1、已知集合 Ax|x21，B1，0，1，则 AB（ ） A1 B1，1 C1，0，1 Dx|x1 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+z i2（其中 i 为虚数单位） ，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分）已知命题 p：关于 m 的不等式 log2m1 的解集为m|m2；命题 q：函数 f（x） x3+x21 有极值下列命题为真命题的是（ ） Apq Bp（q） C （p）q D （p）（q） 4 （5 分）如图，在ABC 中，C90，BC2，AC3，三角形内的空白部分由三个 半径均为 1 的扇形构成， 向ABC 内随机投掷一点， 则该点落在阴影部分的概率为 （ ）
2、A B C D 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A5 B C6 D8 6 （5 分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 g（x） 的图象，则下列说法正确的是（ ） Ag（x）的最小正周期为 4 第 2 页（共 28 页） Bg（x）在区间上单调递减 Cg（x）图象的一条对称轴为 Dg（x）图象的一个对称中心为 7 （5 分）函数 y的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥 得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合） ，已知 两个圆锥的底面半径为 1，
3、母线长均为 2，记过圆锥轴的平面 ABCD 为平面 （ 与两个 圆锥面的交线为 AC，BD） ，用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即 为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于 AC，BD，则双曲线的离 心率为（ ） A B C D2 9 （5 分）已知，且，则的取值范 围是（ ） 第 3 页（共 28 页） A B0，2 C D0，1 10 （ 5分 ） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的a ， b ， c依 次 为 ，则输出 的 x 为（ ） A （cos）cos B （sin）sin C （sin）cos D （cos）sin 11 （5
4、 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作直线 l，交抛物线于点 M，N，交抛物线 的准线于点 P，若，则直线 l 的斜率为（ ） A B2 C D4 12 （5 分）已知函数，若对任意 x1，1，不等式 f（12a）x 4a+2f（x2）a恒成立，其中 a0，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）展开式中常数项为 14 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值为 15 （5 分）我国物权法规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通
5、风和采光已知 某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为 45 米，依据规定，该小区内住宅楼 第 4 页（共 28 页） 楼间距应不小于 52 米若该小区内某居民在距离楼底 27 米高处的某阳台观测点，测得 该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 45，则该小区的住宅楼楼间距 实际为 米 16 （5 分）已知球 O 的半径为 3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为 V1，内接正四棱锥 的体积最大值为 V2，则的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第）第 17
6、21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 （12 分）已知数列an是递增的等差数列，满足 a2+a3+a415，a2是 a1和 a5的等比中 项 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，E 为 AD 的中点，AC 交 BE 于点 F，G 为PCD 的重心 （1）求证：FG平面 PAD； （2）若 PAAD，点 H
7、 在线段 PD 上，且 PH2HD，求二面角 HFGC 的余弦值 19（12 分） 某企业生产了一种新产品， 在推广期邀请了 100 位客户试用该产品， 每人一台 试 用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让 客户决定是否购买该试用产品 （不购买则可以免费退货， 购买则仅需付成本价） 经统计， 决定退货的客户人数是总人数的一半， “对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户 多 10 人， “对性能不满意”的客户中恰有选择了退货 （1）请完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“客户购买产品与对产 第 5 页（共 28 页） 品性能满意之间有
