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2019-2020学年山东省泰安市肥城市高三(上)第一次统考数学试卷(9月份)含详细解答

1、已知集合 Mx|x24x0,Nx|2x 14,则 MN( ) A (1,3) B (0,3) C (0,4) D 2 (5 分)设 z1x+yi(x,yR) ,z234i(i 为虚数单位) ,且|z1+z2|5,则( ) A (x+3)2+(y4)25 B (x+3)2+(y4)225 C (x3)2+(y+4)25 D (x3)2+(y+4)225 3 (5 分)已知函数 f(x),则 f(2)+f(1)( ) A B C D 4 (5 分)某教育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程,收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 (单位:

2、公里) 的数据, 绘制了下面的折线图 根 据折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月,波动性更小,变化比较平稳 5 (5 分)如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么( ) 第 2 页(共 23 页) A B C D 6 (5 分)已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,且若角 的终边上有一点 P,其纵坐标为4,有下列三个结论:点 P 的横坐标是 6; ;sin20则上述结论中,

3、正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 7 (5 分)公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发 现了黄金分割数约为 0.618,这一数值也可以表示为 m2sin18,若 m2+n4,则 ( ) A8 B4 C2 D1 8 (5 分)已知函数 f(x)(x2+a2x+1)ex,则“a”是“函数 f(x)在 x1 处取 得极小值”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 (5 分)若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,则这个长方体外接 球的体积为( ) A B C D 10 (5 分)已知双曲线,双曲线 C2

4、的焦点在 y 轴上,它的渐近线与双曲 线 C1相同,则双曲线 C2的离心率为( ) A B C D 11 (5 分)十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、 丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现 有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜 欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同 第 3 页(共 23 页) 学抽取的礼物都喜欢的概率是( ) A B C D 12 (5 分)若关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在(2,+)内恒成立,则满足条件的整 数

5、 k 的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)函数 f(x)2cos2x2sinxcosx+1 的最小正周期是 ,最大值是 14 (5 分)的展开式中 x4的系数为 (用数字作答) 15 (5 分) “三个臭皮匠,赛过诸葛亮” ,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强 大假设李某智商较高,他独自一人解决项目 M 的概率为 P10.9;同时,有 n 个水平 相同的人也在研究项目 M,他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.5现在李某单独 研究项目 M,且这 n 个人组成的团

6、队也同时研究项目 M,且这 n 个人研究项目 M 的结果 相互独立 设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 P2, 若 P2P1, 则 n 的最小值是 16 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l若位于 x 轴上方的动点 A 在准线 l 上,线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B,且,则抛物线 C 的标准 方程为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 asinB+1bsinA+2cosC

7、(1)求角 C 的大小; (2)若 a2,a2+b22c2,求ABC 的面积 18 (12 分)已知等比数列an的公比 q0,其前 n 项和为 Sn,且 S562,a4,a5的等差 中项为 3a3 (1)求数列an的通项公式; (2)设,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn 19 (12 分)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABCD 是边长为 3 的 菱形 (1)求证:CDEF (2)若 EFDE,BAD60,DAE30,AE2,CF2,求二面角 FBC 第 4 页(共 23 页) A 的余弦值 20 (12 分)已知定点 A(3,0) 、B(3,0) ,直线 A

8、M、BM 相交于点 M,且它们的斜率 之积为,记动点 M 的轨迹为曲线 C ()求曲线 C 的方程; ()过点 T(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,是否存在定点 S(s,0) ,使得 直线 SP 与 SQ 斜率之积为定值,若存在求出 S 坐标;若不存在请说明理由 21 (12 分)已知函数,其中 a0 ()当 a2 时,求曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; ()若函数 f(x)有唯一零点,求 a 的值 22 (12 分)某居民区有一个银行网点(以下简称“网点” ) ,网点开设了若干个服务窗口, 每个窗口可以办理的业务都相同,每工作日开始办理业务的时间是 8

