1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合(1)(4)0Ax xx， 2 log2Bxx，则A B（ ） A. 4,2 B. 1, C. 0,4 D.2, 2.若复数z满足 2
2、 (1)zii（i是虚数单位） ，则z为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 5 3已知单位向量 ， 满足 ，则 （ ）（ ） A0 B C1 D2 4.将函数的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，则的解析式 为（ ） A. B. C. D. 5已知 xlog321，则 4x（ ） A4 B6 C4 D9 6在ABC 中，若 sinB2sinAcosC，那么ABC 一定是（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱 世杰四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学
3、教育家朱世杰 平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人 数学成果， 既吸收了北方的天元术， 又吸收了南方的正负开方术、 各种日用算法及通俗歌诀， 在此基础上进行了创造性的研究， 写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的 算学启蒙 ， 其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而 长等 如图， 是源于其思想的一个程序框图 若输入的, a b分别为3，1， 则输出的n（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.已知等比数列 n a中，公比为q， 2 3a ，且1 ，q，7成等差数列，又 3 log nn ba， 数列
4、n b的前n项和为 n T，则 9 T （ ） A. 36 B. 28 C. 45 D. 32 9.设函数 2 ( )lnf xaxbx (0,0)ab ，若函数 ( )f x的图象在 1x 处的切线与直线 20xye平行，则 11 ab 的最小值为（ ） A. 1 B. 1 2 C. 3 2 2 D. 3 2 2 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（ ） Af（1）f（0）f（2） Bf（0）f（2）f（1） Cf（2）f（0）f（1） Df（2）f（1）f（0） 11.已知抛物线 2 1 4 yx的焦点F是椭圆 22 22 1(
5、0) yx ab ab 的一个焦点， 且该抛物线的 准线与椭圆相交于A、B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 31 B. 21 C. 3 3 D. 2 2 12. 定义在R上的可导函数( )f x满足(2)( )22fxf xx，记( )f x的导函数为( )fx，当 1x时恒有( )1fx若( )(12 )31f mfmm，则m的取值范围是 A(, 1 B 1 (,1 3 C 1,) D 1 1, 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.求值： 33 1 log 15log 25 2 _ 14已知 x，y 满足 0 4 21. x xy x
6、y ， ， 若2xy的最小值为_ 15、已知数列 n a的前n项和为 n S，且21 nn Sa，则数列 1 n a 的前 6 项和为_. 16、已知正三棱锥，点 、 、 、 都在半径为球面上，若、两两相 互垂直，则球心到截面的距离为_ 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指 标值进行统计分析，得到表格如表： 质量指标值 等级 频数 频率 60，75
7、） 三等品 10 0.1 75，90） 二等品 30 b 90，105） 一等品 a 0.4 105，120） 特等品 20 0.2 合计 n 1 （1）求 a，b，n； （2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中 随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18.（12 分） 已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T,求 n T. 19(12 分) 将棱长为2的正方体 1111 DCBAABCD截去三棱锥AC
8、DD 1 后得到如图所示几何体， O为 11C A的中点. （1）求证/OB平面 1 ACD； （2）求几何体 111 DAACB的体积. 20 （12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 2 :4C xy的焦点关于直线 yx 对称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0. （I）求椭圆 E 的标准方程； （II）过点0, 2的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关于 x 轴的对称点为 D， 直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究| |OPOQ是否为定值？请说 明理由. 21（12 分）已知函数 2 ( )2lnf xx
9、axx （I）当5a时，求 ( )f x的单调区间； （II）若 ( )f x有两个极值点 12 ,x x,且 12 11 3 xx e ，求a取值范围（其中 e 为自然对数 的底数） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ，以原点O 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2 2 4 1sin . （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设P（0，-1） ，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点