8、关” 对性能满意 对性能不满意 合计 购买产品 不购买产品 合计 （2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层 抽样，随机抽取 6 位客户进行座谈座谈后安排了抽奖环节，共有 6 张奖券，其中一张 印有 900 元字样，两张印有 600 元字样，三张印有 300 元字样，抽到奖券可获得相应奖 金.6 位客户每人随机抽取一张奖券（不放回） ，设 6 位客户中购买产品的客户人均所得奖 金为 X 元，求 X 的分布列和数学期望 附：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.8
9、41 5.024 6.635 20 （12 分）已知椭圆（ab0）过点，左焦点为 F（1，0） （1）求椭圆 E 的方程； （2）直线 ykx+m（k0）与椭圆 E 相交于 B，C 两点，线段 BC 的中点为 N，点 A 在 椭圆 E 上，满足（O 为坐标原点） 判断ABC 的面积是否为定值，若是，求出 该定值；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做
10、的第 一题记分一题记分. 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin，直线 l 的参数方程为（t 为参 第 6 页（共 28 页） 数） ，其中 a0，直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 P（0，a）满足，求 a 的值 23已知函数 f（x）|3x+3|+|xa| （1）当 a2 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若 f（x）3x+4 对任意的 x（1，+）恒成立，求 a 的取值范围 第 7 页（共 28 页） 2018-20
11、19 学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x21，B1，0，1，则 AB（ ） A1 B1，1 C1，0，1 Dx|x1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x21x|x1 或 x1，B1，0，1， AB1，1 故选：B 【点评
12、】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+z i2（其中 i 为虚数单位） ，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】根据复数的运算法则，先计算 z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可 【解答】解：由 z+z i2 得 z1i， 则 1+i， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关 键 3 （5 分）已知命题 p：关于 m 的不等式 log2m1 的解集为m|m2；命题 q：函数 f（x） x3+x21 有极值下列命题为真命题的是（ ） Apq B
13、p（q） C （p）q D （p）（q） 【分析】判断命题 p，q 命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：由 log2m1 得 0m2，即命题 p 是假命题， 函数 f（x）的导数为 f（x）3x2+2x，则判别式40，则 f（x）3x2+2x 有两 个不同的实根，则 f（x）存在极值，故命题 q 是真命题 则（p）q 为真命题， 第 8 页（共 28 页） 其余为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题 p，q 的真假是解决本题的关 键 4 （5 分）如图，在ABC 中，C90，BC2，AC3，三角形内的空白部分由三个 半径均为 1 的扇形
14、构成， 向ABC 内随机投掷一点， 则该点落在阴影部分的概率为 （ ） A B C D 【分析】根据几何概型的几何意义，该点落在阴影部分的概率，等于阴影部分面积三角 形的面积比，由此可以计算 【解答】解：由题意，题目符合几何概型， ABC 中，C90，BC2，AC3，面积为233， 阴影部分的面积为：三角形面积圆面积3， 所以点落在阴影部分的概率为1； 故选：B 【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事 件的集合，由概率公式解答 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 9 页（共 28 页） A5 B C6 D8 【分析】根据三
15、视图知该几何体是底面为左视图的直五棱柱，根据图中数据求出该几何 体的体积 【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为左视图的直五棱柱， 且五棱柱的高为 2，底面积为 S21+213， 所以该几何体的体积为 V326 故选：C 【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，有三视图得出几何体的结构 特征是解题的关键 6 （5 分）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 g（x） 的图象，则下列说法正确的是（ ） Ag（x）的最小正周期为 4 Bg（x）在区间上单调递减 Cg（x）图象的一条对称轴为 Dg（x）图象的一个对称中心为 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得
