1、2020 年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知全集 UR，集合 Ax|x20，Bx|log2x2，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|x0 或 x2 Cx|0x2 Dx|x2 或 x4 2已知复数 z 满足（1 i）z1+i，则其共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数 f（x）2sinx+sin|x|+|sinx|在2，2的图象大致为（ ） A B C D 4两个非零向量 ， 满足| | |2| |，则向量 与 夹角为（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框
2、图，输入 n5，m3，那么输出的 p 值为（ ） A360 B60 C36 D12 6已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 7某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 2.49 元、1.32 元、2.19 元、0.63 元、3.37 元，共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢 一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A B C D 8天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、
3、未、申、酉、戌、 亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在 后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”， 第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即 “甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知 1949 年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立 70 年时为（ ） A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己亥年 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的 外接球的体积为（ ） A B8 C32 D64 10若将函数 f（x）cos（2x
4、+）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象， 且 g（x）的图象关于原点对称，则|的最小值为（ ） A B C D 11已知双曲线 ， 的右焦点为 F，过 F 作直线 的垂线，垂 足为 M，且交双曲线的左支于 N 点，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A3 B C2 D 12已知函数 yf（x）在 R 上可导且 f（0）1，其导函数 f（x）满足 ，对 于函数 ，下列结论错误的是（ ） A函数 g（x）在（1，+）上为单调递增函数 Bx1 是函数 g（x）的极小值点 C函数 g（x）至多有两个零点 Dx0 时，不等式 f（x）ex恒成立 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
5、分，共 20 分. 13某车间将 10 名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的 合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为 20， 则 m+n 14已知 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+y 的最大值为 15点 A（3，2）是圆（x2）2+（y1）29 内一点，则过点 A 的最短弦长为 16已知等比数列an的首项为 ，公比为 ，前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN *，都有 A 3Sn B 恒成立，则 BA 的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答
6、第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2（sinBsinC）2+cos（BC） 2sin2AcosA （）求 A； （）求 的取值范围 18依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018 年 12 月 22 日国务院又印发了个人所得税专项附加扣除暂行办法（以下简称办法）， 自 2019 年 1 月 1 日起施行，该办法指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得 税法规定的子女教育、
7、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等 6 项专项附加扣除简单来说，2018 年 10 月 1 日之前，“应纳税所得额”“税前收入” “险金”“基本减除费用（统一为 3500 元）”“依法扣除的其他扣除费用”；自 2019 年 1 月 1 日起， “应纳税所得额”“税前收人”“险金”“基本减除费用（统 一为 5000 元）”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用 调整前后个人所得税税率表如表： 个人所得税税率 表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过 1500 元的部分 3 1 不超过
8、3000 元的部 分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过 12000 至 25000 元的部分 20 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入， 扣除险金后，制成下面的频数分布表： 收入（元） 3000， 5000） 5000， 7000） 7000，9000） 9000， 11000） 11000， 13000） 13000，15000） 人数 10 20 25 20 15 10 （）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？ （
