1、若 a、b 是任意实数，且 ab，则（ ） Aa2b2 B Clg（ab）0 D 5 （4 分）设 Ax|x28x+150，Bx|ax10，若 ABB，求实数 a 组成的集合 的子集个数有（ ） A2 B3 C4 D8 6 （4 分）已知 cos（）2cos（+） ，且 tan（+），则 tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 7 （4 分）古代数学著作九章算术有如下的问题： “今有女子善织，日自倍，五日织五 尺，问日织几何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺 数不少于
2、 30 尺，则至少需要（ ） 第 2 页（共 22 页） A7 B8 C9 D10 8 （4 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x） ，且当 x2 时，有 xf（x） +f（x）2f（x） ，若 f（1）1，则不等式的解集是（ ） A （2，3） B （，1） C （1，2）（2，3） D （，1）（3，+） 9 （4 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1） f（x2） 4，则 a|x1x2|的最小值为（ ） A B C D2 10 （4 分）已知函数，若方程 f（x）a 有四个不同的解 x1，x2， x3，x4，且 x1x2x3x4，则的取值范围为（ ）
3、A （1，+） B （1，1 C （，1） D1，1） 11 （4 分）关于平面向量，下列说法中不正确的是 （ ） A若且，则 B C若，且，则 D 12 （4 分）已知函数为 f（x）的一个 零点，x为 f（x）图象的一条对称轴，且 f（x）在（0，）上有且仅有 7 个零点， 下述结论正确的是（ ） A B5 Cf（x）在（0，）上有且仅有 4 个极大值点 Df（x）在（0，）上单调递增 13 （4 分）设定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）x2，且当 x0 时，f（x） 第 3 页（共 22 页） x已知存在 x0，且 x0为函数 g（x）exx a（aR，e 为自然对数
4、的底数）的一个零点，则实数 a 的取值可能是（ ） A B C D 二、填空题（本题包括二、填空题（本题包括 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，第分，第 17 题做对一空得题做对一空得 2 分）分） 14 （4 分）已知 ， 满足：| |3，| |2，| + |4，则| | 15 （4 分）设命题 p：，命题 q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若 p 是 q 的充分 不必要条件，则实数 a 的取值范围是 16 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 2sinBsinA+sinC，cosB ，且 SABC6，则 b 17 （4 分）现
5、有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为，高为 8 的圆 柱各一个若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的 圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最 大值，则此正三棱柱的底面边长为 三、解答题（本题包括三、解答题（本题包括 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18 （10 分）已知函数 f（x）2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a 的最大值为 1 （）求常数 a 的值； （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若将 f（x）的图象
6、向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x） 在区间0，上的最大值和最小值 19 （14 分）等差数列an中，a24，a4+a715 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn2an+25，求数列|bn|的前 n 项和 20 （14 分） “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群汉子在一大块麦田里玩，几千 万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我” 麦田里的守望者中的主人公霍尔 顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块呈凸四边形 ABCD 的 麦田里成为守望者，如图所示为了分割麦田，他将 BD 连接，设ABD 中边 BD 所对 的角为 A，BCD 中边 BD
7、 所对的角为 C，经测量已知 ABBCCD2，AD2 第 4 页（共 22 页） （1）霍尔顿发现无论边 BD 多长，cosAcosC 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记ABD 与BCD 的面积分 别为 S1和 S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 S12+S22的最大值 21 （14 分）已知函数 f（x）（2ax2+4x）lnxax24x（aR，且 a0） （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）的极小值为，试求 a 的值 22 （15 分）设正项数列an的前 n 项和