9、 点 30 分,8 点 30 分之前为等待时段,假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等,且每 位储户是否在该时段到网点相互独立,根据历史数据,统计了各工作日在等待时段到网 点等待办理业务的储户人数,得到如图所示的频率分布直方图: (1)估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值; (2)假设网点共有 1000 名储户,将频率视作概率,若不考虑新增储户的情况,解决以 下问题: 试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率; 储户都是按照进入网点的先后顺序, 在等候人数最少的服务窗口排队办理业务 记 “每 工作日上午 8 点 30 分时网点每个服务窗口的排队人数(包括

10、正在办理业务的储户)都不 超过 3 为事件 A,要使事件 A 的概率不小于 0.75 则网点至少需开设多少个服务窗口? 参考数据: 第 5 页(共 23 页) 0.3284; 0.1596; 第 6 页(共 23 页) 2019-2020 学年山东省泰安市肥城市高三(上)第一次统考数学学年山东省泰安市肥城市高三(上)第一次统考数学 试卷(试卷(9 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求

11、的 1 (5 分)已知集合 Mx|x24x0,Nx|2x 14,则 MN( ) A (1,3) B (0,3) C (0,4) D 【分析】可以求出集合 M,N,然后进行交集的运算即可 【解答】解:Mx|0x4,Nx|x3, MN(0,3) 故选:B 【点评】考查描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,指数函数的单调性,以及 交集的运算 2 (5 分)设 z1x+yi(x,yR) ,z234i(i 为虚数单位) ,且|z1+z2|5,则( ) A (x+3)2+(y4)25 B (x+3)2+(y4)225 C (x3)2+(y+4)25 D (x3)2+(y+4)225 【分析】由复数代数

12、形式的加减运算求得 z1+z2,再由复数模的计算公式求解 【解答】解:由 z1x+yi(x,yR) ,z234i, 得 z1+z2(x+yi)+(34i)(x+3)+(y4)i, 又|z1+z2|5, 即(x+3)2+(y4)225 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的加减运算,考查复数模的求法,是基础题 3 (5 分)已知函数 f(x),则 f(2)+f(1)( ) A B C D 【分析】结合分段函数的表达式,利用代入法进行求解即可 第 7 页(共 23 页) 【解答】解:,f(1)21+13, , 故选:C 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用代入法是解决本题的关键比较基础 4 (

13、5 分)某教育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程,收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 (单位: 公里) 的数据, 绘制了下面的折线图 根 据折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月,波动性更小,变化比较平稳 【分析】月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数;月跑步平均里程 2 月、7 月、 8 月和 11 月减少;月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月;1

14、 月至 5 月的月跑步平均里 程相对于 6 月至 11 月,波动性更小,变化比较平稳 【解答】解:由 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位: 公里)的数据,绘制的折线图,知: 在 A 中,月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数,故 A 错误; 在 B 中,月跑步平均里程 2 月、7 月、8 月和 11 月减少,故 B 错误; 在 C 中,月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月,故 C 错误; 在 D 中, 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月, 波动性更小, 变化比较平稳, 故 D 正确 故选:D 【点评】本题考查命

15、题真假的判断,考查折线图等基础知识,考查运算求解能力、数据 处理能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是基础题 第 8 页(共 23 页) 5 (5 分)如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么( ) A B C D 【分析】由题意点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,求出 ,然后求出向量 即得 【解答】解:因为点 E 是 CD 的中点,所以 , 点得 F 是 BC 的中点,所以 , 所以 +, 故选:D 【点评】本题考查向量加减混合运算及其几何意义,注意中点关系与向量的方向,考查 基本知识的应用 6 (5 分)已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负

16、半轴重合,且若角 的终边上有一点 P,其纵坐标为4,有下列三个结论:点 P 的横坐标是 6; ;sin20则上述结论中,正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】由三角函数定义,根据逻辑连词真假判断的基本概念,逐一分析四个答案结论 的真假,可得答案 【解答】解:已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 若角 的终边上有一点 P,其纵坐标为4,即设为 p(x,4) ,且0所以 角 是第三象限的角, 下列三个结论: 角 的终边上有一点 P,其纵坐标为4,即 p(x,4) ,解 得 x6,所以点 P 的横坐标是 6,错误; p(x,4) ,且0所以角 是第三象限的角,由 1

