1、大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 1 页 共 16 页 大庆市高三年级第三次教学质量检测试题 理科数学 2020.06 注意事项注意事项: : 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用B2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合
2、02| 2 xxxA，1,0,1B ，则AB A1,0,1 B0,1 C2 , 1 , 0 , 1 D12xx 2. 已知i为虚数单位，复数z满足1zii，则复数z在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A10 B3 C4 D5 4. 已知向量1, 3a ，0, 3ab，设a与b的 夹角为，则 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 2 页 共 16 页 成绩/分 频率 组距 5. 设 1 2020 2019a ， 2019 log2020b， 2020 1 log 2019 c
3、 ，则, ,a b c的大小关系为 Abca Bcba Cabc Dacb 6. 在某次数学测验后，将参加考试的500名 学生的数学成绩制成频率分布直方图（如 图） ，则在该次测验中成绩不低于100分的 学生数是 A. 195 B. 200 C. 205 D. 210 7. 将5 , 4 , 3 , 2 , 1这五个数字全部取出，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概 率是 A 2 3 B 3 5 C 1 2 D 2 5 8. 若 1 ()nx x 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含 2 x 项的 系数是 A462 B.462 C792 D.792 9. 如图，在正
4、四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长为2， 直线 1 CC与平面 1 ACD所成角的正弦值为 1 3 ，则正四棱柱的高为 A2 B3 C4 D5 10. 已知函数 cos3sin 33 axxf x 是偶函数.若将曲线2yfx向左平 移 12 个单位长度后，得到曲线 yg x，则函数 yg x的单调递增区间是 A 5 ,() 1212 kkkZ B 7 ,() 1212 kkkZ C,() 36 kkkZ D 2 ,() 63 kkkZ 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 3 页 共 16 页 11. 已知P为双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）左支上一点，
5、 1 F， 2 F分别为双曲线C 的左、右焦点，(0, )Mb为双曲线C虚轴的一个端点，若 2 |MPPF的最小值为 12 FF， 则双曲线C的离心率为 A 26 2 B2 6 C 4 2 6 D4 6 12. 已知定义域为R的函数 f x满足 1f xxfx （ fx 为函数 f x的导函数） ，则 不等式 2 111x fxfxx的解集为 A0,1 B1, C 0,11, D), 0( 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 9090 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第 1313 题题2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生
6、都必须作答. .第第 2222 题、第题、第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知圆 22 670xyx与抛物线 2 20ypx p的准线相切，则p的值为_. 14. 已知实数 yx, 满足线性约束条件 02 0 1 yx yx x ，则yxz 2的最小值为_. 15. 在ABC中，6ABAC，4BC ，AD是BC边上的中线，将ABD沿AD折起， 使二面角CADB等于120，则四面体ABCD外接球的体积为_. 16. 设函数 f x的定义域为R，满足 12f xf x，且当) 1
7、, 0x时， sinf xx 当0,x时，函数 f x的极大值点从小到大依次记为 123 ,.,. n a a aa，并记相应的 极大值为 123 ,.,. n b b bb，则数列 nn ab前9项的和为_. 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 4 页 共 16 页 三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 2a ， 1 2 nn Sa . （1）求数列 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 2 2log1 nn ba，记数列 n b的前n项和为 n T， 求证:
8、4 31111 321 n TTTT . 18. （本小题满分 12 分） 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形， PBPD. （1）证明：平面PAC平面ABCD； （2）若PA与底面ABCD所成的角为30， PAPC，求二面角DPCB的正弦值 19.（本小题满分 12 分） 某工厂加工某种零件需要经过A，B，C三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道 工序加工合格的概率分别为 p， 2 3 ， 3 4 . 三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序 合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为 11 24 . （1）求p； （2）若该零件的一级品每个可获利200元