8、为 Sn，已知 4Snan2+2an（nN*） （1）求证：数列an是等差数列，并求其通项公式； （2）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且 bn，若 Tnn+（1） n2 对任意 nN* 都成立，求实数 的取值范围 23 （15 分）已知函数 f（x）axsinx（aR） ，且在上的最大值为， （1）求函数 f（x）的解析式； （2）判断函数 f（x）在（0，）内的零点个数，并加以证明 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷 （11 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
9、择题（本题包括一、选择题（本题包括 13 小题，每小题小题，每小题 4 分，其分，其 52 分，分，1-10 小题为单选题，每小题只有小题为单选题，每小题只有 一个选项符合题意；一个选项符合题意；11-13 小题为多选题，每小题至少有两个选项符合题意全对得小题为多选题，每小题至少有两个选项符合题意全对得 4 分，分， 漏选得漏选得 2 分，选错不得分）分，选错不得分） 1 （4 分）命题： “x（，0） ，3x4x”的否定为（ ） A B C D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题 即， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的
10、命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决 本题的关键，比较基础 2 （4 分）i 是虚数单位，若复数，则 z 的虚部为（ ） A1 B0 Ci D1 【分析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解 【解答】解：i 是虚数单位， 复数1i， z 的虚部为1 故选：A 【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 第 6 页（共 22 页） 3 （4 分）在ABC 中，若 AB，BC3，C120，则 AC（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用余弦定理求解即可 【解答】解：在ABC 中，若 AB，BC3，C120， AB2BC2+AC22
11、ACBCcosC， 可得：139+AC2+3AC， 解得 AC1 或 AC4（舍去） 故选：A 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 4 （4 分）若 a、b 是任意实数，且 ab，则（ ） Aa2b2 B Clg（ab）0 D 【分析】由题意可知 ab，对于选项 A、B、C 举出反例判定即可 【解答】解：a、b 是任意实数，且 ab，如果 a0，b2，显然 A 不正确； 如果 a0，b2，显然 B 无意义，不正确； 如果 a0，b，显然 C，lg0，不正确； 满足指数函数的性质，正确 故选：D 【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题 5 （
12、4 分）设 Ax|x28x+150，Bx|ax10，若 ABB，求实数 a 组成的集合 的子集个数有（ ） A2 B3 C4 D8 【分析】可以求出 A3，5，根据 ABB 即可得出 BA，从而可讨论 B 是否为空集： B时，a0；B时，解出 a，从而得出实数 a 组成集合的元素个数，进 而可求出实数 a 组成集合的子集个数 【解答】解：A3，5，Bx|ax1 ABB BA， 第 7 页（共 22 页） B时，a0； B时，或， ，或， 实数 a 组成的集合的元素有 3 个， 实数 a 组成的集合的子集个数有 238 个 故选：D 【点评】考查描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，以及子集、
13、空集的定义，子 集个数的计算公式 6 （4 分）已知 cos（）2cos（+） ，且 tan（+），则 tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 【分析】 由题意利用诱导公式求得 tan 的值， 再利用两角和的正切公式， 求得 tan 的值 【解答】解：已知 cos（）2cos（+） ，即 sin2cos，即 tan2 又tan（+），则 tan7， 故选：B 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题 7 （4 分）古代数学著作九章算术有如下的问题： “今有女子善织，日自倍，五日织五 尺，问日织几何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知
14、她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺 数不少于 30 尺，则至少需要（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】由等比数列前 n 项和公式求出这女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前 n 项和公式能求出要使织布的总尺数不少于 30 尺，该女子所需的天数至少为多少天 【解答】解：设该女五第一天织布 x 尺， 则5， 解得 x， 前 n 天织布的尺数为：， 第 8 页（共 22 页） 由30，得 2n187， 解得 n 的最小值为 8 故选：B 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题， 注意等比数列的性质的合理运