17、+tan2, 第 9 页(共 23 页) cos;错误; sin22sincos,由可知道;cos;0所以角 是第三 象限的角,sin0所以 sin22sincos0,所以正确; 则上述结论中,正确的个数为 1 个, 故选:B 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了三角函数的定义,命题真假判断相关知 识,难度不大,属于中档题 7 (5 分)公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发 现了黄金分割数约为 0.618,这一数值也可以表示为 m2sin18,若 m2+n4,则 ( ) A8 B4 C2 D1 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 n4cos

18、218,利用降幂公式,诱导 公式,二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解 【解答】解:m2sin18,若 m2+n4, n4m244sin2184(1sin218)4cos218, 2 故选:C 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,降幂公式,诱导公式,二倍角的正 弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题 8 (5 分)已知函数 f(x)(x2+a2x+1)ex,则“a”是“函数 f(x)在 x1 处取 得极小值”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出原函数的导函数,分析函数 f(x)在 x1 处取得

19、极小值时的 a 的范围, 再由充分必要条件的判定得答案 【解答】解:若 f(x)在 x1 取得极小值, f(x)x2+(a2+2)x+a2+1ex(x+1) (x+a2+1)ex 第 10 页(共 23 页) 令 f(x)0,得 x1 或 xa21 当 a0 时,f(x)(x+1)2ex0 故 f(x)在 R 上单调递增,f(x)无最小值; 当 a0 时,a211,故当 xa21 时,f(x)0,f(x)单调递增; 当a21x1 时,f(x)0,f(x)单调递减; 当 x1 时,f(x)0,f(x)单调递增 故 f(x)在 x1 处取得极小值 综上,函数 f(x)在 x1 处取得极小值a0 “

20、a”是“函数 f(x)在 x1 处取得极小值”的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,考查充分必要条件的判定,属中档题 9 (5 分)若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,则这个长方体外接 球的体积为( ) A B C D 【分析】由题意设三个边的长分别是 a,b,c,则有 ab,bc,ca,由此 求出 a,b,c 的值,由公式求出对角线的长,再利用对角线长即为它的外接球的直径求 出半径后得到体积即可 【解答】解:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为 a,b,c, 可得 ab,bc,ca, 解得, 故长方体的对角线长是 对角线长即为它的外接球的直径求出半径,

21、它的外接球的半径为:, 它的外接球的体积为 VR3 故选:C 【点评】本题考点是棱柱的结构特征,考查根据题目中所给的条件求出三个棱长的长度, 再由球体的体积公式求出体积的能力,本题直接利用公式建立方程求解,题目较易 第 11 页(共 23 页) 10 (5 分)已知双曲线,双曲线 C2的焦点在 y 轴上,它的渐近线与双曲 线 C1相同,则双曲线 C2的离心率为( ) A B C D 【分析】求出双曲线的方程,转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解:双曲线,双曲线 C2的焦点在 y 轴上,它的渐近线与双曲 线 C1相同, 设双曲线 C2的方程为 (0) , 则双曲线 C2的离心率为 故选:D 【

22、点评】本题考查双曲线的性质,注意渐近线相同,双曲线不同,不同的双曲线可以由 相同的渐近线 11 (5 分)十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、 丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现 有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜 欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同 学抽取的礼物都喜欢的概率是( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n1320,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个 数 m129+13945,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的

23、概率 【解答】解:现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为 礼物, 甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢, 基本事件总数 n1320, 这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数 m129+13945, 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 p 故选:A 第 12 页(共 23 页) 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 12 (5 分)若关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在(2,+)内恒成立,则满足条件的整 数 k 的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 【分析】关

24、于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在(2,+)内恒成立,即函数 yxlnx(x 2)的图象恒在直线 yk(x2)1 的上方,求出当直线 yk(x2)1 与函数 y xlnx(x2)相切时,对应的 k 值解最大值 【解答】解:关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在(2,+)内恒成立,即关于 x 的不 等式 xlnxk(x2)1 在(2,+)内恒成立, 即函数 yxlnx(x2)的图象恒在直线 yk(x2)1 的上方 当直线 yk(x2)1 与函数 yxlnx(x2)相切时,设切点为(x0,y0) ,则 , 由得,x0lnx0k(x02)1,把代入得 x0(k1)k(x02)1

