1、设全集为 R，集合 Ax|0x2，Bx|2x 11，则 A（ RB）（ ） Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|0x2 2 （5 分）下面是关于复数 z的四个命题： p1：|z|2；p2：z28i；p3：z 的虚部为 2；p4：z 的共轭复数为22i 其中真命题为（ ） Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 3 （5 分）已知某产品连续 4 个月的广告费 xi（千元）与销售额 yi（万元） （i1，2，3，4） 满足xi15，yi12若广告费用 x 和销售额 y 之间具有线性相关关系，且回归直 线方程为 bx+a，b0.6，那么广告费用为 5 千元时，可预测的销售
2、额为（ ）万元 A3 B3.15 C3.5 D3.75 4（5 分） 已知数列an为等差数列， 且 2， 2， 2成等比数列， 则an前 6 项的和为 （ ） A15 B C6 D3 5 （5 分）已知定义在 R 的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 0x1 时，f（x） x2，则 f（2019）（ ） A20192 B1 C0 D1 6 （5 分）设 a，bR，且 ab0则“ab1”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）设 （1，） ， （1，0） ， 若，则 与 的夹角为（ ） A B C D 8 （5
3、分）第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会 标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积 为 a2，大正方形的面积 25a2，直角三角形中较小的锐角为 ，则 tan（+）（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 9 （5 分）如图所示，正方形的四个顶点 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1， 1）及拋物线 y（x+1）2和 y（x1）2，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中， 则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）如果 P1，P2，P3是抛物线 C：y24x 上的
4、点，它们的横坐标依次为 x1，x2， x3， F 是抛物线 C 的焦点， 若 x1+x2+x201820， 则|P1F|+|P2F|+|P2018F| （ ） A2028 B2038 C4046 D4056 11 （5 分）已知函数 f（x），记 g（x）f（x）exa，若 g（x） 存在 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （） B （2e，e） C （2e，） D （e，） 12 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原 点 过 F2的一条直线与双曲线 C 和 y 轴分别交于 A、 B 两点 若|OA|OF2|， |OB|OA|， 则双曲
5、线 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 第 3 页（共 24 页） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 14 （5 分）设（x+2）x9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a10（x+1）10，则 a1+a2+a10的 值为 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 M（1，1）的直线 l 与圆（x+1）2+（y2） 25 相切，且与直线 ax+y10 垂直，则实数 a 16 （5 分）已
6、知函数 f（x），过点 A（a，0） （a0）作与 y 轴平行的直线交函数 f（x） 的图象于点P， 过点P作f （x） 图象的切线交x轴于点B， 则APB面积的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为 ， 将函数 f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数 yg （x）的图象 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
7、a，b，c，若 g（）0，a1，求 ABC 面积的最大值 18 （12 分）设an是等差数列，前 n 项和为 Sn（nN*） ，bn是等比数列已知 a13， S55，b1a4，b1+b33（b2+1） （1）求数列an和数列bn的通项公式； （2）设 cn，记 Tnc1+c2+c3+cn，求 Tn 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0） ，点 M（1，）在椭圆 C 上，椭圆 C 的离心率是 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设点 A 为椭圆长轴的左端点，P、Q 为椭圆上异于椭圆 C 长轴端点的两点，记直线 AP、AQ 斜率分别为 k1、k2，若 k1k2，请判断直线 PQ 是否过定点
8、？若过定点，求 该定点坐标，若不过定点，请说明理由 第 4 页（共 24 页） 20 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作 的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样， 得到参加问卷调查的 102 人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 4 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN（，198） ， 近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
9、，利用该正态分布，求 P （38.2Z80.2） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望 参考数据与公式：14 若 XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6826， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 21 （12 分）已知函数 f（x）xex，g（x）
