1、已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB（ ） A2，1 B1，2 C1，1 D1，2 2 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）（ ） A B C D 3 （5 分）若 cos（），则 cos2（ ） A B C D 4 （5 分）双曲线 C：（0） ，当 变化时，以下说法正确的是（ ） A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 5 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值是（ ） A2 B1 C1 D4 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B16 C D 7 （5 分）若
2、将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是（ ） 第 2 页（共 26 页） A+k，+k（kZ） B+k，+k（kZ） C+k，+k（kZ） D+k，+k（kZ） 8 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为 四色定理其内容是： “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不 同的颜色 ”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可 以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图网 格纸上小正方形的边长为 1 粗实线围成的各区域上
3、分别标有数字 1，2，3，4 的四色地图 符合四色定理若在该四色地图上随机取一点， 则恰好取在标记为1的区域的概率为 （ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x），则不等式|f（x）|1 的解集为（ ） A （， B （，02，+） C0，2，+） D （，2，+） 10 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，A（1，1） ，当PAF 周长 最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A B C D 11 （5 分）由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T195222010） 于 2011 年 7
4、 月 1 日正式实施车辆 驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验， 一般情况 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1，且图 1 表示的 第 3 页（共 26 页） 函数模型 f（x），则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln152.71，ln303.40） （ ） 驾驶行为类别 阀值（mg/100mL） 饮酒后驾车 20，80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+2）f（x） ，当
5、 x0，1时 f （x）x，g（x）4x2x2 方程|g（x）|1 有 2 个不等实根； 方程 g（f（x）0 只有 1 个实根； 当 x（，2时，方程 f（g（x）0 有 7 个不等实根； 存在 x00，1使 g（x0）g（x0） 正确的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ +） ，则实数 14 （5 分）若直线 3x+4y+120 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的内切圆的标准方程为 15 （5 分）已知圆台的上、
6、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径 分别为 2，4，则球 O 的表面积为 第 4 页（共 26 页） 16 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2+c2bc，ABC 的面积为 S，a3，则 S+6cosBcosC 的最大值为 三、解答題：共三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：
7、共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ADC60，CD 2AD，EC底面 ABCD （1）求证：平面 ADE平面 ACE； （2）若 ADCE2，求三棱锥 CADE 的高 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为：1，过点 F2（3，0）且斜率不为 0 的直线 l
8、与 C 交于 A，B 两 点 （1）当 l 的斜率为 1 时，求F1AB 的面积 （2）若在 y 轴上存在一点 D（0，） ，使ABD 是以 D 为顶点的等腰三角形，求 直线 l 的方程 20 （12 分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得 如图频率分布表和频率分布直方图 分组 频数 频率 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 第 5 页（共 26 页） 25.2525.35 18 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.
9、1 25.6525.75 3 0.03 合计 100 1 （1）求 a，b； （2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于 25.75 或小于 25.15 为不合格，钢管尺寸在 25.15，25.35）或25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在25.35，25.45）为优秀等级钢 管的检测费用 0.5 元/根 （i）若从25.05，25.15）和25.65，2575）的 5 件样品中随机抽取 2 根，求至少有一根钢 管为合格的概率； （ii）若这批钢管共有 2000 根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案： 对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以 45 元/根售出； 对该批剩余钢
10、管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管 50 元/根，优等 钢管 60 元/根请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）asinx（aR） ，g（x）ex （1）若 0a1，证明函数 G（x）f（x）+lnx 在（0，1）上单调递增； （2）设 F（x）（a0） ，对任意 x0，F（x）kx 恒成立，求实 数 k 的取值范围 第 6 页（共 26 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 题计分题计分选修选修 4-4：坐标
11、系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 x 轴的非负半轴为极轴，原点 O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单 位，若直线 和 （R）分别与曲线 C 相交于 A、B 两点（A，B 两点异于 坐标原点） （1）求曲线 C 的普通方程与 A、B 两点的极坐标； （2）求直线 AB 的极坐标方程及ABO 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|xa|+|x+|（a0） （1）证明 f（x）4； （2）若不等式 f（x）|x+|4x 的解集为x|x2，求实
12、数 a 的值 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB（ ） A2，1 B1，2 C1，1 D1，2 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 A