15、用 8 （4 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x） ，且当 x2 时，有 xf（x） +f（x）2f（x） ，若 f（1）1，则不等式的解集是（ ） A （2，3） B （，1） C （1，2）（2，3） D （，1）（3，+） 【分析】根据题意，设 g（x）（x2）f（x） ，则有 g（2+x）g（2x） ，即函数 g （x）的图象关于（2，0）对称，结合 x2 时，g（x）（x2）f（x） ，及已知导数可 判断函数单调性，从而可求不等式 【解答】解：根据题意，设 g（x）（x2）f（x） ，则 g（1）f（1）1， 则有 g（2+x）xf（2+x） ，g（2x
16、）f（2x） ，即有 g（2+x）g（2x） ， 故函数 g（x）的图象关于（2，0）对称， 则有 g（3）g（1）1， 当 x2 时，g（x）（x2）f（x） ，g（x）（x2）f（x）+f（x） ， 又由当 x2 时，xf（x）+f（x）2f（x） ，即当 x2 时，g（x）0， 即函数 g（x）在区间（2，+）为增函数， 由可得（x2）f（x）1，即 g（x）1g（3） ， 2x3， 函数 g（x）的图象关于（2，0）对称， 函数 g（x）在区间（，2）为增函数， 由可得（x2）f（x）1，即 g（x）1，此时 x 不存在， 故选：A 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及函数的
17、对称性以及不等式的解法， 属于中档题 9 （4 分）已知函数的图象关于直线对称，若 f（x1） f（x2） 第 9 页（共 22 页） 4，则 a|x1x2|的最小值为（ ） A B C D2 【分析】根据函数的对称性，利用 f（0）f（） ，建立方程求出 a 的值，然后利用 辅助角公式求出 f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可 【解答】解：解：f（x）的图象关于直线对称， f（0）f（） ， 即a，a1， 则 f（x）sin2xcos2x2sin（2x） ， f（x1）f（x2）4， f（x1）2，f（x2）2 或 f（x1）2，f（x2）4， 即 f（x1） ，f（x2
18、）一个为最大值，一个为最小值， 则|x1x2|的最小值为， T， |x1x2|的最小值为， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出 a 的值以及利 用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键 10 （4 分）已知函数，若方程 f（x）a 有四个不同的解 x1，x2， x3，x4，且 x1x2x3x4，则的取值范围为（ ） A （1，+） B （1，1 C （，1） D1，1） 【分析】作出函数 f（x） ，得到 x1，x2关于 x1 对称，x3x41；化简条件，利用数形 结合进行求解即可 【解答】解：作函数 f（x）的图象如右， 方程 f（x）a
19、有四个不同的解 x1，x2，x3，x4，且 x1x2x3x4， x1，x2关于 x1 对称，即 x1+x22， 第 10 页（共 22 页） 0x31x4， 则|log2x3|log2x4|， 即log2x3log2x4， 则 log2x3+log2x40 即 log2x3x40 则 x3x41； 当|log2x|1 得 x2 或， 则 1x42；x31； 故2x3+，x31； 则函数 y2x3+，在x31 上为减函数， 则故 x3取得最大值，为 y1， 当 x31 时，函数值为1 即函数取值范围是（1，1 故选：B 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思
20、 想方法是解题的关键 11 （4 分）关于平面向量，下列说法中不正确的是 （ ） A若且，则 B 第 11 页（共 22 页） C若，且，则 D 【分析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可 【解答】解：对于 A，若，因为 与任意向量平行，所以 不一定与 平行，故 A 错； 对于 B，向量数量积满足分配律，故 B 对； 对于 C，向量数量积不满足消去率，故 C 错； 对于 D， （）是以 为方向的向量，是以 为方向的相量，故 D 错 故选：ACD 【点评】本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题 12 （4 分）已知函数为 f（x）的一个 零点，x为 f（x）图象
21、的一条对称轴，且 f（x）在（0，）上有且仅有 7 个零点， 下述结论正确的是（ ） A B5 Cf（x）在（0，）上有且仅有 4 个极大值点 Df（x）在（0，）上单调递增 【分析】根据 f（x）的零点和对称轴，可以推出 为奇数，再结合 f（x）在（0，）上 有且仅有 7 个零点，推出 的值，进而推出 的值以及函数 f（x）单调性 【解答】解：x为 f（x）图象的一条对称轴，为 f（x）的一个零点， +，且 （）+k，kZ， 2k+1，kZ， f（x）在（0，）上有且仅有 7 个零点， 7+8，即， 7， 7+，又 0，所以 ， 第 12 页（共 22 页） 由+2k7x+2k 得，+x+，
22、即 f（x）在 +，+上单调递增， f（x）在（0，）上单调递增， 综上，AB 错误，CD 正确， 故选：CD 【点评】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分 析和解决问题的能力和计算能力，属于难题 13 （4 分）设定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）x2，且当 x0 时，f（x） x已知存在 x0，且 x0为函数 g（x）exx a（aR，e 为自然对数的底数）的一个零点，则实数 a 的取值可能是（ ） A B C D 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函 数零点的性质建立不等式关系进行求解即可 【解答