9、）若小李在该月扣除险金后的收入为 10000 元，假设小李除住房租金一项专项扣除 费用 1500 元外， 无其他依法扣除费用， 则 2019 年 1 月 1 日起小李的个人所得税， 比 2018 年 10 月 1 日之前少交多少？ （）先从收入在9000，11000）及11000，13000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，再 从中选 2 人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率 19如图，ABCD 为矩形，点 A、E、B、F 共面，且ABE 和ABF 均为等腰直角三角形， 且BAEAFB90 （）若平面 ABCD平面 AEBF，证明平面 BCF平面 ADF； （）问在线
10、段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG平面 CDF，若存在，求出此时三棱锥 GABE 与三棱锥 GADF 的体积之比 20 已知抛物线 E： y22px （p0） 的焦点为 F， 直线 l： y2x2， 直线 l 与 E 的交点为 A， B同时|AF|+|BF|8，直线 ml直线 m 与 E 的交点为 C、D，与 y 轴交于点 P （I）求抛物线 E 的方程； （）若 ，求|CD|的长 21已知函数 f（x）lnxa （）讨论 f（x）的单调性； （）存在正实数 k 使得函数 g（x）kx1+f（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中
11、任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 C1： ， （t 为参数），以原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（1，0），曲线 C2： 2 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）若曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|mx+1|+|2x1|，mR （）当 m3 时，求不等式 f（x）4 的解集； （）若 0m2，且对任意 xR，f（x） 恒成立，求 m 的最小值 参考答案
12、参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知全集 UR，集合 Ax|x20，Bx|log2x2，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|x0 或 x2 Cx|0x2 Dx|x2 或 x4 【分析】可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|x2，Bx|0x4； ABx|0x2 故选：C 2已知复数 z 满足（1 i）z1+i，则其共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数整理求得 z；进而求得 得到其在复平面内对应点的坐标得答 案 解：
13、因为复数 z 满足（1 i）z1+i， 所以：z ； 其共轭复数 i i； 对应的点（ ， ）在第一象限； 故选：A 3函数 f（x）2sinx+sin|x|+|sinx|在2，2的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，将 f（x）的解析式写成分段函数的形式，据此分析选项可得答案 解：根据题意，f（x）2sinx+sin|x|+|sinx|， 当2x 时，sinx0，则|sinx|sinx，又由 sin|x|sin（x）sinx，则此时 f （x）2sinxsinx+sinx2sinx， 当x0 时，sinx0，则|sinx|sinx，又由 sin|x|sin（x）sinx，则此
14、时 f （x）2sinxsinxsinx0， 当 0x 时，sinx0，则|sinx|sinx，又由 sin|x|sinx，则此时 f（x）2sinx+sinx+sinx 4sinx， 当 x2 时，sinx0，则|sinx|sinx，又由 sin|x|sinx，则此时 f（x）2sinx+sinx sinx2sinx， 故 f（x） ， ， ， ， ； 故选：C 4两个非零向量 ， 满足| | |2| |，则向量 与 夹角为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量 与 夹角 解：两个非零向量 ， 满足| | |2| |，如图， 设 ， ，则 ， ， 则四边形 OAC
15、B 为矩形 BA2OA，OB OA 设向量 与 夹角为 ，则OBA， cos（ ） ， ， ， 故选：A 5执行如图所示的程序框图，输入 n5，m3，那么输出的 p 值为（ ） A360 B60 C36 D12 【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图实质是计算排列数 的值，由 n5，m3 即可计算得解 解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 p 的值， 可得程序框图实质是计算排列数 的值， 当 n5，m3 时，可得： 60 故选：B 6已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 【分析】 由 a6 ， b 6 ， a， b0 可得 b， a
16、 大小关系， 而 clog231 即 可得出结论 解：a6 ，b 6 ， a6b6，a，b0 1ab， clog231 bac 故选：C 7某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 2.49 元、1.32 元、2.19 元、0.63 元、3.37 元，共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢 一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A B C D 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概 率是 ，得解 解：群主所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 2.49 元、1.32 元、2.19
17、 元、0.63 元、 3.37 元，共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次， 设甲抢到的金额为 x、乙抢到的金额为 y，则（x，y）的基本事件共有 20 种， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的基本事件为（2.49，2.19），（2.49，3.37）， （1.32，3.37），（2.19，3.37），（0.63，3.37）， （2.19，2.49），（3.37，2.49），（3.37，1.32），（3.37，2.19），（3.37，0.63）共 10 种， 即甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是 ， 故选：B 8天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，