10、为Q，求OPOQ. 23.已知函数( )2f xx （1）解不等式：( )4(1)f xf x （2） 若函数( )3,(4)g xxx与函数( )2 (2)ymf xf x的图象恒有公共点， 求 实数m的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 1、 【答案】C 【解析】算出集合, A B后可求BA. 【详解】(1)(4)01,4Ax xx ， 2 log20,4Bxx， 故0,4AB，故选 C. 2、 【答案】B 【解析】利用复数的除法运算求得 1 2 z ，问题得解. 【详解】由 2 (1)zii可得： 22 1 (1)1 22 ii z iii 所以 1 2
11、 z 故选：B 3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可 解：因为单位向量 ， 满足 ，则 （ ） 1201 故选：C 4、 【答案】A 【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式 【详解】将函数的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为 故选 A 5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解：x log321，xlog23， 4x 9， 故选：D 6、B 解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC， cosAsinCsinAcosCsin（CA）0，即 CA0，CA， ac，即ABC 为等腰三角形 故选：B
12、7、 【答案】C 【解析】按流程图逐一执行即可. 【详解】输入的, a b分别为3，1时，依次执行程序框图可得： 19 33 22 a 2 12b ab不成立 1 12n 91927 2224 a 2 24b ab不成立 2 13n 2712781 4248 a 2 48b ab不成立 3 14n 81181243 82816 a 2 816b ab成立 输出4n故选：C 8、 【答案】A 【解析】由1，q，7成等差数列即可列方程求得：3q ，即可求得： 1 3 n n a，即可求 得：1 n bn，再利用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】因为1，q，7成等差数列，所以21 7q ，解得
13、：3q 又 2 3a ，所以 221 2 3 33 nnn n aa q 所以 3 1 3 loglog 31 n nn ban 所以 19 9129 99 1 1 9 1 36 22 bb Tbbb 故选：A 9、 【答案】D 【解析】由 2 ( )lnf xaxbx可得：( )2 a fxbx x ， 又函数 ( )f x的图象在 1x 处的切线与直线 20xye平行， 所以(1)21fab 所以 111111 12ab ababab 22 1 23232 2 baba abab 当且仅当 2 21,1 2 ab 时，等号成立 所以 11 ab 的最小值为3 2 2 故选： D 10 D【
14、分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可 解：函数的最小周期是 ，得 2， 则 f（x）sin（2x+）， f（x）关于中心对称， 2（）+k，kZ， 即 k+，kZ， ， 当 k0 时， 即 f（x）sin（2x+）， 则函数在，上递增，在，上递减， f（0）f（）， 12， f（）f（1）f（2）， 即 f（2）f（1）f（0）， 故选：D 11、 【答案】C【解析】 由题知线段AB是椭圆的通径， 线段AB与y轴的交点是椭圆的下焦点 1 F， 且椭圆的1c， 又60FAB ， 1 121 224 ,2 tan60333 FFc AFAFAF，由椭圆定义知 21
15、 613 2,3, 333 c AFAFaae a ，故选 C. 12【答案】D 【解析】构造函数( )(12 )31f mfmm)21 ()21 ()(mmfmmf，所以构 造 函 数xxfxF)()( ，(2)( )22fxf xxxxfxxf)()2()2(， )()2(xFxF 所 以)(xF 的 对 称 轴 为1x，1)( )( xfxF 所 以 ， )(, 1xFxFx是 增 函 数 ； )(, 0,1-xFxFx 是 减 函 数 。 |1-2m-1 |1-m|，解得： 3 1 , 1-m 13【答案】1 【解析】根据对数运算,化简即可得解. 【详解】由对数运算,化简可得 33 1
16、 log 15log 25 2 1 2 33 =log 15log 25 33 =log 15log 5 3 =log 3=1 故答案为:1 14、 【答案】5 【解析】 式组表示的平面区域，再将目标函数zx+2y对应的直线进行平移，可得当x3 且y1 时，z取得最小值 【详解】作出不等式组 0 4 21 x xy xy 表示的平面区域， 其中 4 21 xy xy 解得A（3，1） 设zx+2y，将直线l：zx+2y进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值 z最小值3+25 故答案为：5 15、 【答案】 63 32 【解析】 由题意得 n-1111 21(
17、2)222 nnnnnn Sanaaaaa ，因为 11 111 11 =2112( ) 2 nn n n Saaa a 数列 n 1 a 的前 6 项和为 6 1 1 ( ) 63 2 1 32 1 2 16、 【答案】 【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直， 此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球， 球的半径为， 正方体的边长为 2，即PAPBPC2 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h， 则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC 222 ABC为边长为 2的正三角形，SABC（2） 2 h 球心（