23、】解：令函数 T（x）f（x）x2，因为 f（x）+f（x）x2， T（x）+T（x）f（x）x2+f（x）（x）2f（x）+f（x）x20， T（x）为奇函数， 当 x0 时，T（x）f（x）x0， T（x）在（，0上单调递减， T（x）在 R 上单调递减 存在 x0x|T（x）T（1x）， 得 T（x0）T（1x0） ，x01x0，即 x0， g（x）exxa； （x） ， x0为函数 yg（x）的一个零点； 当 x时，g（x）exx0， 函数 g（x）在 x时单调递减， 第 13 页（共 22 页） 由选项知 a0，取 x， 又g（）e0， 要使 g（x）在 x时有一个零点， 只需使 g
24、（）a0， 解得 a， a 的取值范围为，+） ， 故选：BCD 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单 调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度 二、填空题二、填空题（本题包括（本题包括 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，第分，第 17 题做对一空得题做对一空得 2 分）分） 14 （4 分）已知 ， 满足：| |3，| |2，| + |4，则| | 【分析】由已知，只要利用线面模的平方等于向量的平方，平方展开得到 ， 的数量积 即可 【解答】解：由已知：|3，|2，|+|4，所以|+|216，展开得到 ，所以3，
25、 所以| |210， 所以| |； 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的模的运算；利用了向量的模的平方与向量的平方相等 15 （4 分）设命题 p：，命题 q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若 p 是 q 的充分 不必要条件，则实数 a 的取值范围是 0， 【分析】先求出命题 p，q 的等价条件，利用 p 是 q 的充分不必要条件，确定实数 a 的取 值范围 【解答】 解： 由， 得 （2x1） （x1） 0， 解得， 所以 p： 第 14 页（共 22 页） 由 x2（2a+1）x+a（a+1）0 得x（a+1）（xa）0，即 axa+1，即 q：ax a+1， 要使 p 是 q
26、的充分不必要条件，则，解得 所以 a 的取值范围是0， 故答案为：0， 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用分数不等式和一元二次不等式 的解法求出对应的解是解决本题的关键 16 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 2sinBsinA+sinC，cosB ，且 SABC6，则 b 4 【分析】将 2sinBsinA+sinC，利用正弦定理化简，得到 2bc+a，由 cosB，利用同角三 角函数基本关系式可求 sinB，利用三角形面积公式可求 ac15，进而利用余弦定理解得 b 的值 【解答】解：已知等式 2sinBsinA+sinC，利用正弦定理
27、化简得：2ba+c， cosB， 可得：sinB， SABCacsinBac6，可解得：ac15， 由余弦定理可得： b2a2+c22accosB （a+c） 22ac （1+cosB） 4b2215 （1+ ） ， 可解得：b4 故答案为：4 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式以及 特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题 17 （4 分）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为，高为 8 的圆 柱各一个若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的 圆锥与圆柱各一个，则新的底面
28、半径为 3 ；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大 值，则此正三棱柱的底面边长为 【分析】先求出原来的体积和，在求出新的体积和，列出方程，即可解出新的底面半径， 第 15 页（共 22 页） 设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为 a，高为 h，底面正三角形的外接圆的半径为 r， 利用相似比用 a 表示出 h， 从而把正三棱柱的表面积 S 表示成 a 的二次函数， 利用二次函 数的性质即可求出三棱柱的表面积取到最大值时 a 的值 【解答】解：由题意可知， 底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为，高为 8 的圆柱的总体积为 ， 设新的圆锥和圆柱的底面半径为 r， 则：，解得：r3， 设新圆锥的
29、内接正三棱柱的底面边长为 a，高为 h，底面正三角形的外接圆的半径为 r， ，h93r， 又r， h9， 正三棱柱的表面积 S（）a2+27a， 当 a时，三棱柱的表面积取到最大值， 故答案为：3， 【点评】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积公式，是中档题 三、解答题（本题包括三、解答题（本题包括 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）说明，证明过程或演算步骤） 18 （10 分）已知函数 f（x）2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a 的最大值为 1 （）求常数 a 的值； （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若将 f（x）的图象向左
