1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(理科理科)终极冲刺卷（模拟六）终极冲刺卷（模拟六） 1.已知集合 |ln1Mxx ， 3 |1 2 Nx x ，则MN ( ) A. 5 0 2 ， B.(0 e)， C.(1 e)， D. 5 1 2 ， 2.已知 i 为虚数单位，若i3iz ，则z ( ) A.13i B.1 C.3 D. 10 3.某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表： i x 0.2 1 2.2 3.2 i y 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2 若依据表中数据画出散点图，则样本点 ii ( ,)(i1 2 3 4 5)x y ，都在曲
2、线1yx附近波动. 但由于某种原因表中一个x值被污损，将方程 1yx 作为回归方程，则根据回归方程和表 中数据可求得被污损数据为（ ） A1.2 B1.3 C1.4 D1.5 4.设等比数列 n a 的公比为 q，则“0 1q ”是“ n a 是递减数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今 有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长 分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其 内切
3、圆内的概率是( ) A. 3 10 B. 20 C. 3 20 D. 10 6.一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为 2 的正方形，则该 机器零件的体积为( ) A 8 3 B 2 8 3 C 8 8 3 D 16 8 3 7.某学校高中部为迎接元旦的到来， 决定举办歌唱比赛.已知高中三个年级各推选了两个班级， 共六个班级参加比赛.现将六个班级的参赛顺序随机排序，则同一年级的两个班级均连排的 概率为( ) A. 1 15 B. 1 5 C. 2 15 D. 1 30 8.在高三数学课堂上，老师出了一道数学题，某小组的三位同学先独立思考完成，然后一起 讨论甲说：“我做错
4、了”，乙对甲说：“你做对了”，丙说：“我也做错了”老师看了 他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了”下列判 断中正确的是( ) A.甲说对了 B. 甲做对了 C. 乙说对了 D. 乙做对了 9.设函数 ( )sin()0,0, 22 f xAxA 的图象关于直线 2 3 x 对称，它的最 小正周期为，则下列说法一定正确的是( ) A.( )f x的图象过点 1 0 2 ， B.( )f x在 2 123 ， 上是减函数 C.( )f x的图象的一个对称中心是 5 0 12 ， D.( )f x的图象的一个对称中心是 0 6 ， 10.已知矩形ABCD中，2AB
5、， 4BC ，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置， 使点 A 在平面BCD内的射影点 O 恰好落在BC边上，则异面直线A B与CD所成角的大小 为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 11.已知双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab ，的左， 右顶点分别为A B ， 以AB为直径的圆与直 线 b yx a 在第一象限内的交点为P， 且 1 2 P A BP B A ， 则该双曲线C的离心率e为( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 12.已知函数( )e(ln) x f xxaxx有两个相异零点，则整数 a 的最小值为( ) A.3 B.-2 C.2 D.4 1
6、3.已知向量 ，a b满足(2 4)( 2 0) ， ，a+ba -b ，则a与b的夹角为_. 14.函数 2 log1f xx的定义域为_. 15.已知点 F 是抛物线 2 :4C yx的焦点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 向圆 2 2 1 1 2 xy作切线， 切点分别为 A， B， 则四边形AFBM面积的最小值为_. 16.在ABC中， 内角A B C ， ，对应的边分别为a b c， 且1c ，cos cos2cosaBbAC ， 设 h 是AB边上的高，则 h 的最大值为_. 17.已知数列 n a 为等比数列， 2 2a ，数列 n b满足 2 log nn ba，且
