1、2020 年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1截止 2 月 28 日 17 时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐 赠款逾 15.7 亿元，将数据 15.7 亿用科学记数法表示为（ ） A15.7108 B1.57109 C1.571010 D0.1571011 2计算（ab2）3的结果是（ ） Aab6 Bab6 Ca3b6 Da3b6 3不等式 3x2x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A三棱锥 B三棱柱 C四棱柱 D四
2、棱锥 5 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器， 现在生产 600 台机器所需的时间与原计 划生产 450 台机器所需时间相同设原计划每天生产 x 台机器，则可列方程为（ ） A B C D 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、B （0， 1） 、C（1，0） 、D （0，1） ，点 P （0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4， 点 P4绕点 A 旋转 180得点 P5，重复操作依次得到点 P1，P2，
3、P3，P4，P5，则 点 P2020的坐标为（ ） A （0，2） B （2，2） C （2，2020） D （2020，0） 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 7二次根式在实数范围内有意义，x 的取值范围是 8方程0 的解为 9分解因式 2x24x+2 的最终结果是 10计算的结果是 11设 x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 12 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120， 其底面圆的半径为 2cm， 则其侧面积为 13如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，C 是 y 轴上一点，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，连接
4、AC、BC若ABC 的面积为 2，则 k 的值为 14如图，用 6 个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若 AG5，BG3，则 15如图，在菱形 ABCD 中，以点 C 为圆心，CB 为半径作，与 AB、AD 分别交于点 E、 F，点 E、F 恰好是的三等分点，连接 DE，则AED 16在ABC 中，AB2，BCa，C60，如果对于 a 的每一个确定的值，都存在 两个不全等的ABC，那么 a 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 17计算： （1）tan45（） 1+（3.14）0； （2） （mn） （m2+mn+n2） 18先化简，再求值：（a+1） ，其中
5、 a2 19 为了支持新冠肺炎疫情防控工作， 某社区积极响应党的号召， 鼓励共产党员踊跃捐款 为 了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了部分党员的捐款金额进行统计，数据整理成 如图尚不完整的统计表和统计图 某社区抽样党员捐款金额统计表 组别 捐款金额（元） 人数 A x100 2 B 100x200 10 C 200x300 D 300x400 14 E x400 4 （1）一共抽取了 名党员，捐款金额的中位数在 中（填组别） ； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角度数为 ； （3）该社区共有 1000 名党员，请估计捐款金额超过 300 元的党员有多少名？ 20
6、如图在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AD 上，且 AFCE，求证：ABE CDF 21如图，A、B、C 三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中 一个杯子里有一枚硬币 （1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是 ； （2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率； （3）若这枚硬币在 A 杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置（硬币随 A 杯一起移 动） ，则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为 A.B.C.D. 22甲、乙两人从 M 地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往 N 地乙在骑行途中 休息片刻后，以原速度继续骑行已知乙的速度是
