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2020年全国高考数学(理科)终极冲刺试卷(六)含答案解析

1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(理科理科)终极冲刺卷(模拟六)终极冲刺卷(模拟六) 1.已知集合 |ln1Mxx , 3 |1 2 Nx x ,则MN ( ) A. 5 0 2 , B.(0 e), C.(1 e), D. 5 1 2 , 2.已知 i 为虚数单位,若i3iz ,则z ( ) A.13i B.1 C.3 D. 10 3.某研究员为研究某两个变量的相关性,随机抽取这两个变量样本数据如下表: i x 0.2 1 2.2 3.2 i y 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2 若依据表中数据画出散点图,则样本点 ii ( ,)(i1 2 3 4 5)x y ,都在曲

2、线1yx附近波动. 但由于某种原因表中一个x值被污损,将方程 1yx 作为回归方程,则根据回归方程和表 中数据可求得被污损数据为( ) A1.2 B1.3 C1.4 D1.5 4.设等比数列 n a 的公比为 q,则“0 1q ”是“ n a 是递减数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.九章算术是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作书中有如下问题:“今 有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长 分别为 8 步和 15 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其 内切

3、圆内的概率是( ) A. 3 10 B. 20 C. 3 20 D. 10 6.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为 2 的正方形,则该 机器零件的体积为( ) A 8 3 B 2 8 3 C 8 8 3 D 16 8 3 7.某学校高中部为迎接元旦的到来, 决定举办歌唱比赛.已知高中三个年级各推选了两个班级, 共六个班级参加比赛.现将六个班级的参赛顺序随机排序,则同一年级的两个班级均连排的 概率为( ) A. 1 15 B. 1 5 C. 2 15 D. 1 30 8.在高三数学课堂上,老师出了一道数学题,某小组的三位同学先独立思考完成,然后一起 讨论甲说:“我做错

4、了”,乙对甲说:“你做对了”,丙说:“我也做错了”老师看了 他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了”下列判 断中正确的是( ) A.甲说对了 B. 甲做对了 C. 乙说对了 D. 乙做对了 9.设函数 ( )sin()0,0, 22 f xAxA 的图象关于直线 2 3 x 对称,它的最 小正周期为,则下列说法一定正确的是( ) A.( )f x的图象过点 1 0 2 , B.( )f x在 2 123 , 上是减函数 C.( )f x的图象的一个对称中心是 5 0 12 , D.( )f x的图象的一个对称中心是 0 6 , 10.已知矩形ABCD中,2AB

5、, 4BC ,将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置, 使点 A 在平面BCD内的射影点 O 恰好落在BC边上,则异面直线A B与CD所成角的大小 为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 2 11.已知双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab ,的左, 右顶点分别为A B , 以AB为直径的圆与直 线 b yx a 在第一象限内的交点为P, 且 1 2 P A BP B A , 则该双曲线C的离心率e为( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 12.已知函数( )e(ln) x f xxaxx有两个相异零点,则整数 a 的最小值为( ) A.3 B.-2 C.2 D.4 1

6、3.已知向量 ,a b满足(2 4)( 2 0) , ,a+ba -b ,则a与b的夹角为_. 14.函数 2 log1f xx的定义域为_. 15.已知点 F 是抛物线 2 :4C yx的焦点,点 M 为抛物线 C 上任意一点,过点 M 向圆 2 2 1 1 2 xy作切线, 切点分别为 A, B, 则四边形AFBM面积的最小值为_. 16.在ABC中, 内角A B C , ,对应的边分别为a b c, 且1c ,cos cos2cosaBbAC , 设 h 是AB边上的高,则 h 的最大值为_. 17.已知数列 n a 为等比数列, 2 2a ,数列 n b满足 2 log nn ba,且

7、 135 6bbb. (1)求数列 n a 的通项公式; (2)若 nn cna ,求数列 n c 的前 n 项和 n S. 18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况,统计了某个送外卖小哥某天从 9:00 到 21: 00 这个时间段送的 50 单外卖.以 2 小时为一时间段将时间分成六段, 各时间段内外卖小哥平 均每单的收入情况如下表,各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图. 时间区间 9,11 11,13 13,15 15,17 17,19 19,21 每单收入(元) 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 (1)求频率分布直方图中 a 的值,并求这个外卖小哥送这 50 单获得的收