18、即正方体中心）O到截面ABC的距离为，故答案为 17、解：（1）由 100.1100，即 n100， a1000.440， b301000.3 6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件， 由分层抽样得：， 解得 x2，y4， 在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2， 有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4， 则所有的抽样情况有 15 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3， B2B4，B3B4， 其中至少有 1 件特等品被抽到包含
19、的基本事件有 9 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4， 至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p 12 分 18解： （1）令, 325 nn n nn Sb a ， 当2n 时， 1 11 333 nnn nn bSS ， 当1n 时， 1 1 3 b ，则 1 253 n n n b a ， 故 35 . 2 n n a 6 分 （2） 1 14411 (35)3(1)53 (35)3(1)5 nn a annnn ， 8 分 111111 ()()() 3 153 253 253 35353(1)5 n T nn 1662
20、49 4 6 1 5) 1( 3 1 8 1 3 4 n n nn 12 分 19. 解： （1）取AC中点为 1 O，连接 11111 ,DODBOO. 正方形 1111 DCBA中O为 11C A的中点, O为 11D B的中点. 又正方体 1111 DCBAABCD中 111 / BBCCAA , 111 / BBCCOO . 11 /BB OO . 四边形BBOO 11 为平行四边形, OBBO 11 / ODBO 11 / . 四边形 11BOD O为平行四边形 . 11 /DOBO. 又BO平面 1 ACD， 11D O平面 1 ACD, /OB平面 1 ACD 6 分 （2） 1
21、1111111111 DCBCBCBABADABCCDAACB VVVV 3 20 111111111 ACDDDCBAABCDBADABCC VVV 3 4 1111 DCBCBCBA VV,4 3 4 2 3 20 111 DAACB V 12 分 20（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 2 :4C xy的焦点关于直线y x 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为1,0（），所以1c. 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0（），所以2a，又 222 3bac， 所以椭圆 E 的标准方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）设直线 l 的方程为2ykx，0k ，则点 2 ,0P k
22、 ，设 1122 ,A x yB x y 则点 11 ,D xy ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 22 1 43 2 xy ykx ， 得 22 341640kxkx ，所以有 2 48 410k ，即 2 1 4 k 且 12 2 12 2 16 34 4 34 k xx k x x k ，即直线 BD 的方程为 11 2121 yyxx yyxx 令0y ，得点 Q 的横坐标为 1212 1221 1212 22 4 Q kx xxxx yx y x yyk xx ， 代入得： 22 83224 2 12164 34 Q kkk xk kk ， 所以 2 | |24 PQ OPOQx
23、xk k ，所以| |OPOQ为定值 4. 21. （1） f x的定义域为 0 ， 2 2122252 25 xxxx fxx xxx ， f x的单调递增区间为 1 0, 2 和2,，单调递减区间为 1 ,2 2 . 5 分 （2 2 222 2 xax fxxa xx ， f x有两个极值点 令 2 22g xxax，则 g x的零点为 12 ,x x，且 12 11 3 xx e . 2 16a , 4a- 或4a 12 0 2 a xx， 12 1x x4a . 根据根的分布，则 1 ( )0 3 g且g( 1 e ) 0 即 11 220 93 a, 2 1 220 a ee .
24、a 的取值范围是 220 2 3 ea e 12 分 22、 【答案】 （1）1yx， 22 1 42 xy ； （2） 2 2 3 【解析】 （1）直线l的参数方程为 2 2 2 1. 2 xt yt （t为参数） 消去参数t可得直线l的 普通方程为1yx 由 2 2 4 1sin ，得 222 sin4，则有 222 4xyy，即 22 24xy， 则曲线C的直角坐标方程为 22 1 42 xy （2）将l的参数方程代入 22 24xy，得 2 3 2 220 2 tt，设两根为 1 t， 2 t 则 1 t， 2 t为M，N对应的参数，且 12 4 2 3 tt 所以，线段MN的中点为Q
25、对应的参数为 12 2 2 23 tt ， 所以， 2 2 3 OPOQPQ 23、 【答案】 （1） 17 | 22 xx； （2）3,. 【解析】(1)由( )4(1)f xf x得241xx，即：214xx 等价于 234 2 x x 或 14 12x 或 324 1 x x 解得 7 2 2 x或12x或 1 1 2 x，即 17 22 x， 所以原不等式的解集为 17 | 22 xx （2）因为函数( )3g xx在4,单调递增，所以 min ( )(4)1g xg， 因为 310,2 ( )2 (2)6,24 310,4 xmx ymf xf xxmx xmx ， 在4x处，y取得最大值2m， 要使函数( )3,(4)g xxx与函数( )2 (2)ymf xf x的图象恒有公共点，则须 2 1m ， 即3m，故实数m的取值范围是3,