1、 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 1 页（共 9 页） 20192020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (二二) ) 数数 学学 试试 卷卷 2020.06 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 9 页 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用 橡皮
2、擦干净后，再选涂其它答案标号 3本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 参考公式：参考公式： 球的体积公式V球= 4 3 R3，其中R表示球的半径 锥体的体积公式V锥体= 1 3 Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 （1）复数z= 43i 34i （i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ） （A）(1，0) （B）(0，1) （C）
3、( 4 5 ， 3 5 ) （D）( 3 5 ， 4 5 ) （2）某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7，防疫站欲对该校学生 进行身体健康调查， 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本， 样本中高三年级的学生有21人，则n等于（ ） （A）35 （B）45 （C）54 （D）63 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 2 页（共 9 页） （3）方程x2+y2kx+2y+k22=0表示圆的一个充分不必要条件是（ ） （A）k(，2)(2，+) （B）k(2，+) （C）k(2，2) （D）k(0，1 （4）设
4、a=2ln2，b= 1 2 log 4，c=log32，则a，b，c的大小关系是（ ） （A）bac （B）abc （C）bca （D）acb （5） 如图， 长方体ABCDA1B1C1D1的底面是面积为2的正方形， 该长方体的外接球体积为 32 3 ，点E为棱AB的中点，则三棱锥 D1ACE的体积是（ ） （A） 2 2 3 （B）2 2 （C） 3 3 （D）1 （6）已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的离心率为 6 2 ，以双曲线C的右焦 点F为圆心，a为半径作圆F， 圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点， 则MFN= （ ） （A）45 （B）60 （C）9
5、0 （D）120 （7）某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率， 规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻， 也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上） 现有3位 同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐 （同一张餐桌的4个座位是没有区别的） ， 则不同的坐法种 数为（ ） （A）6 （B）12 （C）24 （D）48 （8）已知函数f(x)=sin(x+)（0，| 2 ） ，y=f(x)的图象关于直线x= 5 6 对 称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为 2 的等差数列，则函数f(x)的导函数f(x)的 A
6、B C D B1 C1 A1 D1 E 1 号 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 3 页（共 9 页） 一个单调减区间为（ ） （A） 12 ， 12 （B） 12 ， 12 （C） 6 ， 6 （D） 6 ， 3 （9）如图，在边长23的等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，O为 ABC的中心， 过点O的直线l与直线BC交于点P， 与直线DE交于点Q， 则APAQ 的取值范围是（ ） （A）3，+) （B）(，3) （C）(， 9 2 ) （D）(， 9 2 O P Q E D C B A 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟
7、考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 4 页（共 9 页） 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共 11 小题，共 105 分 得得 分分 评卷人评卷人 二、 填空题：二、 填空题： 本大题共本大题共 6 个个小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 30 分 请分 请 将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上。 （10） 已知集合A=x|(x+1)(x2)0， RB=x|x0或x3， 则AB= （11）若(x2+ 1 ax )6的二项展开式中x3的系数为 5 2 ，则a= （12） 过点(3，1)的直线l与圆x2+y2=4相切， 则直线l在
8、y轴上的截距为 （13）一袋中装有6个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到 1 个白球的概率是 4 5 ，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白 球的个数X的数学期望为 （14）已知ab0，则 22 222 4245 41 abab ab ()() 的最小值为 （15）已知定义在R上的偶函数f(x)在(，0上单调递增，且f(1)=1若f(x1)+1 0，则x的取值范围是 ；设函数g(x)= 2 110 210 x xax xax () ， ， 若方程 f(g(x)+1=0有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试
9、( (二二) )数学试卷数学试卷 第 5 页（共 9 页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 个个小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得得 分分 评卷人评卷人 （16） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a2+c2=b2+ 10 5 ac （）求cosB及tan2B的值； （）若b=3，A= 4 求c的值 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 6 页（共 9 页） 得得 分分 评卷人评卷人 （17）
