1、已知全集为 R,集合 AxR|x22x0,集合 Bx|lnx10,则(RA) B( ) A0,2 B (0,2 C0,e D (0,e 2 (4 分)若点 M(sin,cos)在角 的终边上,则 cos2( ) A B C D 3 (4 分)已知平面向量(2,1) ,(3t,3) ,若,则|( ) A2 B20 C D2 4 (4 分)已知函数 f(x),则 f(1+log34)( ) A144 B C D36 5 (4 分)若先将函数 y2sin(2x+)的图象向左平移个单位,再保持图象上所有点 的纵坐标不变横坐标伸长为原来的 2 倍,得到函数 yg(x)的图象,则 g() ( ) A1 B
2、 C D 6 (4 分)函数 f(x)的部分图象大致为( ) A B 第 2 页(共 21 页) C D 7 (4 分)已知 cos(),则 sin(2)( ) A B C D 8 (4 分)设 , 为两个平面,则 的充要条件是( ) A 内有一条直线与 垂直 B 内有一条直线与 内两条直线垂直 C 与 均与同一平面垂直 D 与 均与同一直线垂直 9 (4 分)若函数 f(x)sin2xsin+2cos2xcoscos(0)的一个极大值点为, 则 ( ) A0 B C D 10 (4 分)英国数学家泰勒发现了如下公式:cosx1+ +,则下列数值更接近 cos0.4 的是( ) A0.91 B
3、0.92 C0.93 D0.94 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 12 分在每小给出的四个选项中,有分在每小给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得多项符合题目要求,全部选对的得 4 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 11 (4 分)下列结论正确的是( ) A若 a2b2,则 B若 x0,则 x+4 C若 ab0,则 lgalgb D若 ab0,a+b1,则4 12 (4 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,下列直线或平面与平面 ACD1平行的有( ) A直线 A
4、1B B直线 BB1 C平面 A1DC1 D平面 A1BC1 13 (4 分)若函数 f(x)ex1 与 g(x)ax 的图象恰有一个公共点,则实数 a 可能取 第 3 页(共 21 页) 值为( ) A2 B1 C0 D1 三、填空题,本大题共三、填空题,本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 16 分分 14 (4 分)声强级 L1(单位:dB)由公式 L110lg()给出,其中 I 为声强(单位: W/m2) (1)平时常人交谈时的声强约为 10 6W/m2,则其声强级为 dB (2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1W/m2,能听到的最低声为 10 12W/m2
5、,则正 常人听觉的声强级范围为 dB 15 (4 分) 已知等差数列an满足:a2+a3a55, 且 nN*,则数列sin () 的前 2019 项和等于 16(4 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB, ABC 的面积 S,则 c 的取值范围为 17 (4 分)已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PAPBPC 2,则三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径比为 四、解答题共四、解答题共 82 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或
6、演算步骤 18 (12 分)在ABC 中,E,F 分别为线段 BC,AC 上的点,EFAB,AB3,EF2, AE2,BAC (1)求EAC; (2)求 BC 的长度 19 (14 分)如图,在四棱 P 一 ABCD 中,底面 ABCD 为梯形 ABCD,ABBC,AB2, PAPDCDBC1,平面 PAD平面 ABCD,E 为 AD 的中点 (1)求证:PABD; (2)在线段 AB 上是否存在一点 G,使得直线 BC平面 PEG?若存在,请证明你的结 论;若不存在,请说明理由; 20 (14 分)已知数列an满足:a110,an+1an2,bnlgan,cnlog2bn,nN* 第 4 页
7、(共 21 页) (1)证明:数列bn为等比数列; (2)证明:数列cn为等差数列; (3)若数列的前 n 项和为 Sn,数列cn的前 n 项和为 Tn,数列的前 n 项和为 Wn,证明:WnSn 21 (14 分)图 1 是由菱形 ABCD,平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形, 其中 AB,BEEH1,ABC,ABE,将其 AB,EF 折起使得 CD 与 HG 重合,如图 2 (1)证明:图 2 中的平面 BCE平面 ABEF; (2)求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离; (3)求图 2 中二角 EABC 的余弦值 22 (14 分)已知函数 f(x)alnx