25、,化简得 x02k+1由 x02 得, 又由得 klnx0+11即相切时整数 k2因此函数 yxlnx(x2)的图象恒在直线 yk(x2)1 的上方时,整数 k 的最大值为 2, 故选:A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调区间与单调性,考查了数学转化思想,解 答此题的关键是利用导数求最值,是中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)函数 f(x)2cos2x2sinxcosx+1 的最小正周期是 ,最大值是 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变相成正弦型函数,进 一步求出函数的最小正周

26、期和最值 【解答】 解: 函数 f (x) 2cos2x2sinxcosx+1cos2x+1sin2x+1, 所以函数的最小正周期为 第 13 页(共 23 页) 当(kZ) ,整理得(kZ)时,函数的最大值为 2+ 故答案为:,2+ 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用, 主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型 14 (5 分)的展开式中 x4的系数为 80 (用数字作答) 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 4,求出 r 的值,即可求得展开 式中 x4的系数 【解答】解:的展开式的通项公式为 Tr+1 (1)r25 rx1

27、03r,令 103r4,求得 r2, 故展开式中 x4的系数为2380, 故答案为:80 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 15 (5 分) “三个臭皮匠,赛过诸葛亮” ,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强 大假设李某智商较高,他独自一人解决项目 M 的概率为 P10.9;同时,有 n 个水平 相同的人也在研究项目 M,他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.5现在李某单独 研究项目 M,且这 n 个人组成的团队也同时研究项目 M,且这 n 个人研究项目 M 的结果 相互独立设这个 n 人团队解决项目 M 的概率为 P2,若

28、 P2P1,则 n 的最小值是 4 【分析】这 n 个人组成的团队不能解决项目 M 的概率为 P,所以 P2 1P1,所以 10.9,解不等式即可 【解答】解:依题意,这 n 个人组成的团队不能解决项目 M 的概率为 P , 所以 P21P1, 所以 10.9,即, 解得 n4, 故答案为:4 第 14 页(共 23 页) 【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式,指数不等式的解法,属于基础题 16 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l若位于 x 轴上方的动点 A 在准线 l 上,线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B,且,则抛物线 C 的标准 方程为 y2

29、2x 【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用抛物线的定义和性质,根据直角三角形的 边角关系求出 p 的值,即可写出抛物线的标准方程 【解答】解:如图所示,设, 过点 B 作 BBl 与点 B, 由抛物线的定义知,|BF|BB|,|FC|p,ABBAFO; 在 RtABB中,|BF|AB|cos, 从而|AF|BF|+|AB|AB|(1+cos) ; 又,所以, 即,所以; 在 RtAFC 中,p|AF|cos, 所以, 所以抛物线 C 的标准方程为 y22x 故答案为:y22x 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档 题 第 15 页(共 23 页) 三

30、、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 asinB+1bsinA+2cosC (1)求角 C 的大小; (2)若 a2,a2+b22c2,求ABC 的面积 【分析】 (1)利用正弦定理化简已知等式可得,结合范围 0C,可求 C 的 值 (2)由已知利用余弦定理得 b 的值,进而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解: (1), asinBbsinA, 2cosC1,即 又 0C, (2)由余弦定理得:c2a2+b2ab,

31、4+b22(4+b22b) ,解得 b2 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 18 (12 分)已知等比数列an的公比 q0,其前 n 项和为 Sn,且 S562,a4,a5的等差 中项为 3a3 (1)求数列an的通项公式; (2)设,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn 【分析】 (1)通过 a4,a5的等差中项为 3a3求出数列的公比,然后求解数列an的通项 公式; (2)化简,利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】解: (1)因为 a4+a56a3,所以,即 q2+q60 解得 q2 或 q3(