10、（本小题满分（本小题满分 15 分）分） 如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，DAB=45， 四边形CDEF为直角梯形，EFDC，EDCD，AB=3EF=3，ED=a，AD=2 （）求证：ADBF； （）若线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，求 CM CF 的值； （）若a=1，求二面角DBCF的余弦值 D E F A B C M 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 7 页（共 9 页） 得得 分分 评卷人评卷人 （18） （本小题满分（本小题满分 15 分）分） 已知F1，F2为椭圆C：1 2 2 2 2 b
11、y a x （ab0） 的左、 右焦点， 椭圆C过点M(1， 2 2 )， 且MF2F1F2 （）求椭圆C的方程； （）经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，若存在点Q(m，0)，使得 |QA|=|QB| （）求实数m的取值范围； （）若线段F1A的垂直平分线过点Q，求实数m的值 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 8 页（共 9 页） 得得 分分 评卷人评卷人 （19） （本小题满分（本小题满分 15 分）分） 设an是各项都为整数的等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=1， a3+b2=7，S5b2=50，nN*
12、（）求数列an，bn的通项公式； （）设cn=log2b1+log2b2+log2b3+log2bn，Tn= 1 n c a + 2 n c a + 3 n c a + n cn a （）求Tn； （）求证： 2 1 n i i Ti 2 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷 第 9 页（共 9 页） 得得 分分 评卷人评卷人 （20） （本小题满分（本小题满分 16 分）分） 设函数f(x)= 3 k x3 2 1 x2x，kR （）若x=1是函数f(x)的一个极值点，求k的值及f(x)单调区间； （）设g(x)=(x+1)ln(x+1)+ f(x)，
13、若g(x)在0，+)上是单调增函数，求实数k的 取值范围； （）证明：当p0，q0及mn（m，nN*）时， 21 1211 21 1 1 m imii m i pq pq p ( ) 2n1 21 1211 21 1 1 n inii n i pq pq p ( ) 2m1 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 1 页（共页（共 8 页）页） 20192020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 数学数学学科学科 一、一、选择题：选择题： （本题共 9 小题，每题 5 分，共 4
14、5 分） 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答答 案案 B C D A C C B A D 二、填空题：二、填空题： （本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10）(0，2； （11）2； （12）4； （13）3，1； （第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） （14）4； （15）0，2，(，1(3，+) （第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （16）解解： （）a2+c2=b2+ 10 5 ac， 由余弦
15、定理得，cosB= 222 2 acb ac = 10 10 2 分 sinB= 2 1cos B= 3 10 10 ， 3 分 sin2B=2sinBcosB= 3 5 ，cos2B=2cos2B1= 4 5 ，7 分 tan2B= sin2 cos2 B B = 3 4 8 分 （）sinC=sin(A+B)=sin(A+B)=sin(B+ 4 ) 9 分 =sinBcos 4 +cosBsin 4 10 分 = 3 10 10 2 2 + 10 10 2 2 = 2 5 5 ， 11 分 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 2 页（共页（共
16、 8 页）页） 由正弦定理 sinsin cb CB 得，c= sin sin bC B = 2 5 3 5 3 10 10 =2 214 分 （17）解：解： （）平面CDEF平面ABCD，EDCD， ED平面ABCD 1 分 如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过 点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角 坐标系D-xyz， DAB=45，AB=3EF=3， ED=a，AD=2， A(1，1，0)，B(1，2，0)，C(0，3，0)，E(0，0，a)，F(0，1，a) 3 分 BF=(1，1，a)，DA=(1，1，0)， 4 分 BFDA=(1，1，a) (1，1，0)=0， ADBF
17、5 分 （）设CM=CF=(0，2，a)=(0，2，a)， 则DM=DC+CM=(0，3，0)+(0，2，a)=(0，32，a) 6 分 设平面BDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则 111111 111111 12020 032320 DBxyzxy CPxyzayaz () () () () () ， ， ， ， ， n n 取x1=2，得y1=1，z1= 32 a ，即n1=(2，1， 32 a )8 分 y z x D E F A B C M 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 3 页（共页（共 8 页）页） 若AE平面BDM，
18、则AEn1=(1，1，a) (2，1， 32 a )=0， 即21+ 32 =0，解得= 3 5 线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，此时 CM CF = 3 5 11 分 （）设平面BCF的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 222222 222222 1100 02120 CBxyzxy CFxyzyz () () () () ， ， ， ， n n 取 x2=1，得y2=1，z2=2，即n2=(1，1，2) 13 分 又平面BCD的法向量为n3=(0，0，1)， |cos|= 23 23 | | | nn n n = 2 11 14 = 6 3 ， 14 分 由图形可知，二面