13、中不等式变形得： （x3） （x+1）0， 解得：x1 或 x3，即 A（，13，+） ， B2，2， AB2，1， 故选：A 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）（ ） A B C D 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，结合函数的奇偶性可得 f（2） f（2） ，即可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）4， 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（2）f（2）； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇 4函
14、数的性质进行分析 3 （5 分）若 cos（），则 cos2（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式求得 sin 的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值 【解答】解：cos（）sin，sin， 第 8 页（共 26 页） 则 cos212sin212， 故选：C 【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题 4 （5 分）双曲线 C：（0） ，当 变化时，以下说法正确的是（ ） A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到 结果 【解答】解：当 0 时，双曲线的焦
15、点坐标以及顶点坐标在 x 轴上，离心率不变，渐近 线方程为：yx 不变 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 5 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值是（ ） A2 B1 C1 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结 论 【解答】解：作出实数 x，y 满足对应的平面区域如图： 由 zx2y 得 yxz，平移直线 yxz，由图象可知当直线 yxz，经 过点 A 时， 直线 yxz，的截距最小，此时 z 最大， 由，解得 A（1，1） ，z1 故选：B 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查线
16、性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B16 C D 【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中 数据计算该几何体的体积 【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示； 第 10 页（共 26 页） 则该几何体的体积为 422224 故选：C 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题 7 （5 分）若将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是（ ） A+k，+k（kZ） B+k
17、，+k（kZ） C+k，+k（kZ） D+k，+k（kZ） 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后 所得图象对应函数的单调增区间 【解答】 解： 将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度， 可得 ysin （2x） 的图象 令 2k2x2k+，求得 kxk+， 可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为+k，+k（kZ） ， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属 于基础题 8 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为 四色定理其内容是： “任意一张平
18、面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不 同的颜色 ”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可 以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图网 格纸上小正方形的边长为 1 粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4 的四色地图 符合四色定理若在该四色地图上随机取一点， 则恰好取在标记为1的区域的概率为 （ ） 第 11 页（共 26 页） A B C D 【分析】由网格纸上一共有 5630 个小方格，其中标记为 1 的小方格有 10 个，能求 出所求概率 【解答】解：网格纸上一共有 5630 个小方格， 其中标记为
19、1 的小方格有 10 个， 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4 的四色 地图符合四色定理， 若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为 1 的区域的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 9 （5 分）已知函数 f（x），则不等式|f（x）|1 的解集为（ ） A （， B （，02，+） C0，2，+） D （，2，+） 【分析】去掉绝对值，解各个区间上的 x 的范围，取并集即可 【解答】解：|f（x）|1，即 f（x）1 或 f（x）1， 由1，解得：x0， 由 log2x1，解得
20、：x2， 由1，无解， 由 log2x1，解得：0x， 第 12 页（共 26 页） 故不等式的解集是（，2，+） ， 故选：D 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函 数以及对数函数的性质，是一道常规题 10 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，A（1，1） ，当PAF 周长 最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A B C D 【分析】求PAF 周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值设点 P 在准线上的射影为 D， 则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面 几何知识，
21、当 D、P、A 三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出 P 的坐标，然后求解 PF 所在直线的斜率 【解答】解：求PAF 周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值， 设点 P 在准线上的射影为 D， 根据抛物线的定义，可知|PF|PD| 因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值 根据平面几何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小， 因此的最小值为 xA（1）1+12， |AF|1，此时 P（，1） ，F（1，0）PF 所在直线的斜率为： 故选：A 【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 D，P，A 三点共 线时|PA
22、|+|PD|最小，是解题的关键 11 （5 分）由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T195222010） 于 2011 年 7 月 1 日正式实施车辆 第 13 页（共 26 页） 驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验， 一般情况 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1，且图 1 表示的 函数模型 f（x），则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln152.71，ln303.40） （ ） 驾驶行为类别 阀值（mg/100m
23、L） 饮酒后驾车 20，80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 x2； 令 90e 0.5x+1420，解得 x 的取值范围，结合题意求得结果 【解答】解：由图知 0x2 时，函数 f（x）取得最大值， 此时 f（x）40sin（x）+13， x2 时，函数 f（x）90e 0.5x+14； 当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 x2； 由 90e 0.5x+1420，得 e0.5x ， 两边取自然对数，得 lne 0.5xln ， 即0.