9、，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂 损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为X元，求X的分布列及数学 期望. 20. （本小题满分 12 分） 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 5 页 共 16 页 设函数)()()(Zmexmxf x . （1）当0m时，求函数)(xf在点)1 (, 1 (f处的切线方程； （2）当0x时，4)( xxf恒成立，求整数m的最大值. （参考数值：，2945. 5 3 5 e, 2 7.3891e ） 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 与x轴负半轴交于 2,0A ，离心率 1 2 e
10、. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点1,0F的直线l与曲线C交于M，N两点，过点F且与直线l垂直的直线与直 线4x相交于点T，求 | | TF MN 的取值范围及 | | TF MN 取得最小值时直线l的方程. 请考生在第请考生在第 2222、2323 两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .作答时，作答时， 7183. 2e4817. 4 2 3 e 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 6 页 共 16 页 用用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. . 22. (本小
11、题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为 cos6 sin6 y x (为参数),以坐标原点O为极 点,以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2. 3 （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程; （2）直线l与x轴的交点为P,经过点P的直线m与曲线C交于BA,两点,若 34 PBPA,求直线m的倾斜角. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 |1|f xxxa. （1）若1a，求不等式1)(xf的解集； （2）若“xR ， |21|f xa”为假命题，求a的取值范围. 大庆市高三第三次质量检
12、测理科数学试题 第 7 页 共 16 页 2020 大庆三模数学理科参考答案大庆三模数学理科参考答案 一、选择题 ABACC BDDCA CD 13.2 14.1 15.32 3 16,1103 2 17.解（）因为 1 2 nn Sa ， 当2n时， 1 2 nn Sa ， .2 分 由-得 1nnn aaa ，即 1 2 nn aa ， 4 分 当 1n 时， 21 24aa ， 2 1 4 2 2 a a ， 所以数列 n a为等比数列，其首项为 1 2a ，公比为2， 所以 1 1 2 nn n aa q ； 6 分 （）由（）得， 2 2log121 nn ban ， 所以2 n T
13、n n， 8 分 所以 111 11 222 k Tk kkk ， 1 111111111 1. 2324112 n k k Tnnnn 10 分 3111 4212nn 因为 0 2 1 1 1 nn 所以 4 31 1 n k k T 12 分 18.解（1）证明：连接 AC,BD 交点为 O，四边形 ABCD 为正方形，AC BD PBPD，OBOD,BDOP,.2 分 又OPAC O,BDPAC面 又BDPAC 面,PACABCD面面.4 分 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 8 页 共 16 页 （2）方法 1：PACABCD面面，过点 P 做PE AC,垂足为 E ABCD
14、PE 面PA 与底面 ABCD 所成的角为 0 30， 0 30PAC ,.6 分 又PAPC，设2PC ,则 2 3,3,3,4,2 2APPEAEACAD 过 F 做 FE 垂直于 AB,垂足为 F,则 AF= 2 23 如图所示，以 A 为坐标原点，,AB AD为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz 3 2 3 2 0,0,0 ,2 2,0,0 ,2 2,2 2,0 ,0,2 2,0 , 3 22 ABCDP 8 分 设面PBC法向量为 1 , ,nx y z， 22 0,2 2,0 , 3 22 BCCP 1 1 0 0 nBC n CP , 2 20 22 30 22 y
15、 xyz ， 1,0,6zyx令则， 1 6,0,1n 9 分 同理PCD面的法向量 2 0, 6,1n ， 10 分 12 12 12 1 cos , 7 n n n n n n 11 分 二面角BPCD的正弦值 7 34 12 分 （2）方法 2PACABCD面面，过点 P 做PE AC,垂足为 E ABCDPE 面PA 与底面 ABCD 所成的角为 0 30， 0 30PAC,.9 分 设 AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC= a2 ,由PAPC， 0 30PAC得 AP=a 2 6 ， 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 9 页 共 16 页 PE= a 4 6 ，A