19、角DBCF为锐角， 二面角DBCF的余弦值为 6 3 15 分 （18）解：解： （）M(1， 2 2 )，MF2F1F2， 22 22 1 11 1 2 cab ab ， ， 解得 2 2 2 1 a b ， ， 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 （）设直线的方程为y=k(x2)， 代入椭圆C的方程，消去y，得(1+2k2)x28k2x+8k22=0 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 4 页（共页（共 8 页）页） 直线l交椭圆C于两点， =(8k2)24(1+2k2)(8k22)0，解得2k21 6 分 设A(x1，y1)，B
20、(x2，y2)，则有x1+x2= 2 2 8 1 2 k k ，x1x2= 2 2 82 1 2 k k 7 分 （）设AB中点为M(x0，y0)， 则有x0= 2 2 4 1 2 k k ，y0=k(x02)= 2 2 1 2 k k 8 分 当k0时，|QA|=|QB|，QMl， kQM k= 2 2 2 2 0 12 4 12 k k k k m k =1，解得m= 2 2 2 12 k k 9 分 m= 2 2 2 12 k k =1 2 1 12k (0， 2 1 ) 10 分 当k=0时，可得m=0， 综上，m0， 2 1 ) 11 分 （）依题意有|QF1|=|QA|=|QB|，
21、且F1(1，0)， 由 2 22 22 1 22 xmym xy ()()， ， 消去y，得x24mx24m=0， 12 分 x1，x2也是此方程的两个根 x1+x2=4m= 2 2 8 1 2 k k ，x1x2=4m= 2 2 82 1 2 k k 13 分 2 2 8 1 2 k k = 2 2 28 1 2 k k ，解得k2= 1 8 ， 14 分 m= 2 2 2 12 k k = 1 5 15 分 （19）解：解： （）设an的公差为d，bn的公比为q， 依题意，S5b2=5(1+2d)q=50，a3+b2=(1+2d)+q=7， 2 分 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟
22、考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 5 页（共页（共 8 页）页） 解得 d=2，q=2或d= 1 2 ，q=5， 由于an是各项都为整数的等差数列，所以d=2，q=2 4 分 从而an=2n1，bn=2n1 5 分 （）log2bn=n1， cn=0+1+2+n1= 01 2 nn()= 2 2 nn ， 7 分 n ci a =2( 2 2 nn +i)1=n2n1+2i， Tn=n2n1+2+n2n1+4+n2n1+2n =n(n2n1)+(2+4+2n) =n(n2n1)+n(n+1)=n3 10 分 （） 1 n Tn = 1 11nn n() () =( 1 1nn() 1
23、 1n n () ) 11 1 nn = n 1 ( 1 1 n 1 1 n ) 2 11nn ， 11 分 而 2 11nn 2 11nn =n， 12 分 1 n Tn 1 1 n 1 1 n ， 13 分 2 1 n i i Ti 1 21 1 21 + 1 3 1 1 3 1 + 1 41 1 41 + 1 2n 1 n + 1 1 n 1 1 n =1+ 2 2 1 n 1 1 n 2 15 分 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 6 页（共页（共 8 页）页） （20）解解: :（）f(x)=kx2x1， x=1是函数f(x)的一个极
24、值点， f(1)=k11=0，解得k=2 2 分 f(x)=2x2x1， 当f(x)0，即x 2 1 或x1时，f(x)单调递增， 当f(x)0，即 2 1 x1时，f(x)单调递减， f(x)的单调递增区间为(， 2 1 )和(1，+)，单调递减区间为( 2 1 ，1) 5 分 （）g(x)=(x+1)ln(x+1)+ 3 k x3 2 1 x2x，g(x)=ln(x+1)+kx2x，6 分 若g(x)在0，+)上是单调增函数，则g(x)0对任意x0，+)恒成立 7 分 令h(x)=ln(x+1)+kx2x，h(x)= 1 1x +2kx21= 221 1 xkxk x ()， （）若k0，
25、则h(x)0，h(x)在0，+)单调递减， h(x)h(0)=0，不合题意 8 分 （）若k0，由h(x)=0解得x=0，x= 12 2 k k 1， 当0k 2 1 时， 12 2 k k 0， x(0， 12 2 k k )时，h(x)0，h(x)单调递减， h(x)h(0)=0，不合题意 g(x)g(1)=0 9 分 当k 2 1 时， 12 2 k k 0， x0，+)时，h(x)0，h(x)单调递增， 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 7 页（共页（共 8 页）页） h(x)h(0)=0，即g(x)0对任意x0，+)恒成立 综上，k
26、2 1 时，g(x)在0，+)上是单调增函数 11 分 （） 21 1211 21 1 1 m imii m i pq pq p ( )= 21 1 1 m i i pqq pp ( ) = 21 1 1 m q pqp q p p () () = 21 1 m q p ()， 12 分 21 1211 21 1 1 m imii m i pq pq p ( ) 2n1 21 1211 21 1 1 n inii n i pq pq p ( ) 2m1 21 1 m q p () 2n1 21 1 n q p () 2m1 1 21 21 1 m m q p () 1 21 21 1 n n
27、q p () 21 1 ln 1 21 m q mp () 21 1 ln 1 21 n q np () 13 分 不妨设pq0，则0 q p 1 构造函数(x)= 1 ln 1 x a x ()（x0） ，其中a= q p (0，1) (x)= 2 lnln 1 1 xx x aaa xax () () ， 由（）知ln(x+1)x 2 1 x2，ln(ax+1)ax 2 1 a2x， (x) 2 2 1 ln 2 1 xx x x aa aa xax () ， 14 分 a(0，1)，x0， 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (二二) )参考答案参考答案 第第 8 页（共页（共 8 页）页） lna0，axa2x 2 1 a2x， (x)0，(x)在(0，+)上是单调减函数， 15 分 0mn，02m12n1， 21 1 ln 1 21 m q mp () 21 1 ln 1 21 n q np ()， 原不等式成立 16 分