8、x+1(aR) (1)求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)0,求 a 的值 23 (14 分)已知自变量为 x 的函数 fn(x)n(lnxlnn)+1 的极大值点为 x Pn,nN*,e2.718为自然对数的底数 (1)若 n1,证明:f1(x)有且仅有 2 个零点; (2)若 x1,x2,x3,xn为任意正实数,证明:4 第 5 页(共 21 页) 2019-2020 学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高三(上)期中学年山东省青岛市黄岛区、平度九中高三(上)期中 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小
9、题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的、只有一项是符合题目要求的、 1 (4 分)已知全集为 R,集合 AxR|x22x0,集合 Bx|lnx10,则(RA) B( ) A0,2 B (0,2 C0,e D (0,e 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行补集、并集的运算即可 【解答】解:Ax|x0 或 x2,Bx|lnx1x|0xe, RAx|0x2, (RA)B0,e 故选:C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,对数函数的单调性, 补集和并集的运算,考查了计算能力,属于基础题
10、2 (4 分)若点 M(sin,cos)在角 的终边上,则 cos2( ) A B C D 【分析】 由点 M 的坐标求得点 M 到坐标原点的距离, 再由任意角的三角函数的定义求得 sin,然后利用二倍角公式求 cos2 【解答】解:点 M(sin,cos)(,)在角 的终边上, r|OM|1, sin cos2 故选:B 【点评】本题考查三角函数值的求法,考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式,是 基础题 3 (4 分)已知平面向量(2,1) ,(3t,3) ,若,则|( ) 第 6 页(共 21 页) A2 B20 C D2 【分析】根据列方程求出 t 的值,再求向量和|的值 【解答】解:
11、平面向量(2,1) ,(3t,3) , 若,231(3t)0, 解得 t2; 则(4,2) , 所以|2 故选:A 【点评】本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算问题,也考查了向量模长计算问题, 是基础题 4 (4 分)已知函数 f(x),则 f(1+log34)( ) A144 B C D36 【分析】推导出 f(1+log34)f(2+log34)4(),由此能求出结果 【解答】解:函数 f(x), f(1+log34)f(2+log34)4() 4() 故选:C 【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基 础题 5 (4 分)若先将函数 y2sin(2x
12、+)的图象向左平移个单位,再保持图象上所有点 的纵坐标不变横坐标伸长为原来的 2 倍,得到函数 yg(x)的图象,则 g() ( ) A1 B C D 第 7 页(共 21 页) 【分析】利用 yAsin(x+)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再利用特殊角的 三角函数值求解即可 【解答】解:将函数 y2sin(2x+)的图象向左平移个单位, 所得图象的解析式为:y2sin2(x+)+2sin(2x+ ) , 再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的 2 倍, 得到:g(x)2sin(x+) , 则 g()2sin(+)2sin 故选:C 【点评】本题主要考查 yAsin(x+)
13、的图象变换规律,三角函数求值,属于基础题 6 (4 分)函数 f(x)的部分图象大致为( ) A B C D 【分析】先求出函数的定义域,利用 f(0)0,以及极限思想进行排除即可 【解答】解:由得得 x2,即函数的定义域为x|x2, 排除 C, f(0)0,排除 B, 当 x+,f(x)0,排除 D, 故选:A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用定义域,函数值以及极限思想进行 排除是解决本题的关键,比较基础 第 8 页(共 21 页) 7 (4 分)已知 cos(),则 sin(2)( ) A B C D 【分析】由已知求得 sin(),再由 sin(2)sin() cos2()