18、十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、 亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在 后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”， 第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即 “甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知 1949 年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立 70 年时为（ ） A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己亥年 【分析】由题意可得数列天干是以 10 为等差的等差数列，地支是以 12 为公
19、差的等差数 列，以 1949 年的天干和地支分别为首项，即可求出答案 解：天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 1949 年到 2029 年经过 70 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别 为首项， 则 70107，则 2019 的天干为己， 70125 余 10，则 2019 的地支为亥， 故选：D 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的 外接球的体积为（ ） A B8 C32 D64 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积 解：根据几何体的三视图转换为直观图
20、如图所示： 该几何体为三棱锥体 ABCD 所以几何体的外接球的半径设为 r， 则：（2r）242+22+22，解得 r ， 所以 V ， 故选：B 10若将函数 f（x）cos（2x+）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象， 且 g（x）的图象关于原点对称，则|的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再利用三角 函数的图象的对称性，求得|的最小值 解：将函数 f（x）cos（2x+）的图象向右平移 个单位长度， 得到函数 g（x）cos（2x ）的图象， g（x）的图象关于原点对称， k ，kZ 令 k1，可得
21、|的最小值为 ， 故选：A 11已知双曲线 ， 的右焦点为 F，过 F 作直线 的垂线，垂 足为 M，且交双曲线的左支于 N 点，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A3 B C2 D 【分析】由题设条件得到 OM 与 NF1及 NF1与 NF 的位置关系与长度关系，再根据双曲 线的定义得到|NF1|2a， |NF|4a，进而由|FF1|24c2|NF| 4a2+16a220a2，求得离心率 e 解：如右图所示，设双曲线的半焦距为 c，左焦点为 F1，连接 NF1， ，点 M 为线段 NF 的中点，OMF1N，且|OM| |F1N|， 又过 F（c，0）作直线 的垂线，垂足为 M，MFOM， FN
22、NF1，又由点线距离公式可得：|MF| b， 又|OF|c，|OM| a，|NF1|2a又点 N 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得：|NF|NF1|+2a4a 在直角三角形 FNF1中：|FF1|24c2|NF| 4a2+16a220a2 故双曲线的离心率 e 故选：B 12已知函数 yf（x）在 R 上可导且 f（0）1，其导函数 f（x）满足 ，对 于函数 ，下列结论错误的是（ ） A函数 g（x）在（1，+）上为单调递增函数 Bx1 是函数 g（x）的极小值点 C函数 g（x）至多有两个零点 Dx0 时，不等式 f（x）ex恒成立 【分析】结合题意求出函数 g（x）的单调区间以及函数
23、的极值，从而判断结论即可 解：g（x） ， 则 g（x） ， x1 时，f（x）f（x）0， 故 yg（x）在（1，+）递增，A 正确； x1 时，f（x）f（x）0， 故 yg（x）在（，1）递减， 故 x1 是函数 yg（x）的极小值点，故 B 正确； 若 g（1）0，则 yg（x）有 2 个零点， 若 g（1）0，则函数 yg（x）有 1 个零点， 若 g（1）0，则函数 yg（x）没有零点，故 C 正确； 由 yg（x）在（，1）递减，则 yg（x）在（，0）递减， 由 g（0） 1，得 x0 时，g（x）g（0）， 故 1，故 f（x）e x，故 D 错误； 故选：D 二.填空题：本
24、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13某车间将 10 名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的 合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为 20， 则 m+n 11 【分析】根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出 m、n 的值 解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为 20， 即 甲 （17+18+20+m+20+22）20， 解得 m3； 乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为 10， 即 乙 （10+n+19+20+21+22）20， 解得 n8 故 m+n11； 故答案为：11 14已知 x，
25、y 满足约束条件 ，则 z3x+y 的最大值为 8 【分析】画出满足条件的平面区域，由 z3x+y 得：y3x+z，将直线 y3x 向上平 移，结合图象求出 z 的最大值即可 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 z3x+y 得：y3x+z， 将直线 y3x 向上平移， 可知当直线经过点 A（1，5）时，y3x+z 的截距取得最大值，z 的最大值，zmax3 1+58， 故答案为：8 15点 A（3，2）是圆（x2）2+（y1）29 内一点，则过点 A 的最短弦长为 【分析】根据题意，分析圆心与半径，设过点 A 的直线为 l，分析可得：当 CA 与 l 垂直 时，圆心到直线 l 的距离最大
26、，此时过点 A 的弦最短，结合直线与圆的位置关系分析可 得答案 解：根据题意，设圆（x2）2+（y1）29 的圆心为 C，则 C 的坐标为（2，1），半 径 r3， 设过点 A 的直线为 l， 分析可得：当 CA 与 l 垂直时，圆心到直线 l 的距离最大，此时过点 A 的弦最短， 此时圆心到直线的距离 d|CA| ， 弦长为：2 2 ， 故答案为：2 16已知等比数列an的首项为 ，公比为 ，前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN *，都有 A 3Sn B 恒成立，则 BA 的最小值为 【分析】利用求和公式可得：Sn1 通过对 n 分类讨论可得 f（n）3Sn 的 取值，进而得出结论 解：S