7、甲的 1.6 倍甲、乙两人离 M 地的距 离（米）与乙行驶的时间 x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题 （1）M、N 两地之间的距离为 米，甲的速度为 米/分钟 （2）求线段 BD 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式 （3）直接写出当 x 取何值时，甲、乙两人在到达 N 地之前相遇 23疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝 居民回家如图，一条笔直的街道 DC，在街道 C 处的正上方 A 处有一架无人机，该无 人机在 A 处测得俯角为 45的街道 B 处有人聚集，然后沿平行于街道 DC 的方向再向前 飞行 60 米到达 E 处，在 E 处测得俯
8、角为 37的街道 D 处也有人聚集已知两处聚集点 B、 D 之间的距离为 120 米， 求无人机飞行的高度 AC （参考数据： sin370.6， cos37 0.8，tan370.75，1.414 ） 24在O 中，AB 和 CD 是弦，且 ABCD，请用无刻度直尺完成下列作图 （保留作图痕 迹，不写作法） （1）如图，在上找一点 P，使点 P 到 AB、CD 所在直线的距离相等 （2）如图，E 是O 上一点，且 BECD，BECD，在上找一点 Q，使点 Q 到 AB、CD 所在直线的距离是 1：2 25已知二次函数 yx22mx+2m21（m 为常数） （1）若该函数图象与 x 轴只有一个
9、公共点，求 m 的值 （2）将该函数图象沿过其顶点且平行于 x 轴的直线翻折，得到新函数图象 则新函数的表达式为 ，并证明新函数图象始终经过一个定点； 已知点 A（2，1） 、B（2，1） ，若新函数图象与线段 AB 只有一个公共点，请直 接写出 m 的取值范围 26如图，在O 中，AB 为直径，过点 A 的直线 l 与O 相交于点 C，D 是弦 CA 延长线上 一点，BAC、BAD 的角平分线与O 分别相交于点 E、F，G 是的中点，过点 G 作 MNAE，与 AF、EB 的延长线分别交于点 M、N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若 AE24，AM18， 求O 的半径； 连接 MC
10、，则 tanMCD 的值为 27如图，在ABC 中，C90，AC15，BC20，经过点 C 的O 与ABC 的每 条边都相交O 与 AC 边的另一个公共点为 D，与 BC 边的另一个公共点为 E，与 AB 边的两个公共点分别为 F、G设O 的半径为 r 【操作感知】 （1）根据题意，仅用圆规在图中作出一个满足条件的O，并标明相关字母； 【初步探究】 （2）求证：CD2+CE24r2； （3）当 r8 时，则 CD2+CE2+FG2的最大值为 ； 【深入研究】 （4） 直接写出满足题意的 r 的取值范围； 对于范围内每一个确定的 r 的值， CD2+CE2+FG2 都有最大值，每一个最大值对应的
11、圆心 O 所形成的路径长为 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1截止 2 月 28 日 17 时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐 赠款逾 15.7 亿元，将数据 15.7 亿用科学记数法表示为（ ） A15.7108 B1.57109 C1.571010 D0.1571011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 15.7 亿1570000000 有 10 位，所以可以确定 n1019 【解答】解：15.7 亿15700000001.57109 故选：
12、B 2计算（ab2）3的结果是（ ） Aab6 Bab6 Ca3b6 Da3b6 【分析】根据积的乘方法则先展开得出（a）3（b2）3，再求出结果即可 【解答】解： （ab2）3a3b6 故选：D 3不等式 3x2x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得 【解答】解：3x2x， x2x3， 3x3， x1， 故选：B 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A三棱锥 B三棱柱 C四棱柱 D四棱锥 【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案 【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱
13、柱， 故选：B 5 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器， 现在生产 600 台机器所需的时间与原计 划生产 450 台机器所需时间相同设原计划每天生产 x 台机器，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同，所以可 得等量关系为：现在生产 600 台机器时间原计划生产 450 台时间 【解答】解：设原计划每天生产 x 台机器，则现在可生产（x+50）台 依题意得： 故选：C 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、B （0， 1） 、C（1，0） 、D （0，