14、 ,展开二倍角的余弦得答案 【解答】解:cos(), sin(), sin(2)sin() sin()cos()cos2() 2 故选:D 【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式及倍角公式的应用,是中档题 8 (4 分)设 , 为两个平面,则 的充要条件是( ) A 内有一条直线与 垂直 B 内有一条直线与 内两条直线垂直 C 与 均与同一平面垂直 D 与 均与同一直线垂直 【分析】由面面垂直的判定定理可知,一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互 垂直垂直,即可得答案 【解答】解:由面面垂直的判定定理可知,一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面 相互垂直垂直, 故选:A 【点评】
15、本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用空间直线和平面之间的位置关 系是解决本题的关键 9 (4 分)若函数 f(x)sin2xsin+2cos2xcoscos(0)的一个极大值点为, 则 ( ) A0 B C D 第 9 页(共 21 页) 【分析】利用倍角公式及两角差的余弦把已知函数解析式变形,结合 f(x)的一个极大 值点为,可得2k,kZ再由 的范围求解 【解答】解:f(x)sin2xsin+2cos2xcoscos sin2xsin+(1+cos2x)coscos sin2xsin+cos2xcos cos(2x) f(x)的一个极大值点为,2k,kZ ,kZ, 又 0, 故选:D
16、 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查 yAsin(x+)型函数的图象与性 质,是基础题 10 (4 分)英国数学家泰勒发现了如下公式:cosx1+ +,则下列数值更接近 cos0.4 的是( ) A0.91 B0.92 C0.93 D0.94 【分析】根据题意可得展开式,分 n 为奇数和偶数判断即可求出 【解答】解:由题意,cosx1+(1)1+(1)2+(1)3 +(1)n 只需要精确到 0.01 即可, 当 n 为奇数时, 由于 110.080.92, 0, cos0.41+0.92 当n为偶数时,1+0.921, 第 10 页(共 21 页) +0, cos0.41+ +0.9
17、21, 综上所述 cos0.40.92 故选:B 【点评】本题考查了新定义的应用,关键找到规律,属于中档题 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 12 分在每小给出的四个选项中,有分在每小给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得多项符合题目要求,全部选对的得 4 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 11 (4 分)下列结论正确的是( ) A若 a2b2,则 B若 x0,则 x+4 C若 ab0,则 lgalgb D若 ab0,a+b1,则4 【分析】判断一个命题正误可以举出反例
18、,也可以根据不等式的性质追一加以判断,得 出答案 【解答】解:A 错,当 a3,b1 时,a2b2,但 B 对,当 x0 时,由基本不等式得 (当且仅当 即 x2 时,取 “” ) C 对,ylgx 是增函数,当 ab0,则 lgalgb; D 对,若 ab0,则或, 又a+b1, a0 且 b0, 所以 () (a+b) 1+12+ (当且仅当, 第 11 页(共 21 页) 即 ab 时,取“” ) 故选:BCD 【点评】本题属于基础题,注意对不等式性质的掌握,以及基本不等式的应用 12 (4 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,下列直线或平面与平面 ACD1平行的有( ) A直线
19、A1B B直线 BB1 C平面 A1DC1 D平面 A1BC1 【分析】利用线线、线面、面面平行的判定定理逐项判断即可得解 【解答】解:对于 A,由于 A1BD1C,且 A1B平面 ACD1,可得直线 A1B平面 ACD1; 对于 B,由于 B1BD1D,且 D1D平面 ACD1D1,可得直线 B1B 不平行平面 ACD1; 对于 C,由于 A1DAD1,A1D平面 A1DC1,可得平面 A1DC1不与平面 ACD1平行; 对于 D,由于 A1BD1C,C1BD1A,A1B,C1B平面 A1BC1,可得平面 A1BC1平面 ACD1 故选:AD 【点评】本题考查空间中的线线、线面、面面平行的判
20、定定理的应用,是综合题 13 (4 分)若函数 f(x)ex1 与 g(x)ax 的图象恰有一个公共点,则实数 a 可能取 值为( ) A2 B1 C0 D1 【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点,因为两函数图象都过原点,则求 函数 f(x)ex1 过原点的切线 【解答】解:函数 f(x)ex1 的导数为 f(x)ex; 所以过原点的切线的斜率为 k1; 则过原点的切线的方程为:yx; 所以当 a1 时,函数 f(x)ex1 与 g(x)ax 的图象恰有一个公共点; 故选:BCD 【点评】本题考查数形结合思想,考查函数零点,函数的切线的求法;属于基础题 第 12 页(共 21 页)