27、n 1 n2k1（kN*），f（n）3Sn 3（1 ） 单调递减，f（1） ，n+ ，f（n）312 可得：23Sn n2k（kN*），f（n）3Sn 3（1 ） 单调递增，f（2） ，n+， f（n）312 可得： 3Sn 2 则 BA 的最小值 故答案为： 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2（sinBsinC）2+cos（BC） 2sin2AcosA （）求 A； （）求
28、的取值范围 【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得 b2+c2a2 bc，利用余弦定理可求 cosA 的值，进而可求 A 的值 （）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 2sin（B ），由于 ， 可求范围 利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围 解：（）2（sinBsinC）2+cos（BC）2sinA2+cos（B+C）， 2（sinBsinC）22sinA2+cos（B+C）cos（BC）， 2（sinBsinC）22sinA22sinBsinC， 由正弦定理可得：（bc）2a2bc， b2+c2a2bc， （） ， 又 ， ， ， 18依法纳税是公民应尽
29、的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018 年 12 月 22 日国务院又印发了个人所得税专项附加扣除暂行办法（以下简称办法）， 自 2019 年 1 月 1 日起施行，该办法指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得 税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等 6 项专项附加扣除简单来说，2018 年 10 月 1 日之前，“应纳税所得额”“税前收入” “险金”“基本减除费用（统一为 3500 元）”“依法扣除的其他扣除费用”；自 2019 年 1 月 1
30、 日起， “应纳税所得额”“税前收人”“险金”“基本减除费用（统 一为 5000 元）”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用 调整前后个人所得税税率表如表： 个人所得税税率 表（调整前） 个人所得税税率 表（调整后） 级数 全月应纳税所得 额 税率（%） 级数 全月应纳税所 得额 税率（%） 1 不超过 1500 元的 部分 3 1 不超过 3000 元 的部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 2 超过 3000 元至 12000 元的部 分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 3 超过 12000 至 25000 元的部 分 20 某税务
31、部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入， 扣除险金后，制成下面的频数分布表： 收入（元） 3000， 5000） 5000， 7000） 7000，9000） 9000， 11000） 11000， 13000） 13000，15000） 人数 10 20 25 20 15 10 （）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？ （）若小李在该月扣除险金后的收入为 10000 元，假设小李除住房租金一项专项扣除 费用 1500 元外， 无其他依法扣除费用， 则 2019 年 1 月 1 日起小李的个人所得税， 比 2018 年 10 月 1 日之前少交多少
32、？ （）先从收入在9000，11000）及11000，13000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，再 从中选 2 人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率 【分析】（）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入 （）求出 2018 年 10 月 1 日之前小李的个人所得税，2019 年 1 月 1 日起小李的个人所 得税，由此能求出 2019 年 1 月 1 日起小李个人所得税少交的钱数 （）由频率分布表可知从9000，11000）及11000，13000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中11000，13000）中占 3 人，记为 A，B，C；9000，11000）中占 4
33、 人，记为 1，2，3，4，从 7 人中选 2 人，利用列举法能求出两个宣讲员不全是同一收入人群的概 率 解：（）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入： （400010+600020+800025+1000020+1200015+1400010） 8800 （元） （）2018 年 10 月 1 日之前小李的个人所得税： S115003%+300010%+（1000035004500）20%745（元）， 2019 年 1 月 1 日起小李的个人所得税： S230003%+（10000500015003000）10%140（元）， 2019 年 1 月 1 日起小李个人所得税少交 745140
34、605（元） （）由频率分布表可知从9000，11000）及11000，13000）的人群中按分层抽样抽取 7 人， 其中11000，13000）中占 3 人，记为 A，B，C；9000，11000）中占 4 人，记为 1，2， 3，4， 从 7 人中选 2 人共有 21 种选法如下： AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14， 23，24，34， 其中不在同一收入的人群有 A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4 共 12 种， 所以两个宣讲员不全是同一收入人群的概率为 19如图，ABCD 为矩形
35、，点 A、E、B、F 共面，且ABE 和ABF 均为等腰直角三角形， 且BAEAFB90 （）若平面 ABCD平面 AEBF，证明平面 BCF平面 ADF； （）问在线段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG平面 CDF，若存在，求出此时三棱锥 GABE 与三棱锥 GADF 的体积之比 【分析】（1）推导出 BCAB，从而 BC平面 AEBF，BCAF，AFBF，从而 AF 平面 BCF由此能证明平面 ADF平面 BCF （2）推导出 BC平面 ADF，FABABE45，AFBE，BE平面 ADF，平面 BCE平面 ADF延长 EB 到点 H，使得 BHAF，BC AD，连 CH、HF，推导出