7、 135 6bbb. （1）求数列 n a 的通项公式； （2）若 nn cna ，求数列 n c 的前 n 项和 n S. 18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从 9：00 到 21： 00 这个时间段送的 50 单外卖.以 2 小时为一时间段将时间分成六段， 各时间段内外卖小哥平 均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图. 时间区间 9,11 11,13 13,15 15,17 17,19 19,21 每单收入（元） 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 （1）求频率分布直方图中 a 的值，并求这个外卖小哥送这 50 单获得的收
8、入； （2） 在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单， 且男性订的外卖中有20单带饮品， 女性订的外卖中有 10 单带饮品，请完成下面的22 列联表，并回答是否有99.5的把握 认为“带饮品和男女性别有关”？ 带饮品 不带饮品 总计 男 女 合计 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 19.已知四边形ABCD是边长为 2 的菱形， 60BAD， 四边形ACFE是矩形， 平面ACFE 平面ABCD (1)当6EA时，求证：直线EC 平面FDB ； (2)设二面角
9、EBFD的大小为，当EA为何值时， 6 cos 4 ？ 20.如图，设抛物线 2 1: 4(0)Cymx m的准线l与x轴交于椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的 右焦点 21 FF，为 2 C的左焦点.椭圆的离心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点 P，连接 1 PF并延长其交 1 C于点Q M，为 1 C上一动点，且在P Q，之间移动. (1)当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； (2)若 12 PFF 的边长恰好是三个连续的自然数，当 MPQ 面积取最大值时，求面积最大值 以 及此时直线MP的方程. 21.已知函数
10、ln(1)Rf xxa xa，. （1）当1a 时，求函数 f x的单调区间； （2）当1x 时， ln 1 x f x x 恒成立，求 a 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l和曲线 C 的参数方程分别为 3xs ys （其中 s 为参数） 和 ee ee tt tt x y ，（其中 t 为参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系（两种坐标系的单位长度相同）. （1）求直线l和曲线 C 的极坐标方程. （2）设 P 为直线l与曲线 C 的交点，求| OP|. 23.已知函数 2 ( )2f xxx. （1）解不等式 ( )2f xx ； （2）若
11、 222 1 ( )45 4 f xabc 对任意xR恒成立，证明：41acbc. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：A 解析：由ln1x 可得0ex，由 3 1 2 x 可得 15 22 x，所以 5 |0 2 MNxx . 故选 A. 2.答案：D 解析：由题意得 3i3i1 13i|10 1i zz ，故选 D. 3.答案：C 解析： 由表中数据额可得， 1 y =1.1+2.1+2.3+3.3+4.2 = 2.6 5 （）， 由线性回归方程1yx得， 1.6x ，即 1 0.212.23.21.6 5 x （）=，解得1.4x ，故选 C. 4.答案：D 解析：当0 1q 时，若 1
12、 0a ，则 n a 为递增数列. 当 n a 为递减数列时，若 1 0a ，则 1q . “01q”是“ n a 为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选 D. 5.答案：C 解析： 由题意， 直角三角形， 斜边长为 17， 由等面积， 可得内切圆半径 8 15 3 8 15 17 r ， 向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 2 33 1 20 8 15 2 ，故选 C 6.答案：A 解析：由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为 1 的球的四分之一， 下半部分是棱长为 2 的正方体， 则该机器零件的体积为 33 14 2 18 433 .故选 C. 7.答案：A 解析：六个班