16、g（x）的解析式，再利用三角 函数的周期性、单调性、图象的对称性，得出结论 【解答】 解： 将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数 g （x） cos（2x+）cos（2x+） 的图象， 故它的最小正周期为，故排除 A； 在区间上，2x+，故 g（x）cos（2x+） 没有单调性，故 排除 B； 第 10 页（共 28 页） 当 x时，g（x）0，故排除 C； 当 x时，g（x）0，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的周期性、单 调性、图象的对称性，属于基础题 7 （5 分）函数 y的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断
17、函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的符号是否一致，利用排除法进行求 解即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， 则 f（x）ln|x|ln|x|f（x） ，则函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B， 当 x+时，y+，排除 A， f（2）ln2ln20， 函数在 x0 时，存在负值，排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的识别和判断，利用函数奇偶性和图象对称性的关系，利用 特殊值法以及排除法是解决本题的关键 8 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥 得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合） ，已知 两
18、个圆锥的底面半径为 1，母线长均为 2，记过圆锥轴的平面 ABCD 为平面 （ 与两个 第 11 页（共 28 页） 圆锥面的交线为 AC，BD） ，用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即 为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于 AC，BD，则双曲线的离 心率为（ ） A B C D2 【分析】求得圆锥的高，可得矩形 ABCD 的对角线长，即有 AC，BD 的夹角，可得两条 渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值 【解答】解：两个圆锥的底面半径为 r1，母线长均为 l2， 可得圆锥的高为 h， 四边形 ABCD 为矩形，对角线 AC，DB 的长为4， 可
19、得直线 AC，BD 的夹角为 60， 由双曲线的两条渐近线分别平行于 AC，BD， 由双曲线的渐近线方程为 yx， 即有， 则 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运 算能力，属于基础题 9 （5 分）已知，且，则的取值范 围是（ ） A B0，2 C D0，1 【分析】由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令 第 12 页（共 28 页） ，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解 【解答】解：由题意，且， 所以可将两向量放到坐标系内，如图可令， （1，1） ， 令，因为，所以向量 的终点在以（1，1）为圆心，以为
20、半径 的圆上， 又圆到原点的距离是，所以的取值范围是， 故选：A 【点评】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，根据 题意，灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度 10 （ 5分 ） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的a ， b ， c依 次 为 ，则输出 的 x 为（ ） 第 13 页（共 28 页） A （cos）cos B （sin）sin C （sin）cos D （cos）sin 【分析】由程序框图的功能是输出三个函数值中最大值，用特殊值 代入验证即可 得出结论 【解答】解：由程序框图的功能是输出 的 最 大 值， 用特殊
21、值 ，代入验证得出， 即（cos）sin（sin）sin（sin）cos， 则输出的 x 为（sin）cos 故选：C 【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题 11 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作直线 l，交抛物线于点 M，N，交抛物线 的准线于点 P，若，则直线 l 的斜率为（ ） A B2 C D4 【分析】由于直线 l 过 F（，0） ，故设方程 yk（x） ，联立方程组，由韦达定理可 得 x1+x2p（1+），x1x2，再根据，则可得 N 为 PM 中点， 第 14 页（共 28 页） 根据抛物线的性质可得 x1+2（x2+） ，即 x1
22、2x2，由解得即可 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点 F（，0） ，准线方程：x，设 M （x1，y1） ，N（x2，y2） 由于直线 l 过 F（，0） ，故设方程 yk（x） ， 由，消 y 可得 k2xp（k2+2）x+0， x1+x2p（1+） ，x1x2 2， N 为 PM 中点， x1+2（x2+） ， x12x2， x1， 解得 xp， x2， p+p（1+） ， 即 k28， 即 k2， 故选：C 【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理 地进行等价转化，属于中档题 12 （5 分）已知函数，若对任意 x1，1，不等式 f（12a