24、5xln15，解得 x5.42， 所以喝啤酒后需 6 个小时后才可以合法驾车 注：如果根据图象可猜出 6 个小时 第 14 页（共 26 页） 故选：B 【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中 档题 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时 f （x）x，g（x）4x2x2 方程|g（x）|1 有 2 个不等实根； 方程 g（f（x）0 只有 1 个实根； 当 x（，2时，方程 f（g（x）0 有 7 个不等实根； 存在 x00，1使 g（x0）g（x0） 正确的序号是（ ） A B C D 【分析
25、】由 g（x）1，g（x）1 解方程可判断；设 tf（x） ，g（t）0，结合 f （x）的周期性可判断； 设 mg（x） ，则 f（m）0，可得 m 为偶数，再由 g（x）的值域，可判断； 由 g（x0）g（x0） ，结合二次函数和指数函数的单调性，可判断 【解答】解：对于，g（x）4x2x2，由 g（x）1 可得 2x或 2x （舍去） ， 即 xlog2；由 g（x）1 可得 2x或 2x（舍去） ，故正确； 对于，方程 g（f（x）0，设 tf（x） ，即 g（t）0，解得 t1，即 f（x）1， 由 f（x+2）f（x）f（x） ，可得 f（x）为周期为 2 的函数， f（x）1 的
26、根为 x2k1，kZ，故错误； 对于，当 x（，2时，方程 f（g（x）0， 可设 mg（x） ，则 f（m）0，可得 m2k，kZ， 由 g（x）在 x2 的值域为，10，可得 m2，0，2，4，6，8，10，有 7 个不等 实根，故正确； 对于由 g（x0）g（x0） ，即 4x02x02+4 x02x020，可设 t2x0+2x0， 则 t2t60，解得 t3，由 2x0+2 x03，即 4x032x0+10， 由3245，可得 2x02，即 x01，或故 2x01，即 x00， 第 15 页（共 26 页） 错误 故选：B 【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考
27、查方程思想和运 算能力，属于中档题 二、填空题：本题二、填空题：本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ +） ，则实数 13 【分析】 可求出， 根据即可得出， 进行数量积的坐标运算即可求出 的值 【解答】解：； ； ； 解得 13 故答案为：13 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算 14 （5 分）若直线 3x+4y+120 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的内切圆的标准方程为 （x+1）2+（y+1）21 【分析】令 x0、y0 代入 3x+4
28、y120 分别求出 A、B 的坐标，设AOB 的内切圆 的圆心（a，b） ，再由相切列出方程求出 a、b 的值，代入圆的标准方程 【解答】解：在直线 3x+4y+120 中，令 x0 代入 3x+4y+120 得，y3，则 A（0， 3） ， 令 y0 代入 3x+4y+120 得，x4，则 B（4，0） 设AOB 的内切圆的圆心（a，b） ， 因为内切圆与 x、y 轴都相切，所以 abr， 又内切圆与直线 3x+4y+120 相切，所以 ar， 化简解得，a1 或 a3 （舍去） ，圆心为（1，1） ，半径为 1， 所以AOB 的内切圆的方程为： （x，+1）2+（y+1）21， 故答案为：
29、 （x+1）2+（y+1）21 【点评】本题考查了圆的方程求法：待定系数法，以及直线与圆相切的条件，属于中档 第 16 页（共 26 页） 题 15 （5 分）已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径 分别为 2，4，则球 O 的表面积为 80 【分析】在轴截面等腰梯形中计算出 sinA 与 BD，然后利用正弦定理计算出ABD 的外 接圆半径，即为球 O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出球 O 的表面积 【解答】解：如下图所示， 设圆台的一个轴截面为等腰梯形 ABCD，则 AB8，CD4， 过点 C、D 分别作 CEAB、DFAB，垂足分别为点 E、F，
30、则， 且 CEDF6， 所以， 在 RtADF 中， 设球 O 的半径为 R，则 2R 为ABD 外接圆的直径， 由正弦定理可得， 因此，球 O 的表面积为 故答案为：80 【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查 计算能力与转化能力，属于中等题 16 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2+c2bc，ABC 的面积为 S，a3，则 S+6cosBcosC 的最大值为 6 【分析】由余弦定理化简已知等式解得 cosA，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA， 利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求 cosBco
