1、 1 天津市天津市 2020 年高考数学压轴年高考数学压轴试试卷（含解析）卷（含解析） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接 填写结果，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格填对得 5 分，否则 一律得零分 1已知集合 | 24, | 22AxxBxx ，则AB （ ） A | 2 2xx B | 24xx C | 22xx D | 24xx 2已知(2 )(2)43 ,miii,mR i为虚数单位，则m的值为（ ） A1 B1 C2 D2 3已知不等式 22 240xmxm 成立的必要不充分条件是1x或2x，则实数 m的最
2、大值为（ ） A1 B2 C3 D4 4已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递增，则（ ） A 0.6 3 3log 132fff B 0.6 3 32log 13fff C 0.6 3 2log 133fff D 0.6 3 23log 13fff 5已知在等差数列 n a中， 3457 6, 11aaaa，则 1 a （ ） A3 B7 C7 D3 6已知双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 3 3 B 2 6 3 C3 D2 7已知 5 sin 5 ，sin() 10 10 ， , 均为锐角，则（ ） A 5
3、12 B 3 C 4 D 6 8有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中 任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 2 9 已知函数 2 32 0 1 120 x x f xx xaxaxx ， ， ， 若方程 f xax有 4 个不同的实 数根，则实数a的取值范围是（ ） A （1，0） B （0，1） C （0，1 D （1，+） 第 II 卷（非选择题) 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案
4、的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 10若函数 2 212fxxx，则 3f_ 11 6 1 2 x x 展开式的常数项为 （用数字作答） 12 抛物线y2= 4x， 直线 l 经过抛物线的焦点 F， 与抛物线交于 A、 B 两点， 若BA = 4BF ， 则 OAB（O 为坐标原点）的面积为_ 13如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，P 是侧棱 1 CC上一点，且 1 2C PPC. 设三棱锥 1 PD DB的体积为 1 V，正四棱柱 1111 ABCDABC D的体积为 V，则 1 V V 的值 为_. 14 已知函数( )sin3cos(0)f xxx，xR.若函
5、数 ( )f x在区间(0，4 ) 内恰有 5 个零点，则的取值范围为_ 15已知ab，二次三项式 2 40axxb对于一切实数 x 恒成立，又 0 xR，使 2 00 40axxb成立，则 22 ab ab 的最小值为_ 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤 16 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 5 分 3 已知函数 2 ( )2sin cos2 3cos3,f xxxxxR. (1)求 ( )f x的最小正周期； (2)求 ( )f
6、 x在区间 2 , 243 上的最大值和最小值； (3)若关于 x 的不等式( )3( )mf xmf x在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围. 17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 5 分 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 四边形 11 ABB A， 11 BBCC均为正方形， 且 1111 ABBC， M 为 1 CC的中点，N 为 1 AB的中点 （1）求证：/ /MN平面 ABC； （2）求二面角 1 BMNB的正弦值； （3） 设 P 是棱 11 BC上一点， 若直线 PM 与平面 1 M
7、NB所成角的正弦值为 2 15 ， 求 1 11 B P BC 的 值 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知抛物线 2 :4 2C yx的焦点为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的右焦点，C 的准 线与 E 交于 P，Q 两点，且2PQ （1）求 E 的方程； （2）过 E 的左顶点 A 作直线 l 交 E 于另一点 B，且 BO（O 为坐标原点）的延长线交 E 于点 M，若直线 AM 的斜率为 1，求 l 的方程 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8
8、分 已知数列 n a的前n项和 2 2 n nn S ，数列 n b满足： 12 2bb， 4 1 1 2n nn bbnN . （）求数列 n a， n b的通项公式； （）求 * 21 1 2 1 n ii i i abnN b 20(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 9 分 已知函数 2 ( 2 ) 1 lnf xxaxx，aR （1）试判断函数 ( )f x的单调性； （2）是否存在实数a，使函数 ( )f x的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存 在，请说明理由 21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题