23、）x 4a+2f（x2）a恒成立，其中 a0，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 第 15 页（共 28 页） 【分析】根据函数的单调性问题转化为 ax2+（2a1）x+4a20 在 x1，1上恒成 立，令 g（x）ax2+（2a1）x+4a2，x1，1， （a0） ，结合二次函数的性质求 出 a 的范围即可 【解答】解：函数， 当 x0 时，f（x）e x 递减， x0 时，f（x）x2+1 递减 x0 时，f（0）1， 由函数的单调性可得 f（x）在 R 上递减， 则有不等式 f（12a）x4a+2f（x2）a， 即为 f（12a）x4a+2f（ax2） ， 则有（12a）x4a+
24、2ax2， 即为 ax2+（2a1）x+4a20 在 x1，1上恒成立， 令 g（x）ax2+（2a1）x+4a2，x1，1， （a0） ， 对称轴 x1， 1 即 a时， g（x）在1，）递减，在（，1递增， 故 g（x）ming（）4a20， 解得：a， 1 即 0a时， g（x）在1，1递减， 故 g（x）ming（1）7a30， 解得：a（舍） 综上：a， 故选：B 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，主要考查函数的单调性的运用，考查运算能力， 属于中档题和易错题 第 16 页（共 28 页） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将
25、答案填在答题纸上） 13 （5 分）展开式中常数项为 15 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则答案可求 【解答】解：由 取 123r0，得 r4 展开式中常数项为 故答案为：15 【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 14 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z4x+3y 的得 yx+， 平移直线 yx+，由图象知当直线 yx+经过点 A（1，0）时，直线的截距 最大，
26、此时 z 最大， 最大值为 z41+04， 故答案为：4 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决 本题的关键 15 （5 分）我国物权法规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光已知 某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为 45 米，依据规定，该小区内住宅楼 第 17 页（共 28 页） 楼间距应不小于 52 米若该小区内某居民在距离楼底 27 米高处的某阳台观测点，测得 该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 45，则该小区的住宅楼楼间距 实际为 54 米 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系列出方程求该小区
27、内 住宅楼楼间距为多少米 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示； 则 BC27，AB452718， 设 PCa，APC，则BPC45， 则 tan，tan（45）， tan（45）， ， 解得 a54 或 a9（不合题意，舍去） ， 该小区内住宅楼楼间距实际为 54 米 故答案为：54 【点评】本题考查了直角三角形的边角关系应用问题，也考查了两角差的正切公式应用 问题，是中档题 16 （5 分）已知球 O 的半径为 3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为 V1，内接正四棱锥 的体积最大值为 V2，则的值为 【分析】分别求出求内接正三棱锥与正四棱锥的体积的最大值，作比得答案 【解答】解：如图，
28、PABC 是球 O 的内接正三棱锥，设它的高为 PO1h， 第 18 页（共 28 页） POAOBOCO3，则 O1为正三角形 ABC 的中心， 球心 O 在 PO1上， AO1ABsin60AB，即 ABAO1， 在 RtAOO1中， ABAO1 AB2sin60（6hh2） ， SABC h （ 6h h2） h （ 12 2h ） h h 当且仅当 122hh，即 h4 时等号成立 半径为 3 的球的内接正三棱锥 PABC 体积的最大值为 8； 设正四棱锥 SABCD 的底面边长等于 a， 底面到球心 O 的距离等于 x， 则 x2+（）29， 而正四棱锥的高为 h3+x， 故正四棱锥
29、体积为： V（x）a2h（182x2） （3+x）（9x2） （3+x） （62x） （3+x） （3+x） （）3， 当且仅当 x1 时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值 故答案为： 第 19 页（共 28 页） 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数学转化思想方法和数形结合的解题 思想方法，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第）第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要