10、a（lnx+x） ，aR （1）已知 T（x0，y0）为函数 f（x） ，g（x）的公共点，且函数 f（x） ，g（x）在点 T 处 的切线相同，求 a 的值； （2）若 f（x）g（x）在1，+）上恒成立，求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR） ， 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 线 C 的极坐标方程是sin （
11、） （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 第 5 页（共 24 页） （2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且|AB|，求实数 a 的值 选修选修 4-5；不等式选讲；不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1| （1）若不等式 f（x）5 的解集为（2，3） ，求 a 的值； （2）当 a1 时，求 f（2x）f（x）2 的解集 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题
12、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|0x2，Bx|2x 11，则 A（ RB）（ ） Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|0x2 【分析】求出集合 B 的等价条件，结合集合补集交集的定义进行计算即可 【解答】解：Bx|2x 11x|x10x|x1， RBx|x1， 则 A（RB）x|0x2x|x1x|0x1， 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合的交集补集的定义是解决本题的关键 2 （5 分）下面是关于复数 z的四个命题： p1：|z|2；p2：z28i；p3：z
13、的虚部为 2；p4：z 的共轭复数为22i 其中真命题为（ ） Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 【分析】利用复数的运算法则以及复数的模的求法已经复数共轭复数转化求解命题的真 假 【解答】解：复数 z2+2i可得|z|2，所以 p1：|z|2；不 正确； z2（2+2i）28i，所以 p2：z28i；正确； z2+2iz 的虚部为 2；可得 p3：z 的虚部为 2；正确； z2+2i 的共轭复数为：22i；所以 p4：z 的共轭复数为22i 不正确； 故选：A 【点评】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查 3 （5 分）已知某产品连续 4 个
14、月的广告费 xi（千元）与销售额 yi（万元） （i1，2，3，4） 满足xi15，yi12若广告费用 x 和销售额 y 之间具有线性相关关系，且回归直 第 7 页（共 24 页） 线方程为 bx+a，b0.6，那么广告费用为 5 千元时，可预测的销售额为（ ）万元 A3 B3.15 C3.5 D3.75 【分析】由已知求得，代入回归方程求得 ，得到回归方程，取 x5 求得 y 值， 则答案可求 【解答】解：由已知xi15，yi12，得， 33.75b+a3.750.6+a，解得 a0.75 回归直线方程为 0.6x+0.75， 则当 x5 时，y3.75 万元 故选：D 【点评】本题考查回归
15、直线方程的求法，考查计算能力，是基础题 4（5 分） 已知数列an为等差数列， 且 2， 2， 2成等比数列， 则an前 6 项的和为 （ ） A15 B C6 D3 【分析】设等差数列的公差为 d，由等比数列的中项性质，结合等差数列的求和公式，即 可得到所求和 【解答】解：数列an为公差为 d 的等差数列，且 2，2，2成等比数列， 可得 4222， 可得 a1+a62， 即有an前 6 项的和为6（a1+a6）6 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，求和公式的运用，考查运算能力，属于 基础题 5 （5 分）已知定义在 R 的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当
16、0x1 时，f（x） x2，则 f（2019）（ ） A20192 B1 C0 D1 【分析】根据题意，分析可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数是周期为 4 的周期 函数，可得 f（2019）f（1+2020）f（1） ，结合函数的奇偶性与解析式分析可得 第 8 页（共 24 页） 答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，则有 f（x+4）f（x+2） f（x） ，即函数是周期为 4 的周期函数， 则 f（2019）f（1+2020）f（1） ， 又由函数为奇函数，则 f（1）f（1）（1）21； 则 f（2019）1； 故选：D 【点评】本题考查函
17、数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期 6 （5 分）设 a，bR，且 ab0则“ab1”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由题意看命题“ab1”是“”否能互推，然后根据必要条件、充分条件 和充要条件的定义进行判断 【解答】解：若“ab1”当 a2，b1 时，不能得到“” ， 若“” ，例如当 a1，b1 时，不能得到“ab1“， 故“ab1”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查 了命题的概念和对于命题概念的理解程度 7 （5 分）设 （
18、1，） ， （1，0） ， 若，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】由向量的坐标运算得： （0，） ，由数量积表示两个向量的夹角得：cos ，又 0，所以， 【解答】解：由 （1，） ， （1，0） ， 则 （1+k，） ， 第 9 页（共 24 页） 由， 则0， 即 k+10，即 k1，即 （0，） ， 设 与 的夹角为 ， 则 cos， 又 0， 所以， 故选：A 【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属简单题 8 （5 分）第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会 标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