8、入; (2) 在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单, 且男性订的外卖中有20单带饮品, 女性订的外卖中有 10 单带饮品,请完成下面的22 列联表,并回答是否有99.5的把握 认为“带饮品和男女性别有关”? 带饮品 不带饮品 总计 男 女 合计 附: 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 19.已知四边形ABCD是边长为 2 的菱形, 60BAD, 四边形ACFE是矩形, 平面ACFE 平面ABCD (1)当6EA时,求证:直线EC 平面FDB ; (2)设二面角

9、EBFD的大小为,当EA为何值时, 6 cos 4 ? 20.如图,设抛物线 2 1: 4(0)Cymx m的准线l与x轴交于椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的 右焦点 21 FF,为 2 C的左焦点.椭圆的离心率为 1 2 e ,抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点 P,连接 1 PF并延长其交 1 C于点Q M,为 1 C上一动点,且在P Q,之间移动. (1)当 3 2 a b 取最小值时,求 1 C和 2 C的方程; (2)若 12 PFF 的边长恰好是三个连续的自然数,当 MPQ 面积取最大值时,求面积最大值 以 及此时直线MP的方程. 21.已知函数

10、ln(1)Rf xxa xa,. (1)当1a 时,求函数 f x的单调区间; (2)当1x 时, ln 1 x f x x 恒成立,求 a 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l和曲线 C 的参数方程分别为 3xs ys (其中 s 为参数) 和 ee ee tt tt x y ,(其中 t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系(两种坐标系的单位长度相同). (1)求直线l和曲线 C 的极坐标方程. (2)设 P 为直线l与曲线 C 的交点,求| OP|. 23.已知函数 2 ( )2f xxx. (1)解不等式 ( )2f xx ; (2)若

11、 222 1 ( )45 4 f xabc 对任意xR恒成立,证明:41acbc. 答案以及解析答案以及解析 1.答案:A 解析:由ln1x 可得0ex,由 3 1 2 x 可得 15 22 x,所以 5 |0 2 MNxx . 故选 A. 2.答案:D 解析:由题意得 3i3i1 13i|10 1i zz ,故选 D. 3.答案:C 解析: 由表中数据额可得, 1 y =1.1+2.1+2.3+3.3+4.2 = 2.6 5 (), 由线性回归方程1yx得, 1.6x ,即 1 0.212.23.21.6 5 x ()=,解得1.4x ,故选 C. 4.答案:D 解析:当0 1q 时,若 1

12、 0a ,则 n a 为递增数列. 当 n a 为递减数列时,若 1 0a ,则 1q . “01q”是“ n a 为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选 D. 5.答案:C 解析: 由题意, 直角三角形, 斜边长为 17, 由等面积, 可得内切圆半径 8 15 3 8 15 17 r , 向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是 2 33 1 20 8 15 2 ,故选 C 6.答案:A 解析:由图可知,该几何体是组合体,上半部分是半径为 1 的球的四分之一, 下半部分是棱长为 2 的正方体, 则该机器零件的体积为 33 14 2 18 433 .故选 C. 7.答案:A 解析:六个班

13、级的所有排法共有 6 6 A720(种),同一年级的两个班级均连排的所有排法共有 2223 2223 A A A A48(种),所以同一年级的两个班级均连排的概率为 481 7205 . 8.答案:A 解析:假设甲做对了,则乙和丙都做错了,乙和丙说的都对了,这不合题意; 假设乙做对了,则甲和丙都说对了,也不合题意; 假设丙做对了,则甲说对了,乙和丙都说错了,符合题意. 所以做对的是丙,说对的是甲.故选 A. 9.答案:C 解析:由题意, 22 2,2,Z 32 Tkk ,则 5 ,Z 6 kk .又 22 ,所以,( )sin 2,(0) 662 A f xAxf ,故 A 错误;当 2 12