14、1） ，点 P （0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4， 点 P4绕点 A 旋转 180得点 P5，重复操作依次得到点 P1，P2，P3，P4，P5，则 点 P2020的坐标为（ ） A （0，2） B （2，2） C （2，2020） D （2020，0） 【分析】通过前几个点坐标确定周期，即可判断 P2020在周期内所处位置 【解答】解：结合图象确定前几个点的坐标为： P1 （2，2） 、P2 （2，0） 、P3 （0，0） 、P4 （0，2） 、P5 （2，2
15、） 发现周期为 4， 20204505， 故 P2020是周期内的第四个， 同 P4 坐标 故选：A 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 7二次根式在实数范围内有意义，x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，列不等式求解 【解答】解：依题意有 2x0， 解得 x2 故答案为：x2 8方程0 的解为 x3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：3x+32x0， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 故答案为：x3 9分解因式 2x24x+2 的最终结果是 2（x1
16、）2 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：2x24x+2， 2（x22x+1） ， 2（x1）2 故答案为：2（x1）2 10计算的结果是 2 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式2， 故答案为：2 11设 x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 1 【分析】由根与系数的关系可得 x1+x22，x1x2m，代入 x1+x2x1x21，即可求出 m 的值 【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根， x1+x22，x1x2m， x1+x2x1x21， 2m1，
17、 解得 m1 故答案为：1 12 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120， 其底面圆的半径为 2cm， 则其侧面积为 12cm 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径， 然后利用公式求得面积即可 【解答】解：底面圆的半径为 2cm， 底面周长为 4cm， 侧面展开扇形的弧长为 4cm， 设扇形的半径为 r， 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120， 4， 解得：r6， 侧面积为4612cm， 故答案为：12cm 13如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，C 是 y 轴上一点，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，连接 AC、BC若ABC 的面积为 2，则
18、k 的值为 4 【分析】连结 OA，如图，利用三角形面积公式得到 SOABSABC4，再根据反比例函 数的比例系数 k 的几何意义得到|k|4，然后去绝对值即可得到满足条件的 k 的值 【解答】解：连结 OA，如图， ABx 轴， OCAB， SOABSABC2， 而 SOAB|k|， |k|2， k0， k4 故答案为 4 14如图，用 6 个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若 AG5，BG3，则 【分析】过 B 作 BPAG 于 P，则BPG90，AGB60，解直角三角形即可得 到结论 【解答】解：过 B 作 BPAG 于 P，则BPG90，AGB60， BGAL3，AG5，
19、LG2，PG，BP， AP5， AB， （）2（）2， 故答案为： 15如图，在菱形 ABCD 中，以点 C 为圆心，CB 为半径作，与 AB、AD 分别交于点 E、 F，点 E、F 恰好是的三等分点，连接 DE，则AED 54 【分析】连接 BD，如图，设BDE 的度数为 x，由于点 E、F 恰好是的三等分点，则 根据圆周角定理得到EBD2x，BCD6x，再利用等腰三角形的性质和三角形内角 和得到CBDCDB903x，接着根据平行线的性质得 2x903x，解得 x 18，然后利用三角形外角性质计算AED 的度数 【解答】解：连接 BD，如图设BDE 的度数为 x， 点 E、F 恰好是的三等分
20、点， EBD2x，BCD6x， CBCD， CBDCDB（180BCD）（1806x）903x， 四边形 ABCD 为菱形， ABCD， ABDCDB，即 2x903x，解得 x18， AEDEBD+BDE2x+x3x54 故答案为 54 16在ABC 中，AB2，BCa，C60，如果对于 a 的每一个确定的值，都存在 两个不全等的ABC，那么 a 的取值范围是 2a4 【分析】由已知条件C60，根据正弦定理用 a 表示出 sinA，由C 的度数及正弦函 数的图象可知满足题意的ABC 有两个 A 的范围，然后根据 A 的范围，利用特殊角的三 角函数值即可求出 sinA 的范围，进而求出 a 的
