那么冬冬与除了思思 以外的四人都握过手,所以静静的另外一次就是与冬冬握的,此时静静和思思已经

18、握完,不再考虑,那么 兰兰的三次就是与明明、冬冬和毛毛握的,再加上冬冬与毛毛握的和明明与毛毛握的,毛毛一共握了三次! 6、某商品编号是一个三位数,现有五个三位数:874,756,123,364,925,其中每一个数与商品编号恰 好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少? 【解析】应该是这么表述:其中每一个数中的一个数字和位置与编号的同位置数字相同;先寻找个位数相 同的,是 364 和 874,在剩下的里面找十位数相同的为 123 和 925,则百位数上只剩一个 756;则此数个位是 4、 十位是 2,百位是 7。 7、赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。

19、赵只能教语文或自然,钱只能 教数学或体育,孙能教数学、语文或自然,李只能教自然。请问:这四人中只能派谁教数学? 【解析】根据题意,只能是钱老师或孙老师去教数学。由于只有钱老师一人能教体育,所以孙老师只能派 去教数学。 8、有一种水草,水草生长的面积每天扩大 2 倍,10 天后,这片水草的面积是 42 平方米。问:当水草长到 第 7 天时,面积是多大? 【解析】第九天面积是 21,第八天 10.5,第七天面积是 5.25 平方米。 课后反击 1、江波、刘晓、吴萌三个老师,其中一位教语文,一位教数学,一位教英语。已知:江波和语文老师是邻 居;吴萌和语文老师不是邻居;吴萌和数学老师是同学。请问:三个

20、老师分别教什么科目? 【解析】吴是英语老师,江是数学老师,刘是语文老师。 2、五个相同的正方体木块,按相同的顺序在上面写上数字 16,把木块叠成下图,那么,4 的对面是几?1 的对面是几?5 的对面是几? 【解析】五个正方体木块有 3 个露出了 4,并且 4 和 1,6,5,3 相邻,所以 4 的对面是 2;1 与 4,5,6 相 邻,因为 4 与 2 相对,故 1 与 2 也相邻,所以 1 的对面是 3;剩下的 5 与 6 相对 3、A、B、C、D 四个孩子踢球打碎了玻璃。A 说:“是 C 或 D 打碎的。”B 说:“是 D 打碎的。”C 说:“我 没有打碎玻璃。”D 说:“不是我打碎的。”

21、他们中只有一个人说了谎,到底是谁打碎了玻璃? 【解析】假设 A 说的是实话,“是 C 或 D 打碎的”,则 C、D 中有一个说了实话,一个说了谎话,所以 B 说 的就是实话,打碎玻璃的是 D,C 说的也是实话,与他们中只有一个人说了谎话符合; 假设 B 说的是实话,则 D 说的也就是谎话,A、C 说的也是实话,所以打碎玻璃的是 D,与他们中只有一 个人说了谎话符合;假设 C 说的是实话,则 A、B、D 中有一人撒谎,若 D 说的是实话,则 A、B 两人都撒 谎,所以不符合只有一人说谎,所以 D 说谎,故打碎玻璃的是 D;假设 D 说的是实话,则 B 说谎,所以 C 也说了实话,所以打碎玻璃的应

22、是 A 或 B,所以 A 也说谎,与只有一个人说了谎话矛盾,所以 D 说谎故打 碎玻璃的是 D 4、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球,每两人都要赛一场。结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。 问丁胜了几场? 【解析】四人比赛乒乓球,每两人要赛一场,则每人都要和其他三人赛一场,每人要赛三场,共比赛 6 场, 由于没有平局,则每场都有一队胜,一队负.由干甲,乙,丙三人胜的场数相同,若甲,乙,丙各胜 1 场, 则丁胜 3 场,即丁全胜,不台题意(甲胜了丁).若甲,乙,丙各胜 2 场,则丁胜 0 场,即丁全输,符台题意. 5、小王、小张、小李三人在一起,其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知

23、道:小李比战士 年龄大,小王和大学生不同岁,大学生比小张年龄小。他们三人中,谁是工人?谁是战士?谁是大学生? 【解析】很据小李比战士年龄大,所以:小李是大学生或工人;因为小王和大学生不同岁,所以:王是工人 或战士;因为:大学生比小张年龄小,所以:张是工人或战士;又因小张年龄比战士大,所以张是工人。所以 三人:小张是工人,小李是大学生,小王是战士。 6、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里,一天晚上,他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯,第二天宿舍 管理员查问谁回来最晚。 (1)甲说:我回来时,丙还没回来; (2)乙说:我回来时,丁已经睡了,我也就睡了; (3)丙说:我进门时,乙正在床上; (4)丁说

24、:我回来就睡了,别的没注意。 他们说的都是实话,你知道谁回来最晚吗? 【解析】回来最晚的是甲。 根据题意,甲说的话意思是丙在甲前面回来,所以肯定不是丙最晚,乙说的话意思是丁在乙前面回来,所 以肯定不是丁,丙说的话意思乙在丙前面,所以肯定不是乙,综上所述,回来最晚的是甲。 7、图书员在整理图书,他把同一类书叠一叠,一共叠好了 7 叠,其中只有一叠是连环画,其余都是故事书 和科技书,且故事书是科技书的 6 倍。已知这 7 叠书分别有 3、4、5、16、21、25 和 38 本。问:连环画有 多少本? 【解析】科技书有 4+5=9 本, 故事书有 16+38=54 本, 连环画有 3+21+25=4

25、9 本。 8、有一条毛毛早由幼虫长到成虫,每天长一倍,30 天能长到 20 厘米。问:长到 5 厘米时要用多少天? 【解析】28 天, 29 天 10 厘米, 28 天就是 5 厘米啊。 1、下边是一个六位数乘以一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,其中 的 六位数是_ 。 (第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试) 【解析】 小学希望杯赛 赛=999999 ,考察个位数字 赛 赛的个位数字是 9,所以赛等于 7 或 3; 当赛=3 时,小学希望杯赛=333333,但这六个不同的字应该表示不同的数字,舍去. 直击赛场 当赛=7 时,小学希望杯赛=14

26、2857,符合题意. 综上所述,答案为 142857。 2、甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说:“我会开。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲不会开。”三人 的话只有一句是真话。会开车的是_ 。(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试) 【解析】假设甲会开车,那么,甲和乙说的是真话,所以和已知矛盾,所以甲不会开车; 假设乙会开车,那么甲和乙说的是假话,丙说的是真话,符台题意; 假设丙会开车,那么乙和丙说的是真话,也和题意矛盾, 所以,乙会开车. (1)学会对一个问题进行分析、推理; (2)利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题; 重点重点和难点突破:和难点突破: (1)理解每一个题的逻辑关系; (2)掌握推理的一般方法。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨 重点回顾