21、三、填空题,本大题共三、填空题,本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 16 分分 14 (4 分)声强级 L1(单位:dB)由公式 L110lg()给出,其中 I 为声强(单位: W/m2) (1)平时常人交谈时的声强约为 10 6W/m2,则其声强级为 606 dB (2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1W/m2,能听到的最低声为 10 12W/m2,则正 常人听觉的声强级范围为 0,1212 dB 【分析】 (1)把 I10 6 代入 L110lg()计算即可; (2)分别把 I1,I10 12 代入公式计算即可得出答案 【解答】解: (1)把 I10 6 代入
22、 L110lg()得: L1101lg106606 (2)把 I1 代入公式可得 L1101lg10121212, 把 I10 12 代入公式可得 L1101lg10, 故答案为: (1)606, (2)0,1212 【点评】本题考查了对数运算,属于基础题 15 (4 分) 已知等差数列an满足:a2+a3a55, 且 nN*,则数列sin () 的前 2019 项和等于 0 【分析】首先求出数列的通项公式,进一步求出数列的周期,进一步求出数列的和 【解答】解:设首项为 a1,公差为 d 的等差数列, 由于 a2+a3a55, 所以,解得, 所以 ana1+n1n, 所以 bn, 则 b11,
23、b2sin0,b4sin20, 所以数列的周期为 4, 所以 20195044+3, 所以 S20195040+b1+b2+b30 故答案为:0 第 13 页(共 21 页) 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的周期的应用,数 列的和的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 16(4 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB, ABC 的面积 S,则 c 的取值范围为 2,+) 【分析】由已知利用三角形的面积公式可得 2csinC,由正弦定理化简已知等式
24、可得 a2+b2c2+ab,由余弦定理得 cosC,即可得解 C 的值 【解答】解:sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB,由正弦定理得 a2+b2c2+ab, 由余弦定理得 cosC, 由 C(0,) ,可得 C ABC 的面积 SabsinCab, ab4, 由 c2a2+b2 ab2ababab4, 所以 c2, 故答案为:2,+) 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换 的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想, 属于中档题 17 (4 分)已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两互相
25、垂直,且 PAPBPC 2,则三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径比为 【分析】设三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径分别 R,r根据勾股定理、三棱锥 的体积计算公式列出方程,解出即可得出 【解答】解:设三棱锥 PABC 的外接球与内切球的半径分别 R,r 则(2R)2322,r(3+), 解得:R,r 故答案为: 【点评】本题考查了三棱锥的外接球与内切球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公 第 14 页(共 21 页) 式、长方体的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 四、解答题共四、解答题共 82 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步
26、骤 18 (12 分)在ABC 中,E,F 分别为线段 BC,AC 上的点,EFAB,AB3,EF2, AE2,BAC (1)求EAC; (2)求 BC 的长度 【分析】 (1)由已知可得EFA,在AEF 中由正弦定理, 可求 sinEAC,进而可求EAC 的值 (2)由(1)及已知可求可得AEFEAC,可求 AF2,利用平行线分线段成 比例可求 FC,进而可求 AC 的值,从而在ABC 中利用余弦定理可求 BC 的值 【解答】解: (1)EFAB,AB3,BAC, EFC,可得EFA, 在AEF 中,AE2,EF2,由正弦定理,可得 , sinEAC, EAC (2)AEF 中,EAC,EF
27、A,可得AEFEAC, AFEF2, EFAB,可得,解得 FC4,AC6, 又ABC 中,AB3,BAC, 由余弦定理可得 BC2AB2+AC22ABACcosBAC9+36227,可 得 BC3 第 15 页(共 21 页) 【点评】本题主要考查了正弦定理,平行线分线段成比例,余弦定理等知识在解三角形 中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 19 (14 分)如图,在四棱 P 一 ABCD 中,底面 ABCD 为梯形 ABCD,ABBC,AB2, PAPDCDBC1,平面 PAD平面 ABCD,E 为 AD 的中点 (1)求证:PABD; (2)在线段 AB 上是否存在一点 G