14、3 x 时, 3 2 362 x ,( )f x在此区间上先增后减, 故 B 错误; 5 0 12 f , 则 5 ,0 12 是函数 ( )f x 的图象的一个对称中心,故 C 正确; 6 fA ,故 D 错误. 故选 C 10.答案:D 解析: 如图所示, 因为A O 平面ABCD, 可得平面A BC平面ABCD, 又因为DCBC , 所以DC 平面,ABC DCAB ,即得异面直线A B与CD所成角的大小为 2 . 11.答案:A 解析:如图所示,由题可知PAPB,又 1 2 PABPBA ,所以60PBA. 又以AB为直径的圆的标准方程为 222 xya,所以点P的坐标为 13 , 2

15、2 aa ,将其代入 b yx a 中,可得3ba, 所以离心率 222 22 4 2 caba e aaa . 故选 A. 12.答案:A 解析: 1 ( )(1)e1(1) e,0 xx a fxxaxx xx , 当0a时, ( )0, ( )h xf x 单调递增,不可能有两个相异零点; 当0a 时, ( )0fx 有唯一解 0 xx ,此时 0 0 exxa, 则 0 min0000 ( )elnln0 x f xf xxaxaxaaa, 解得 (e,)a.故整数 a 的最小值为 3. 13.答案: 4 解析:由 (2,4),( 2,0) a + ba - b 相加得2 (0,4)a

16、 ,所以 (0,2)a ,相减得2 = (4,4) b , 所以 = (2,2)b ,故 42 cos, |2 22 2 a b a b a b ,则 a 与b的夹角为 4 . 14.答案: 2, 解析: 由题意得: 2 log1 x ,解得2x , 函数 f x的定义域是2,,故答案为:2, 15.答案: 1 2 解析:设 ,M x y,连接MF,则1MFx,易知抛物线 C 的焦点1,0F 为圆的圆心,圆 的半径 2 2 rFA.因为MA为切线,所以MAAF,在RtMAF中, 22 2 1 1 2 MAMFrx,易知MAFMBF,所以四边形AFBM的面积 212 1 22 SMA rx,又0

17、x ,所以当0x 时面积取得最小值,所以 min 221 222 S. 16.答案: 3 2 解析:coscos2cosaBbAC,sincossincos2sincosABBACC, sin()2sincosABCC , sin()sin0ABC , 1 cos 2 C, 3 C, 11 sin 22 ABC SchabC , sin3 2 abC hab c , 又 22222 2cos,1cababCabab, 又 2222 2,1 2,1abababababab厖?, 33 22 hab, 当且仅当ab时取等号,故 h 的最大值为 3 2 . 17.答案:(1)设等比数列 n a 的公

18、比为q, 2 2 22 n n aaq , 22 log1(2)log nn banq ,数列 n b 为等差数列. 135 6bbb , 3 36b ,解得 3 2b . 2 1log2,2qq , 21* 2 22, nn n an N. (2)由(1)知, 1* 2, n n cnn N, 01221 1 22 23 2(1) 22 nn n Snn , 121 21 22 2(1) 22 nn n Snn , 两式相减,可得 121 12 122222(1) 21 12 n nnnn n Snnn , * (1) 21, n n SnnN. 18.答案:(1)由频率分布直方图得:212

19、0.05 20.08 20.14 0.2a , 0.1a . 样本容量50n ,在9,11这个时间段的频数为0.08 2 508 , 同理可求得11,13,13,15,15,17,17,19,10,21这 5 个时间段的频数分别为 14,10,5,8.5. 外卖小哥送 50 单的收入为8 6 14 5.5 10 6 5 6.4 8 5.5 5 6.5 (元) (2)由题意得22列联表如下: 带饮品 不带饮品 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 由表中数据可得 2 2 5020 15 10 5 25 8.3337.879 2525 30203 K 有99.5%