30、平移个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x） 在区间0，上的最大值和最小值 【分析】 （）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数 f（x）2sin（2x+） +a2+a1，可得 a1 （）令 2k2x+2k+，kz，求得 x 的范围，可得函数 f（x）的单调递 第 16 页（共 22 页） 增区间 （） 根据函数 yAsin （x+） 的图象变换规律， 可得 g （x） 2sin （2x+） 1 再 根据 x0，利用正弦函数的定义域和值域求得函数 f（x）的最值 【解答】 解：（） 函数 f （x） 2sin （x+） cos （x+） +sin2x+acos2x+sin2x+
31、a 2sin（2x+）+a2+a1， a1 （）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，故函数 f（x） 的单调递增区间为k，k+，kz， （）将 f（x）的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象， g（x）f（x+）2sin2（x+）+12sin（2x+）1 当 x0，时，2x+，故当 2x+时，函数 f（x）取得最 大值为1， 当 2x+时，函数 f（x）取得最小值为213 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数 yAsin（x+）的图象 变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题 19 （14 分）等差数列an中，a24，a4+a715 （1）求数列a
32、n的通项公式； （2）设 bn2an+25，求数列|bn|的前 n 项和 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，由通项公式可得方程组，解方程可得首项和公差， 即可得到所求通项； （2）求得 bn2an+25212n，以及bn的前 n 项和为 Sn，讨论当 n10 时，当 n 11 时，可得所求和 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，a24，a4+a715， 可得 a1+d4，2a1+9d15，解得 a13，d1， 则 ann+2； （2）bn2an+25212n， 第 17 页（共 22 页） 设bn的前 n 项和为 Snn（19+212n）20nn2， 当 n10 时，数列|b
33、n|的前 n 项和为 20nn2； 当 n11 时，数列|bn|的前 n 项和为 S10（SnS10）2S10Sn20020n+n2， 综上可得数列|bn|的前 n 项和为 Tn 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想方法，化 简运算能力，属于中档题 20 （14 分） “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群汉子在一大块麦田里玩，几千 万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我” 麦田里的守望者中的主人公霍尔 顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块呈凸四边形 ABCD 的 麦田里成为守望者，如图所示为了分割麦田，他将 BD 连接，设ABD 中
34、边 BD 所对 的角为 A，BCD 中边 BD 所对的角为 C，经测量已知 ABBCCD2，AD2 （1）霍尔顿发现无论边 BD 多长，cosAcosC 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记ABD 与BCD 的面积分 别为 S1和 S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 S12+S22的最大值 【分析】 （1）利用余弦定理推出 A 与 C 的关系，即可求得cosAcosC 为一个定值； （2）求出 S12+S22的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求解即可得到最 大值 【解答】解： （1）在ABD 中，BD
35、2AD2+AB22ADABcosA168cosA， 在BCD 中，BD2CD2+CB22CDCBcosC88cosC， cosA1cosC，则cosAcosC1，为定值； 第 18 页（共 22 页） （2）S12+S22AB2AD2sin2A+BC2CD2sin2C 12sin2A+4sin2C12sin2A+44cos2C12sin2A+44 24cos2A+8cosA+1214 等号成立时 cosA S12+S22的最大值为 14 【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的面积的求法，二次函数的性质的应用，考 查计算能力，是中档题 21 （14 分）已知函数 f（x）（2ax2+4x）ln
36、xax24x（aR，且 a0） （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）的极小值为，试求 a 的值 【分析】 （）由题意可知 f（x）4（ax+1）lnx，x（0，+） f（1）0，f（1） a4，由此能求出曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 （）当 a1 时，求出，解得，不成立；当 a1 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）单调递减f（x）无 极小值；当1a0 时，极小值 f（1）a4，由题意可得，求出； 当 a0 时，极小值 f（1）a4由此能求出 a 的值 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （）函数 f