31、sCsinBsinC，根据正 第 17 页（共 26 页） 弦定理可求 cosBcosC，由余弦定理，基本不等式可求 bc 的最大值，根据三 角形的面积公式化简所求即可计算得解 【解答】解：a2b2+c2bc，可得：b2+c2a2bc， 由余弦定理可得：2bccosAbc，解得：cosA，可得：sinA， cosAcos（B+C）sinBsinCcosBcosC， 可得：cosBcosCsinBsinC， a3，由4，可得：sinB，sinC， cosBcosC， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得 9b2+c2bc2bcbcbc（2） ， 当且仅当 bc 时等号成立， bc8+2
32、，当且仅当 bc 时等号成立， S+6cosBcosCbcsinA+6（）bc（8+2）6， 当且仅当 bc 时等号成立 可得 S+6cosBcosC 的最大值为 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两 角和的余弦函数公式，正弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答題：共三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 2223
33、 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由题意可得 2an2+Sn，运用数列的递推式：当 n1 时，a1S1，n2 时， 第 18 页（共 26 页） anSnSn1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项； （2）求得 log2anlog22nn，bnn（n+1） ，2（） ，由数列 的裂项相消求
34、和，化简整理，可得所求和 【解答】解： （1）2，an，Sn成等差数列，可得 2an2+Sn， 当 n1 时，a1S12a12，解得 a12， n2 时，anSnSn12an22an1+2， 化为 an2an1， 可得数列an为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 即有 an2n，nn*； （2）log2anlog22nn， bnlog2a1+log2a2+log2an1+2+nn（n+1） ， 2（） ， 即有前 n 项和 Tn2（1+） 2（1） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和 通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力
35、，属于中档 题 18 （12 分）如图，四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ADC60，CD 2AD，EC底面 ABCD （1）求证：平面 ADE平面 ACE； （2）若 ADCE2，求三棱锥 CADE 的高 【分析】 （1）推导出 ADAC，ECAD，从而 AD平面 ACE，由此能证明平面 ADE 平面 ACE （2）设三棱锥 CADE 的高为 h由 VDACEVCADE，能求出三棱锥 CADE 的高 第 19 页（共 26 页） 【解答】证明： （1）在平行四边形 ABCD 中，ADC60，CD2AD 由余弦定理得 AC， AD2+AC2CD2，DAC90，ADAC， E
36、C底面 ABCD，ECAD， ECACC，AD平面 ACE， 平面 ADE平面 ACE 解： （2）ADCE2，CD4， ADAC，AC2，AE4， 设三棱锥 CADE 的高为 h 由 VDACEVCADE，得， 解得 h， 三棱锥 CADE 的高为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为：1，过点 F2（3，0）且斜率不为 0 的直线 l 与 C 交于 A，B 两 点 （
37、1）当 l 的斜率为 1 时，求F1AB 的面积 （2）若在 y 轴上存在一点 D（0，） ，使ABD 是以 D 为顶点的等腰三角形，求 直线 l 的方程 【分析】 （1）由已知条件得出 c3，结合离心率可求出 a 的值，再计算出 b 的值，可得 出椭圆的方程，然后将直线 l 的方程与椭圆的方程联立，求出交点坐标，再利用三角形 的面积公式可求出F1AB 的面积； （2）设直线 l 的方程为 yk（x3） ，设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，将直线 l 的方程与 第 20 页（共 26 页） 椭圆方程联立，列出韦达定理，求出线段 AB 的中点 H 的坐标，然后将问题转化为 DH AB
38、，由这两条直线的斜率之积为1 求出 k 的值 【解答】解： （1）依题意，且 c3，b3，所以，椭圆 C 的方 程为， 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，当 k1 时，直线 l：yx3， 将直线与椭圆方程联立得，消去 x 得，y2+2y30， 解得 y13，y21，则|y1y2|4， 所以，； （2）设直线 l 的斜率为 k，由题意知 k0， 由，消去 y 得， （2k2+1）x212k2x+18（k21）0， 0 恒成立，由韦达定理得， 设线段 AB 的中点为 H （x0， y0） ， 则， ， 若ABD 是以 D 为顶点的等腰三角形，则 kDHkAB1，得， 整理得，故直线 l