19、方形，如果小正方形的面积 为 a2，大正方形的面积 25a2，直角三角形中较小的锐角为 ，则 tan（+）（ ） A B C D 【分析】设直角三角形的两直角边长为 x，a+x，x2+（a+x）225a2，解出 x，利用同角 公式和两角和的正切公式即可得出 【解答】解：设直角三角形的两直角边长为 x，a+x， 则 x2+（a+x）225a2， 解得 x3a， sin，cos tan，tan（+） 第 10 页（共 24 页） 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理、同角公式和两角和的正切公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 9 （5 分）如图所示，正方形的四个顶点 A（1，1） ，B（1
20、，1） ，C（1，1） ，D（1， 1）及拋物线 y（x+1）2和 y（x1）2，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中， 则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A B C D 【分析】利用积分求阴影部分的面积得：函数图象 y（x1）2与 x，y 轴正半轴所围成 的面积为：（| ，即图中阴影区域的面积为 2 ），再利用几何概型中的面积型求解即可 【解答】解：函数图象 y（x1）2与 x，y 轴正半轴所围成的面积为： （| ， 即图中阴影区域的面积为 2）， 则质点落在图中阴影区域的概率是：， 故选：B 【点评】本题考查了利用积分求面积，及几何概型中的面积型，属中档题 10 （5 分）如果 P
21、1，P2，P3是抛物线 C：y24x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2， x3， F 是抛物线 C 的焦点， 若 x1+x2+x201820， 则|P1F|+|P2F|+|P2018F| （ ） A2028 B2038 C4046 D4056 【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线定义得|PnF|xn+xn+1，由此能求出结果 【解答】解：P1，P2，是抛物线 C：y24x 上的点， 第 11 页（共 24 页） 它们的横坐标依次为 x1，x2，F 是抛物线 C 的焦点（1，0） ，准线为 x1， x1+x2+x201820， |P1F|+|P2F|+|P2018F| （x1+1）+（x
22、2+1）+（x2018+1） x1+x2+x2018+2018 20+20182038 故选：B 【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛 物线的定义的合理运用 11 （5 分）已知函数 f（x），记 g（x）f（x）exa，若 g（x） 存在 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （） B （2e，e） C （2e，） D （e，） 【分析】令 h（x）f（x）ex，求出不同区间上 h（x）的范围，画出函数 h（x）的图 象，结合图象判断即可 【解答】解：令 h（x）f（x）ex， x1 时，令 g（x）f（x）exa0， 即（8e）x4ea，
23、即 h（x）（8e）x4e，x，1， 显然 h（x）在，1递增， 故 h（x）e，42e， x时，令 g（x）f（x）exa0， 即（8+e）x+4ea， 即 h（x）（8+e）x+4e，x（，） ， 显然 h（x）在（，）递减， 故 h（x）e，+， x1 时，令 g（x）f（x）exa0， 第 12 页（共 24 页） 即lnxexa， 即 h（x）（8e）x4e，x，1， 显然 h（x）在1，+）递减， 故 h（x）（，e， 画出函数 h（x）的图象，如图示： 若 g（x）存在 3 个零点， 则 yh（x）和 ya 有 3 个交点， 结合图象：a（e，e） ， 故选：A 【点评】本题考查
24、了函数和方程问题，考查函数的零点以及数形结合思想，分类讨论思 想，是一道综合题 12 （5 分）设 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原 点 过 F2的一条直线与双曲线 C 和 y 轴分别交于 A、 B 两点 若|OA|OF2|， |OB|OA|， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】先由已知条件得出，从而得出|BF2|2c，再由|OA|OF2|c 得出 点 A 为线段 BF2的中点，连接 BF1，由对称性得出BF1F2为等边三角形，利用勾股定 理得出，结合|AF2|c 利用双曲线的定义可求出离心率 【解答】解：如下图所示， 第 13 页（共
25、24 页） 由于，所以，则， 所以， ，则 A 为线段 BF2的中点， 连接 BF1（F1为双曲线 C 的左焦点） ，由对称性可知，则BF1F2为等边 三角形， A 为 BF2的中点，AF1BF2， 由双曲线的定义可得， 因此，双曲线的离心率为 故选：D 【点评】本题考查双曲线的几何性质，解决本题的关键在于充分研究图形的几何关系， 灵活利用数形结合思想以及双曲线的定义，属于中等题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最
26、大值为 5 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值 第 14 页（共 24 页） 即可 【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图： 由解得 A（1，2） 由可行域可知：目标函数经过可行域 A 时， zx+2y 取得最大值：5 故答案为：5 【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算 能力 14 （5 分）设（x+2）x9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a10（x+1）10，则 a1+a2+a10的 值为 1 【分析】在所给的等式中，分别令 x1，x0，即可求得 a1+a2+a10的值 【解答】解：根据（x+2）
27、x9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a10（x+1）10， 令 x1，可得 a01 故有（x+2）x91+a1（x+1）+a2（x+1）2+a10（x+1）10， 再令 x0，可得 01+a1+a2+a10， 则 a1+a2+a101， 故答案为：1 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通 过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 M（1，1）的直线 l 与圆（x+1）2+（y2） 第 15 页（共 24 页） 25 相切，且与直线 ax+y10 垂直，则实数