37、（x）（2ax2+4x）lnxax24x（aR，且 a0） 由题意可知 f（x）4（ax+1）lnx，x（0，+） f（1）0，f（1）a4， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 ya4 （3 分） （）当 a1 时，x 变化时 f（x） ，f（x）变化情况如下表： x 1 （1， +） 第 19 页（共 22 页） f（x） 0 + 0 f（x） 极小值 极大值 此时，解得，故不成立 当 a1 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 f（x）在（0，+）单调递减 此时 f（x）无极小值，故不成立 当1a0 时，x 变化时 f（x） ，f（x）变化情况如下表： x （0，
38、1） 1 f（x） 0 + 0 f（x） 极小值 极大值 此时极小值 f（1）a4，由题意可得， 解得或 因为1a0，所以 当 a0 时，x 变化时 f（x） ，f（x）变化情况如下表： x （0，1） 1 （1，+） f（x） 0 + f（x） 极小值 此时极小值 f（1）a4，由题意可得， 解得或，故不成立 综上所述 （13 分） 【点评】本题考查切线方程的求法，考查实数值的求法，考查导数性质、函数的单调性、 最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 22 （15 分）设正项数列an的前 n 项和为 Sn，已知 4Snan2+2an（nN*） （1）求证：数列an是等
39、差数列，并求其通项公式； （2）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且 bn，若 Tnn+（1） n2 对任意 nN* 都成立，求实数 的取值范围 【分析】 （1）由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式可得所求； （2）求得 bn，由裂项相消求和可得 Tn，再对 n 讨论为奇数或偶数，结合数列的单调性， 第 20 页（共 22 页） 可得所求范围 【解答】解： （1）证明：，且 an0， 当 n1 时，解得 a12， 当 n2 时，有即，即 于是， 即（an+an1） （anan1）2（an+an1） an+an10，anan12（n2）为常数 数列an是 2 为首项，2 为公差的等差数列，a
40、n2n； （2）由（1）可得：， Tnn+（1）n2 即n+（1）n2，即为 min， 当 n 为偶数时，恒成立， 令 f（n）n+3，由于 n 为偶数，可得 f（n）为增函数， f（n）的最小值为 f（2）6，可得 6； 当 n 为奇数时，恒成立， 又，在 nN 为增函数， f（n）minf（1）2， 由可知 2， 综上所述 的取值范围为（，2） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的单调性 和运用，考查化简运算能力，属于中档题 23 （15 分）已知函数 f（x）axsinx（aR） ，且在上的最大值为， （1）求函数 f（x）的解析式； （2）判断函数 f
41、（x）在（0，）内的零点个数，并加以证明 【分析】 （I）由题意，可借助导数研究函数，在上 第 21 页（共 22 页） 的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于 a 的方程，由于 a 的符号对函 数的最值有影响，故可以对 a 的取值范围进行讨论，分类求解； （II）借助导数研究函数 f（x）在（0，）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个 数 【解答】 解：（I） 由已知得 f （x） a （sinx+xcosx） ， 对于任意的 x （0，） ， 有 sinx+xcosx 0，当 a0 时，f（x），不合题意； 当 a0 时，x（0，） ，f（x）0，从而 f（x）在（0，）单调递
42、减， 又 函 数在上 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 故 函 数 在 上上的最大值为 f（0），不合题意； 当 a0 时，x（0，） ，f（x）0，从而 f（x）在（0，）单调递增， 又 函 数在上 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 故 函 数 在 上上的最大值为 f（），解得 a1， 综上所述，得 （II）函数 f（x）在（0，）内有且仅有两个零点证明如下： 由（I）知，从而有 f（0）0，f（）0， 又函数在上图象是连续不断的，所以函数 f（x）在（0，）内至少存在一个 零点， 又由（I）知 f（x）在（0，）单调递增，故函数 f（x）在（0，）内仅有一个零点 当 x，时，令 g（x
43、）f（x）sinx+xcosx，由 g（）10，g（） 0，且 g（x）在，上的图象是连续不断的，故存在 m（，） ，使得 g（m） 0 由 g（x）2cosxxsinx，知 x（，）时，有 g（x）0，从而 g（x）在， 上单调递减 当 x（，m） ，g（x）g（m）0，即 f（x）0，从而 f（x）在（，m）内单 第 22 页（共 22 页） 调递增 故当 x（，m）时，f（x）f（）0，从而（x）在（，m）内无零 点； 当 x（m，）时，有 g（x）g（m）0，即 f（x）0，从而 f（x）在（，m） 内单调递减 又 f（m）0，f（）0 且 f（x）在m，上的图象是连续不断的，从而 f（x）在m， 内有且仅有一个零点 综上所述，函数 f（x）在（0，）内有且仅有两个零点 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，研究函数的单调性，及函数零点的判定定 理，解题的关键是利用导数这个工具研究清楚函数的单调性，本题考察了转化的思想方 法及判断推理的能力，是高考中