28、,使得直线 BC平面 PEG?若存在,请证明你的结 论;若不存在,请说明理由; 【分析】 (1)取 AB 的中点 F,连接 DF,证明四边形 BCDF 是平行四边形,也为正方形; 再证明平面 PAD平面 ABCD,得出 BD平面 PAD,从而证明所以 PABD; (2)线段 AB 上存在一点 G,满足 AGAB,G 为 AF 的中点,且 BC平面 PEG,证 明即可 【解答】解: (1)取 AB 的中点 F,连接 DF,因为 DCAB 且 DCAB, 所以 DCBF 且 DCBF, 所以四边形 BCDF 是平行四边形; 又 ABBC,BCCD1,所以四边形 BCDF 为正方形; 在 RtAFD
29、 中,因为 DFAF1,所以 AD; 在 RtBCD 中,因为 BCCD1,所以 BD; 因为 AB2,所以 AD2+BD2AB2,所以 BDAD; 因为 BD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,平面 PAD平面 ABCD; 所以 BD平面 PAD; 第 16 页(共 21 页) 又因为 PA平面 PAD,所以 PABD; (2)线段 AB 上存在一点 G,满足 AGAB, 则 G 为 AF 的中点,且 BC平面 PEG; 证明如下:连接 EG,因为 E 为 AD 的中点,G 为 AF 的中点, 所以 GEDF, 又 DFBC,所以 GEBC, 又 GE平面 PFG,BC平面 PE
30、G, 所以 BC平面 PFG 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题,也考查了推理与证明能力,是 中档题 20 (14 分)已知数列an满足:a110,an+1an2,bnlgan,cnlog2bn,nN* (1)证明:数列bn为等比数列; (2)证明:数列cn为等差数列; (3)若数列的前 n 项和为 Sn,数列cn的前 n 项和为 Tn,数列的前 n 项和为 Wn,证明:WnSn 【分析】 (1)可得 an0,对等式 an+1an2,两边取常用对数,结合等比数列的定义, 即可得证; (2)由对数的运算性质,结合等差数列的定义,即可得证; (3)运用等差数列和等比数列的求和公式,可
31、得 Sn,Tn,再由裂项相消求和可得 Wn, 再分别判断 WnW11,Sn1,即可得证 【解答】证明: (1)a110,an+1an2,可得 an0, 可得 lgan+1lgan22lgan, 由 bnlgan,可得 bn+12bn, 则数列bn为首项为 1,2 为公比的等比数列; 第 17 页(共 21 页) (2)证明:cnlog2bnlog22n 1n1, 由 cn+1cn1,可得数列cn为首项为 0,公差为 1 的等差数列; (3)数列即的前 n 项和 Sn1, 数列cn的前 n 项和为 Tnn(n1) , 数列即的前 n 项和为 Wn, 由2() ,可得 Wn2(1+)2(1) ,
32、由 11 恒成立,2(1)为 nN*上的递增数列, 可得 WnW11,则 WnSn 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查数列 的单调性和不等式的性质的运用,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题 21 (14 分)图 1 是由菱形 ABCD,平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形, 其中 AB,BEEH1,ABC,ABE,将其 AB,EF 折起使得 CD 与 HG 重合,如图 2 (1)证明:图 2 中的平面 BCE平面 ABEF; (2)求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离; (3)求图 2 中二角 EABC 的余弦值 【分析】
33、(1)由|BC|2|EC|2+|BE|2,可证 CEBE,又 CEEF,利用线面垂直的判定定 理可证 CE平面 ABEF, 进而根据面面垂直的判定定理即可证明平面 BEC平面 ABEF (2)由(1)利用勾股定理在直角三角形 AEC 中,可求|AE|1,AEBE,利用面面垂 第 18 页(共 21 页) 直的性质可证 AE平面 BCE,又 AF平面 BCE,可得点 F 到平面 BCE 的距离为|AE| 1 (3)以 E 为坐标原点,分别以 EB,EC,EA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Exyz, 可得平面 ABE 的法向量为 (0,1,0) ,设平面 ABC 的法向量 (x,y,z)
34、 , 可得(1,0,1) ,(1,1,0) ,由,可求 (1,1,1) ,利 用向量的数量积运算可求二面角 EABC 的余弦值 【解答】解: (1)由题意,在BEC 中,|BC|2|EC|2+|BE|2, CEBE, 又在矩形 EFGH 中,CEEF,且 EFBEE, CE平面 ABEF, 又CE平面 BCE, 平面 BEC平面 ABEF (2)由(1)可知,CEAE,又在菱形 ABCD 中,AC, 在直角三角形 AEC 中,|AE|2|AC|2|CE|21,|AE|1, 在AEB 中,|AB|2|AE|2+|BE|2,AEBE, 又平面 BCE平面 ABEF,且平面 BCE平面 ABEFBE