9、满分 7 分，第 2 小题满分 9 分 已知数列 n a的前n项和 2 2 n nn S ，数列 n b满足： 12 2bb， 1 1 2n nn bbnN . （）求数列 n a， n b的通项公式； （）求 * 21 1 2 1 n ii i i abnN b 5 参考答案参考答案 1 【答案】B 【解析】 由已知，集合 | 24, | 22AxxBxx ，所以 | 24ABxx . 故选：B 2 【答案】A 【解析】 2243 ,miii 2m244 3m ii ， 224 43 m m ，即m1 故选 A 3 【答案】C 【解析】 22 24220xmxmxmxm，2xm 或2xm，
10、1xQ或2x是不等式 22 240xmxm 成立的必要不充分条件， 21 22 m m ，解得：03m，则实数m的最大值为3. 故选：C. 4 【答案】C 【解析】 f x为R上的偶函数， 33ff， 33 log 13log 13ff， 0.6 333 22log 9log 13log 273且 f x在0,上单调递增， 0.6 3 2log 133fff ， 0.6 3 2log 133fff . 故选：C. 5 【答案】C 【解析】 6 由等差数列的性质，得 3454 36aaaa， 所以 4 2,a 公差 74 9 3 743 aa d ， 又 41 32aad，所以 1 7a . 故
11、选：C 6 【答案】A 【解析】 双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 ， 则 3 tan 63 ， 所以该条渐近线方程为 3 3 yx ； 所以 23 3a ， 解得6a ； 所以 22 622 2cab ， 所以双曲线的离心率为 2 22 3 36 c e a 故选：A 7 【答案】C 【解析】 由题意，可得 ， 均为锐角， 2 2 . 又 sin() 10 10 ，cos() 3 10 10 . 又 sin 5 5 ，cos 2 5 5 ， sin sin()sin cos()cos sin() 7 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 4
12、 . 8 【答案】C 【解析】 选取两支彩笔的方法有 2 5 C种，含有红色彩笔的选法为 1 4 C种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为 1 4 2 5 42 105 C p C . 本题选择 C 选项. 9 【答案】B 【解析】 解：由题意0x满足方程 f xax， 当0x时，只需 1 x a x 有一个负根，即0 1 a x a ， 解得：01a； 当0x时，只需 2 10xaxa有两个正根即可， 方程可化为10xxa，故两根为：1x 或a， 由题意只需0a且1a ， 综合可知，当01a时，方程 f xax有 4 个不同的实数根 所以实数a的取值范围是（0，1）. 故选：B 10 【答
13、案】-1 【解析】 当213x 时1x ,故 3f 2 2 1 1121f . 故答案为：1 11 【答案】-160 【解析】 由 666 2 166 1 (2)( 1)(2)() r rrrrrr r TCxCx x ，令6 20r得3r ，所以 6 1 2 x x 展开式的常数项为 336 3 6 ( 1)(2)160C . 8 12 【答案】43 3 【解析】 由题意可知： = 3，结合焦半径公式有： 1cos = 3 1+cos， 解得：cos = 1 2, = 3，故直线 AB 的方程为： = 3( 1)， 与抛物线方程联立可得：32 43 12 = 0， 则 | 1 2| = (4
14、3 3 ) 2 4 (4) = 8 3 ， 故 的面积 = 1 2 | |1 2| = 1 2 1 8 3 = 4 33. 13 【答案】 1 6 【解析】 设正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长AB BCa，高 1 AAb， 则 1 1 1 1 2 1ABCD ABC DABCD VSAAa b ， 111 2 1111 3326 P D DBB D DPD DP VVSBCab aa b 1 1 1 11 1 6 ABCDD P D D A B B C V V 即 1 1 6 V V 故答案为： 1 6 14 【答案】 7 ( 6 ， 17 12 【解析】 因为( )sin3c
15、os2sin() 3 f xxxx ， 所以令2sin()0 3 x ，() 3 xkkZ ，解得 (31) () 3 k xkZ 0，则非负根中较小的有： 258111417 , 333333 因为函数 ( )f x在区间(0，4 ) 内恰有 5 个零点， 9 所以 14 4 3 且 17 4 3 ，解得 717 612 . 故答案为： 7 17 ( , 6 12 15 【答案】4 2 【解析】 已知ab，二次三项式 2 40axxb对于一切实数x恒成立， 0a ，且 1640,4abab ； 再由 0 xR，使 2 00 40axxb成立， 可得1640,4abab ， 4ab， 2 22
16、 2 16 4 2,0 4 a ab a ab aab a a ， 令 2 2 16 8at a ，则 2 2 2 222 2 16 64 81616 1632 4 88 a abt a t abtt a a （当16t 时，等号成立） ，所以， 2 22 ab ab 的最小值为32， 故 22 ab ab 的最小值为324 2，故答案为4 2. 16 【答案】(1) ;(2) 最大值为2，最小值为 2 ;(3) 2 5 m . 【解析】 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxxsin23cos2xx2sin(2) 3 x (1) 2 2 T ，所以 ( )f x的最小正周期为.