13、级的所有排法共有 6 6 A720(种)，同一年级的两个班级均连排的所有排法共有 2223 2223 A A A A48(种)，所以同一年级的两个班级均连排的概率为 481 7205 . 8.答案：A 解析：假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意； 假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意； 假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意. 所以做对的是丙，说对的是甲.故选 A. 9.答案：C 解析：由题意， 22 2,2,Z 32 Tkk ，则 5 ,Z 6 kk .又 22 ，所以,( )sin 2,(0) 662 A f xAxf ，故 A 错误；当 2 12
14、3 x 时， 3 2 362 x ，( )f x在此区间上先增后减， 故 B 错误； 5 0 12 f ， 则 5 ,0 12 是函数 ( )f x 的图象的一个对称中心，故 C 正确； 6 fA ，故 D 错误. 故选 C 10.答案：D 解析： 如图所示， 因为A O 平面ABCD， 可得平面A BC平面ABCD， 又因为DCBC ， 所以DC 平面,ABC DCAB ，即得异面直线A B与CD所成角的大小为 2 . 11.答案：A 解析：如图所示，由题可知PAPB，又 1 2 PABPBA ，所以60PBA. 又以AB为直径的圆的标准方程为 222 xya，所以点P的坐标为 13 , 2
15、2 aa ，将其代入 b yx a 中，可得3ba， 所以离心率 222 22 4 2 caba e aaa . 故选 A. 12.答案：A 解析： 1 ( )(1)e1(1) e,0 xx a fxxaxx xx ， 当0a时， ( )0, ( )h xf x 单调递增，不可能有两个相异零点； 当0a 时， ( )0fx 有唯一解 0 xx ，此时 0 0 exxa， 则 0 min0000 ( )elnln0 x f xf xxaxaxaaa， 解得 (e,)a.故整数 a 的最小值为 3. 13.答案： 4 解析：由 (2,4),( 2,0) a + ba - b 相加得2 (0,4)a
16、 ，所以 (0,2)a ，相减得2 = (4,4) b ， 所以 = (2,2)b ，故 42 cos, |2 22 2 a b a b a b ，则 a 与b的夹角为 4 . 14.答案： 2, 解析： 由题意得： 2 log1 x ，解得2x ， 函数 f x的定义域是2,，故答案为：2, 15.答案： 1 2 解析：设 ,M x y，连接MF，则1MFx，易知抛物线 C 的焦点1,0F 为圆的圆心，圆 的半径 2 2 rFA.因为MA为切线，所以MAAF，在RtMAF中， 22 2 1 1 2 MAMFrx，易知MAFMBF，所以四边形AFBM的面积 212 1 22 SMA rx，又0
17、x ，所以当0x 时面积取得最小值，所以 min 221 222 S. 16.答案： 3 2 解析：coscos2cosaBbAC，sincossincos2sincosABBACC， sin()2sincosABCC ， sin()sin0ABC ， 1 cos 2 C， 3 C， 11 sin 22 ABC SchabC ， sin3 2 abC hab c ， 又 22222 2cos,1cababCabab， 又 2222 2,1 2,1abababababab厖?， 33 22 hab， 当且仅当ab时取等号，故 h 的最大值为 3 2 . 17.答案：（1）设等比数列 n a 的公
18、比为q， 2 2 22 n n aaq ， 22 log1(2)log nn banq ，数列 n b 为等差数列. 135 6bbb ， 3 36b ，解得 3 2b . 2 1log2,2qq ， 21* 2 22, nn n an N. （2）由（1）知， 1* 2, n n cnn N， 01221 1 22 23 2(1) 22 nn n Snn ， 121 21 22 2(1) 22 nn n Snn ， 两式相减，可得 121 12 122222(1) 21 12 n nnnn n Snnn ， * (1) 21, n n SnnN. 18.答案：（1）由频率分布直方图得：212
19、0.05 20.08 20.14 0.2a ， 0.1a . 样本容量50n ，在9,11这个时间段的频数为0.08 2 508 ， 同理可求得11,13，13,15，15,17，17,19，10,21这 5 个时间段的频数分别为 14,10,5,8.5. 外卖小哥送 50 单的收入为8 6 14 5.5 10 6 5 6.4 8 5.5 5 6.5 （元） （2）由题意得22列联表如下： 带饮品 不带饮品 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 由表中数据可得 2 2 5020 15 10 5 25 8.3337.879 2525 30203 K 有99.5%