16、E= a 4 23 ，过 E 做 EF 垂直 AB，垂足为 F,则 AF=a 4 3 ， 如图所示，以 A 为坐标原点，,AB AD为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz 所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0), P(a 4 3 ,a 4 3 , a 4 6 )，8 分 ) 4 6 , 4 , 4 ( aaa CP， BC (0,a.0)，DC=(a,0,0) 设面PBC法向量为 1 , ,nx y z, 1 1 0 0 nBC n CP , 0 4 6 44 0 z a y a x a ay , 令 z=1.则 1 0 6 z y x ，即
17、) 1 , 0 , 6( 1 n ，9 分 设PCD面的法向量 ),( 2222 zyxn ，则 0 0 2 2 CPn DCn , 0 4 6 44 0 222 2 z a y a x a ax ， 令 z=1.则 1 6 0 2 2 2 z y x ， ) 1 , 6, 0( 2 n ， 10 分 (直接书写：同理可得) 1 , 6 , 0( 2 n ，本次考试不扣此步骤分） 所以 7 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn ， 11 分 则二面角BPCD的正弦值为 7 34 .12 分 19.解（1）设零件经A，B，C三道工序加工合格的事件分别记为A，B，C， 则 P Ap，
18、2 3 P B ， 3 4 P C ， 1P Ap ， 1 3 P B ， 1 4 P C . 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 10 页 共 16 页 设事件D为“生产一个零件为二级品”，由已知A，B，C是相互独立事件，则 P DP ABCABCABCP ABCP ABCP ABC 231321 1 343434 ppp 611 1224 p ，.2 分 所以 1 2 p . .4 分 （2）X的可能取值为 200，100，50，.5 分 1231 200 2344 P X ， 11 100 24 P X ， 1117 1 42 0 4 5 42 P X ，8 分 则X的分布列为 X
19、 200 100 -50 P 1 4 11 24 7 24 . .10 分 所以 1117325 ()20010050 424244 E X . .12 分 20.解： （解： （1）当）当0m 时，时，( ) x f xxe，( )(1) xxx fxexexe -2 分分 所以所以(1)2kfe ，因为，因为(1)fe 所以切线方程为所以切线方程为2 (1)yee x， 整理得：整理得：20exye -4 分分 （2）()4 x mx ex，因为，因为0 x e ，所以，所以 4 x x mx e （0x ）恒成立）恒成立 设设 4 ( ) x x h xx e ，则，则 2 (4)33
20、( )11 xxx xxx exexex h x eee -6 分分 设设( )3, x s xex 则则( )1 x s xe0（0x ）. 所以所以( )s x在在(0,)上单调递增，又上单调递增，又05 . 44817. 4 2 9 ) 2 3 ( 2 3 es, 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 11 页 共 16 页 03 3 5 2945. 53 3 5 ) 3 5 ( 3 5 es,所以存在所以存在) 3 5 , 2 3 ( 0 x使得使得 0 ()0s x， 当当 0 (0,)xx时，时，( )0s x ,即即0)( x h； 当； 当 0 (,)xx时，时，( )0s
21、 x 即即0)( x h.所以所以( )h x在在 0 (0,)x 上单调递减，上单调递减， 0 (,)x 上单调递增上单调递增.所以所以 0 0 min00 4 ( )() x x h xh xx e . -8 分分 因为因为 00 000 ()0,30,3. xx s xexex 所以所以 0 00 min0000 00 441 ( )()1 33 x xx h xh xxxx xxe ,) 3 5 , 2 3 ( 0 x-10 分分 设 3 1 1)( x xxg，当) 3 5 , 2 3 (x时，0 )3( 1 1)( 2 x xg ，所以)(xg在) 3 5 , 2 3 (上单调 递
22、增.则) 3 5 ()() 2 3 (gxgg，即3 42 121 )( 18 49 2xg.所以3)(2 0 xh 因为因为mZ，所以，所以2m ，所以，所以m的最大值为的最大值为 2. -12 分分 21.方法一 解（1）由题有2a， 1 2 c e a . 1c，.2 分 222 3bac . 椭圆方程为 22 1 43 xy .4 分 （2）设l：1xmy，将其与曲线C的方程联立，得 2 2 31412myy. 即 22 34690mymy.6 分 设 12 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m 2 2 2 222
23、 6912(1) 14 343434 mm MNm mmm 8 分 将直线FT：1ym x与4x联立，得4, 3Tm 22 993 1TFmm9 分 2 2 22 |13411 31 |44 11 TFm m MN mm 10 分 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 12 页 共 16 页 设 2 1tm .显然1t . 构造 |11 31 |4 TF f ttt MNt . 2 11 30 4 ft t 在1,t上恒成立,所以 yf t在1,上单调递增. 所以 |11 31 |4 FT t MNt ，当且仅当1t ，即0m时取“=” 所以 | | TF MN 的取值范围是1,) 11