17、(2)当 2 , 243 x 时, 2, 34 x , 10 当2 34 x 时,即 24 x 时函数求得最小值()2 24 f ; 当2 32 x 时,即 5 12 x 时函数求得最大值 5 ()2 12 f ; 所以 ( )f x在区间 2 , 243 上的最大值为2，最小值为 2 (3)对x R，2( )2f x ， 所以不等式( )3( )mf xmf x恒成立等价于， 对x R， ( ) ( )3 f x m f x 恒成立，即 max ( ) ( )3 f x m f x ， 设 ( ) ( ) ( )3 f x g x f x ，则 ( )3 ( )1 ( )3( )3 f x
18、g x f xf x ， 令( )tf x，且 3 1 3 y t 在2 2 ,上为增函数， 所以， max 2 ( )(2) 5 g xg， 所以， 2 5 m . 17 【答案】 （1）证明过程见详解； （2） 4 5 9 ； （3） 1 3 . 【解析】 （1）取 1 AA中点为O，连接ON，OM， 因为M为 1 CC的中点，N为 1 AB的中点， 所以/ON AB，/OM AC， 又AB平面ABC，AC 平面ABC，ACABA， 所以平面/MON平面ABC， 又MN 平面MON， 所以/MN平面 ABC； 11 （2）因为四边形 11 ABB A， 11 BBCC均为正方形，所以 11
19、 BC， 1 B B， 11 B A两两垂直， 以 1 B为坐标原点，分别以 1 B B， 11 BC， 11 B A为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 设 11 ABB A边长为2， 则 1( 0 , 0 , 0 ) B，(2,0,0)B， 1(0,2,0) C，(2,2,0)C， 1(0,0,2) A， 所以(1,0,1)N，(1,2,0)M， 因此 1 (1,2,0)BM ，(0, 2,1)MN ，( 1,2,0)BM， 设平面BMN的一个法向量为, ,mx y z， 则 mBM mMN ，所以 20 20 m BMxy m MNyz ，令1y ，则 2 2 x z ，
20、因此2,1,2m ； 设平面 1 B MN的一个法向量为 111 ,nx y z， 则 1 mBM mMN ，所以 1 20 20 m BMxy m MNyz ，令1y ，则 2 2 x z ， 因此2,1,2n ， 设二面角 1 BMNB的大小为， 则 4 141 coscos, 94 144 14 m n m n m n ， 所以 2 4 5 sin1 cos 9 ； （3）因为P是棱 11 BC上一点，设 1 11 0,1 B P t BC ，则(0,2 ,0)Pt， 12 所以 1,22 ,0PMt， 由（2）知，平面 1 MNB的一个法向量为2,1,2n ， 又直线PM与平面 1 M
21、NB所成角的正弦值为 2 15 ，记直线PM与平面 1 MNB所成角为 则有 22 22222 sincos, 15 1 (22 )34853 PM n tt PM n PM nttt ， 整理得 2 21850tt，解得 1 3 t 或 5 7 t （舍） 所以 1 11 1 3 B P t BC . 18 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2） 220xy. 【解析】 （1）因为抛物线 2 :4 2C yx的焦点为 2,0， 由题意，可得：椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的两焦点为 2,0 ,2,0， 又抛物线C的准线与E交于P，Q两点，且2PQ ，将x c代入椭
22、圆方程得 22 22 1 cy ab ，所以 2 b y a ，则 2 2 2 b a ，即 2 ba， 又 222 2cab，根据解得： 2 4a ， 2 2b ， 13 因此椭圆E的方程为 22 1 42 xy ； （2） 由 （1） 得 22 1 42 xy 的左顶点为 2,0A ， 设直线l的方程为2xmy， 00 ,B x y， 由 22 2 1 42 xmy xy 得 22 (2)40mymy，所以 0 2 4 2 A m yy m ， 因此 0 2 4 2 m y m ，所以 2 00 2 24 2 2 m xmy m ， 则 2 22 244 , 22 mm B mm ， 又因
23、为BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M， 则M与B关于原点对称，所以 2 22 244 , 22 mm M mm ， 因为直线AM的斜率为 1， 所以 2 2 2 4 2 1 24 2 2 m m m m ，解得：2m， 因此，直线l的方程为：220xy. 19 【答案】 （） n an； 1 2 2 2 2 n n n n b n ， 为奇数； ， 为偶数 （） 1 2 1 2 2 n n n n 【解析】 （）当2n时， 2 2 1 (1)1 22 nnn nnnn aSSn ， 当1n 时， 11 1aS，适合上式， 所以： n an； 12 2bb， 1 1 2n nn bbnN ，