28、a 【分析】由题意，直线 ax+y10 的斜率a，即可得出结论 【解答】解：由题意，直线 ax+y10 的斜率a， a 故答案为 【点评】本题考查直线的斜率，考查直线与圆的位置关系，比较基础 16 （5 分）已知函数 f（x），过点 A（a，0） （a0）作与 y 轴平行的直线交函数 f（x） 的图象于点 P， 过点 P 作 f （x） 图象的切线交 x 轴于点 B， 则APB 面积的最小值为 【分析】求出切点 P 的坐标，再求出函数的导数，并求出切线的斜率 k，设出 B 点的坐 标，由两点的斜率公式，写出斜率 k，求出三角形 APB 的面积，再运用导数求出 S 的最 小值即可 【解答】解：A
29、Py 轴，A（a，0） ， P（a，f（a） ）即（a，） ， 又 f（x）（a0）的导数 f（x）， 过 P 的切线斜率 k， 即有切线方程为 y（xa） ， 令 y0，可得 xa1， 即 B（a1，0） ，ABa（a1）1， APB 的面积为 S1， 导数 S，由 S0 得 a1， 当 a1 时，S0，当 0a1 时，S0， a1 为极小值点，也为最小值点， APB 的面积的最小值为 故答案为： 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导 数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5
30、 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为 ， 将函数 f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数 yg （x）的图象 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 g（）0，a1，求 ABC 面积的最大值 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得 函数 f（x）的单调递增区间 （2）先利用函数 yAsin（x+）的图象
31、变换规律，求得 g（x）的解析式，在锐角ABC 中，由 g（）0，求得 A 的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得 bc 的最大值，可 得ABC 面积的最大值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）由题得，函数 f（x）sinxcosx+cos2xsin2x+ （2cos2x 1） sin2x+cos2x2 分 sin（2x+） ， （0） ，3 分 由它的最小正周期为，得 1， f（x）sin（2x+） ，4 分 由 2k2x+2k+，得 kxk+，kZ 故函数 f（x）的单调递增区间是k，k+，kZ，6 分 （2）将函数 f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
32、得到函数 yg（x）f（x）sin2x 的图象，8 分 第 17 页（共 24 页） 在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 g（）0，可得 sinA， A，9 分 a1，由余弦定理，得 1b2+c22bccos， 1b2+c2bc2bcbcbc， bc1，当且仅当 bc 时，取等号，11 分 ABC 面积 SABCbcsinA， 故ABC 面积的最大值为12 分 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函 数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题 18 （12 分）设an是等差数列，前 n 项和为 Sn（nN*） ，b
33、n是等比数列已知 a13， S55，b1a4，b1+b33（b2+1） （1）求数列an和数列bn的通项公式； （2）设 cn，记 Tnc1+c2+c3+cn，求 Tn 【分析】 （1）an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，由等差数列和等 比数列的通项公式、求和公式，解方程即可得到所求通项公式； （2）求得 cn（2n5） （）n，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和 公式，化简整理可得所求和 【解答】解： （1）an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列， a13，S55，b1a4，b1+b33（b2+1） ， 可得 5（3）+54d5，解得 d2
34、， an3+2（n1）2n5； b13，3+3q23（1+3q） ，解得 q3， 则 bn3n，nN*； （2）cn（2n5） （）n， 第 18 页（共 24 页） Tn3+（1） +（2n5） （）n， Tn3+（1） +（2n5） （）n+1， 两式相减可得Tn1+2（+（）n）（2n5） （）n+1 1+2（2n5） （）n+1， 化简可得 Tn1（n1） （）n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位 相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0） ，点 M（1，）在椭圆 C 上，椭圆 C 的离心率是 （1
35、）求椭圆 C 的标准方程； （2）设点 A 为椭圆长轴的左端点，P、Q 为椭圆上异于椭圆 C 长轴端点的两点，记直线 AP、AQ 斜率分别为 k1、k2，若 k1k2，请判断直线 PQ 是否过定点？若过定点，求 该定点坐标，若不过定点，请说明理由 【分析】 （1）由点 M（1，）在椭圆 C 上，且椭圆 C 的离心率是，列方程组求出 a 2，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （2）设点 P，Q 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx+m，联立，得： （4k2+3）x2+8kmx+（4m212）0，利 用根的判别式、韦达定理，