35、, AE平面 BCE, 又AF平面 BCE, 点 F 到平面 BCE 的距离为|AE|1 (3)以 E 为坐标原点,分别以 EB,EC,EA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Exyz, 可得 E(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,A(0,0,1) , 由(1)可知平面 ABE 的法向量为 (0,1,0) , 设平面 ABC 的法向量 (x,y,z) , (1,0,1) ,(1,1,0) ,由,可得, (1,1,1) , 第 19 页(共 21 页) 设二面角 EABC 为 ,则 cos,即二面角 EABC 的余弦值 为 【点评】本题考查线面垂直,面面垂直的证明,考查
36、二面角的余弦值的求法,考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理能力与计算能力,是中档题 22 (14 分)已知函数 f(x)alnxx+1(aR) (1)求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)0,求 a 的值 【分析】 (1)求出函数的导函数,可知当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上 单调递减,f(x)无极值;当 a0 时,求得导函数的零点,对函数定义域分段,由导函 数在不同区间内的符号可得原函数的单调性,从而求得 f(x)在 xa 时取得极大值 f(a) alnaa+1,f(a)alnaa+1,无极小值; (2)f(x)0 恒成立,由(1)知,当 a0
37、时,f(x)在(0,+)上单调递减,结 合 f(1)0,可得当 x(0,1)时,f(x)0,当 x(1,+)时,f(x)0,得到 a0,不存在符合题意的 a 值;若 a0,由(1)知,若 f(x)0 恒成立,只需 f(x) f(a)alnaa+1再由导数求其最小值 g(1)0,可得 a1 【解答】解: (1)由 f(x)alnxx+1,得 f(x)(x0) 当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减,f(x)无极值; 当 a0 时,由 f(x)0,解得 xa 当 x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(0,a)上单调递增; 当 x(a,+)时,f(x)0,f(x)在(a,+)上单
38、调递减 f(x)在 xa 时取得极大值 f(a)alnaa+1 第 20 页(共 21 页) 综上,a0 时,f(x)无极值;a0 时,f(x)有极大值 f(a)alnaa+1,无极小值; (2)若 f(x)0 恒成立,由(1)知,当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,+) 上单调递减, 又f(1)0,当 x(0,1)时,f(x)0,当 x(1,+)时,f(x)0, a0,不存在符合题意的 a 值; 若 a0,由(1)知,若 f(x)0 恒成立,只需 f(x)f(a)alnaa+1 令 g(a)alnaa+1,则 g(a)lna,由 g(a)0,得 a1 当 a(0,1)时,g(a)0,g
39、(a)在(0,1)上单调递减, 当 a(1,+)时,g(a)0,g(a)在(1,+)上单调递增 且 g(1)0,因此 a1 【点评】本题考查利用导数求函数的极值,考查恒成立问题的求解方法,考查数学转化 思想方法及分类讨论的数学思想方法,是中档题 23 (14 分)已知自变量为 x 的函数 fn(x)n(lnxlnn)+1 的极大值点为 x Pn,nN*,e2.718为自然对数的底数 (1)若 n1,证明:f1(x)有且仅有 2 个零点; (2)若 x1,x2,x3,xn为任意正实数,证明:4 【分析】 (1)将 n1 代入 fn(x)中得到 f1(x)的解析式,然后判断函数 f1(x)的单调
40、性,在根据其最值证明零点有且仅有 2 个; (2)根据条件可得 Pnn 且,从而得到,进一 步得到,然后求出,即可证明结论 【解答】证明: (1)fn(x)n(lnxlnn)+1, 当 n1 时,(x0) ,则 令 g(x)(x0) ,则 g(x)0, f1(x)在(0,+)上单调递减,又 f1(1)0, 当 0x1 时,f1(x)0;当 x1 时,f1(x)0, 第 21 页(共 21 页) f1(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, f1(x)f1(1)1,又, f1(x)在(0,1)和(1,+)上各有一个零点, f1(x)有且仅有 2 个零点; (2)由题意,知,则 fn(n)0 当 0xn 时,fn(x)0;当 xn 时,fn(x)0, fn(x)在(0,n)上单调递增,在(n,+)上单调递减, Pnn 且, 因此, 记Sn,则, , 上述两式相减,得 2,4, 4,即4 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的零点存在定理和利用错位相减 法求数列的和,考查了函数思想和转化思想,属难题