21、取值范围 【解答】解：由正弦定理得：，即， 再 sinA， 由题意得：当 60A120时，满足条件的ABC 有两个， 所以1， 解得 2a4 故答案为：2a4 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 17计算： （1）tan45（） 1+（3.14）0； （2） （mn） （m2+mn+n2） 【分析】 （1）分别根据特殊角的三角函数值，数的开平方，负指数、零指数幂的运算法 则，分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 （2）根据多项式的乘法进行计算即可 【解答】解： （1）原式12+1 132+1 3； （2）原式m3+m2n+mn2m2nmn2n3 m3n3 18先化简，
22、再求值：（a+1） ，其中 a2 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式 子即可解答本题 【解答】解：（a+1） ， 当 a2 时，原式 19 为了支持新冠肺炎疫情防控工作， 某社区积极响应党的号召， 鼓励共产党员踊跃捐款 为 了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了部分党员的捐款金额进行统计，数据整理成 如图尚不完整的统计表和统计图 某社区抽样党员捐款金额统计表 组别 捐款金额（元） 人数 A x100 2 B 100x200 10 C 200x300 D 300x400 14 E x400 4 （1）一共抽取了 50 名党员，捐款金额的中位数在 C
23、中（填组别） ； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角度数为 72 ； （3）该社区共有 1000 名党员，请估计捐款金额超过 300 元的党员有多少名？ 【分析】 （1）根据 D 组人数统计百分比求出总人数即可 （2）根据 C 组人数画出条形图，再根据圆心角360百分比计算即可 （3）利用样本估计总体的思想思考问题即可 【解答】 解： （1） 总人数1428%50 （名） ， C 组人数5021014420 （名） ， 捐款金额的中位数在 C 组 故答案为：50；C （2）条形图如图所示： B 组对应扇形的圆心角度数为 36072， 故答案为 72 （3）估计捐款
24、金额超过 300 元的党员有：1000360 （名） ， 答：估计捐款金额超过 300 元的党员有 360 名 20如图在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AD 上，且 AFCE，求证：ABE CDF 【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ABCD，BCAD，对角相等可得BD， 然后求出 DFBE，再利用“边角边”证明两三角形全等 【解答】证明：在平行四边形 ABCD 中，ABCD，BCAD，BD， AFCE， ADAFBCCE， 即 DFBE， 在ABE 和CDF 中， ABECDF（SAS） 21如图，A、B、C 三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其
25、中 一个杯子里有一枚硬币 （1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是 ； （2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率； （3）若这枚硬币在 A 杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置（硬币随 A 杯一起移 动） ，则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为 B A.B.C.D. 【分析】 （1）根据其中一个杯子里有一枚硬币，共 3 个杯子，可直接得出随机翻开一个 杯子，出现硬币的概率； （2）根据题意画出树形图，求出所有情况数，和出现硬币的情况数，再根据概率公式计 算即可； （3）先求出第一次交换后的情况数，再求出第二次交换后的情况数，从而求出所有情况 数和硬币恰好在中间位置的杯子
26、内的请况数，最后根据概率公式计算即可 【解答】解： （1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是； 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 共有 6 种等情况数，其中出现硬币的情况数有 4 种， 则出现硬币的概率是：； （3）根据题意得：第一次交换后情况是：BAC、CBA、ACB， 把 BAC 再交换一次的情况数：ABC、CAB、BCA， 把 CBA 再交换一次的情况数：BCA、ABC、CAB， 把 ACB 再交换一次的情况数：CAB、BCA、ABC， 共有 9 种情况数， 硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数有 3 种， 则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为 故答案为：B 22甲、乙两人从 M 地