24、分 当 | | TF MN 取得最小值 1 时，0m, 此时直线l的方程为 1x 12 分 （注： 1.如果按函数 1 yx x 的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以 根据步骤相应给分.） 21.方法二 解（1）由题有2a， 1 2 c e a . 1c，.2 分 222 3bac . 椭圆方程为 22 1 43 xy .4 分 （2）方法 1：设l：1xmy，将其与曲线C的方程联立，得 2 2 31412myy. 即 22 34690mymy.6 分 设 12 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y
25、 m 2 2 2 222 6912(1) 14 343434 mm MNm mmm 8 分 将直线FT：1ym x与4x联立，得4, 3Tm 22 993 1TFmm9 分 2 2 22 |13411 31 |44 11 TFm m MN mm 10 分 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 13 页 共 16 页 设 2 1tm .显然1t . 构造 |11 31 |4 TF f ttt MNt . 2 11 30 4 ft t 在1,t上恒成立,所以 yf t在1,上单调递增. 所以 |11 31 |4 FT t MNt ，当且仅当1t ，即0m时取“=” 所以 | | TF MN 的
26、取值范围是1,). 当 | | TF MN 取得最小值 1 时，0m, 此时直线l的方程为 1x 12 分 （注： 1.如果按函数 1 yx x 的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以 根据步骤相应给分.） （2）方法 2：当 l 的斜率不存在时，易得 1, 3 2 2 MN TF a b MN .6 分 当 l 斜率存在时，可设) 1(:xkyl设 12 ,M x y， 22 ,N x y 由 1 34 ) 1( 22 yx xky 得01248)43( 2222 kxkxk， .8 分 2 2 21 2 2 21 43 124 , 43 8 k k xx k k
27、xx 2 2 21 2 21 2 2 21 22 21 2 21 43 )1 (12 )4)(1 ( )(1 ()()( k k xxxxk xxkyyxxMN .9 分 依题意可知0k，则有直线 TF：) 1( 1 x k y，又 x=4，则) 3 , 4( k T 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 14 页 共 16 页 所以 k k TF 2 13 ， .10 分 则得1 ) 1(9 641 16 4 1)43( 4 1 14 43 2242 22 2 2 kkkk k kk k MN TF 11 分 综上可知， | | TF MN 最小值为 1，此时直线l的方程为 1x 12
28、分 （2）方法 3：当 l 的斜率不存在时，易得 1, 3 2 2 MN TF a b MN.6 分 当 l 斜率存在时，可设) 1(:xkyl设 12 ,M x y ， 22 ,N x y 由 1 34 ) 1( 22 yx xky 得01248)43( 2222 kxkxk，.8 分 2 2 21 2 2 21 43 124 , 43 8 k k xx k k xx 2 2 21 2 21 2 2 21 22 21 2 21 43 )1 (12 )4)(1 ( )(1 ()()( k k xxxxk xxkyyxxMN .9 分 依题意可知0k，则有直线 TF：) 1( 1 x k y，又
29、 x=4，则) 3 , 4( k T k k TF 2 13 ，.10 分 则得 2 2 2 42 22 2 2 1 1 )4 3 ( 4 1)43( 4 1 14 43 k k kk k kk k MN TF 设1, 1 1 2 tt k ，则有6 1 9 4 1 t t MN TF ， 设0)(, 1, 1 9)(, 6 1 9)( 2 tft t tf t ttf 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 15 页 共 16 页 当 t=1 时，f(t)=16,则 t1 时，f(t)16,则16 1 9 4 1 t t MN TF .11 分 综上可知， | | TF MN 最小值为 1
30、，此时直线l的方程为 1x 12 分 22.解（1）曲线 C 的普通方程为6 22 yx.2 分 因为2) 3 cos( ,所以04sin3cos 所以直线 l 的直角坐标方程为043yx.4 分 （2）点 P 的坐标为（4,0） 设直线 m 的参数方程为 sin cos4 ty tx （t 为参数，为倾斜角）6 分 联立直线 m 与曲线 C 的方程得：010cos8 2 tt 设 A、B 对应的参数分别为 2, 1t t，则 040cos64 10 cos8 2 21 21 t t tt 所以34cos8 2121 ttttPBPA.8 分 6 5 6 0, 2 3 cos 或的倾斜角为故直线 且满足得 m .10 分 23.解： （1）当1a时， 2,1, 112 , 11, 2,1. x f xxxxx x 2 分 由1)(xf，得 2 1 x.故不等式1)(xf的解集为 1 , 2 .4 分 （2）因为“xR ， 21f xa”为假命题， 所以“xR ，12)(axf ”为真命题，6 分 大庆市高三第三次质量检测理科数学试题 第 16 页 共 16 页 因为1)() 1(1)(aaxxaxxxf 所以1)( max axf，8 分 则121aa，所以 22 ) 12() 1(aa， 即 2 20aa，解得02a，即a的取值范围为 2,010 分