36、结合已知条件得直线 PQ 的方程过定点（1，0） ；当直线 PQ 的斜率不存在时，则 PQx 轴，设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ，推导出 x01，从而 直线 PQ 过（1，0） 由此能求出直线 PQ 过定点（1，0） 【解答】解： （1）由点 M（1，）在椭圆 C 上，且椭圆 C 的离心率是， 第 19 页（共 24 页） 得，解得 a2，b，c1， 椭圆 C 的标准方程是1 （2）设点 P，Q 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （i）当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx+m， 联立，消去 y，得： （4k2+3）x2+8kmx+（4m2
37、12）0， 由64k2m24（4k2+3） （4m212）48（4k2m2+3）0， 4k2+3m2， 由韦达定理得 x1+x2， k1k2，解得 4y1y2+（x1+2） （x2+2）0， 4（kx1+m） （kx2+m）+（x1+2） （x2+2）0， 整理为： （4k2+1）x1x2+（4km+2） （x1+x2）+4m2+40， （4k2+1） （4km+2） +4m2+40， 化简整理得：m2km2k20，解得 m2k 或 mk， 当 m2k 时，直线 PQ 的方程为 ykx+2k，即 yk（x+2） ，过定点（2，0） ，不合题意 当 mk 时，直线 PQ 的方程为 ykxk，即
38、yk（x1） ，过定点（1，0） （ii）当直线 PQ 的斜率不存在时，则 PQx 轴，设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ， A（2，0） ，记直线 AP、AQ 斜率分别为 k1、k2，k1k2， ，由1，解得 x01， 直线 PQ 过（1，0） 综上，由（i） （ii）知直线 PQ 过定点（1，0） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、 第 20 页（共 24 页） 直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是 中档题 20 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作
39、的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样， 得到参加问卷调查的 102 人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 4 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN（，198） ， 近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 P （38.2Z80.2） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2 次随机
40、话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望 参考数据与公式：14 若 XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6826， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 【分析】 （1）由题意求出 66.2，P（38.2Z80.2）P（38.2Z 52.2）+P（52.2Z80.2） ，由此能求出结果 （2）由题意知 P（Z）P（Z），获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，
41、 100，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX 【解答】解： （1）由题意得： 66.2， 66.2， ， 第 21 页（共 24 页） P（66.214Z66.2+14）P（52.2Z80.2）0.6826， P（66.2214Z52.2）P（38.2Z94.2）P（52.2Z80.2）0.1359， 综上，P（38.2Z80.2）P（38.2Z52.2）+P（52.2Z80.2）0.1359+0.6826 0.8185 （2）由题意知 P（Z）P（Z）， 获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100， P（X20）， P（X40）， P（X50）， P（X70
42、）， P（X100）， X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P EX+100 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考 查正态分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xex，g（x）a（lnx+x） ，aR （1）已知 T（x0，y0）为函数 f（x） ，g（x）的公共点，且函数 f（x） ，g（x）在点 T 处 的切线相同，求 a 的值； （2）若 f（x）g（x）在1，+）上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 a 的
43、方程组，解出即可； （2）令 h（x）f（x）g（x） ，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数 h（x） 的最小值，从而确定 a 的范围即可 【解答】解： （1）由题意得 f（x）（x+1）ex，g（x）a（+1） ， 第 22 页（共 24 页） T（x0，y0）为函数 f（x） ，g（x）的公共点，且函数 f（x） ，g（x）在点 T 处的切线相 同， ，且 x00， 解得：ae； （2）令 h（x）f（x）g（x） ， h（x）（x1） ， 当 a0 时，h（x）0，h（x）在1，+）递增， 故 h（x）h（1）ea0，满足题意， 当 0ae 时， x1，xexe，xexa0，
44、 h（x）0，h（x）在1，+）递增， 需 h（x）minh（1）ea0，解得：ae， 故 0ae， 当 ae 时，存在 x0（1，+）使得 x0a0， 当 x（1，x0）时，h（x）0，h（x）递减， 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）递增， h（x）minh（x0）aa（x0+lnx0）a（1lna） ， ae，1lna0， h（x）minh（x0）0，不恒成立， 综上，a 的范围是（，e） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，aR） ， 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 线 C 的极坐