30、求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 （12 分）已知数列an是递增的等差数列，满足 a2+a3+a415，a2是 a1和 a5的等比中 项 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d0，由 a2+a3+a415，a2是 a1和 a5的等比中 项可得 153a33（a1+2d） ，a1a5，即a1（a1+4d） ，联立解得 a1， d即可得出 （2），利用裂项求和方法即可得 出 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d0，a2+a3+a415，a2是 a1和 a5的等比
31、中项 第 20 页（共 28 页） 153a33（a1+2d） ，a1a5，即a1（a1+4d） ， 联立解得：a11，d2 an1+2（n1）2n1 （2）， 数列bn的前 n 项和 Sn 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，E 为 AD 的中点，AC 交 BE 于点 F，G 为PCD 的重心 （1）求证：FG平面 PAD； （2）若 PAAD，点 H 在线段 PD 上，且 PH2HD，求二面角 HFGC 的余弦值 【分析】 （1）
32、延长 CG 交 PD 于 M，连接 AM，可得 AMFG即可证明 FG平面 PAD； （2）以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 PA DA3则 F（1，1，0） ，H（0，2，1） ，G（1，2，1） ，C（3，3，0）求得面 HGF 的 法 向 量 为， 面FGC的 法 向 量 为由 cos即可得二面角 HFGC 的余弦值为 【解答】解： （1）延长 CG 交 PD 于 M，连接 AM， G 为PCD 的重心 E 为 AD 的中点，AC 交 BE 于点 F， AMFG 第 21 页（共 28 页） 又 AM平面 PAD，FG平面 PAD，
33、FG平面 PAD； （2）以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 设 PADA3则 F（1，1，0） ，H（0，2，1） ，G（1，2，1） ，C（3，3，0） ， 设面 HGF 的法向量为， 由 ， 设面 FGC 的法向量为 由 cos 二面角 HFGC 的余弦值为 【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角求法，直线与平面平行的判定，属于中档 题 19（12 分） 某企业生产了一种新产品， 在推广期邀请了 100 位客户试用该产品， 每人一台 试 用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让 客户决定是否购买该试用产
34、品 （不购买则可以免费退货， 购买则仅需付成本价） 经统计， 决定退货的客户人数是总人数的一半， “对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户 第 22 页（共 28 页） 多 10 人， “对性能不满意”的客户中恰有选择了退货 （1）请完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“客户购买产品与对产 品性能满意之间有关” 对性能满意 对性能不满意 合计 购买产品 不购买产品 合计 （2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层 抽样，随机抽取 6 位客户进行座谈座谈后安排了抽奖环节，共有 6 张奖券，其中一张 印有 900 元字样，两张印有 600
35、 元字样，三张印有 300 元字样，抽到奖券可获得相应奖 金.6 位客户每人随机抽取一张奖券（不放回） ，设 6 位客户中购买产品的客户人均所得奖 金为 X 元，求 X 的分布列和数学期望 附：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】 （1）设“对性能满意”的客户为 x 人，列方程求出 x 的值，由此填写列联表， 计算 K2，对照临界值得出结论； （2）根据分层抽样法抽取 6 位客户，购买产品抽取 2 人，知 X 的可能取值为 300，450， 600，750
36、， 计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值 【解答】解： （1）根据题意知，设“对性能满意”的客户为 x 人，则“对性能不满意” 的客户为（x10）人， 则 x+（x10）100，解得 x55， 则“对性能不满意”的客户有 45 人，其中恰有4530 人选择了退货； 由此填写 22 列联表如下； 对性能满意 对性能不满意 合计 购买产品 35 15 50 第 23 页（共 28 页） 不购买产品 20 30 50 合计 55 45 100 计算 K29.09096.635， 所以有 99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关” ； （2）根据题意知，按分层抽样法抽取 6 位客
37、户，购买产品抽取 2 人，不购买产品抽取 4 人， 则购买产品的 2 名客户人均所得奖金 X 的可能取值为 300，450，600，750， 计算 P（X300）， P（X450）， P（X600）+， P（X750）， 则 X 的分布列为： X 300 450 600 750 P 数学期望为 E（X）300+450+600+750500， 所以购买产品的客户人均所得奖金的数学期望值为 500 元 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，也考查了独立性检 验的应用问题，是中档题 20 （12 分）已知椭圆（ab0）过点，左焦点为 F（1，0） （1）求椭圆 E 的方程； （