20、的把握认为“带饮品和男女性别有关” 19.答案:(1)证明:因为四边形ACFE是矩形,且平面ACFE 平面ABCD, 所以EA平面ABCD,所以EABD, 因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD, 又,ACEAA AC平面ACFE,EA平面ACFE,所以BD 平面ACFE, 又EC 平面ACFE,所以BDEC. 设AC与BD交于点O,连接OF,设 ,FOCACE ,易知2,2 3BDAC, 则 63 sin,cos 33 , 36 sin,cos 33 ,所以cos( )0 ,所以OFEC. 因为BDOFO,BD平面FDB,OF 平面FDB, 所以直线EC 平面FDB. (2)建立如图所示的空

21、间直角坐标系,则( 3,0,0), (0,1,0), (3,0,0),(0, 1,0)ABCD, 设0EAt t,则( 3,0, ),(3,0, )Et Ft.所以(0,2,0),(3,1, )DBDFt uuu ruuu r , 设平面FDB的法向量为 ( , , )x y zm ,因为0,0DBDF uuu ruuu r mm, 所以 20 30 y xytz 取3z ,得xt. 所以平面FDB的一个法向量为( ,0, 3)tm, 同理可求得平面BEF的一个法向量为 (0, ,1)tn. 因为 6 cos 4 ,所以 6 4 m n mn ,即 22 36 4 31tt 解得1t , 所以

22、当1EA时, 6 cos 4 . 20.答案:(1)因为 1 ,e 2 c cm a ,则 2 ,3am bm,所以 3 2 a b 取最小值时1m 此时抛物线 2 1: 4Cyx,此时 2 2,3ab,所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy . (2)因为 1 ,e 2 c cm a ,则 2 ,3am bm,设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm , 0011 ,P x yQ x y 由 22 22 2 1 43 4 xy mm ymx 得 22 316120xmxm,所以 0 2 3 xm 或 0 6xm(舍 去),代入抛物线方程得 0 2 6 3 ym,即 22

23、6 , 33 mm P 于是 12112 576 ,2,2 333 mmm PFPFaPFFFm 又 12 PFF 的边长恰好是三个连续的自然数,所以3m ,此时抛物线方程为 2 12yx , 1( 3,0), ( 2,2 6) FP,则直线PQ的方程为2 6(3)yx,联立 2 2 6(3) 12 yx yx 得 1 9 2 x 或 1 2x (舍去) 于是 9 , 3 6 2 Q ,所以 2 2 925 |2(2 63 6) 22 PQ 设 2 ,( 3 6,2 6) 12 t Mtt 到直线PQ的距离为d,则 2 6675 3022 dt 当 6 2 t 时, max 6755 6 30

24、24 d, 所以 MPQ 的面积的最大值为 1255 6125 6 22416 , 此时 42 :66 33 MP yx . 21.答案:(1) f x的定义域为 0,, 1a 时, 1x fx x 令 001fxx , f x在0,1上单调递增; 令 01fxx , f x在1,上单调递减 综上, f x的单调递增区间为 0,1,递减区间为1, (2) 2 ln1 ln 11 x xa x x f x xx , 令 2 ln11g xx xa xx, ln12gxxax, 令 ln12h xgxxax ,则 12ax hx x 若 0,0ah x , gx 在1,上为增函数, 1120gxg

25、a g x在1,上为增函数, 10g xg,即 0g x . 从而 ln 0 1 x f x x ,不符合题意. 若 1 0 2 a,当 1 1, 2 x a 时, 0h x , gx 在 1 1, 2a 上单调递增, 1120gxga , 同,所以不符合题意 当 1 2 a 时, 0h x在1,上恒成立. gx 在1,递减, 1120g xga . 从而 g x在1,上递减, 10g xg,即 ln 0 1 x f x x 结上所述,a 的取值范围是 1 , 2 22.答案:(1)在 3xs ys ,中消去参数 s,得直线l的普通方程为3xy . 由 cos ,sinxy ,得 3 tan 3 . 所以直线l的极坐标方程为 () 6 R. 在 ee ee tt tt x y ,中消去参数 t,得曲线 C 的普通方程为 22 4(2)xyx. 由 cos ,sinxy ,得 222 cossin42, 44 . 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 cos242, 44 . (2)将 6 代入 2 cos24,得 2 8. 故| | | 2 2OP .