27、出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往 N 地乙在骑行途中 休息片刻后，以原速度继续骑行已知乙的速度是甲的 1.6 倍甲、乙两人离 M 地的距 离（米）与乙行驶的时间 x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题 （1）M、N 两地之间的距离为 6400 米，甲的速度为 200 米/分钟 （2）求线段 BD 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式 （3）直接写出当 x 取何值时，甲、乙两人在到达 N 地之前相遇 【分析】 （1）根据题意结合图象解答即可； （2）先求出点 D 的坐标，再运用待定系数法解答即可； （3）分情况讨论乙在休息前，根据两人的速度列方程解答即可；乙在休息时，把 y 32
28、00 代入（2）的结论计算即可 【解答】 （1）由图象可知，M、N 两地之间的距离为 6400 米， 乙的速度为 320010320（米/分钟） ， 甲的速度为 3201.6200（米/分钟） 故答案为：6400；200 （2）甲车走完全程需 640020032 分钟 32302 分钟， D 点纵坐标为 220400 D（0，400） ， B（30，6400） ， 设 BD：ykx+b（k0） ， ，解得， 线段 BD 的解析式为：y200x+400（ 0x30 ） （3）根据题意得：320x200x+400 或 400+200x3200， 解得 x或 x14 答：当 x或 x14 时，甲、乙
29、两人在到达 N 地之前相遇 23疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝 居民回家如图，一条笔直的街道 DC，在街道 C 处的正上方 A 处有一架无人机，该无 人机在 A 处测得俯角为 45的街道 B 处有人聚集，然后沿平行于街道 DC 的方向再向前 飞行 60 米到达 E 处，在 E 处测得俯角为 37的街道 D 处也有人聚集已知两处聚集点 B、 D 之间的距离为 120 米， 求无人机飞行的高度 AC （参考数据： sin370.6， cos37 0.8，tan370.75，1.414 ） 【分析】过点 E 作 EMDC 于 M设 BMx 米则 ACBC
30、EM（60+x）米DM （10+x）米，得出 tanD，解出 x 即可得出答案 【解答】解：如图，过点 E 作 EMDC 于 M AECD ABCBAE45 BCAC，EMDC， ACEM， 四边形 AEMC 为矩形 CMAE60 米 设 BMx 米 则 ACBCEM（60+x）米DM（10+x）米 在 RtEDM 中， D37 tanD， 解得：x120， AC60+x60+120180 （米） 飞机高度为 180 米 答：无人机飞行的高度 AC 为 180 米 24在O 中，AB 和 CD 是弦，且 ABCD，请用无刻度直尺完成下列作图 （保留作图痕 迹，不写作法） （1）如图，在上找一点
31、 P，使点 P 到 AB、CD 所在直线的距离相等 （2）如图，E 是O 上一点，且 BECD，BECD，在上找一点 Q，使点 Q 到 AB、CD 所在直线的距离是 1：2 【分析】 （1）根据角平分线的性质即可在图的上找一点 P，使点 P 到 AB、CD 所在 直线的距离相等； （2）根据平行线对应线段成比例定理即可在图的上找一点 Q，使点 Q 到 AB、CD 所在直线的距离是 1：2 【解答】解： （1）如图，点 P 即为所求； （2）如图，点 Q 即为所求 25已知二次函数 yx22mx+2m21（m 为常数） （1）若该函数图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值 （2）将该函数图象
32、沿过其顶点且平行于 x 轴的直线翻折，得到新函数图象 则新函数的表达式为 yx2+2mx1 ，并证明新函数图象始终经过一个定点； 已知点 A（2，1） 、B（2，1） ，若新函数图象与线段 AB 只有一个公共点，请直 接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）（2m）24（2m21）0，即可求解； （2）翻折后抛物线的表达式为：yx2+2mx1，当 x0 时，y1，即可求解； 当 m0 时，如上图实线部分，新函数图象与线段 AB 只有一个公共点，则函数不过点 B，即 m1；当 m0 时，同理可得：m1，即可求解 【解答】解： （1）（2m）24（2m21）0， m1， 即函数图象与 x 轴只有一
33、个公共点时，m 的值为1； （2）yx22mx+2m21（xm）2+m21，顶点坐标为（m，m21） ， 翻折后抛物线的表达式为：y（xm）2+m21x2+2mx1， 故答案为：yx2+2mx1； 当 x0 时，y1， 故新函数过定点（0，1） ； 设定点为 C（0，1） ，而点 A（2，1） 、B（2，1） ，即点 A、B、C 在同一直线 上， 新抛物线的对称轴为 xm， 当 m0 时， 如上图实线部分， 新函数图象与线段 AB 只有一个公共点， 则函数不过点 B， 即 m1， 当 m0 时，同理可得：m1， 故 m 的取值范围为：m1 或 m1 26如图，在O 中，AB 为直径，过点 A