36、 ABHF 是平行四边形， HFDC 是平行四边形， CHDF 过点 B 作 CH 的平行线， 交 EC 于点 G， BGCHDF，从而 BG平面 CDF，即此点 G 为所求的 G 点由此能求出 的 值 解：（1）证明：ABCD 为矩形，BCAB， 又平面 ABCD平面 AEBF，BC平面 ABCD，平面 ABCD平面 AEBFAB， BC平面 AEBF， 又AF平面 AEBF，BCAF AFB90，即 AFBF，且 BC、BF平面 BCF，BCBFB， AF平面 BCF 又AF平面 ADF，平面 ADF平面 BCF （2）解：BCAD，AD平面 ADF，BC平面 ADF ABE 和ABF 均
37、为等腰直角三角形，且BAEAFB90， FABABE45，AFBE，又 AF平面 ADF，BE平面 ADF， BCBEB，平面 BCE平面 ADF 延长 EB 到点 H，使得 BHAF，又 BC AD，连 CH、HF， 由题意能证明 ABHF 是平行四边形， HF AB CD，HFDC 是平行四边形，CHDF 过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G，即 BGCHDF，（DF平面 CDF） BG平面 CDF，即此点 G 为所求的 G 点 又 BE 2AF2BH，EG ，又 SABE2SAEF， VGABE ， 故 20 已知抛物线 E： y22px （p0） 的焦点为 F， 直线 l：
38、 y2x2， 直线 l 与 E 的交点为 A， B同时|AF|+|BF|8，直线 ml直线 m 与 E 的交点为 C、D，与 y 轴交于点 P （I）求抛物线 E 的方程； （）若 ，求|CD|的长 【分析】 （）联立直线 l 与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义可求出 p 的值， 从而得到抛物线 E 的方程； （）设直线 m：y2x+t，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件 可求得 或8， 再利用弦长公式表达出|CD|的长，代入 t 得值即可求出|CD|的值 【解答】解（I）联立方程 得：2x 2（4+p）x+20， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得： ， 由抛物
39、线定义可得： ，p4 则抛物线 E 的方程为：y28x； （）设直线 m：y2x+t， 联立方程 得：4x2+（4t8）x+t20， 由（4t8）216t20 得：t1， 设 C（x3，y3），D（x4，y4）， 可知 x34x4， ， 又x3+x42t， ， ， 解之得： 或8， ， 当 时， ；当 t8 时， 21已知函数 f（x）lnxa （）讨论 f（x）的单调性； （）存在正实数 k 使得函数 g（x）kx1+f（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）求出 g（x）的解析式，问题转化为 仅有三解，设 ，
40、求出函数的导数，结合函数的单调性求出 a 的范围即可 解：（）f（x） （x0），（1 分） 当 a0 时， f （x） 0 恒成立， 则 f （x） 在 （0， +） 上单调递增； 当 a0 时，f（x）0 得： 当 ， 时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 ， 时，f（x）0，f（x）单调递减， 综上，a0 时，f（x）的增区间为（0，+） a0 时，f（x）的增区间为 ， ，减区间为 ， （）由题易知 ， 即 有三个解， ，即 仅有 三解， 设 ，h（x） 0，可得 kx 2 2lnx+30，即 设 ，则 M（t） 0，得 te4t（0，e4）时，M（t）0，M （t）单调递增， t（
41、e4，+） 时，M（t）0，M（t）单调递减（同时注意 x+时，M（t）0） ， 当 时， 恒成立，此时 a一、选择题均符合条件； 当 时， 由两个根不妨设为 t1，t2且 有两根，不妨设为 x1，x2 则 ， ，则 ； 容易分析出 h（x）在（0，x1），（x2，+）单调递增，（x1，x2）单调递减， 则当 时 a（h（x2）min，h（x1）max） 这里需要求 h（x1）和 h（x2）的取值范围 由上面分析可得 ，则 ， 设 ，0xe2，N（x） ；易知 N（x）在 0xe2上单调递 增， ，则 同理 ， 由上面分析 在（e2，+）单调递减，且 x+时，N（x）0， h（x2）0a0 综
42、上： ， （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 C1： ， （t 为参数），以原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（1，0），曲线 C2： 2 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）若曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的取值范围 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行 转换 （）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（）
43、直线 l 的参数方程为 C1： ， （t 为参数），转换为曲线 C1的普 通方程为：xsinycossin0， 曲线 C2： 2 根据 整理得普通方程为： ； （）将 ： （t 为参数） 代入 C2： 化简整理得：（sin 2+3）t2+6tcos90， 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2， 则36cos2+36（sin2+3）1440 恒成立， ， ， ， sin20，1， 所以：|PA|+|PB|3，4 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|mx+1|+|2x1|，mR （）当 m3 时，求不等式 f（x）4 的解集； （）若 0m2，且对任意 xR，f（x） 恒成立，求 m 的最小值 【分析】（）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （）求出函数的单调区间，求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可 解：（）当 m3 时，f（x）|3x+1|+|2x1|， 原不等式 f（x）4 等价于 或 或 ， 解得： 或无解或 ， 所以， f （x） 4的解集为 ， ， （）0m2， ， ， 则 ， ， ， ， ， 所以函数 f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递减，在 ， 上单 调递增