24、 1 22 n n n b bn ， 14 11 2,2 nn bbn ， 数列 n b的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 1 2 2 2 2 n n n n b n ， 为奇数； ， 为偶数 （）由（）可得， i ai， 且 21 1 2 21 22 i i i b ， 2 2 2 22 i i i b ， 21 2 1 2 2 i ii i i i abi b ， 设 231 1231,0,1 nn Mxxxnxn xx ， 2341 1231 nn xMxxxnxn x ， 得 2311 1 1 1 n nnn xx x Mxxxxn xn x x ， 1 2 1
25、1 n xnxnx M x ， 1 1 2 1 221 2 21 22 (1 2) n n in i nn in ， 1 2 1 11 1 2222 2 1 22 (1) 2 nn in i n n in ， 1 21 1 2 12 1 2 2 n n ii n i i n abn b 20 【答案】 （1）见解析； （2）存在，实数a的取值范围为(0,2) 【解析】 （1）由题可得，函数 ( )f x的定义域为(0,)， 2 1 ( 1 )1 axx xafx x x 15 当0a时， 1 ( )0fx x x ，所以函数( )f x在(0,)上单调递增 当0a时，令( )0fx ，即 2
26、1 0 axx x ，即 2 10axx ，1 4a 当0，即 1 4 a时， 2 10axx ， 故( )0fx ，所以函数 ( )f x在(0,)上单调递增 当，即 1 4 a 时，方程 2 10axx 的两个实根分别为 1 114 2 a x a ， 2 114 2 a x a 若 1 0 4 a，则 1 0x ， 2 0x ， 此时( )0fx ，所以函数 ( )f x在(0,)上单调递增； 若0a，则 1 0x ， 2 0x ， 此时当 2 (0,)xx时，( )0fx ，当 2 (,)xx时，( )0fx ， 所以函数 ( )f x在 114 (0,) 2 a a 上单调递增，在
27、1 2 ) 1 , 4 ( a a 上单调递减 综上所述，当0a 时，函数 ( )f x在(0,)上单调递增；当 0a时，函数 ( )f x在 114 (0,) 2 a a 单调递增，在 1 2 ) 1 , 4 ( a a 上单调递减 （2）由（1）可得，当0a 时，函数 ( )f x在(0,)上单调递增，故函数( )f x无极值； 当0a时，函数 ( )f x在 114 (0,) 2 a a 上单调递增，在 1 2 ) 1 , 4 ( a a 上单调递减， 此时函数 ( )f x有极大值，极大值为 222 2 2 1 ln() 2 f xaxxx，其中 2 114 2 a x a 又 2 (
28、)0f x，所以 2 22 10axx ，即 2 22 1axx，所以 2 22 1 l 2 )n( x f xx 令 1 ln( 2 ) x h xx ，则 11 ( 2 )0h x x ， 16 所以函数( )h x在(0,)上单调递增 又(1)0h，所以当1x 时，( )0h x ，所以 2 22 () 1 ln0 2 x f xx 等价于 2 1x， 即当0a时，1 14 1 2 a a ，即1 421aa， 显然当0a时，14|21|aa， 所以 2 1 4(21)aa， 即 2 20aa， 解得02a， 故存在满足条件的实数a，使函数 ( )f x的极值大于0，此时实数a的取值范围
29、为(0,2) 21. （） n an； 1 2 2 2 2 n n n n b n ， 为奇数； ， 为偶数 （） 1 2 1 2 2 n n n n （）当2n时， 2 2 1 (1)1 22 nnn nnnn aSSn ， 当1n 时， 11 1aS，适合上式， 所以： n an； 12 2bb， 1 1 2n nn bbnN ， 1 22 n n n b bn ， 11 2,2 nn bbn ， 数列 n b的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 1 2 2 2 2 n n n n b n ， 为奇数； ， 为偶数 （）由（）可得， i ai， 且 21 1 2 21
30、22 i i i b ， 2 2 2 22 i i i b ， 21 2 1 2 2 i ii i i i abi b ， 设 231 1231,0,1 nn Mxxxnxn xx ， 2341 1231 nn xMxxxnxn x ， 17 得 2311 1 1 1 n nnn xx x Mxxxxn xn x x ， 1 2 1 1 n xnxnx M x ， 1 1 2 1 221 2 21 22 (1 2) n n in i nn in ， 1 2 1 11 1 2222 2 1 22 (1) 2 nn in i n n in ， 1 21 1 2 12 1 2 2 n n ii n i i n abn b