38、2）直线 ykx+m（k0）与椭圆 E 相交于 B，C 两点，线段 BC 的中点为 N，点 A 在 椭圆 E 上，满足（O 为坐标原点） 判断ABC 的面积是否为定值，若是，求出 该定值；若不是，请说明理由 第 24 页（共 28 页） 【分析】 （1）先利用椭圆定义求出 a 的值，由 c 的值计算出 b 的值，从而得出椭圆 E 的 标准方程； （2）设点点 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ，将直线 BC 的方程与椭圆 E 的方程联立，列出韦 达定理，求出点 N 的坐标，并由求出点 A 的坐标，然后将点 A 的坐标代入椭圆 E 的方程，得出 m 与 k 之间所满足的关系式，并求出|BC|
39、以及点 O 到直线 BC 的距离，再 由证明题中结论 【解答】解： （1）由椭圆的定义可得， 所以，a2，由于 c1，则， 因此，椭圆 E 的方程为； （2）设点 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ， 将直线 ykx+m（k0）的方程与椭圆 E 的方程联立， 消去 y 得（4k2+3）x2+8kmx+4m2120，由韦达定理得， 则， 则点 N 的坐标为 ，可得点 A 的坐标为 由 于 点A在 椭 圆E上 ， 将 点A的 坐 标 代 入 椭 圆E的 方 程 得 ，化简得 ， 第 25 页（共 28 页） 原点 O 到直线 ykx+m 的距离为， ，所以， （定值） 【点评】本题考查直线与椭
40、圆的综合问题，考查椭圆的定义以及方程的求解，同时也考 查为韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）令 f（x）0，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确 定 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）（ex1） （exa） ， （i）若 a0，当 x（，0）时，f（x）0，f（x）递减， x（0，+）时，f（x）0，f（x）递增， 当 a0 时，令 f（x）0
41、，解得：x10 或 x2lna， （ii）若 a1，x1x2，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 递增， （iii）若 0a1，x1x2， 当 x（，lna）时，f（x）0，f（x）递增， 当 x（lna，0）时，f（x）0，f（x）递减， 当 a（0，+）时，f（x）0，f（x）递增， （iv）若 a1，x1x2， 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）递增， 当 x（0，lna）时，f（x）0，f（x）递减， 当 x（lna，+）时，f（x）0，f（x）递增， 综上：若 a0，f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增， 若 a1，f（x）在 R 递增， 若 0a1，f（x）在（，lna）递
42、增，在（lna，0）递减，在（0，+）递增， 第 26 页（共 28 页） 若 a1，f（x）在（，0）递增，在（0，lna）递减，在（lna，+）递增； （2） （i）当 a0 时，f（x）e2xexex（ex1） ， 令 f（x）0，解得：xln2，此时 1 个零点，不合题意， （ii）当 a0 时，由（1）可知， f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增， f（x）有 2 个零点，必有 f（0）a0，即 a， 而 f（1）e2e+a（1e）0， 故当 x（0，1）时，f（x）1 个零点， 当 x0 时，f（x）ax（a+1）exax（a+1） ， 取 x01+0，则 f（x0）0， 故当
43、 x（x0，0）时，f（x）1 个零点， 故当a0 时，f（x）2 个零点，符合题意， （iii）当 a1 时，f（x）在 R 递增，不可能有 2 个零点，不合题意， （iv）当 0a1 时，f（x）在（，lna）递增，在（lna，0）递减，在（0，+）递 增， f（lna）e2lna（a+1）elna+alnaa2a2a+alnaa（lnaa1） ， lnaa10，故 f（lna）0， 此时，f（x）至多 1 个零点，不合题意； （v）当 a1 时，f（x）在（，0）递增，在（0，lna）递减，在（lna，+）递增， f（0）a1a0， 此时，f（x）最多有 1 个零点，不合题意， 综上，若
44、 f（x）有 2 个零点， 则 a 的范围是（，0） 【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分. 第 27 页（共 28 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin，直线 l 的参数方程为（t 为参 数） ，其中 a0，直线 l 与曲线 C 相交于
45、M，N 两点 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 P（0，a）满足，求 a 的值 【分析】 （1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线 C 的直角坐标方程； （2）点 P（0，a）在直线（t 为参数） ，且恰好是直线所过的定点，不妨令 M 在 Y 轴左侧， N 在右侧， 则可由将（t 为参数） 代入 x2y， 整理得， 由根与系数的关系，将，转化为 a 的方程，即可求出 a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin，2cos2sin， 所以曲线 C 的直角坐标方程是 x2y； （2）点 P（0，a）在直线（t 为参数） ，且恰好是直线所过的定点， 将（t 为参数）代入 x2y，整理得， ， 又，不妨令 M 在 Y 轴左侧，N 在右侧， 则有，即， 又，所以，解得 a