39、的方程为 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，解决本题的关键在于将等腰三角形转化为三 线合一，考查计算能力与转化能力，属于中等题 20 （12 分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得 如图频率分布表和频率分布直方图 分组 频数 频率 第 21 页（共 26 页） 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 25.2525.35 18 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.1 25.6525.75 3 0.03 合计 100
40、1 （1）求 a，b； （2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于 25.75 或小于 25.15 为不合格，钢管尺寸在 25.15，25.35）或25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在25.35，25.45）为优秀等级钢 管的检测费用 0.5 元/根 （i）若从25.05，25.15）和25.65，2575）的 5 件样品中随机抽取 2 根，求至少有一根钢 管为合格的概率； （ii）若这批钢管共有 2000 根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案： 对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以 45 元/根售出； 对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管 50
41、 元/根，优等 钢管 60 元/根请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由 【分析】 （1）由频率分布直方图先求出 b，由此列方程能求出 a （2） （i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为 a1，a2，内径尺寸在（25.65，25.75） 第 22 页（共 26 页） 的钢管为 b1，b2，b3，从25.05，25.15）和25.65，2575）的 5 件样品中随机抽取 2 根， 利用列举法能求出至少有一根钢管为合格的概率 （ii）由题意，不合格钢管的概率为 0.02，合格钢管的概率为 0.68，优秀钢管的概率为 0.3，不合格钢管 40 根，合格钢管 1360 根，优秀等级钢
42、管 600 根，分别求出两种方案和 利润，由此能求出结果 【解答】解： （1）由题意知 b1.8， （a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）0.11， 解得 a3 （2） （i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为 a1，a2， 内径尺寸在（25.65，25.75）的钢管为 b1，b2，b3， 从25.05，25.15）和25.65，2575）的 5 件样品中随机抽取 2 根， 基本事件总数 n10，分别为： （a1，a2） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a1，b3） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a2，b3） ， （b1，b2） ， （b1
43、，b3） ， （b2，b3） ， 至少有一根钢管为合格包含的基本事件有 9 种情况，分别为： （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a1，b3） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a2，b3） ， （b1，b2） ， （b1，b3） ， （b2，b3） ， 至少有一根钢管为合格的概率 p （ii）由题意，不合格钢管的概率为 0.02，合格钢管的概率为 0.68，优秀钢管的概率为 0.3， 不合格钢管 40 根，合格钢管 1360 根，优秀等级钢管 600 根， 若依第种方案，则：2000450.510089950 元； 若依第种方案，则：136050+600600.520001
44、03000 元 10300089950，故选第种方案 【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、列举 法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）asinx（aR） ，g（x）ex （1）若 0a1，证明函数 G（x）f（x）+lnx 在（0，1）上单调递增； 第 23 页（共 26 页） （2）设 F（x）（a0） ，对任意 x0，F（x）kx 恒成立，求实 数 k 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，结合 a 的范围，得出函数的单调性即可； （2）由对任意 x0，F（x）kx 恒成立，设 h（x）exsinxkx，求出函数的导 数，根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解： （1）G（x）asinx+lnx， 则 G（x）acosx， 由于 x（0，1） ，故1， 又 a0，1，cosx1，1，故 acosx1， 故acosx0，即 G（x）0 在（0，1）上恒成立， 故 G（x）在（0，1）递增； （2）F（x）exsinx， 由对任意 x0，F（x）kx 恒成立， 设 h（x）exsinxkx， 则 h（x）exsinx+excosxk， 再设 m（x）exsinx+excosxk， 则 m（x）2excosx0， 因