32、舍去) 第 16 页(共 23 页) 所以,a12, 所以 (2)因为, 所以 Tnb1+b2+bn 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力 19 (12 分)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABCD 是边长为 3 的 菱形 (1)求证:CDEF (2)若 EFDE,BAD60,DAE30,AE2,CF2,求二面角 FBC A 的余弦值 【分析】 (1)推导出 CDAB,从而 CD平面 ABFE,由此能证明 CDEF (2)根据余弦定理和勾股定理得 DEAD,由 EFDE,ABCD,得 DCDE,从而 DE平面 ABCD,设 AB 中

33、点为 G,连结 DG,DB,则 DGAB,DGCD,作 FHCD 于点 H,则 HFDE,以 D 为坐标原点,DG、DC、DE 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 FBCA 的余弦值 【解答】证明: (1)ABCD 是菱形,CDAB, 又CD平面 ABEF,AB平面 ABFE, CD平面 ABFE, 又CD平面 CDEF,平面 CDEF平面 ABFEEF, 第 17 页(共 23 页) CDEF 解: (2)在ADE 中,根据余弦定理,DE2DA2+AE22ADAEcosDAE, AD3,AE2,DAE90,DEAD, EFDE,ABCD,DCDE, A

34、DDCD,DE平面 ABCD, 设 AB 中点为 G,连结 DG,DB, ABCD 是菱形,BAD60, ABD 是等边三角形,DGAB,DGCD, 作 FHCD 于点 H,则 HFDE, 在 RtFHC 中,CH1,DHCDCH2, 如图,以 D 为坐标原点,DG、DC、DE 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 系, 则 B(,) ,C(0,3,0) ,F(0,2,) , (,0) ,(0,1,) , 设平面 BCF 的一个法向量 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (1,) , (0,0,) ,可取平面 ABCr 一个法向量为 (0,0,1) , cos, 由图知二面角 F

35、BCA 的平面角是锐角, 二面角 FBCA 的余弦值是 第 18 页(共 23 页) 【点评】本题考查线线平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知定点 A(3,0) 、B(3,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率 之积为,记动点 M 的轨迹为曲线 C ()求曲线 C 的方程; ()过点 T(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,是否存在定点 S(s,0) ,使得 直线 SP 与 SQ 斜率之积为定值,若存在求出 S 坐标;若不存在请说明理由 【分析】 () 设动点

36、M (x, y) , 则(x3) , 利用, 求出曲线 C 的方程 () 由已知直线 l 过点 T (1,0) ,设 l 的方程为 xmy+1, 则联立方程组, 消去 x 得 (m2+9)y2+2my80,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)利用韦达定理求解直线 的斜率,然后求解指向性方程,推出结果 【解答】解: ()设动点 M(x,y) ,则(x3) , ,即 化简得:,由已知 x3,故曲线 C 的方程为(x3) ()由已知直线 l 过点 T(1,0) , 设 l 的方程为 xmy+1,则联立方程组, 消去 x 得 (m2+9)y2+2my80, 第 19 页(共 23 页) 设 P(x

37、1,y1) ,Q(x2,y2) ,则, 直线 SP 与 SQ 斜率分别为, 当 s3 时,;当 s3 时, 所以存在定点 S(3,0) ,使得直线 SP 与 SQ 斜率之积为定值 【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力 21 (12 分)已知函数,其中 a0 ()当 a2 时,求曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; ()若函数 f(x)有唯一零点,求 a 的值 【分析】 (I)求得 a2 时 f(x)的解析式和导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方 程可得切线方程; ()解法一、问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时,求 a 的值令 ,求得

38、 g(x)的导数,以及单调性和极值,结合图象和已知条件可 得 a 的值; 解法二、问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时,求 a 的值令 ext(t 0) ,则 xlnt,问题等价于关于 t 的方程有唯一的解时,求 a 的值令,求得 g(t)的导数和单调性,极值和最值,结合 图象可得 a 的值 【解答】解: (I)当 a2 时, f(0)211,又 f(0)211, 曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y1x,即 xy+10; 第 20 页(共 23 页) ()解法一:问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时,求 a 的值 令,则 令 h(x)12xex,则 h(x)2ex0,