34、的直线 l 与O 相交于点 C，D 是弦 CA 延长线上 一点，BAC、BAD 的角平分线与O 分别相交于点 E、F，G 是的中点，过点 G 作 MNAE，与 AF、EB 的延长线分别交于点 M、N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若 AE24，AM18， 求O 的半径； 连接 MC，则 tanMCD 的值为 【分析】 （1）如图 1，连接 GO、GA，先根据角平分线的定义证明MAE（BAC+ BAD）90，由圆周角定理和同圆的半径相等得OGAFAG，则 OGAM，所 以MGO180M90，从而得结论； （2）延长 GO 交 AE 于点 P，证明四边形 MGPA 为矩形，得 GPMA1
35、8，GPA 90，设 OAOGr，则 OP18r，根据勾股定理列方程解出即可； 如图 3，过 M 作 MHl，连接 BC，延长 NE 交 l 于 I，连接 GO 交延长交 AE 于 P，tan MAHtanABEtanBIA，BI2BE20，根据三角函数计算 MH，AH，CI 的长，最后计算 MH 和 HC 的长，代入 tanMCD，可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 GO、GA， BAC、BAD 的角平分线与O 分别相交于点 E、F， MAE（BAC+BAD）90， MNAE， M180MAE90， G 是 的中点， ， FAGBAG， OAOG， OGABAG， OGAFAG，
36、 OGAM， MGO180M90 G 为半径的外端， MN 是O 的切线； （2）解：如图 2，连接 GO 交延长交 AE 于点 P， MGOMMAE90， 四边形 MGPA 为矩形， GPMA18，GPA90， 即 OPAE， AP AE12， 设 OAOGr，则 OP18r， 在 RtOAP 中，OA2OP2+AP2， r2（18r）2+122， 解得：r13， 答：O 的半径是 13； 如图 3，过 M 作 MHl，连接 BC，延长 NE 交 l 于 I，连接 GO 交延长交 AE 于 P， 由知：OG13，PG18， OP5， AB 是O 的直径， AEBAEI90， BAEEAC，
37、ABEAIB， AMNI， MAHBIAABE， tanMAHtanABEtanBIA，BI2BE20， cosAMH，sinAMH，sinCBI， MH，AH， CI20， ACAICI26， HCAH+AC+， tanMCD 故答案为： 27如图，在ABC 中，C90，AC15，BC20，经过点 C 的O 与ABC 的每 条边都相交O 与 AC 边的另一个公共点为 D，与 BC 边的另一个公共点为 E，与 AB 边的两个公共点分别为 F、G设O 的半径为 r 【操作感知】 （1）根据题意，仅用圆规在图中作出一个满足条件的O，并标明相关字母； 【初步探究】 （2）求证：CD2+CE24r2；
38、 （3）当 r8 时，则 CD2+CE2+FG2的最大值为 448 ； 【深入研究】 （4） 直接写出满足题意的 r 的取值范围； 对于范围内每一个确定的 r 的值， CD2+CE2+FG2 都有最大值，每一个最大值对应的圆心 O 所形成的路径长为 【分析】 （1）根据要求画出图形即可（如图所示） （2）如图中，连接 DE利用勾股定理即可解决问题 （3）因为 CD2+CE2是定值，FG 是O 的弦，O 的半径为定值 8，所以弦心距越小则 弦 FG 越长， 圆心 O 在以 C 为圆心 8 为半径的圆上， 当 COAB 时， O 到 AB 距离最短， 此时 FG 最大，由此即可解决问题 （4）首先
39、确定 r 的范围圆心距离 AB 最近时 CD2+CE2+FG2的值最大，当半径比较小 时，O 在 CH 上时 CD2+CE2+FG2的值最大，当圆心在 CH 上，圆正好经过点 A 时，设 O0AO0Cr，在 RtAO0H 中，则有 r2（12r）2+92，解得 r，当 r时， 若 O 还在 CH 上，则 A 点在圆内，圆不与 AB 边相交，推出此时圆心应该是在 AC 中垂线 上， 推出 6r时， O 在 CH 上，r时， O 在 AC 中垂线上， 则 CD2+CE2+FG2 的值最大，推出 O 路径如下图折线 O1O0O2 【解答】 （1）解：如图即为所求， （2）证明：如图中，连接 DE D
40、CE90， DE 为O 直径，即 DE2r， CD2+CE2DE24r2， （3）解：如图中， CD2+CE2是定值，FG 是O 的弦，O 的半径为定值 8， 弦心距越小则弦 FG 越长，圆心 O 在以 C 为圆心 8 为半径的圆上， 当 COAB 时，O 到 AB 距离最短，此时 FG 最大， ACBCABCH， CH12， OC8， OH4， OHFG， FHHG4， FG2FH8 CD2+CE2+FG2的最大值162+（8）2448 故答案为 448 （4）如图中， 当O1 与 AB 相切时，O1的直径最小，最小值为 12，此时 r6， 当圆心 O2在 AB 上时，圆直径最大等于 AB2
41、5， 6r， 圆心距离 AB 最近时 CD2+CE2+FG2的值最大， 当半径比较小时，O 在 CH 上时 CD2+CE2+FG2的值最大， 当圆心在 CH 上，圆正好经过点 A 时，设 O0AO0Cr， 在 RtAO0H 中，则有 r2（12r）2+92， 解得 r， OH12， 当 r时，若 O 还在 CH 上，则 A 点在圆内，圆不与 AB 边相交， 此时圆心应该是在 AC 中垂线上， 6r时，O 在 CH 上， r时，O 在 AC 中垂线上，则 CD2+CE2+FG2的值最大， O 路径如下图折线 O1O0O2 O1H6，O0H， O1O16， AO2，AH9， HO29， O0O2， O 点路径长+ 故答案为