20、的把握认为“带饮品和男女性别有关” 19.答案：(1)证明：因为四边形ACFE是矩形，且平面ACFE 平面ABCD， 所以EA平面ABCD，所以EABD， 因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD， 又,ACEAA AC平面ACFE，EA平面ACFE，所以BD 平面ACFE， 又EC 平面ACFE，所以BDEC. 设AC与BD交于点O，连接OF，设 ,FOCACE ，易知2,2 3BDAC， 则 63 sin,cos 33 ， 36 sin,cos 33 ，所以cos( )0 ，所以OFEC. 因为BDOFO，BD平面FDB，OF 平面FDB， 所以直线EC 平面FDB. (2)建立如图所示的空
21、间直角坐标系，则( 3,0,0), (0,1,0), (3,0,0),(0, 1,0)ABCD， 设0EAt t，则( 3,0, ),(3,0, )Et Ft.所以(0,2,0),(3,1, )DBDFt uuu ruuu r ， 设平面FDB的法向量为 ( , , )x y zm ，因为0,0DBDF uuu ruuu r mm， 所以 20 30 y xytz 取3z ，得xt. 所以平面FDB的一个法向量为( ,0, 3)tm， 同理可求得平面BEF的一个法向量为 (0, ,1)tn. 因为 6 cos 4 ，所以 6 4 m n mn ，即 22 36 4 31tt 解得1t ， 所以
22、当1EA时， 6 cos 4 . 20.答案：(1)因为 1 ,e 2 c cm a ，则 2 ,3am bm，所以 3 2 a b 取最小值时1m 此时抛物线 2 1: 4Cyx，此时 2 2,3ab，所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy . (2)因为 1 ,e 2 c cm a ，则 2 ,3am bm，设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm ， 0011 ,P x yQ x y 由 22 22 2 1 43 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm，所以 0 2 3 xm 或 0 6xm(舍 去)，代入抛物线方程得 0 2 6 3 ym，即 22
23、6 , 33 mm P 于是 12112 576 ,2,2 333 mmm PFPFaPFFFm 又 12 PFF 的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m ，此时抛物线方程为 2 12yx ， 1( 3,0), ( 2,2 6) FP，则直线PQ的方程为2 6(3)yx，联立 2 2 6(3) 12 yx yx 得 1 9 2 x 或 1 2x (舍去) 于是 9 , 3 6 2 Q ，所以 2 2 925 |2(2 63 6) 22 PQ 设 2 ,( 3 6,2 6) 12 t Mtt 到直线PQ的距离为d，则 2 6675 3022 dt 当 6 2 t 时， max 6755 6 30
24、24 d， 所以 MPQ 的面积的最大值为 1255 6125 6 22416 ， 此时 42 :66 33 MP yx . 21.答案：（1） f x的定义域为 0,， 1a 时， 1x fx x 令 001fxx ， f x在0,1上单调递增； 令 01fxx ， f x在1,上单调递减 综上， f x的单调递增区间为 0,1，递减区间为1, （2） 2 ln1 ln 11 x xa x x f x xx ， 令 2 ln11g xx xa xx， ln12gxxax， 令 ln12h xgxxax ，则 12ax hx x 若 0,0ah x ， gx 在1,上为增函数， 1120gxg
25、a g x在1,上为增函数， 10g xg，即 0g x . 从而 ln 0 1 x f x x ，不符合题意. 若 1 0 2 a，当 1 1, 2 x a 时， 0h x ， gx 在 1 1, 2a 上单调递增， 1120gxga ， 同，所以不符合题意 当 1 2 a 时， 0h x在1,上恒成立. gx 在1,递减， 1120g xga . 从而 g x在1,上递减， 10g xg，即 ln 0 1 x f x x 结上所述，a 的取值范围是 1 , 2 22.答案：（1）在 3xs ys ，中消去参数 s，得直线l的普通方程为3xy . 由 cos ,sinxy ，得 3 tan 3 . 所以直线l的极坐标方程为 () 6 R. 在 ee ee tt tt x y ，中消去参数 t，得曲线 C 的普通方程为 22 4(2)xyx. 由 cos ,sinxy ，得 222 cossin42, 44 . 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 cos242, 44 . （2）将 6 代入 2 cos24，得 2 8. 故| | | 2 2OP .