39、h(x)在(,+)上单调递减 又 h(0)0,当 x(,0)时,h(x)0,即 g(x)0, g(x)在(,0)上单调递增; 当 x(0,+)时,h(x)0,即 g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递减 g(x)的极大值为 g(0)1, 当 x(,0时,g(x)(,1;当 x(0,+)时,g(x)(0,1) 又 a0,当方程有唯一的解时,a1 综上,当函数 f(x)有唯一零点时,a 的值为 1 解法二:问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时,求 a 的值 令 ext(t0) ,则 xlnt 问题等价于关于 t 的方程有唯一的解时,求 a 的值 令,则 令 h(t)1t2lnt(t0) ,则

40、h(t)在(0,+)单调递减,而 h(1)0, 当 t(0,1)时,h(t)0,当 t(1,+)时,h(t)0 当 t(0,1)时,g(t)0,当 t(1,+)时,g(t)0 从而 g(t)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减 注意到:g(1)1,当 t1 时,g(t)0,当 t0 时,g(t), g(t)的唯一极大值为 g(1)1 结合 g(t)的图象知,a1 或 a0 时,关于 t 的方程有唯一的 解, 而 a0,所以 a1 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调性、极值和最值,考查换元法和构造 函数法,以及化简运算能力,属于中档题 第 21 页(共 23 页) 22 (12

41、分)某居民区有一个银行网点(以下简称“网点” ) ,网点开设了若干个服务窗口, 每个窗口可以办理的业务都相同,每工作日开始办理业务的时间是 8 点 30 分,8 点 30 分之前为等待时段,假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等,且每 位储户是否在该时段到网点相互独立,根据历史数据,统计了各工作日在等待时段到网 点等待办理业务的储户人数,得到如图所示的频率分布直方图: (1)估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值; (2)假设网点共有 1000 名储户,将频率视作概率,若不考虑新增储户的情况,解决以 下问题: 试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率; 储

42、户都是按照进入网点的先后顺序, 在等候人数最少的服务窗口排队办理业务 记 “每 工作日上午 8 点 30 分时网点每个服务窗口的排队人数(包括正在办理业务的储户)都不 超过 3 为事件 A,要使事件 A 的概率不小于 0.75 则网点至少需开设多少个服务窗口? 参考数据: 0.3284; 0.1596; 【分析】 (1)根据频率分布直方图,能估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储 户人数的平均值 (2)设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为 X,每位储户到网点办理业务的 第 22 页(共 23 页) 概率为 p,则 XB(1000,p) ,由此能求出每位储户在等待时段到网点办理业务的概

43、率 由 XB(1000,0.1) ,设网点共开设了 m 个服务窗口,则事件 A 即“每工作日等待 时 段 到 网 点 等 待 办 理 业 务 的 储 户 人 数 不 超 过 3m ” , 其 概 率 为 P ( A ) ,满足0.4573 0.75,由此推导出根据要求,网点到少需开设 4 个服务窗口 【解答】解: (1)根据频率分布直方图,各组的频率依次为:0.04,0.24,0.48,0.16, 0.08, 所求的平均值为:0.042+0.246+0.4810+0.1614+0.081810, 估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为 10 (2)设在等待时段到网点等待办理

44、业务的储户人数为 X, 每位储户到网点办理业务的概率为 p,则 XB(1000,p) , X 的数学期望 E(X)1000p, 将频率视作概率,根据(1)的结论,得 1000p10,解得 p0.01, 每位储户在等待时段到网点办理业务的概率为 0.01 由知,XB(1000,0.1) , 则 P(Xk), 设网点共开设了 m 个服务窗口, 则事件 A 即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过 3m” , 其概率为 P(A), 满足0.1289+0.32840.45730.75, 0.4573+0.33520.79250.75, 3m12,解得 m4, 根据要求,网点至少需开设 4 个服务窗口 【点评】本题考查平均数、概率的求法,考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础 知识,考查运算求解能力,是中档题